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8.6   수능 핵심

도함수의 활용

Applications of Derivative

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 도함수를 이용해 함수의 그래프를 분석하는 핵심 도구들을 확립합니다. 먼저 극값(669번)을 정의하고 그 필요조건인 페르마의 정리(670번)를 증명한 뒤, 이를 발판으로 롤의 정리(671번)와 평균값 정리(672번, 8.3의 647번 접선 논의의 자연스러운 확장)를 얻습니다. 평균값 정리의 따름정리(673번)로 도함수의 부호와 8.1의 623번(단조함수의 정의)이 말하는 증가·감소를 직접 연결하고, 이를 이용해 극값의 제1차 도함수 판정법(674번)을 세웁니다. 이어서 오목·볼록을 접선의 위치로 정의(675번)하고 이것이 도함수의 증가·감소와 동치임을 증명(676번)하여 이계도함수 판정법(677번)을 얻고, 변곡점(678번)의 필요조건(679번)을 페르마의 정리를 도함수 자신에 적용하는 방식으로 증명합니다. 극값의 제2차 도함수 판정법(680번)을 세운 뒤, 마지막으로 8.2의 641번(최대·최소 정리)이 보장하는 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값을 실제로 구하는 절차(681번)로 이 절을 마무리합니다.

669정의극값 — 극대·극소와 임계점x=c 근방의 모든 x에서 f(c)≥f(x) (극대) 또는 f(c)≤f(x) (극소)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f의 정의역에 속하는 열린구간에 x=c가 포함되어 있다고 합시다(즉 c는 정의역의 내부점입니다). c를 중심으로 하는 어떤 열린구간이 존재하여, 그 구간에 속하는 모든 x(정의역과의 교집합)에 대해 —

f(c)≥f(x)가 성립하면 f는 x=c에서 극댓값(local maximum) f(c)를 갖는다(또는 극대라)고 하고,

f(c)≤f(x)가 성립하면 f는 x=c에서 극솟값(local minimum) f(c)를 갖는다(또는 극소라)고 합니다.

극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(local extreme value)이라 하고, 그런 x=c를 극점(extreme point)이라 부릅니다. 8.2의 641번(최대·최소 정리)이 다루는 «최댓값·최솟값(global maximum·minimum, 구간 전체에서의 값)»과는 다른 개념임에 주의합니다 ― 극값은 c 근방이라는 국소적인(local) 비교이고, 최댓값·최솟값은 정의역(또는 주어진 구간) 전체와의 전역적인(global) 비교입니다. 최댓값은 항상 극댓값이거나 구간의 끝점에서의 값이지만(681번에서 이 관계를 실제로 사용합니다), 극댓값이라고 해서 항상 최댓값인 것은 아닙니다.

함수 f가 x=c에서 정의되어 있고, f′(c)=0이거나 f′(c)가 존재하지 않는 경우, c를 f의 임계점(critical number 또는 critical point)이라 부릅니다. 670번(페르마의 정리)이 보이듯, f가 미분가능한 경우의 극점은 반드시 임계점입니다 ― 임계점이라는 개념은 «극점일 가능성이 있는 후보»를 모아 놓은 더 넓은 집합입니다.

₁, f(c₁))극소 (c₂, f(c₂))c 근방에서만 최대·최소이면 충분 — 구간 전체의 최댓값·최솟값과는 다름

c₁ 근방에서는 f(c₁)가 가장 크고(극대), c₂ 근방에서는 f(c₂)가 가장 작습니다(극소) ― 둘 다 그래프 전체를 놓고 보면 최댓값·최솟값이 아닐 수 있습니다

670정리페르마의 정리(극값의 필요조건)f가 x=c에서 극값을 갖고 미분가능 ⇒ f′(c)=0

증명법 : 귀류법

f가 x=c에서 극댓값을 갖고(669번), c에서 미분가능하다고 합시다(극솟값인 경우는 −f에 적용하면 같은 논증이 성립합니다). f′(c)≠0이라 가정하고 모순을 이끌어내겠습니다.

642번(미분계수의 정의)에 의해 f′(c) = limx→c f(x)−f(c)x−c이고, 이 값이 0이 아니므로 f′(c)>0 또는 f′(c)<0 중 하나입니다.

① f′(c)>0인 경우. 극한값이 양수이므로, 629번(극한의 정의 ― x가 c에 충분히 가까우면 차분몫의 값도 f′(c)에 충분히 가까워짐)에 의해, c를 중심으로 하는 어떤 열린구간이 존재하여 그 구간에 속하는 모든 x≠c에 대해

f(x)−f(c)x−c > 0

이 성립합니다(값이 f′(c)>0에 충분히 가까우면 특히 0보다 큽니다). 이 구간에서 c보다 오른쪽의 x를 하나 택하면 x−c>0이므로, 위 부등식의 양변에 (x−c)를 곱하면 f(x)−f(c)>0, 즉 f(x)>f(c)입니다. 이는 f(c)가 극댓값(c 근방의 모든 x에 대해 f(c)≥f(x))이라는 가정과 모순됩니다.

② f′(c)<0인 경우. 마찬가지로 c를 중심으로 하는 어떤 열린구간에서 모든 x≠c에 대해 차분몫이 음수이고, 이번에는 이 구간에서 c보다 왼쪽의 x를 택하면 x−c<0이므로 부등식의 방향이 뒤집혀 f(x)−f(c)>0, 즉 f(x)>f(c)를 얻습니다. 역시 f(c)가 극댓값이라는 가정과 모순입니다.

①, ② 모두 모순이므로, f′(c)≠0이라는 가정은 틀렸습니다. 귀류법에 의해 f′(c)=0입니다.

대학 이 정리의 역은 성립하지 않습니다 ― f′(c)=0이라고 해서 c가 항상 극점인 것은 아닙니다(예 : f(x)=x³는 f′(0)=0이지만 x=0은 극값이 아닙니다 ― 674번에서 이 예를 다시 다룹니다). 또한 이 정리는 c가 정의역의 내부점이어야만 성립합니다 ― 닫힌구간 [a,b]의 끝점 a, b에서는 한쪽 방향의 근방만 존재하므로 위 증명의 «c보다 왼쪽·오른쪽 모두에서 x를 택한다»는 단계가 불가능해, 끝점에서는 f′≠0이면서도 극값(편측 극값)을 가질 수 있습니다. 681번(닫힌구간의 최댓값·최솟값)에서 끝점을 후보에서 빠뜨리지 않는 이유가 바로 이것입니다.

사용 : 8.3의 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 629번(극한의 정의) · 669번(극값의 정의) · 선행학습 귀류법

증명 끝

671정리롤의 정리(Rolle's Theorem)f가 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분가능, f(a)=f(b) ⇒ f′(c)=0인 c∈(a,b) 존재

증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임

f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속(8.2의 638번)이고, 열린구간 (a,b)에서 미분가능하며, f(a)=f(b)라 합시다.

f는 [a,b]에서 연속이므로, 8.2의 641번(최대·최소 정리)에 의해 f는 [a,b]에서 최댓값 M과 최솟값 m을 (적어도 하나씩) 갖습니다.

① M=m인 경우. 이는 f가 [a,b] 전체에서 상수함수(항상 M)라는 뜻입니다. 그러면 (a,b)에 속하는 임의의 c에 대해 f′(c)=0입니다(상수함수의 도함수, 8.4의 652번과 같은 논증―모든 차분몫이 항상 0이므로 그 극한도 0). (a,b)≠∅(즉 a<b)이므로 그런 c가 실제로 존재합니다.

② M≠m인 경우. f(a)=f(b)이므로 M과 m 중 적어도 하나는 f(a)(=f(b))와 다른 값입니다(둘 다 f(a)와 같다면 M=f(a)=m이 되어 ①의 경우이므로). 일반성을 잃지 않고 M≠f(a)라 합시다(m≠f(a)인 경우도 부호만 바뀔 뿐 완전히 같은 논증입니다). 그러면 M을 달성하는 점 c(즉 f(c)=M)는 a도 b도 아니므로 ― f(a)=f(b)인데 M≠f(a)=f(b)이기 때문입니다 ― c∈(a,b)인 내부점입니다.

이 c에서 f(c)=M은 [a,b] 전체의 최댓값이므로, 특히 c 근방에서도 f(c)가 가장 크며(669번의 극댓값 조건이 곧바로 성립), f는 c에서 극댓값을 갖습니다. c는 (a,b)의 내부점이고 f는 (a,b)에서 미분가능하므로, 670번(페르마의 정리)의 가정이 모두 충족되어

f′(c) = 0

입니다. 즉 f′(c)=0인 c∈(a,b)가 (적어도 하나) 존재합니다.

f(a)=f(b)이면, [a,b]에서의 최댓값(또는 최솟값)이 끝점이 아닌 내부점 c에서 달성되어야 하고, 그 c에서는 접선이 수평(f′(c)=0)입니다

사용 : 8.2의 638번(연속의 정의) · 8.2의 641번(최대·최소 정리) · 669번(극값의 정의) · 670번(페르마의 정리)

증명 끝

672정리평균값 정리(라그랑주, Mean Value Theorem)f가 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분가능 ⇒ f′(c) = f(b)−f(a)b−a인 c∈(a,b) 존재

증명법 : 존재할 수밖에 없다는 것을 보임(671번 롤의 정리로 환원)

f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하다고 합시다. 8.3의 647번에서 본 것처럼, 두 점 (a,f(a)), (b,f(b))를 잇는 할선의 기울기는 f(b)−f(a)b−a입니다. 이 할선과 f의 «차이»를 재는 보조함수를 도입합니다 :

g(x) := f(x) − f(a) − f(b)−f(a)b−a·(x−a)

g는 f에서 (x에 대해 일차식인) 할선의 방정식을 뺀 것이므로, 8.3의 648번(선형성)에 의해 g도 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능합니다. 또한

g(a) = f(a) − f(a) − f(b)−f(a)b−a·(a−a) = 0	둘째 항이 0, 셋째 항의 인수 (a−a)=0
g(b) = f(b) − f(a) − f(b)−f(a)b−a·(b−a) = f(b)−f(a)−(f(b)−f(a)) = 0	셋째 항에서 (b−a)가 분모와 약분

이므로 g(a)=g(b)=0, 즉 g(a)=g(b)입니다. g는 671번(롤의 정리)의 모든 가정을 만족하므로, g′(c)=0인 c∈(a,b)가 존재합니다. 한편 648번(선형성)에 의해

g′(x) = f′(x) − f(b)−f(a)b−a

이므로(상수 f(b)−f(a)b−a를 x에 대한 일차식 −f(b)−f(a)b−a·(x−a)의 도함수로 미분한 것), g′(c)=0은 곧

f′(c) − f(b)−f(a)b−a = 0   ⇔   f′(c) = f(b)−f(a)b−a

를 뜻합니다. 즉 그러한 c∈(a,b)가 존재합니다. (참고로 671번 롤의 정리는 f(a)=f(b)인 특수한 경우로, 이때 할선의 기울기가 0이 되어 이 정리에 정확히 포함됩니다.)

할선 (a,f(a))–(b,f(b))과 평행한 접선을 갖는 점 c가 (a,b)에 적어도 하나 존재합니다 ― «평균»변화율이 어떤 순간의 변화율과 정확히 같아지는 순간이 있다는 뜻

사용 : 671번(롤의 정리) · 8.3의 647번(접선의 방정식, 할선의 기울기) · 8.3의 648번(선형성)

증명 끝

673정리672번의 따름정리 — 도함수의 부호와 함수의 증가·감소·상수f′>0 (구간에서 항상) ⇒ 증가, f′<0 ⇒ 감소, f′=0 ⇒ 상수

증명법 : 직접증명법(672번의 직접 적용)

f가 구간 I에서 연속이고, I의 내부(양 끝점을 제외한 부분)에서 미분가능하다고 합시다. I에 속하는 임의의 x₁<x₂를 잡으면, f는 [x₁,x₂]에서 연속이고 (x₁,x₂)에서 미분가능하므로, 672번(평균값 정리)에 의해

f′(c) = f(x₂)−f(x₁)x₂−x₁

인 c∈(x₁,x₂)⊆I가 존재합니다. x₂−x₁>0이므로, 이 등식의 양변에 (x₂−x₁)을 곱하면

f(x₂)−f(x₁) = f′(c)·(x₂−x₁)

를 얻습니다. 우변의 부호는 f′(c)의 부호와 정확히 같습니다((x₂−x₁)>0이므로).

I에서 항상 f′>0이면	I에서 항상 f′<0이면	I에서 항상 f′=0이면
f′(c)>0이므로 f(x2)−f(x1)>0, 즉 f(x1)<f(x2)	f′(c)<0이므로 f(x2)−f(x1)<0, 즉 f(x1)>f(x2)	f′(c)=0이므로 f(x2)−f(x1)=0, 즉 f(x1)=f(x2)

x₁<x₂는 I에서 임의로 잡은 두 점이므로, 8.1의 623번(단조함수의 정의)에 의해 — 첫째 경우는 f가 I에서 증가함수, 둘째 경우는 감소함수임을, 셋째 경우는 f(x₁)=f(x₂)가 I의 모든 두 점에서 성립하므로 f가 I에서 상수함수임을 — 뜻합니다.

수능에서 실제로 쓰는 절차는 이 정리를 역방향으로 이용하는 것입니다 ― f′(x)의 부호를 (임계점을 경계로 나눈 구간별로) 조사해, 그 구간에서 f가 증가하는지 감소하는지를 계산으로 판정합니다.

사용 : 672번(평균값 정리) · 8.1의 623번(단조함수의 정의)

증명 끝

674정리극값의 제1차 도함수 판정법x=c에서 f′의 부호가 +→−로 바뀌면 극대, −→+로 바뀌면 극소

증명법 : 직접증명법(673번의 직접 적용)

f가 x=c에서 연속이고, c를 제외한 어떤 열린구간 (c−δ,c+δ)에서 미분가능하다고 합시다.

① (c−δ,c)에서 f′>0이고 (c,c+δ)에서 f′<0인 경우. 673번에 의해 f는 [c−δ,c]에서 증가함수, [c,c+δ]에서 감소함수입니다(닫힌 끝점에서의 연속성으로 구간의 양 끝까지 그대로 확장됩니다). 따라서 (c−δ,c)의 임의의 x에 대해 f(x)<f(c)이고(c에서 증가함수이므로), (c,c+δ)의 임의의 x에 대해서도 f(c)>f(x)(c에서 감소함수이므로)입니다. 즉 (c−δ,c+δ)의 모든 x에 대해 f(c)≥f(x)이므로, 669번(극값의 정의)에 의해 f는 x=c에서 극댓값을 갖습니다.

② (c−δ,c)에서 f′<0이고 (c,c+δ)에서 f′>0인 경우. 완전히 같은 논증을 부등호만 바꿔 적용하면(f는 c 왼쪽에서 감소, 오른쪽에서 증가) (c−δ,c+δ)의 모든 x에 대해 f(c)≤f(x)이므로, f는 x=c에서 극솟값을 갖습니다.

부호가 바뀌지 않는 경우(예 : 양쪽 모두 f′>0)는 673번에 의해 f가 c를 사이에 두고도 계속 증가(또는 감소)하는 것이므로 c에서 극값을 갖지 않습니다 ― f(x)=x³가 x=0에서 f′(0)=0이지만 극값이 아닌 것이 바로 이 경우입니다(f′(x)=3x²≥0으로 부호가 바뀌지 않음, 670번의 university-note에서 예고한 예).

f′의 부호가 +→−로 바뀌면 극대(왼쪽), −→+로 바뀌면 극소(오른쪽) ― 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아닙니다

사용 : 673번(도함수의 부호와 증가·감소) · 669번(극값의 정의) · 670번(페르마의 정리)

증명 끝

675정의오목함수·볼록함수(접선과 그래프의 위치 관계)모든 x≠x₀에서 f(x) > f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀) (아래로 볼록), 부등호 반대(위로 볼록)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 구간 I에서 미분가능하다고 합시다. I에 속하는 점 x₀에서의 접선의 방정식은 8.3의 647번에 의해 y=f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀)입니다. I에 속하는 모든 점 x₀에서, x₀을 제외한 I의 모든 x에 대해 —

f(x) > f(x₀) + f′(x₀)(x−x₀)

가 성립하면(그래프가 그 점에서의 접선보다 항상 위에 있으면) f는 I에서 아래로 볼록(convex)하다고 하고,

f(x) < f(x₀) + f′(x₀)(x−x₀)

가 성립하면(그래프가 그 점에서의 접선보다 항상 아래에 있으면) f는 I에서 위로 볼록(concave)하다고 합니다. 아래로 볼록한 그래프는 그릇처럼 오목한 쪽이 위를 향하고(∪ 모양), 위로 볼록한 그래프는 그 반대(∩ 모양)입니다.

아래로 볼록(왼쪽)은 접선이 그래프보다 항상 아래, 위로 볼록(오른쪽)은 접선이 그래프보다 항상 위 ― 두 경우 모두 그림의 접선은 그래프와 접점 한 곳에서만 만납니다

사용 : 8.3의 647번(접선의 방정식)

676정리오목·볼록의 판정 — 도함수의 증가·감소와 동치f가 I에서 아래로 볼록 ⇔ f′이 I에서 증가함수

증명법 : 쌍조건문의 증명(양방향)

f가 구간 I에서 미분가능하다고 합시다. «f가 I에서 아래로 볼록(675번)»과 «f′이 I에서 증가함수(8.1의 623번)»가 서로 동치임을 양방향으로 보입니다.

(⇒) f가 아래로 볼록이면 f′은 증가함수. I에 속하는 임의의 x₁<x₂를 잡습니다. 675번(아래로 볼록의 정의)을 x₀=x₁일 때 x=x₂에 적용하면

f(x₂) > f(x₁) + f′(x₁)(x₂−x₁)  ―  ①

이고, x₀=x₂일 때 x=x₁에 적용하면

f(x₁) > f(x₂) + f′(x₂)(x₁−x₂)  ―  ②

입니다. ①과 ②의 양변을 각각 더하면

f(x₁)+f(x₂) > f(x₁)+f(x₂) + f′(x₁)(x₂−x₁) + f′(x₂)(x₁−x₂)

이고, 양변에서 f(x₁)+f(x₂)를 소거하면

0 > f′(x₁)(x₂−x₁) − f′(x₂)(x₂−x₁) = (x₂−x₁)·(f′(x₁)−f′(x₂))

x₂−x₁>0이므로 양변을 이 값으로 나누면 0>f′(x₁)−f′(x₂), 즉 f′(x₁)<f′(x₂)입니다. x₁<x₂는 임의였으므로, 623번에 의해 f′은 I에서 증가함수입니다.

(⇐) f′이 증가함수이면 f는 아래로 볼록. I에 속하는 임의의 x₀과, x₀이 아닌 임의의 x∈I를 잡습니다. x>x₀인 경우를 먼저 봅니다. f는 [x₀,x]에서 연속이고 미분가능하므로, 672번(평균값 정리)에 의해

f(x)−f(x₀) = f′(c)(x−x₀)

인 c∈(x₀,x)가 존재합니다. c>x₀이고 f′이 증가함수이므로 f′(c)>f′(x₀)이고, x−x₀>0이므로 양변에 곱해도 부등호가 유지되어

f(x)−f(x₀) = f′(c)(x−x₀) > f′(x₀)(x−x₀)

즉 f(x) > f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀)입니다. x<x₀인 경우도 [x,x₀]에 평균값 정리를 적용하면 c∈(x,x₀)에서 f′(c)<f′(x₀)(c<x₀이므로)이고, 이번에는 x−x₀<0이므로 부등식의 양변에 곱하면 부호가 뒤집혀 역시

f(x)−f(x₀) = f′(c)(x−x₀) > f′(x₀)(x−x₀)

를 얻습니다(음수 f′(c)−f′(x₀)에 음수 x−x₀를 곱해 양의 방향으로 부등호가 유지). 두 경우 모두 675번의 부등식이 성립하므로, f는 I에서 아래로 볼록입니다.

양방향이 모두 성립하므로 두 명제는 동치입니다. (위로 볼록인 경우도 부등호 방향만 바꾸면 완전히 같은 논증이 적용되어, 위로 볼록 ⇔ f′이 감소함수입니다.)

사용 : 675번(오목·볼록의 정의) · 8.1의 623번(단조함수의 정의) · 672번(평균값 정리)

증명 끝

677정리676번의 따름정리 — 이계도함수를 이용한 오목·볼록 판정법f″>0 (구간에서 항상) ⇒ 아래로 볼록, f″<0 ⇒ 위로 볼록

증명법 : 직접증명법(673·676번의 연쇄 적용)

f가 구간 I에서 두 번 미분가능하고(8.5의 663번), I에서 항상 f″>0이라 합시다. f″=(f′)′이므로, 이는 곧 함수 g:=f′이 I에서 항상 g′>0임을 뜻합니다. 673번(도함수의 부호와 증가·감소, g에 그대로 적용)에 의해 g=f′은 I에서 증가함수입니다. 그러면 676번((⇐) 방향)에 의해 f는 I에서 아래로 볼록입니다.

I에서 항상 f″<0인 경우도 완전히 같은 논증으로 g=f′이 I에서 감소함수임을 얻고, 676번에 의해(위로 볼록 ⇔ f′ 감소인 경우) f는 I에서 위로 볼록입니다.

673번이 «f′의 부호로 f 자신의 증가·감소를 판정»했던 것과 완전히 같은 구조로, 이 정리는 «f″의 부호로 f′의 증가·감소(즉 f의 오목·볼록)를 판정»합니다 ― 673번을 f 대신 f′에 적용한 것이 이 증명의 전부입니다.

사용 : 673번(도함수의 부호와 증가·감소) · 676번(오목·볼록의 판정) · 8.5의 663번(n계도함수의 정의)

증명 끝

678정의변곡점(Inflection Point)x=c에서 연속이고, 그 좌우에서 오목·볼록이 서로 뒤바뀌는 점 (c,f(c))

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 x=c에서 연속이라 합시다. 어떤 δ>0이 존재하여, f가 (c−δ,c)에서는 위로 볼록(또는 아래로 볼록)이고 (c,c+δ)에서는 그 반대로 아래로 볼록(또는 위로 볼록)이면(675번, 즉 x=c를 지나면서 오목성의 방향이 뒤바뀌면), 점 (c,f(c))를 f의 변곡점(inflection point)이라 하고, x=c를 f의 변곡점의 x좌표라 부릅니다.

x=c의 왼쪽에서는 위로 볼록, 오른쪽에서는 아래로 볼록으로 오목성이 뒤바뀝니다 ― 이 점에서는 접선이 그래프를 (접하면서) 가로지릅니다

679정리변곡점의 필요조건(c,f(c))가 변곡점이고 f″(c)가 존재 ⇒ f″(c)=0

증명법 : 직접증명법(670번 페르마의 정리를 f′에 적용)

(c,f(c))가 f의 변곡점이고, f″(c)가 존재한다고 합시다. 678번에 의해 f는 (c−δ,c)와 (c,c+δ)에서 서로 반대의 오목성을 갖습니다. 일반성을 잃지 않고 (c−δ,c)에서는 위로 볼록(f′ 감소, 676번), (c,c+δ)에서는 아래로 볼록(f′ 증가)이라 합시다(반대 경우도 부호만 바뀔 뿐 같은 논증입니다). g := f′로 둡니다.

f″(c)가 존재한다는 것은 곧 g가 x=c에서 미분가능하다는 뜻이고, 8.3의 646번(미분가능이면 연속)에 의해 g는 x=c에서 연속입니다.

① c의 왼쪽. g=f′은 (c−δ,c)에서 감소함수이므로, 623번(단조함수의 정의)에 의해 이 구간에 속하는 임의의 x₁<x₂에 대해 g(x₁)>g(x₂)가 성립합니다. x₂→c−로 극한을 취하면(x₁은 고정), g가 x=c에서 연속이므로 limx₂→c−g(x₂)=g(c)이고, 8.2의 633번(극한값의 대소 관계 ― 부등식이 극한에서도 유지)에 의해 g(x₁)≥g(c)를 얻습니다. x₁은 (c−δ,c)에서 임의였으므로, 이 구간의 모든 x에서 g(x)≥g(c)입니다.

② c의 오른쪽. 같은 방식으로, g는 (c,c+δ)에서 증가함수이므로 이 구간의 임의의 x₁<x₂에 대해 g(x₁)<g(x₂)이고, 이번에는 x₁→c+로 극한을 취하면(x₂는 고정) g(x₂)≥g(c)를 얻습니다. 즉 이 구간의 모든 x에서도 g(x)≥g(c)입니다.

①, ②를 종합하면 (c−δ,c+δ)의 모든 x에서 g(x)≥g(c)이므로, 669번(극값의 정의)에 의해 g=f′은 x=c에서 극솟값을 갖습니다. g는 x=c에서 미분가능(가정)하므로, 670번(페르마의 정리)을 g에 적용하면

g′(c) = 0   ⇔   f″(c) = 0

입니다(반대 경우, 즉 왼쪽이 아래로 볼록·오른쪽이 위로 볼록이면 같은 논증으로 g=f′이 x=c에서 극댓값을 가지며, 역시 페르마의 정리에 의해 g′(c)=f″(c)=0입니다).

대학 역은 성립하지 않습니다 ― f″(c)=0이라고 해서 (c,f(c))가 항상 변곡점인 것은 아닙니다(예 : f(x)=x⁴은 f″(0)=0이지만 f″(x)=12x²≥0으로 부호가 바뀌지 않아 x=0 좌우 모두 아래로 볼록, 즉 변곡점이 아닙니다). 실전에서는 f″(c)=0인 후보 c를 구한 뒤, 680번(제2차 도함수 판정법)에서와 마찬가지로 그 좌우에서 실제로 f″의 부호가 바뀌는지(또는 677번을 이용해 오목성이 실제로 바뀌는지)를 별도로 확인해야 합니다.

사용 : 678번(변곡점의 정의) · 676번(오목·볼록의 판정) · 8.3의 646번(미분가능이면 연속) · 8.1의 623번(단조함수의 정의) · 8.2의 633번(극한값의 대소 관계) · 669번(극값의 정의) · 670번(페르마의 정리)

증명 끝

680정리극값의 제2차 도함수 판정법f′(c)=0이고 f″(c)>0이면 극소, f″(c)<0이면 극대

증명법 : 직접증명법(674번으로 환원)

f′(c)=0이고 f″(c)가 존재한다고 합시다(f″(c)가 존재하려면 f′이 c 근방에서 정의되어 있어야 합니다, 8.5의 663번). f′(c)=0이므로, 8.5의 664번 표기를 잠시 빌리면

f″(c) = limx→c f′(x)−f′(c)x−c = limx→c f′(x)x−c

입니다(f′(c)=0이므로 분자에서 그 항이 사라짐, 642번을 g:=f′에 적용한 것).

① f″(c)>0인 경우. 이 극한값이 양수이므로, 629번(극한의 정의)에 의해 c를 중심으로 하는 어떤 열린구간이 존재하여 그 구간의 모든 x≠c에 대해 f′(x)x−c>0입니다 ― 즉 f′(x)와 (x−c)가 항상 같은 부호를 갖습니다. c보다 왼쪽(x<c, 즉 x−c<0)에서는 f′(x)<0이고, c보다 오른쪽(x>c)에서는 f′(x)>0입니다. 이는 674번(제1차 도함수 판정법)의 −→+ 패턴과 정확히 일치하므로, f는 x=c에서 극솟값을 갖습니다.

② f″(c)<0인 경우. 같은 방식으로 c 왼쪽에서 f′(x)>0, 오른쪽에서 f′(x)<0을 얻고, 674번의 +→− 패턴과 일치하므로 f는 x=c에서 극댓값을 갖습니다.

f″(c)=0인 경우는 판정 불가능합니다 ― 위 논증이 성립하려면 극한값이 0이 아니어야 하기 때문입니다. 실제로 f(x)=x⁴은 f′(0)=f″(0)=0이지만 x=0에서 극솟값을 갖고, f(x)=−x⁴은 같은 조건에서 극댓값을 가지며, f(x)=x³은 같은 조건에서 극값을 전혀 갖지 않습니다 ― 세 가지가 모두 가능하므로 이 경우는 674번(제1차 도함수 판정법)으로 직접 판정해야 합니다.

사용 : 674번(제1차 도함수 판정법) · 8.3의 642번(미분계수의 정의) · 8.2의 629번(극한의 정의) · 8.5의 663번·664번

증명 끝

681정리닫힌구간에서의 최댓값·최솟값 구하기후보 = (a,b)의 임계점들 ∪ {a,b} — 그중 f값이 가장 큰(작은) 곳이 최댓값(최솟값)

증명법 : 직접증명법(670번으로 후보를 좁힘)

f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이라 합시다. 8.2의 641번(최대·최소 정리)에 의해 f는 [a,b]에서 최댓값과 최솟값을 (적어도 하나씩) 반드시 갖습니다 ― 존재성은 이미 보장되어 있으므로, 남은 일은 그 값이 어디서 달성되는지 후보를 추려내는 것뿐입니다.

f(c)가 [a,b]에서의 최댓값(최솟값인 경우도 부호만 바뀔 뿐 같은 논증)이라 하고, c가 어디에 있는지 두 가지로 나누어 봅니다.

① c가 내부점(c∈(a,b))인 경우. f(c)≥f(x)가 [a,b]의 모든 x에서 성립하므로, 특히 c 근방의 x에서도 성립합니다. 669번(극값의 정의)에 의해 f는 x=c에서 극댓값을 갖습니다. 이제 c에서 f가 미분가능한지 아닌지로 다시 나눕니다 : 미분가능하면 670번(페르마의 정리)에 의해 f′(c)=0이고, 미분가능하지 않으면 669번에서 정의한 임계점의 정의(f′가 존재하지 않는 점)에 곧바로 해당합니다. 어느 쪽이든 c는 (a,b)의 임계점입니다.

② c가 끝점(c=a 또는 c=b)인 경우. c는 그 자체로 후보 집합 {a,b}에 속합니다.

①, ②를 종합하면, 최댓값(최솟값)이 달성되는 점 c는 항상 다음 두 종류 중 하나입니다 :

c ∈ { (a,b)의 임계점 전체 } ∪ { a, b }

따라서 이 유한한(f가 다항함수 등으로 임계점이 유한 개인 경우) 후보 집합에서 f의 값을 모두 계산해 비교하면, 그중 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값입니다 ― 641번이 존재를 보장하므로 이 비교에서 반드시 답이 나옵니다.

임계점 c₁, c₂, c₃와 양 끝점 a, b, 이렇게 다섯 후보의 함숫값을 비교해 최댓값·최솟값을 결정합니다 ― 이 예에서는 하나의 임계점에서 최댓값, 끝점 b에서 최솟값이 나왔습니다

사용 : 8.2의 641번(최대·최소 정리) · 669번(극값·임계점의 정의) · 670번(페르마의 정리)

증명 끝