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8.3   수능 핵심

도함수의 정의와 성질

Definition and Properties of the Derivative

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 평균변화율의 극한으로 미분계수(642번)와 도함수(643번)를 정의합니다. 좌·우미분계수(644–645번)로 미분가능성을 좀 더 세밀하게 분석한 뒤, 미분가능이면 연속임(646번, 단 역은 성립하지 않음)을 보이고, 도함수의 기하학적 의미인 접선의 방정식(647번)을 확립합니다. 마지막으로 도함수의 대수적 성질 ― 선형성(648번)·곱의 미분법(649번)·몫의 미분법(650번)· 합성함수의 미분법(연쇄법칙, 651번) ― 을 8.2에서 다진 극한의 성질(632번)만으로 유도하여, 8.4(도함수 공식표)에서 구체적인 함수들의 도함수를 계산할 토대를 완성합니다.

642정의평균변화율과 미분계수f'(a) := limx→a f(x)−f(a)x−a

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 합시다. 실수 h≠0에 대해, x좌표가 h만큼 변할 때 f값이 변한 양을 x좌표의 변화량으로 나눈 값을 구간 [a,a+h](h<0이면 [a+h,a])에서의 f의 평균변화율(average rate of change)이라 하고,

ΔyΔx = f(a+h)−f(a)h

로 나타냅니다. x:=a+h로 치환하면 h=x−a이므로 h→0인 것과 x→a인 것은 같은 조건이고, f(a+h)−f(a) = f(x)−f(a)이므로 평균변화율은

f(x)−f(a)x−a

로도 나타낼 수 있습니다(이하 두 표현을 필요에 따라 섞어 씁니다). 이 평균변화율의 x→a(또는 h→0)에서의 극한(629번)이 존재하면, 그 극한값을 f의 x=a에서의 미분계수(derivative, differential coefficient)라 하고 f'(a)로 나타냅니다 :

f'(a) := limx→a f(x)−f(a)x−a = limh→0 f(a+h)−f(a)h

f'(a)가 (유한한 값으로) 존재하면 f는 x=a에서 미분가능(differentiable)하다고 합니다.

할선(두 점 (a,f(a)), (x,f(x))를 지나는 직선)의 기울기가 바로 평균변화율 ― 미분계수는 이 기울기의 x→a 극한

사용 : 8.2의 629번(극한의 정의)

643정의도함수와 표기법f'(x),  y',  dydx

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. f의 정의역의 부분집합 S에 속하는 모든 점 a에서 f'(a)가 존재한다고 합시다(642번). 그러면 각 a∈S에 f'(a)를 대응시키는 새로운 함수

f' : S → ℝ,   a ↦ f'(a)

를 f의 도함수(derivative, derivative function)라 합니다. f로부터 f'을 얻는 과정을 f를 미분한다 (differentiate)고 합니다. 도함수를 나타내는 표기법은 여러 가지가 함께 쓰입니다 :

① f'(x) ― 라그랑주(Lagrange) 표기, 독립변수를 x로 명시.   ② y' ― y=f(x)로 두었을 때, 문맥상 독립변수가 명백하면 간단히.   ③ dydx 또는 dfdx ― 라이프니츠(Leibniz) 표기.   ④ Df(x) 또는 D_x[f(x)] ― 연산자(operator) 표기.

라이프니츠 표기 dydx는 실제로 두 «미분(differential)» dy, dx의 몫이 아니라, limΔx→0 ΔyΔx라는 극한 과정 전체를 관습적으로 하나의 분수 모양으로 나타낸 기호입니다 ― dy, dx 각각의 독립적인 의미는 8.7(미분, Differential)에서 별도로 정의합니다. 이 절 이후로는 ①–④ 표기를 문맥에 따라 자유롭게 섞어 씁니다.

사용 : 642번(미분계수의 정의)

644정의좌미분계수와 우미분계수f'₋(a),  f'₊(a)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 630번(좌극한·우극한)을 642번의 평균변화율에 적용합니다. x가 a보다 작으면서(x<a) a에 한없이 가까워질 때 평균변화율 f(x)−f(a)x−a가 어떤 값에 수렴하면, 그 값을 f의 x=a에서의 좌미분계수(left−hand derivative)라 하고 f'₋(a)로 나타냅니다 :

f'₋(a) := limx→a− f(x)−f(a)x−a

마찬가지로 x가 a보다 크면서(x>a) a에 한없이 가까워질 때의 극한을 우미분계수(right−hand derivative) f'₊(a)라 합니다 :

f'₊(a) := limx→a+ f(x)−f(a)x−a

좌미분계수·우미분계수는 각각 a보다 작은 쪽, 큰 쪽에서만 x를 움직이므로, f가 a의 한쪽에서만 (예 : 닫힌구간 [a,b]의 왼쪽 끝점 a에서는 정의역이 a보다 작은 쪽으로 뻗어 있지 않으므로) 정의되어 있어도 그 방향의 미분계수는 정의될 수 있습니다.

x가 a에 왼쪽·오른쪽에서 각각 다가갈 때, 그 방향의 할선의 기울기가 좌미분계수·우미분계수

사용 : 8.2의 630번(좌극한·우극한) · 642번(평균변화율)

645정리미분가능성과 좌우미분계수의 일치f'(a)가 존재 ⇔ f'₋(a)와 f'₊(a)가 모두 존재하고 같음

증명법 : 직접증명법(8.2의 631번을 새로운 함수에 그대로 적용)

함수 g(x) := f(x)−f(a)x−a(x≠a, a를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의됨)를 생각합시다. 642번의 정의에 의해 f'(a) = limx→a g(x)이고, 644번의 정의에 의해 f'₋(a) = limx→a− g(x), f'₊(a) = limx→a+ g(x)입니다 ― 즉 f'(a), f'₋(a), f'₊(a)는 각각 g의 x=a에서의 극한, 좌극한, 우극한 그 자체입니다.

8.2의 631번(극한의 존재성과 좌우극한의 일치)을 함수 g에 곧바로 적용하면

limx→a g(x)가 존재 ⇔ limx→a− g(x)와 limx→a+ g(x)가 모두 존재하고 서로 같음

이고, 위에서 확인한 대응에 의해 이는 정확히

f'(a)가 존재 ⇔ f'₋(a)와 f'₊(a)가 모두 존재하고 서로 같음

이라는 명제입니다. 이때(존재하는 경우) 그 공통값이 바로 f'(a)입니다.

사용 : 8.2의 631번(극한의 존재성과 좌우극한의 일치) · 642번(미분계수) · 644번(좌·우미분계수)

증명 끝

646정리미분가능이면 연속f가 x=a에서 미분가능 ⇒ f는 x=a에서 연속

증명법 : 직접증명법(극한의 대수적 재구성)

f가 x=a에서 미분가능, 즉 f'(a) = limx→a f(x)−f(a)x−a가 (유한한 값으로) 존재한다고 합시다(642번). x≠a인 x에 대해 항등식

f(x) − f(a) = f(x)−f(a)x−a · (x−a)

가 성립합니다(우변에서 (x−a)를 약분하면 바로 좌변이 되므로, x≠a이면 항상 성립). x→a일 때 우변의 첫 인수는 f'(a)에 수렴(642번)하고 둘째 인수 (x−a)는 0에 수렴(자명)하므로, 8.2의 632번(곱의 극한)에 의해 우변 전체는 f'(a)·0 = 0에 수렴합니다. 따라서

limx→a (f(x)−f(a)) = 0

이고, f(x) = (f(x)−f(a)) + f(a)이므로 8.2의 632번(합의 극한)에 의해

limx→a f(x) = limx→a [(f(x)−f(a)) + f(a)] = 0 + f(a) = f(a)

이므로, 8.2의 638번(연속의 정의)에 의해 f는 x=a에서 연속입니다.

역은 성립하지 않습니다 ― 연속이지만 미분 불가능한 함수가 존재합니다. 반례로 f(x)=|x|를 x=0에서 살펴봅시다. x<0에서 f(x)=−x이므로

f'₋(0) = limx→0− −x−0x = limx→0− (−1) = −1

(644번)이고, x>0에서 f(x)=x이므로 마찬가지로 f'₊(0) = 1입니다. 두 값이 서로 다르므로 645번에 의해 f'(0)은 존재하지 않습니다 ― |x|는 x=0에서 미분 불가능합니다. 그러나 |x|는 x=0에서 연속입니다 : x→0−일 때 −x→0이고 x→0+일 때 x→0이므로(다항함수의 극한, 자명), 8.2의 631번에 의해 limx→0 |x| = 0 = f(0)이고, 638번에 의해 연속입니다.

|x|는 모서리에서도 (구멍 없이) 이어져 있어 연속이지만, 좌·우미분계수가 달라 미분은 불가능

사용 : 8.2의 632번(극한의 사칙연산) · 8.2의 638번(연속의 정의) · 8.2의 631번 · 644번 · 645번

증명 끝

647정리도함수의 기하학적 의미 ― 접선의 방정식y = f(a) + f'(a)(x−a)

증명법 : 직접증명법(극한의 성질을 이용한 점별 수렴)

f가 x=a에서 미분가능하다고 합시다(642번). x≠a인 각 x에 대해, 두 점 (a,f(a))와 (x,f(x))를 지나는 직선(할선, secant line)의 기울기는 평균변화율 m_x := f(x)−f(a)x−a이므로, 그 할선 위에서 가로좌표가 t인 점의 세로좌표는

L_x(t) := f(a) + m_x(t−a)

입니다(t는 할선 위의 임의의 점을 가리키는 데 쓰는 변수로, 정의역의 변수 x와는 구분됩니다). t를 하나 고정하면 (t−a)는 x→a라는 극한 과정에서 상수로 취급되고, 642번의 정의에 의해 m_x = f(x)−f(a)x−a → f'(a)이므로, 8.2의 632번(상수배·합의 극한)에 의해

limx→a L_x(t) = f(a) + f'(a)(t−a)

입니다. 즉 (a,f(a))를 지나는 할선의 기울기가 x→a에 따라 f'(a)로 수렴할 때, 그 할선 위의 각 점의 높이(임의로 고정한 모든 t에서)도 우변이 나타내는 직선 위의 대응 높이로 수렴합니다. 이 극한의 직선

y = f(a) + f'(a)(x−a)

을 f의 그래프의 x=a에서의 접선(tangent line)이라 정의하며, 그 기울기 f'(a)를 접선의 기울기라 합니다.

x가 a에 가까워질수록 할선(회색, 옅을수록 x가 더 멀리 있음)이 접선(진한 색)에 가까워짐

(물리적 의미) f(t)가 시각 t에서의 위치를 나타내는 함수라면, 평균변화율 f(x)−f(a)x−a는 시간 구간 위에서의 평균속도이고, 그 극한인 미분계수 f'(a)는 시각 t=a에서의 순간속도입니다 ― 이 해석은 8.6(도함수의 활용)에서 더 구체적으로 다룹니다.

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 632번(극한의 성질)

증명 끝

648정리미분법의 선형성(합·차·상수배)(f±g)'=f'±g',  (cf)'=cf'

증명법 : 직접증명법(642번과 8.2의 632번의 직접 적용)

f, g가 x=a에서 미분가능하다고 합시다(642번).

⑴ 합 :

(f+g)'(a) = limx→a (f(x)+g(x))−(f(a)+g(a))x−a = limx→a [f(x)−f(a)x−a + g(x)−g(a)x−a] = f'(a)+g'(a)

(마지막 등호는 8.2의 632번⑴, 두 극한이 각각 642번에 의해 f'(a), g'(a)로 존재하므로 합의 극한을 적용). g 대신 −g(642번에 의해 −g'(a)에 수렴 ― 아래 ⑶의 c=−1인 경우)를 대입하면 같은 논증이 그대로 적용되어 (f−g)'(a) = f'(a)−g'(a)입니다.

⑵ (⑴에 포함, 차) 위에서 함께 확인했습니다.

⑶ 상수배 : c가 상수이면

(cf)'(a) = limx→a cf(x)−cf(a)x−a = c·limx→a f(x)−f(a)x−a = cf'(a)

(8.2의 632번⑵, 상수배의 극한).

사용 : 8.2의 632번(극한의 성질) · 642번(미분계수의 정의)

증명 끝

649정리곱의 미분법(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

증명법 : 직접증명법(더하고 빼기 항등식과 646번의 연속성 이용)

f, g가 x=a에서 미분가능하다고 합시다(642번). x≠a인 x에 대해 항등식

f(x)g(x) − f(a)g(a) = g(x)[f(x)−f(a)] + f(a)[g(x)−g(a)]

가 성립합니다(우변을 전개하면 g(x)f(x)−g(x)f(a)+f(a)g(x)−f(a)g(a)이고, 가운데 두 항 −g(x)f(a)와 +f(a)g(x)가 상쇄되어 f(x)g(x)−f(a)g(a)로 좌변과 일치합니다). 양변을 x−a로 나누면

f(x)g(x)−f(a)g(a)x−a = g(x)·f(x)−f(a)x−a + f(a)·g(x)−g(a)x−a

입니다. x→a일 때 : g(x)→g(a)(646번, g가 x=a에서 미분가능하므로 연속)이고 f(x)−f(a)x−a→f'(a)(642번)이므로, 8.2의 632번(곱의 극한)에 의해 첫째 항→g(a)f'(a); g(x)−g(a)x−a→g'(a)(642번)이므로 상수 f(a)를 곱한 둘째 항→f(a)g'(a)(632번, 상수배의 극한). 632번(합의 극한)에 의해

(fg)'(a) = g(a)f'(a) + f(a)g'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)

사용 : 8.2의 632번(극한의 성질) · 642번(미분계수의 정의) · 646번(미분가능 ⇒ 연속)

증명 끝

650정리몫의 미분법fg'(a) = f'(a)g(a)−f(a)g'(a)g(a)²  (g(a)≠0)

증명법 : 직접증명법(8.2의 632번⑷의 논증 재구성)

f, g가 x=a에서 미분가능하고 g(a)≠0이라 합시다(642번). g(a)≠0이고 646번에 의해 g(x)→g(a) (연속)이므로, 8.2의 632번⑷ 증명에서와 같은 논증으로 x가 a에 충분히 가까우면 g(x)≠0도 보장됩니다 ― 따라서 이 근방에서 (f/g)(x)가 정의됩니다. x≠a인 x에 대해

(f/g)(x)−(f/g)(a)x−a = f(x)g(a)−f(a)g(x)g(x)g(a)(x−a)

이고, 항등식 f(x)g(a)−f(a)g(x) = g(a)[f(x)−f(a)] − f(a)[g(x)−g(a)](우변을 전개하면 g(a)f(x)−g(a)f(a)−f(a)g(x)+f(a)g(a)이고, 가운데 두 항 −g(a)f(a)와 +f(a)g(a)가 상쇄되어 g(a)f(x)−f(a)g(x)로 좌변과 일치)를 대입하면

(f/g)(x)−(f/g)(a)x−a = g(a)·f(x)−f(a)x−a − f(a)·g(x)−g(a)x−ag(x)g(a)

입니다. x→a일 때 : 분자 → g(a)f'(a)−f(a)g'(a)(642번, 632번), 분모 g(x)g(a) → g(a)·g(a) = g(a)²(646번의 연속성과 632번의 곱의 극한), 그리고 g(a)²≠0이므로 8.2의 632번⑷(몫의 극한)에 의해

fg'(a) = f'(a)g(a)−f(a)g'(a)g(a)²

사용 : 8.2의 632번(극한의 성질) · 642번(미분계수의 정의) · 646번(미분가능 ⇒ 연속)

증명 끝

651정리합성함수의 미분법(연쇄법칙)(g∘f)'(a) = g'(f(a))·f'(a)

증명법 : 직접증명법(아래 univ-note의 예외적인 경우를 제외하면)

f가 x=a에서, g가 x=f(a)(이하 b:=f(a)라 둡시다)에서 각각 미분가능하다고 합시다(642번). 목표는 (8.1의 625번의 합성함수 표기 g∘f를 써서)

(g∘f)'(a) = limx→a g(f(x))−g(b)x−a

를 계산하는 것입니다. x≠a인 x 중, 일단 f(x)≠b인 경우만 다룹니다(«일단»이라 적은 이유는 아래 univ-note에서 다룹니다). 이때 f(x)−b≠0이므로 다음과 같이 나눌 수 있습니다 :

g(f(x))−g(b)x−a = g(f(x))−g(b)f(x)−b · f(x)−f(a)x−a

(우변을 통분하면 f(x)−b = f(x)−f(a)가 약분되어 좌변과 일치). x→a일 때 : f가 x=a에서 미분가능하므로 646번에 의해 연속이고, 따라서 f(x)→f(a)=b입니다. y:=f(x)로 놓으면 x→a에 따라 y→b이고, g(y)−g(b)y−b는 (642번을 g와 점 b에 적용한) g의 차분몫이므로 y→b에 따라 g'(b)에 수렴합니다 ― 이는 8.2의 639번⑵에서 쓴 것과 같은 «극한의 합성» 논증입니다. 둘째 인수 f(x)−f(a)x−a → f'(a)(642번)이므로, 8.2의 632번(곱의 극한)에 의해

(g∘f)'(a) = g'(b)·f'(a) = g'(f(a))·f'(a)

대학 위 증명은 «x≠a인 x 중 f(x)≠b인 경우만»이라는 단서를 달았습니다 ― 그 이유는, x가 a에 아무리 가까워져도 f(x)=b(즉 f(x)−f(a)=0)가 되는 x가 존재할 수 있기 때문입니다(예를 들어 f가 a 근처에서 진동하며 f(a)와 같은 값을 무한히 자주 취하는 경우 ― f 자신은 그런 경우에도 x=a에서 미분가능할 수 있습니다). 그런 x에서는 위 증명의 나눗셈 g(f(x))−g(b)f(x)−b이 분모가 0이 되어 정의되지 않으므로, 위 논증은 이 «예외적인» x들을 다루지 못한 채 남겨둡니다. 완전히 엄밀한 증명은 카라테오도리(Carathéodory)의 미분가능성의 동치 정의 ― f가 x=a에서 미분가능하다는 것은, x=a에서 연속이고 φ(a)=f'(a)를 만족시키는 함수 φ가 존재해 모든 x(x=a 포함)에 대해 f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)로 쓸 수 있다는 것과 동치 ― 를 이용해, f(x)−b로 나누는 과정 자체를 피하는 방식으로 진행됩니다. 대학 미적분학(해석학)의 표준적인 내용이며, 수능 준비생은 결론 (g∘f)'(a)=g'(f(a))f'(a)만 알면 충분합니다.

사용 : 642번(미분계수의 정의) · 646번 (미분가능 ⇒ 연속) · 8.2의 632번(극한의 성질) · 8.1의 625번(합성함수)

증명 끝