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8.5   심화·배경

고계도함수

Higher Order Derivatives

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 8.3에서 정의한 도함수(643번)를 거듭 취하는 조작을 엄밀하게 정의하고(n계도함수), 8.4에서 구한 개별 함수의 도함수(653번·654·655·657·662번)에 같은 미분법을 반복 적용해 거듭제곱함수·삼각함수·지수함수의 n계도함수를 구합니다. 마지막으로 649번(곱의 미분법)을 n번으로 확장한 라이프니츠 공식으로 이 절을 마무리합니다.

663정의n계도함수와 n번 미분가능f⁽⁰⁾ := f,   f⁽ⁿ⁾ := (f⁽ⁿ⁻¹⁾)′

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 함수 f가 어떤 구간에서 정의되어 있다고 합시다. 도함수를 반복해서 취하는 조작을 다음과 같이 재귀적으로 정의합니다 : 우선 f⁽⁰⁾ := f(0번 미분한 것은 원래 함수 자신)로 두고, 자연수 n≥1에 대해 f⁽ⁿ⁻¹⁾이 x=a를 포함하는 어떤 열린구간 전체에서 정의되어 있고 그 구간에서 미분가능(642번)하다면,

f⁽ⁿ⁾(a) := (f⁽ⁿ⁻¹⁾)′(a)

로 정의합니다. 이를 f의 x=a에서의 n계도함수(n-th derivative)라 하고, 이때 f는 x=a에서 n번 미분가능(n times differentiable)하다고 합니다(f⁽ⁿ⁻¹⁾이 a 한 점에서만 정의되어 있으면 그 미분계수 자체를 논할 수 없으므로, a를 포함하는 열린구간 전체에서의 정의가 필요합니다 ― 그래야 642번의 극한 limx→a이 양쪽에서 의미를 가집니다). f⁽¹⁾=f′은 643번에서 이미 정의한 (1계)도함수와 같고, f⁽²⁾:=(f′)′을 이계도함수(second derivative), f⁽³⁾:=(f⁽²⁾)′을 삼계도함수(third derivative)라 부릅니다 ― 일반적으로 n계도함수(n-th derivative, n≥4는 흔히 «고계도함수(higher order derivative)»라 통칭)라 합니다.

대학 n번 미분가능할 뿐 아니라 f⁽ⁿ⁾ 자신도 연속함수인 경우를 n번 연속미분가능(n-times continuously differentiable)하다고 하고, 이런 함수 전체의 모임을 Cⁿ급(class Cⁿ)이라 부릅니다. 모든 n에 대해 n번 미분가능하면 C^∞급(매끄러운 함수, smooth function)이라 합니다. 이 «미분가능성의 등급을 매기는» 분류 체계 자체는 대학 해석학(해석학)의 용어로, 수능 범위에서는 도함수가 존재하기만 하면 충분하고 그 연속성까지 별도로 검증할 필요는 없습니다.

사용 : 642번(미분가능성의 정의) · 643번(도함수의 정의)

664정의n계도함수의 표기법f⁽ⁿ⁾(x),  y⁽ⁿ⁾,  dⁿydxⁿ

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 663번의 n계도함수를 나타내는 표기법도 643번(도함수의 표기법)을 그대로 n계로 확장합니다 :

① f⁽ⁿ⁾(x) ― 라그랑주 표기, 차수 n을 소괄호로 감싸 위첨자로 붙입니다(괄호가 없으면 거듭제곱 f(x)ⁿ과 혼동되므로 괄호는 필수입니다). 다만 차수가 낮을 때(n=1,2,3)는 소괄호 대신 프라임(′)을 그 개수만큼 반복해 f′, f″(또는 f′′), f′′′처럼도 관용적으로 씁니다 ― 이 사이트에서는 n=1,2,3에는 프라임 표기와 f⁽¹⁾,f⁽²⁾,f⁽³⁾ 표기를 문맥에 따라 섞어 쓰고, n≥4부터는 프라임이 지나치게 많아지므로 f⁽ⁿ⁾ 표기만 사용합니다.   ② y⁽ⁿ⁾ ― y=f(x)로 둔 경우, 독립변수가 문맥상 명백할 때의 간단한 표기.   ③ dⁿydxⁿ 또는 dⁿfdxⁿ ― 라이프니츠 표기. 643번에서 이미 밝혔듯 dy/dx가 두 미분의 몫이 아니라 극한 과정 전체를 나타내는 관용 기호였던 것과 같은 이유로, dⁿy/dxⁿ도 «ddx라는 연산을 y에 n번 적용한다»는 뜻을 관용적으로 하나의 분수 모양(위쪽 dⁿ과 아래쪽 (dx)ⁿ을 한 묶음의 기호로)으로 나타낸 것일 뿐, 지수 n이 dy·dx 각각에 독립적으로 분배되어 실제로 거듭제곱된다는 뜻이 아닙니다.   ④ Dⁿf(x) ― 연산자 표기, 643번 ④의 D를 n번 반복 적용.

관례상 f⁽⁰⁾:=f, y⁽⁰⁾:=y로도 씁니다(663번, 0번 미분은 그대로 둔다는 뜻).

사용 : 643번(도함수의 표기법) · 663번(n계도함수의 정의)

665정리거듭제곱함수의 n계도함수(x^r)⁽ⁿ⁾ = r(r−1)(r−2)…(r−n+1)·x^r−n (r∈R, x>0, n∈N)

증명법 : 수학적 귀납법 (n에 대하여)

주장. 실수 r을 하나 고정합니다. 모든 자연수 n에 대해, x>0에서

(x^r)⁽ⁿ⁾ = r(r−1)(r−2)…(r−n+1)·x^r−n

가 성립합니다(우변의 곱은 r에서 시작해 1씩 줄어드는 n개의 인수로 이루어집니다).

① n = 1일 때

(x^r)⁽¹⁾ = (x^r)′ = r·x^r−18.4의 662번(일반 실수 거듭제곱함수의 도함수)

이고, 이는 우변에 인수가 하나("r")뿐인 경우와 정확히 같습니다.

② n = k일 때 성립한다고 가정(귀납 가정) : (x^r)^(k) = C_k·x^r−k, 단 C_k := r(r−1)…(r−k+1)(인수 k개의 곱, k=0이면 빈 곱으로 C₀:=1이라 약속).

③ n = k+1일 때

(xr)(k+1) = ( (xr)(k) )′ = (Ck·xr−k)′	663번(n계도함수의 정의)과 귀납 가정 ②
= Ck·(xr−k)′	8.3의 648번(선형성, 상수배)― Ck는 n에 무관한 상수
= Ck·(r−k)·xr−k−1	662번을 지수 r−k에 적용
= r(r−1)…(r−k+1)(r−k)·xr−(k+1)	Ck의 정의를 대입, 지수 정리

마지막 줄의 계수는 r에서 시작해 1씩 줄어드는 인수가 정확히 k+1개(끝 인수가 r−k=r−(k+1)+1)이므로, 이는 n=k+1일 때의 주장과 정확히 같은 꼴입니다.

①과 ②→③에 의해, 수학적 귀납법으로 모든 자연수 n에 대해 성립합니다.

따름정리(정수 지수 ― 차수보다 많이 미분하면 0) : r=m이 음이 아닌 정수인 경우, 653번처럼 정의역이 모든 실수로 확장됩니다. 이때 n>m이면 곱 m(m−1)…(m−n+1)의 n개 인수 중 어느 하나가 m−k=0(즉 인수 번째수 k=m)이 되는 자리를 반드시 지나므로―m부터 0까지 내려간 뒤에도 인수가 n−m−1개 더 남아 있어야 하는데 그중 하나가 정확히 0입니다―곱 전체가 0이 되어 (x^m)⁽ⁿ⁾ = 0입니다. 즉 «다항식을 그 차수보다 많이 미분하면 항등적으로 0이 된다»는 사실이 경우를 따로 나누지 않고 이 공식 하나에 자동으로 포함됩니다. 선형성(648번)을 항별로 적용하면, 일반 다항함수 p(x) = mΣk=0 a_kx^k에 대해서도 p⁽ⁿ⁾(x) = mΣk=0 a_k(x^k)⁽ⁿ⁾이 항별로 위 공식으로 계산됩니다.

f(x)=x³의 도함수를 세 번 반복하면 차수가 3→2→1→0으로 하나씩 줄어들어 마지막에는 상수함수 6(=3!)이 되고, 그 이후로는(4계부터) 항등적으로 0입니다

사용 : 8.4의 662번(일반 실수 거듭제곱함수의 도함수) · 653번(정수 지수의 경우, 정의역 확장 근거) · 8.3의 648번(선형성) · 663번(n계도함수의 정의) · 선행학습 수학적 귀납법

증명 끝

666정리사인함수·코사인함수의 n계도함수(sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x+n·π2),   (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x+n·π2)

증명법 : 수학적 귀납법 (n에 대하여) + 직접증명법(귀납 단계에서 연쇄법칙과 여각공식 사용)

주장. 모든 자연수 n∈N∪{0}에 대해, 모든 실수 x에서 다음 두 식이 성립합니다.

(sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x+n·π2)      (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x+n·π2)

① n = 0일 때 sin(x+0)=sin x, cos(x+0)=cos x이므로 663번의 약속(f⁽⁰⁾:=f)과 그대로 일치합니다.

② n = k일 때 성립한다고 가정(귀납 가정) : (sin x)^(k) = sin(x+k·π2),  (cos x)^(k) = cos(x+k·π2).

③ n = k+1일 때 g(x):=x+k·π2라 두면, k·π2는 상수이므로 8.3 648번(선형성)과 8.4 653번(x의 도함수, n=1인 경우)에 의해 g′(x)=1입니다. 654·655번(사인·코사인의 도함수)과 651번(연쇄법칙)을 sin(g(x)), cos(g(x))에 적용하면

(sin x)(k+1) = ( sin(g(x)) )′ = cos(g(x))·g′(x) = cos(x+k·π2)	663·귀납 가정②·654·651번
= sin(x+k·π2+π2) = sin(x+(k+1)·π2)	4.6의 434번(여각공식, sin(π2+θ)=cosθ를 θ:=x+k·π2에 적용)
(cos x)(k+1) = ( cos(g(x)) )′ = −sin(g(x))·g′(x) = −sin(x+k·π2)	663·귀납 가정②·655·651번
= cos(x+k·π2+π2) = cos(x+(k+1)·π2)	4.6의 434번(여각공식, cos(π2+θ)=−sinθ를 같은 θ에 적용)

두 식 모두 n=k+1일 때의 주장과 정확히 같은 꼴입니다.

①과 ②→③에 의해, 수학적 귀납법으로 모든 자연수 n∈N∪{0}에 대해 두 식이 성립합니다. 특히 이 공식은 n=1,2,3,4에서 각각 (sin x)′=cos x, (sin x)″=−sin x, (sin x)′′′=−cos x, (sin x)⁽⁴⁾=sin x로, 미분을 네 번 반복할 때마다 원래 함수로 되돌아오는 주기 4의 순환을 보여줍니다(코사인도 마찬가지).

y=sin x의 그래프를 왼쪽으로 π/2만큼 평행이동하면 그 도함수인 y=cos x의 그래프와 정확히 겹칩니다 ― «미분 = π/2만큼 왼쪽으로 평행이동»을 n번 반복한 것이 곧 sin(x+nπ/2)

사용 : 8.4의 654번(사인함수의 도함수) · 655번(코사인함수의 도함수) · 8.3의 651번(연쇄법칙) · 648번(선형성) · 8.4의 653번(x의 도함수) · 4.6의 434번(여각공식) · 663번(n계도함수의 정의) · 선행학습 수학적 귀납법

증명 끝

667정리자연지수함수의 n계도함수(e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x (n∈N∪{0})

증명법 : 수학적 귀납법 (n에 대하여)

① n = 0일 때 (e^x)⁽⁰⁾ = e^x이므로 663번의 약속과 그대로 일치합니다.

② n = k일 때 성립한다고 가정(귀납 가정) : (e^x)^(k) = e^x.

③ n = k+1일 때

(e^x)^(k+1) = ( (e^x)^(k) )′ = (e^x)′ = e^x663번·귀납 가정②, 8.4의 657번(자연지수함수의 도함수)

이는 n=k+1일 때의 주장과 정확히 같습니다.

①과 ②→③에 의해, 수학적 귀납법으로 모든 n∈N∪{0}에 대해 성립합니다. 666번의 sin·cos이 미분마다 π/2씩 «회전»하며 주기 4로 순환하는 것과 대조적으로, e^x은 미분해도 형태가 전혀 바뀌지 않는(자기 자신으로 되돌아오는) «고정점»이라는 점에서 구조적으로 가장 단순한 경우입니다.

사용 : 8.4의 657번(자연지수함수의 도함수) · 663번(n계도함수의 정의) · 선행학습 수학적 귀납법

증명 끝

668정리라이프니츠 공식(곱의 n계 미분)(fg)⁽ⁿ⁾ = nΣk=0 _nC_k·f^(k)g^(n−k)

증명법 : 수학적 귀납법 (n에 대하여, 2.2의 f79 이항정리 증명과 같은 구조)

주장. f, g가 모두 n번 미분가능하다고 합시다. 그러면

(fg)⁽ⁿ⁾ = nΣk=0 _nC_k·f^(k)g^(n−k)2.2의 약속대로 _nC_k=0 (k<0 또는 k>n)

① n = 0일 때 좌변은 (fg)⁽⁰⁾=fg(663번), 우변은 ₀C₀·f⁽⁰⁾g⁽⁰⁾=1·fg=fg로 일치합니다.

② n = k일 때 성립한다고 가정(귀납 가정) : (fg)^(k) = kΣi=0 _kC_i·f⁽ⁱ⁾g^(k−i).

③ n = k+1일 때 유한합이므로 8.3 648번(선형성)을 항별로 적용해 양변을 한 번 더 미분하고, 각 항 f⁽ⁱ⁾g^(k−i)에 649번(곱의 미분법)을 적용합니다 :

(fg)(k+1) = ( kΣi=0 kCi·f(i)g(k−i) )′	663번, 귀납 가정 ②
= kΣi=0 kCi·( f(i)g(k−i) )′	648번(선형성, 유한합에 항별 적용)
= kΣi=0 kCi·( f(i+1)g(k−i) + f(i)g(k+1−i) )	649번(곱의 미분법), 663번(f(i)의 도함수는 f(i+1))
= kΣi=0 kCi·f(i+1)g(k−i)  +  kΣi=0 kCi·f(i)g(k+1−i)	합의 분배
앞쪽 합에서 j := i+1로 바꾸면   k+1Σj=1 kCj−1·f(j)g(k+1−j)	첨자 바꾸기
= k+1Σj=0 ( kCj + kCj−1 )·f(j)g(k+1−j)	kC−1=kCk+1=0 약속으로 두 합의 범위를 j=0–k+1로 통일
= k+1Σj=0 k+1Cj·f(j)g(k+1−j)	2.2의 파스칼의 항등식(lemma-pascal)

이는 n=k+1일 때의 주장과 정확히 같은 꼴입니다.

①과 ②→③에 의해, 수학적 귀납법으로 모든 자연수 n에 대해 성립합니다. n=1일 때는 ₁C₀f⁽⁰⁾g⁽¹⁾+₁C₁f⁽¹⁾g⁽⁰⁾=fg′+f′g로, 8.3의 649번(곱의 미분법)과 정확히 일치합니다 ― 라이프니츠 공식은 649번을 n계로 확장한 것입니다.

사용 : 8.3의 649번(곱의 미분법) · 648번(선형성) · 2.2의 파스칼의 항등식 · 663번(n계도함수의 정의) · 선행학습 수학적 귀납법

증명 끝