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8.8   대학 과정

다변수함수

Multivariable Functions

정의 · 공식과 증명

이 절에서는 8.1−8.7이 다룬 일변수함수 f : D→ℝ(D⊆ℝ)를 두 개 이상의 변수를 갖는 함수로 확장해, 정의역·그래프·등고선(900−902번)을 먼저 정리한 뒤, 8.2가 세운 일변수 극한의 ε−δ 정의(629번)를 평면 위의 거리(7.2 f549)를 이용해 이변수함수로 그대로 옮겨 극한·극한의 사칙연산(903−904번)을 다시 세웁니다. 이어서 일변수에는 없던 새로운 현상―«어느 방향에서 접근하느냐»에 따라 극한값이 달라질 수 있다는 사실―을 경로 판정법(905번)으로 정리하고, 마지막으로 8.2의 연속(638·639번)을 이변수로 확장(906−907번)하며 이 절을 마무리합니다. 뒤의 9.10−9.13(다중적분·선적분)과 10.1·10.3(미분방정식)이 여기와 8.9에서 세운 정의·표기를 씁니다. 증명의 엄밀함 기준은 다른 절과 같습니다.

900정의다변수함수와 정의역f : D→ℝ  (D⊆ℝⁿ)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 자연수 n≥2에 대해, n개의 실수의 순서쌍 전체의 집합을 ℝⁿ := ℝ×ℝ×···×ℝ(n번)로 씁니다―n=2, 3인 경우가 각각 7.2 f548, 7.8 f588에서 이미 ℝ²=ℝ×ℝ, ℝ³=ℝ×ℝ×ℝ로 도입되었습니다. 부분집합 D⊆ℝⁿ의 각 점 (x₁,…,x_n)∈D에 실수 f(x₁,…,x_n)을 정확히 하나씩 대응시키는 규칙 f를 n변수함수(function of n variables)라 하고, f : D→ℝ로 씁니다―8.1의 615번(함수의 정의)에서 A:=D, B:=ℝ로 특수화한 것입니다. 이때 D를 8.1 f616과 같은 뜻으로 f의 정의역이라 합니다. 이 사이트에서는 n=2인 경우, 즉 이변수함수 z=f(x,y), D⊆ℝ²에 특히 초점을 맞춥니다―n=3 이상도 정의 자체는 문자 그대로 확장되지만, 901번의 그래프를 좌표공간에 직접 그릴 수 없어 시각화가 어려워지기 때문입니다.

식으로 주어진 다변수함수의 정의역은, 특별히 명시하지 않는 한 8.1의 관례―그 식이 실수로 계산되는 모든 점의 집합―을 그대로 이어받습니다. 예를 들어

f(x,y) = 4−x²−y²

의 정의역은 근호 안이 음이 아니어야 하므로 4−x²−y²≥0, 즉 x²+y²≤4―원점을 중심으로 하는 반지름 2인 폐원판(경계 포함)입니다.

사용 : 8.1의 615번(함수의 정의) · 8.1의 616번(정의역) · 7.2 f548 · 7.8 f588

901정의이변수함수의 그래프G_f = {(x,y,z) : z=f(x,y)}

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 이변수함수 z=f(x,y), D⊆ℝ²가 주어졌다고 합시다. 7.8 f588의 좌표공간에서, D의 각 점 (x,y)마다 높이 z=f(x,y)를 갖는 점 (x,y,z)를 모두 모은 집합

G_f := {(x,y,z) : (x,y)∈D, z=f(x,y)} ⊆ ℝ³

를 f의 그래프(graph)라 합니다―8.1 f616의 일변수함수 그래프(좌표평면 위의 점의 집합)를 좌표공간으로 그대로 확장한 것입니다. 900번(함수의 정의)에 의해 D의 각 점 (x,y)에는 z=f(x,y)라는 값이 정확히 하나 대응하므로, G_f는 z축에 평행한 직선과 많아야 한 점에서만 만나며, 그래서 z축 방향으로 겹치지 않는 하나의 «면» 모양이 됩니다. f가 연속이면(906번) 이것을 흔히 곡면(surface)이라 부릅니다(이 책에서 곡면을 따로 정의하지는 않습니다). 예를 들어 f(x,y)=x²+y²의 그래프는 꼭짓점이 원점이고 위로 열린 회전포물면으로, 7.11 f895(타원포물면)에서 a=b=1로 둔 특수한 경우입니다.

901번―z=f(x,y)=x²+y²의 그래프 G_f의 와이어프레임(오블리크 투영, 점선 원은 정의역의 경계 x²+y²=4). 점 (x₀,y₀)에서 곡면까지의 수직 높이가 바로 함숫값 z₀=f(x₀,y₀)입니다.

사용 : 8.1의 616번 · 7.8 f588 · 900번 · 7.11 f895(타원포물면)

902정의등고선(등위선)L_k = {(x,y) : f(x,y)=k}

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. f : D→ℝ(D⊆ℝ²)와 실수 k에 대해

L_k := {(x,y)∈D : f(x,y)=k}

를 f의 (값 k에서의) 등고선(level curve) 또는 등위선이라 합니다. L_k가 공집합이 아닐 필요충분조건은 k가 f의 치역(8.1 f616)에 속하는 것입니다. 기하학적으로 L_k는 901번의 그래프 G_f와 평면 z=k(z축에 수직이고 점 (0,0,k)를 지나는 평면)의 교집합을 xy평면 위로 정사영한 것과 같습니다―서로 다른 k에 대한 등고선은 항상 서로소(disjoint)입니다. 900번에 의해 각 점에서 정확히 하나의 함숫값 f(x,y)가 대응하므로, 임의의 (x,y)∈D는 등고선 L_f(x,y) 정확히 하나에 속합니다―즉 {L_k : k∈f(D)}는 D의 한 분할(partition)을 이룹니다.

902번―f(x,y)=x²+y²의 등고선 L_k(k=1,2,3,4)는 반지름 k인 동심원입니다―901번 그래프(포물면)를 위에서 내려다본 «지도의 등고선»에 해당합니다.

사용 : 8.1의 616번 · 901번

903정의점의 근방과 이변수함수의 극한lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 점 (x₀,y₀)∈ℝ²와 실수 r>0에 대해, 7.2 f549의 거리 d((x,y),(x₀,y₀)) = (x−x₀)²+(y−y₀)²를 이용해

B_r(x₀,y₀) := {(x,y)∈ℝ² : d((x,y),(x₀,y₀)) < r}

를 (x₀,y₀)의 반지름 r인 근방(neighborhood, 경계를 포함하지 않는 열린 원판)이라 합니다―8.2 f629에서 쓰인 «a를 포함하는 어떤 열린구간»의 이변수 판본입니다. 이제 f : D→ℝ(D⊆ℝ²)이고, (x₀,y₀)에 얼마든지 가까운 곳에 (x₀,y₀)가 아닌 D의 점이 있다고(곧 모든 r>0에 대해 B_r(x₀,y₀) 안에 (x₀,y₀)와 다른 D의 점이 있다고) 합시다. 실수 L에 대해

lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L

이 성립한다는 것을, 임의의 ε>0에 대해 어떤 δ>0가 존재해

0 < d((x,y),(x₀,y₀)) < δ  (단 (x,y)∈D)  ⇒  |f(x,y)−L| < ε

이 성립하는 것으로 정의합니다―8.2 f629(일변수 극한의 ε−δ 정의)에서 «x가 a에 충분히 가까움»을 재던 절댓값 |x−a|를, 평면 위의 거리 d((x,y),(x₀,y₀))로 바꾼 것일 뿐, 정의의 논리 구조 자체는 조금도 바뀌지 않습니다―«(x,y)가 (x₀,y₀)에 충분히 가까우면 f(x,y)는 L에 원하는 만큼 가까워진다»는 뜻입니다. 점 (x₀,y₀) 자체가 D에 속하는지는 극한의 정의에서 전혀 요구되지 않습니다(0<d(·,·)로 애초에 자기 자신은 제외됨).

D가 (x₀,y₀)의 어떤 근방을 통째로 포함하면 «(단 (x,y)∈D)»는 아무것도 줄이지 않아 보통의 극한이 됩니다. (x₀,y₀)가 D의 경계에 있으면(예: 900번의 닫힌 원판의 둘레 위의 점) D 안쪽에서만 다가가는 극한이 됩니다―8.2에서 닫힌구간의 끝점에서 한쪽 극한으로 연속을 정한 것과 같은 생각입니다.

사용 : 7.2 f549(거리 공식) · 8.2의 629번(일변수 극한의 정의)

904정리다변수함수 극한의 성질(사칙연산)lim(f±g)=L±M, lim(cf)=cL, lim(fg)=LM, lim(f/g)=L/M (M≠0)

증명법 : 직접증명법(8.2 f632의 증명에서 |x−a|를 거리 d((x,y),(x₀,y₀))로 바꿈)

두 함수 f, g가 (x₀,y₀)에서 각각 lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L, lim(x,y)→(x₀,y₀) g(x,y) = M으로 수렴한다고 하고(903번), 양수 ε를 하나 잡습니다. 아래에서 «(x,y)가 δ만큼 가깝다»는 늘 «(x,y)∈D이고 0<d((x,y),(x₀,y₀))<δ»를 뜻합니다. 각 경우에 903번의 정의를 만족하는 δ를 찾으면 됩니다.

① 합 : 903번에 의해 δ₁, δ₂가 있어 (x,y)가 δ₁만큼 가까우면 |f(x,y)−L|<ε2, δ₂만큼 가까우면 |g(x,y)−M|<ε2입니다. δ:=min(δ₁, δ₂)로 두면 (x,y)가 δ만큼 가까울 때

|(f(x,y)+g(x,y))−(L+M)| ≤ |f(x,y)−L|+|g(x,y)−M| < ε2+ε2 = ε

입니다(첫 부등호는 2.7 f146(삼각부등식)). 따라서 lim(f+g)=L+M입니다. 차는 ② 뒤에서 보입니다.

② 상수배 : c=0이면 cf(x,y)=0=cL이므로 자명합니다. c≠0이면 903번에 의해 δ가 있어 (x,y)가 δ만큼 가까우면 |f(x,y)−L|<ε|c|이고, 이때 |cf(x,y)−cL| = |c|·|f(x,y)−L| < ε입니다. 따라서 lim(cf)=cL입니다. ②는 ①을 쓰지 않으므로, 이제 ①에서 g 대신 (−1)g(②에 의해 −M에 수렴)를 넣으면 lim(f−g)=L−M도 얻습니다.

③ 곱 : 먼저 (x₀,y₀) 근처에서 f가 유계임을 보입니다. 903번을 ε=1에 적용하면 δ₀이 있어 (x,y)가 δ₀만큼 가까우면 |f(x,y)−L|<1이고, 삼각부등식에 의해

|f(x,y)| ≤ |f(x,y)−L| + |L| < |L|+1

입니다. 다음으로 항등식 f(x,y)g(x,y)−LM = f(x,y)(g(x,y)−M) + M(f(x,y)−L)(우변을 전개하면 좌변)을 씁니다. 903번에 의해 δ₁, δ₂가 있어 δ₁만큼 가까우면 |g(x,y)−M|<ε2(|L|+1), δ₂만큼 가까우면 |f(x,y)−L|<ε2(|M|+1)입니다. δ:=min(δ₀, δ₁, δ₂)로 두면 δ만큼 가까울 때

|f(x,y)g(x,y)−LM| ≤ |f(x,y)|·|g(x,y)−M| + |M|·|f(x,y)−L| < ε2 + ε2 = ε

입니다(|M|/(|M|+1)<1을 씀). 따라서 lim(fg)=LM입니다.

④ 몫 : M≠0이라 합니다. 먼저 (x₀,y₀) 근처에서 g(x,y)가 0에서 떨어져 있음을 보입니다. 903번을 ε=|M|2에 적용하면 δ₀이 있어 δ₀만큼 가까우면 |g(x,y)−M|<|M|2이고, 삼각부등식 |M| ≤ |M−g(x,y)| + |g(x,y)|에서 |g(x,y)| > |M|2 > 0입니다. 따라서 (x₀,y₀) 근처에서 g(x,y)≠0이어서 f(x,y)/g(x,y)가 정의됩니다. 이제 903번에 의해 δ₁이 있어 δ₁만큼 가까우면 |g(x,y)−M|<M²ε2입니다. δ:=min(δ₀, δ₁)로 두면 δ만큼 가까울 때

|1g(x,y)−1M| = |M−g(x,y)||g(x,y)|·|M| < M²ε/2(|M|/2)·|M| = ε

이므로 1g→1M입니다. fg = f·1g에 ③을 적용하면 lim(f/g)=L/M입니다.

사용 : 903번(극한의 정의) · 8.2의 632번(같은 논증 구조) · 2.7의 146번(삼각부등식)

증명 끝

905정리경로에 따른 극한 판정법경로마다 부분극한이 다르면 lim f는 존재하지 않음

증명법 : 대우증명법(보조정리의 대우를 취함)

보조정리. f가 (x₀,y₀)에서 lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L을 갖는다고 합시다(903번). t₀를 안에 포함하는 어떤 열린구간에서 정의된 경로 (x(t),y(t))가 t→t₀일 때 x(t)→x₀, y(t)→y₀이고, t≠t₀인 한 (x(t),y(t))∈D, (x(t),y(t))≠(x₀,y₀)를 만족한다면,

limt→t₀ f(x(t),y(t)) = L

가 성립합니다.

보조정리의 증명. ε>0이 주어졌다고 합시다. 903번(f의 극한의 정의)에 의해 어떤 δ>0가 존재해 0<d((x,y),(x₀,y₀))<δ이면 |f(x,y)−L|<ε입니다. 한편 √(a²+b²) ≤ |a|+|b|(양변을 제곱하면 a²+b² ≤ a²+2|a||b|+b²)이므로 d((x(t),y(t)),(x₀,y₀)) ≤ |x(t)−x₀|+|y(t)−y₀|이고, 경로의 가정에 의해 이 δ에 대해 어떤 η>0가 존재해 0<|t−t₀|<η이면 |x(t)−x₀|<δ/2, |y(t)−y₀|<δ/2, 따라서 0<d((x(t),y(t)),(x₀,y₀))<δ입니다(경로가 t≠t₀일 때 (x₀,y₀)을 지나지 않는다는 가정에서 왼쪽 부등식의 «0<»도 보장됩니다). 두 조건을 이으면 0<|t−t₀|<η일 때 |f(x(t),y(t))−L|<ε이므로, 정의에 의해 limt→t₀ f(x(t),y(t))=L입니다.

본정리(905번). 위 보조정리에 의해, f가 (x₀,y₀)에서 극한 L을 가지면 보조정리의 조건을 만족하는 모든 경로를 따른 극한이 L로 같습니다. 이 명제의 대우를 취하면 : 그런 두 경로를 따라 f가 서로 다른 값 L₁≠L₂로 수렴하면, f는 (x₀,y₀)에서 극한을 갖지 않습니다.

예. f(x,y) = xyx²+y² ((x,y)≠(0,0))의 원점에서의 극한을 조사합니다. 경로₁ : y=0(x≠0)을 따르면 f(x,0)=0x²=0이므로 x→0일 때 f→0입니다. 경로₂ : y=x(x≠0)를 따르면

f(x,x) = x·xx²+x² = x²2x² = 12

로 x에 의존하지 않는 상수이므로 x→0일 때 f→1/2입니다. 0≠1/2이므로 위 정리에 의해 lim(x,y)→(0,0) f(x,y)는 존재하지 않습니다.

905번―f(x,y)=xy/(x²+y²)의 원점에서, 경로₁(y=0)을 따르면 f→0이지만 경로₂(y=x)를 따르면 f→1/2로―두 부분극한이 서로 다르므로 극한 자체가 존재하지 않습니다.

사용 : 903번(극한의 정의)

증명 끝

906정의이변수함수의 연속lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = f(x₀,y₀)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. f : D→ℝ(D⊆ℝ²)이고 (x₀,y₀)∈D이며, 903번에서처럼 (x₀,y₀)에 얼마든지 가까운 곳에 (x₀,y₀)가 아닌 D의 점이 있다고 합시다(이 책에서 다루는 원판·직사각형 같은 D는 모든 점이 이 조건을 만족합니다). 903번(극한의 정의)을 이용해 다음 세 조건

① f(x₀,y₀)가 정의되어 있다.  ② lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y)가 존재한다.  ③ lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = f(x₀,y₀)이다.

를 모두 만족하면(8.2 f638과 마찬가지로 ③이 실질적으로 ①·②을 이미 전제하므로, 흔히 한 줄 «lim f(x,y) = f(x₀,y₀)»으로 세 조건을 대신 씁니다) f는 (x₀,y₀)에서 연속(continuous)이라 합니다. 이 중 하나라도 성립하지 않으면(f(x₀,y₀)가 정의되지 않거나, 극한이 존재하지 않거나, 존재하더라도 f(x₀,y₀)와 다르면) f는 (x₀,y₀)에서 불연속(discontinuous)이라 합니다. f가 D의 모든 점에서 연속이면 f는 D에서 연속(또는 간단히 연속함수)이라 합니다.

사용 : 8.2의 638번(일변수함수의 연속, 같은 정의 구조) · 903번

907정리연속함수의 사칙연산과 예f,g 연속 ⇒ f±g, cf, fg, f/g(g≠0)도 연속

증명법 : 직접증명법(904번·906번의 직접 적용)

f, g가 (x₀,y₀)에서 연속이라 합시다(906번, 즉 lim(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y)=f(x₀,y₀), lim(x,y)→(x₀,y₀) g(x,y)=g(x₀,y₀)). 904번(극한의 성질)을 그대로 적용하면

lim(x,y)→(x₀,y₀) (f(x,y)±g(x,y)) = f(x₀,y₀)±g(x₀,y₀)

이고, cf, fg, f/g에 대해서도 마찬가지이며, 각 우변이 바로 (f±g)(x₀,y₀) 등과 일치하므로, 906번의 정의에 의해 f±g, cf, fg, f/g(g(x₀,y₀)≠0인 곳)는 모두 (x₀,y₀)에서 연속입니다.

예 1(다항식은 어디서나 연속). 먼저 상수함수 c(x,y):=c는 어디서나 연속입니다―|c−c|=0<ε이므로 δ는 아무것이나 됩니다. 다음으로 사영함수(projection) π_x(x,y):=x, π_y(x,y):=y가 모든 (x₀,y₀)∈ℝ²에서 연속임을 먼저 보입니다. ε>0이 주어지면 δ:=ε로 잡을 때, d((x,y),(x₀,y₀))<δ이면

|π_x(x,y)−x₀| = |x−x₀| ≤ (x−x₀)²+(y−y₀)² = d((x,y),(x₀,y₀)) < δ = ε

이므로 903번의 정의에 의해 lim π_x = x₀ = π_x(x₀,y₀), 즉 906번에 의해 π_x는 연속입니다(π_y도 같은 방법). 이제 위 사칙연산을 반복 적용하면 π_x·π_x=x²도 연속, 같은 방법으로 y²도 연속, 그 합 x²+y²도 연속입니다―일반적으로 다항식은 상수함수와 사영함수에 곱과 합을 유한 번 되풀이해 얻으므로, 위 사칙연산의 반복 적용만으로 ℝ² 전체에서 연속임을 알 수 있습니다.

예 2(정의되어 있지만 연속은 아닌 함수). g(x,y):=xyx²+y²((x,y)≠(0,0)), g(0,0):=0으로 정의하면(즉 원점에서도 정의되도록 값을 억지로 채워 넣으면), 906번의 조건 ①(g(0,0)=0이 정의되어 있음)은 만족되지만, 905번의 예에서 이미 lim(x,y)→(0,0) g(x,y)가 존재하지 않음을 보였으므로 조건 ②이 실패합니다―따라서 g는 원점에서 불연속입니다. 함숫값이 정의되어 있다는 것과 연속이라는 것은 서로 다른 조건임을 보여주는 예입니다.

사용 : 903번 · 904번 · 905번 · 906번 · 7.2 f549

증명 끝