8.7 심화·배경
미분(dy)
Differential
정의 · 공식과 증명
8.3의 643번에서 라이프니츠 표기 dydx가 실제로는 두 «미분(differential)» dy, dx의 몫이 아니라 극한 과정 전체를 나타내는 관용 기호라고 예고하며, dy·dx 각각의 독립적인 의미는 이 절에서 정의하기로 미뤄 두었습니다. 이 절에서는 그 약속을 지켜 독립변수의 미분 dx(682번)와 함수의 미분 dy(683번)를 각각 독립적인 양으로 정의하고, dy가 실제로는 접선을 따라간 y의 변화량이라는 기하학적 의미(684번)를 밝힙니다. 이어서 이 dy가 실제 변화량 Δy를 얼마나 잘 근사하는지 그 오차의 크기를 642번(미분계수의 정의)만으로 엄밀하게 추정(685번)하여 선형근사 공식(686번)을 얻고, 8.3의 대수적 성질(648–651번)을 미분 표기로 다시 쓴 성질들(687번)을 확인한 뒤, 마지막으로 근사 계산에서 측정오차가 결과값에 어떻게 전파되는지(688번)를 살펴보며 이 절을 마무리합니다.
682정의독립변수의 미분dx := Δx
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. y=f(x)가 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의되어 있다고 합시다. 독립변수 x의 증분(0이 아니어도, 0이어도 되는 임의의 실수) Δx에 대해, 독립변수 x의 미분(differential)을
dx := Δx
로 정의합니다. 즉 독립변수의 미분은 그 증분 자체와 이름만 다를 뿐 같은 양입니다 ― 새로운 수치를 도입하는 것이 아니라, 곧 683번에서 dy를 정의할 때 짝을 맞추기 위한 표기상의 약속입니다.
사용 : 8.3의 642번(평균변화율의 Δx)
683정의함수의 미분dy := f'(a)dx
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. f가 x=a에서 미분가능(642번)하다고 합시다. 682번의 독립변수의 미분 dx에 대해, f의 x=a에서의 미분(differential) dy(또는 df로도 씀)를
dy := f'(a)·dx
로 정의합니다. dx≠0인 한 이 등식의 양변을 dx로 나눌 수 있고, 그러면
dydx = f'(a)
를 얻습니다 ― 8.3 f643에서 «극한 과정 전체를 나타내는 관용 기호»라고 불렀던 라이프니츠 표기가, dy와 dx를 각각 682·683번으로 독립적으로 정의하고 나면 실제로 두 미분의 몫이라는 문자 그대로의 의미도 (동시에) 갖게 됨을 확인한 것입니다 ― 두 해석이 모순되는 것이 아니라, 전자(극한 그 자체)가 먼저 있고 후자(비율로서의 표기)는 그 값과 우연히 일치하도록 이 절에서 dy, dx를 사후적으로 정의한 것입니다.
사용 : 8.3의 642번(미분계수의 정의) · 8.3의 643번(도함수의 표기법) · 682번(독립변수의 미분)
684정리미분의 기하학적 의미dy = 접선을 따라간 y의 변화량
증명법 : 직접증명법(647번의 접선의 방정식에 683번의 정의를 그대로 대입)
f가 x=a에서 미분가능하다고 합시다. 8.3의 647번(접선의 방정식)에 의해, f의 그래프의 x=a에서의 접선은
L(x) = f(a) + f'(a)(x−a)
입니다. x:=a+Δx(682번의 dx=Δx를 그대로 씀)로 놓으면, 이 접선이 x=a에서 x=a+Δx로 이동하는 동안 따라간 높이의 변화량은
L(a+Δx) − L(a) = [f(a) + f'(a)·Δx] − f(a) = f'(a)·Δx
이고, 이는 683번의 정의 dy=f'(a)dx=f'(a)Δx와 정확히 일치합니다 :
dy = L(a+Δx) − L(a)
즉 dy는 곡선 자체가 아니라 접선 위에서 x가 Δx만큼 움직일 때의 y의 변화량입니다. 이를 실제 곡선의 변화량
Δy := f(a+Δx) − f(a)
와 비교하면, 일반적으로 dy≠Δy입니다 ― 곡선이 직선이 아닌 한 접선과 곡선은 x=a를 벗어나면 서로 다른 높이를 가지기 때문입니다(둘 다 x=a에서는 같은 값 f(a)에서 출발하므로, x=a에서는 차이가 0입니다). 두 양의 정확한 관계는 685번에서 다룹니다.
f(x)=x, x=1에서의 접선. 곡선을 따라간 실제 변화량 Δy(파랑)와 접선을 따라간 변화량 dy(빨강)는 일반적으로 서로 다르며, 그 차이 Δy−dy(회색 괄호)가 근사오차입니다 ― 이 예에서는 x가 아래로 오목(위로 볼록)해 접선이 곡선보다 위에 있으므로 dy>Δy입니다
사용 : 8.3의 647번(접선의 방정식) · 682번 · 683번
증명 끝
685정리근사오차의 크기 ― Δy−dy는 Δx보다 빨리 0에 수렴limΔx→0 Δy−dyΔx = 0
증명법 : 직접증명법(642번의 정의를 그대로 재구성)
f가 x=a에서 미분가능하다고 합시다. Δx≠0에 대해, 684번의 두 양 Δy=f(a+Δx)−f(a), dy=f'(a)Δx를 이용해 다음 비를 계산합니다 :
Δy−dyΔx = f(a+Δx)−f(a)−f'(a)ΔxΔx = f(a+Δx)−f(a)Δx − f'(a)
(분자를 두 항으로 쪼갠 뒤 Δx로 각각 나눔). 642번에서 h:=Δx로 치환한 극한 형태 f'(a) = limΔx→0 f(a+Δx)−f(a)Δx를 그대로 쓰면, Δx→0일 때 위 식의 첫째 항은 f'(a)로 수렴하므로
limΔx→0 Δy−dyΔx = f'(a) − f'(a) = 0
을 얻습니다. 즉 근사오차 Δy−dy는 Δx→0에 따라 단순히 0으로 수렴할 뿐 아니라, Δx로 나눈 뒤에도 0으로 수렴합니다 ― 오차 자체가 Δx와 같은 속도가 아니라 그보다 빠르게 0에 다가간다는 뜻입니다. 이 사실이 686번(선형근사)에서 Δy≈dy라는 근사를 정당화하는 근거입니다.
사용 : 8.3의 642번(미분계수의 정의) · 684번(Δy, dy의 정의)
증명 끝
686정리선형근사(1차 근사) 공식f(a+Δx) ≈ f(a) + f'(a)Δx (|Δx|가 작을 때)
증명법 : 직접증명법(685번의 재배열)
685번에 의해 Δx가 0에 가까워질수록 Δy−dy는 Δx보다 빠르게 0에 다가가므로, |Δx|가 충분히 작을 때는 Δy−dy≈0, 즉
Δy ≈ dy
로 근사할 수 있습니다. Δy=f(a+Δx)−f(a), dy=f'(a)Δx(683번)를 대입하면
f(a+Δx) − f(a) ≈ f'(a)·Δx ⇔ f(a+Δx) ≈ f(a) + f'(a)·Δx
를 얻습니다. 이는 8.3 f647(접선의 방정식)의 우변과 같은 식으로 ― 결국 접선의 높이로 곡선의 실제 높이를 근사하는 것입니다 ― a 근방에서 f를 그 점에서의 접선(일차식)으로 갈음하기 때문에 1차 근사(선형근사, linear approximation)라 부릅니다.
예시. f(x):=x로 50의 근삿값을 구해 봅시다. a=49(f(49)=7로 계산이 쉬움), Δx=1로 잡으면, 8.4의 f′(x)=12x(x−a에서 나온 공식, 653번의 지수 12인 경우)에서
| f'(49) = 1249 = 114 | 49=7 |
| 50 = f(49+1) ≈ f(49) + f'(49)·1 = 7 + 114 = 9914 ≈ 7.0714 | 위 근사식(a=49, Δx=1) |
실제 값 50≈7.0711(소수점 넷째 자리)과 비교하면 오차가 약 0.0004에 불과합니다 ― Δx=1이 크지 않은 값이라 이미 상당히 정확하고, Δx를 더 작게 잡을수록 685번에 의해 오차는 더 빠르게 줄어듭니다.
사용 : 685번(근사오차의 크기) · 683번 · 8.3의 647번(접선의 방정식) · 8.4의 653번(거듭제곱함수의 도함수)
증명 끝
687정리미분의 대수적 성질d(f±g)=df±dg, d(fg)=f·dg+g·df, d(g∘f)=g'(f(x))·df
증명법 : 직접증명법(8.3의 648–651번에 683번의 정의를 대입)
683번의 정의 dy=f'(x)dx를 f, g 및 이들의 조합에 그대로 적용하면, 8.3에서 이미 증명한 도함수의 대수적 성질이 곧바로 미분(differential)의 성질로 옮겨집니다 :
| d(f±g) := (f±g)'dx = (f'±g')dx = f'dx ± g'dx = df ± dg | 8.3의 648번(선형성) |
| d(cf) := (cf)'dx = c·f'dx = c·df (c는 상수) | 8.3의 648번 |
| d(fg) := (fg)'dx = (f'g+fg')dx = g·(f'dx) + f·(g'dx) = g·df + f·dg | 8.3의 649번(곱의 미분법) |
| dfg := fg'dx = f'g−fg'g²dx = g·df − f·dgg² (g≠0) | 8.3의 650번(몫의 미분법) |
합성함수 g∘f의 경우, u:=f(x)라 두면 8.3의 651번(연쇄법칙)에 의해 (g∘f)'(x) = g'(f(x))·f'(x) = g'(u)·f'(x)이므로
d(g∘f) := (g∘f)'(x)dx = g'(u)·f'(x)dx = g'(u)·du
입니다(마지막 등호는 683번을 f와 독립변수 x에 적용해 du=f'(x)dx로 쓴 것). 흥미로운 점은, u를 x의 함수로 보고 얻은 du=f'(x)dx를 대입한 이 식이, 만약 u 자체를 독립변수로 여기고 g의 미분을 정의했을 때의 식 dg=g'(u)du와 형태가 완전히 같다는 것입니다.
사용 : 8.3의 648번(선형성) · 649번(곱의 미분법) · 650번(몫의 미분법) · 651번(연쇄법칙) · 683번
증명 끝
688정리근사 계산에의 응용 ― 오차의 전파y=f(x)의 절대오차 ≈ |f'(x)|·Δx, 상대오차 ≈ f'(x)Δxf(x)
증명법 : 직접증명법(686번의 재해석)
독립변수 x를 실제로 측정할 때, 그 측정에 (양수인) 절대오차 Δx=dx가 있다고 합시다. y=f(x)라는 계산된 값에도 오차가 전파되는데, 686번(선형근사)에 의해 그 결과값의 변화량은
Δy ≈ dy = f'(x)·dx
로 근사되므로, y의 절대오차(absolute error)는 대략 |f'(x)|·dx이고, y의 상대오차(relative error, y≠0인 경우)는
Δyy ≈ dyy = f'(x)·dxf(x)
로 근사됩니다.
예시. 반지름 r인 원의 넓이 A(r)=πr²를 생각합시다(초등 도형에서 이미 익힌 공식). 반지름을 r=10로 측정했는데 Δr=0.2만큼의 오차가 있었다면, A'(r)=2πr(653번의 지수 2 경우에 653·648번을 적용)이므로
| dA = A'(10)·Δr = 2π·10·0.2 = 4π | 위 절대오차 근사식 |
| dAA(10) = 4π100π = 0.04 (4%) | 위 상대오차 근사식, A(10)=100π |
즉 반지름의 측정 상대오차가 Δrr = 0.210 = 2%이면, 넓이의 상대오차는 그 두 배인 4%로 전파됩니다 ― A가 r의 이차식(r²)이라는 사실이 상대오차를 2배로 증폭시키는 것으로, 지수 법칙 d(r²)r² = 2drr 형태로도 이해할 수 있습니다(687번의 곱의 미분법을 r·r에 적용해도 같은 결론).
사용 : 686번(선형근사) · 8.4의 653번(거듭제곱함수의 도함수) · 8.3의 648번(선형성) · 687번
증명 끝