7.8
3차원 좌표계(공간좌표)
Three-Dimensional Coordinate System
정의 · 공식과 증명
7.1이 직선(1차원), 7.2가 평면(2차원)의 좌표를 다뤘다면 이 절은 공간(3차원)으로 확장합니다(588번, 공리―서로 수직인 세 좌표축의 결합). 이어서 세 좌표평면·좌표축·팔분공간을 정의하고 각각을 좌표로 특징짓고(589번), 두 점 사이의 거리 공식을 6장(벡터)의 결과를 재사용해 유도합니다(590번). 이 거리 공식으로 점에서 좌표평면·좌표축에 내린 수선의 발과 그 거리를 구하고(591번), 7.2에서 이미 확립한 평면의 내분·외분·중점· 무게중심 공식(550–553번)이 z성분 한 줄만 늘어난 채 그대로 이어짐을 벡터 연산으로 보입니다(592·593번). 마지막으로 좌표평면·좌표축·원점에 대한 대칭점을 구하고(594번), 하나의 수치 예제로 590–594번 전체를 재확인합니다(595번).
588공리공간좌표P(x,y,z)
공리(공간좌표, coordinates in space). 공간에 한 점 O를 고정해 원점으로 삼고, O에서 서로 수직으로 만나는 세 직선을 잡아 541번의 방식으로 각각에 좌표를 매깁니다―차례로 x축, y축, z축이라 하고, 세 축에는 같은 단위길이를 사용합니다. 공간의 임의의 점 P에 대해, P에서 x축에 내린 수선의 발의 좌표를 x, y축에 내린 수선의 발의 좌표를 y, z축에 내린 수선의 발의 좌표를 z라 하면 순서쌍 (x,y,z)가 정해집니다. 이 (x,y,z)를 P의 좌표라 하고 P(x,y,z)로 나타냅니다.
역으로 임의의 (x,y,z)∈ℝ×ℝ×ℝ에 대해서도, x축 위의 좌표가 x인 점을 지나며 x축에 수직인 평면, y축 위의 좌표가 y인 점을 지나며 y축에 수직인 평면, z축 위의 좌표가 z인 점을 지나며 z축에 수직인 평면―이 세 평면은 정확히 한 점에서 만나고, 그 교점이 바로 좌표 (x,y,z)를 갖는 점입니다. 즉 이 대응은 공간의 점들과 순서쌍의 집합 ℝ³=ℝ×ℝ×ℝ 사이의 일대일대응입니다. 이렇게 좌표가 매겨진 공간을 좌표공간이라 하고, 이 절부터 7장의 나머지(평면의 방정식·공간에서의 직선·구)는 이 대응을 통해 공간도형의 성질을 세 실수의 순서쌍에 대한 대수적 계산으로 다룹니다.
세 축의 양의 방향을 잡는 데에는 두 가지 방식이 있는데, 이 사이트는 오른손의 엄지·검지·중지를 서로 수직이 되게 폈을 때 각각이 x축·y축·z축의 양의 방향을 가리키는 오른손 좌표계를 씁니다. 이는 그림을 그릴 때의 관례일 뿐이어서, 이 절에서 유도하는 모든 공식(거리·내분·외분·중점·무게중심·대칭점)은 어느 방식을 택하든 그대로 성립합니다.
공리이므로 증명 대상이 아닙니다―각 축 위의 일대일대응(541번)을 서로 수직인 세 축으로 결합해 공간 전체로 확장하는, 588번 고유의 공리로 받아들입니다(548번이 두 축으로 평면을 만든 것과 같은 방식).
6.1과의 순서 관계(순환논법이 아님). 6.1의 f503번(성분 공식)과 f507번(공간에서의 크기 공식)은 이미 점의 공간좌표 (x,y,z)를 쓰고 있었습니다―그때 암묵적으로 전제했던 좌표계를 여기서 공리로 명문화하는 것이며, 그 반대 방향(f507번으로부터 588번을 유도)은 하지 않습니다. 따라서 의존 관계는 588번 → f503·f507번 → 590번의 한 방향뿐이고 순환이 없습니다.
589정의 · 정리좌표평면 · 좌표축 · 팔분공간P∈xy평면 ⇔ z=0
증명법 : 동치(필요충분조건)의 증명 · 직접증명법
정의(좌표평면, coordinate plane). x축과 y축은 O에서 만나는 서로 다른 두 직선이므로 이 둘을 포함하는 평면이 유일하게 존재합니다(공간도형의 기본 성질―만나는 두 직선은 한 평면을 결정). 이 평면을 xy평면이라 합니다. 같은 방식으로 y축과 z축이 결정하는 평면을 yz평면, z축과 x축이 결정하는 평면을 zx평면이라 하고, 이 셋을 통틀어 좌표평면이라 합니다.
주장 ①(축과 좌표평면의 수직). z축 ⊥ xy평면이고, 마찬가지로 x축 ⊥ yz평면, y축 ⊥ zx평면입니다.
| z축 ⊥ x축, z축 ⊥ y축 (모두 O에서 만남) | 588번(세 축을 서로 수직으로 잡음) |
| x축, y축은 xy평면 위에서 O에서 만나는 서로 다른 두 직선 | 위 좌표평면의 정의 |
| ∴ z축 ⊥ xy평면 | 한 직선이 평면 위의 만나는 두 직선과 각각 수직이면 그 평면과 수직(공간도형의 기본 성질―6.1 f507번에서 쓴 것과 같은 성질) |
x축 ⊥ yz평면, y축 ⊥ zx평면도 축의 이름만 바꾼 같은 논증으로 얻어집니다.
주장 ②(좌표평면의 좌표에 의한 특징). 점 P(x,y,z)에 대해 다음이 성립합니다 :
P∈xy평면 ⇔ z=0, P∈yz평면 ⇔ x=0, P∈zx평면 ⇔ y=0
| (⇒) P∈xy평면, P≠O이면 직선 OP ⊂ xy평면이고 ①에 의해 z축 ⊥ xy평면이므로 z축 ⊥ OP | ① · 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직(공간도형) |
| ⇒ P에서 z축에 내린 수선의 발이 O ⇒ z = (O의 z축 좌표) = 0 (P=O이면 발이 O 자신이므로 역시 z=0) | 588번(z좌표의 정의―z축에 내린 수선의 발의 좌표) |
| (⇐) z=0이면 P에서 z축에 내린 수선의 발이 O, 즉 P=O이거나 OP ⊥ z축 | 588번(z좌표의 정의) · 541번(좌표 0인 점은 원점) |
| O를 지나고 z축에 수직인 평면은 유일하고, ①에 의해 xy평면이 바로 그 평면 ⇒ P∈xy평면 | 한 점을 지나 한 직선에 수직인 평면의 유일성(공간도형) · ① |
주장 ③(좌표축의 좌표에 의한 특징). P(x,y,z)에 대해 다음이 성립합니다 :
P∈x축 ⇔ y=0 이고 z=0, P∈y축 ⇔ z=0 이고 x=0, P∈z축 ⇔ x=0 이고 y=0
| y축 위에서 좌표가 1인 점 E의 좌표는 (0,1,0)―E에서 x축·z축에 내린 수선의 발은 (y축 ⊥ x축, y축 ⊥ z축이므로) 모두 O | 588번(좌표의 정의) · 세 축이 서로 수직 |
| ⇒ E∈xy평면(②, z=0)이지만 E∉zx평면(②, y=1≠0) ⇒ xy평면 ≠ zx평면 | ② |
| 서로 다른 두 평면이 만나면 교선은 직선이고, xy평면과 zx평면은 둘 다 x축을 포함 ⇒ xy평면 ∩ zx평면 = x축 | 두 평면의 교선(공간도형) · 좌표평면의 정의 |
| ∴ P∈x축 ⇔ P∈xy평면 이고 P∈zx평면 ⇔ z=0 이고 y=0 | 위 줄 · ② |
정의(팔분공간, octant). 세 좌표평면은 공간을 여덟 개의 영역으로 나누는데, 이 각각을 팔분공간이라 합니다. ②에 의해 좌표평면 위의 점은 좌표 중 적어도 하나가 0이므로, 어느 좌표평면 위에도 있지 않은 점은 x, y, z가 모두 0이 아니고 따라서 그 부호의 조합 (±,±,±)이 여덟 가지―이것이 여덟 팔분공간에 대응합니다. 특히 x>0, y>0, z>0인 영역을 제1팔분공간이라 합니다.
사용 : 588번(공간좌표) · 541번(수직선의 좌표) · 공간도형의 기본 성질(만나는 두 직선이 결정하는 평면, 직선과 평면의 수직 판정, 수직인 평면의 유일성, 두 평면의 교선)
증명 끝
588번―점 C(8,8,8)의 좌표. 세 좌표축에 내린 수선의 발 X(8,0,0), Y(0,8,0), Z(0,0,8)의 좌표가 차례로 8, 8, 8이고, H(8,8,0)은 C에서 xy평면에 내린 수선의 발입니다(591번). 좌표 8:8:8을 그대로 픽셀에 대입한 오블리크 투영(x축을 30° 방향으로 0.6배 축소, 6.1의 3D 참고 도형과 같은 규약)이며, 보조 직육면체의 모든 모서리는 점선으로 그렸습니다.
589번―세 좌표평면(xy·yz·zx)과 팔분공간. 각 좌표평면을 원점을 중심으로 하는 같은 크기의 정사각형 조각으로 잘라 그렸고, 세 축의 음의 방향은 점선으로 표시했습니다. I은 x>0, y>0, z>0인 제1팔분공간입니다.
590정리두 점 사이의 거리(공간의 거리 공식)d(A,B) = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²
증명법 : 직접증명법(6장 벡터의 결과를 재사용―7.2 f549번과 같은 구조)
정리(공간의 거리 공식). 두 점 A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂)에 대해, 두 점 사이의 거리 d(A,B)는 다음과 같습니다 :
d(A,B) = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²
| AB는 A를 시점, B를 종점으로 하는 유향선분이 나타내는 벡터―그 크기 |AB|는 이 유향선분의 길이, 즉 정확히 d(A,B)와 같음 | 6.1 f501·f505번(벡터·벡터의 크기의 정의) |
| AB = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁) | 6.1 f503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식―공간의 경우) |
| d(A,B) = |AB| = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)² | 6.1 f507번(공간에서의 크기 공식 |v|=x²+y²+z²을 위 성분에 적용) |
피타고라스 정리를 두 번 쓴다는 뜻(위 증명의 부연). 위 증명이 인용한 6.1 f507번의 내용은 «xy평면과 평행한 방향으로 한 번, 그와 수직인 방향으로 또 한 번» 피타고라스 정리를 적용하는 것이었습니다. A, B에 대해 그 논증을 그대로 옮겨 쓰면 다음과 같습니다―C(x₂,y₂,z₁), D(x₂,y₁,z₁)로 두면,
| AD는 x축에, DC는 y축에 평행하고 x축 ⊥ y축 ⇒ ∠ADC = 90°, AD = |x₂−x₁|, DC = |y₂−y₁| | 588번(세 축이 서로 수직) · 각각의 축에 평행한 두 직선은 서로 수직 |
| ⇒ AC² = AD² + DC² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² | 3.1 f163번(피타고라스 정리―첫 번째) |
| CB는 z축에 평행하고, A와 C는 z좌표가 z₁로 같아 «z축 위의 좌표가 z₁인 점을 지나며 z축에 수직인 평면» 위에 있음 ⇒ CB ⊥ AC, 즉 ∠ACB = 90° | 588번(역방향 구성의 세 평면 중 셋째) · 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직 |
| ⇒ AB² = AC² + CB² = [(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²] + (z₂−z₁)² | 3.1 f163번(피타고라스 정리―두 번째) |
이 부연은 이미 증명된 6.1 f507번의 내용을 A, B의 경우로 풀어 쓴 것일 뿐이며, 위 세 줄짜리 본증명을 대체하거나 그것이 기대는 새로운 사실을 추가하지는 않습니다.
1·2차원과의 일치 확인. z₁=z₂이면 위 공식은 7.2 f549번(평면의 거리 공식)으로, 거기서 다시 y₁=y₂이면 7.1 f542번(수직선의 거리 |x₂−x₁|)로 줄어듭니다― 7.8의 거리 공식이 7.2·7.1의 특수한 경우를 모두 포함하는 자연스러운 확장임을 보여줍니다.
사용 : 6.1 f501·f503·f505·f506·f507번(벡터의 정의·성분·크기) · 3.1 f163번(피타고라스 정리) · 589번 · 7.2 f549번·7.1 f542번(저차원과의 일치)
증명 끝
590번―정확한 2D 단면. A(1,2,2), B(3,5,8)에 대해 C(3,5,2)로 두면 ∠ACB=90°이고 AC=2²+3²=13, CB=6, AB=13+36=7입니다―세 변의 길이 비 13 : 6 : 7을 실제 값 그대로 픽셀에 대입했습니다(직각은 C).
590번―참고 도형(원근). 같은 A, B를 마주보는 두 꼭짓점으로 하는 직육면체를 원근감 있게 그린 것으로, 각 모서리의 길이 2, 3, 6은 x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁의 실제 값이고 대각선이 곧 d(A,B)=7입니다(오블리크 투영, 6.1의 3D 참고 도형과 같은 규약―가려진 모서리 3개는 점선). 증명 자체는 이 참고 그림이 아니라 바로 위의 정확한 2D 단면에 근거합니다.
591정리좌표평면 · 좌표축에 내린 수선의 발과 거리d(P, xy평면) = |c|, d(P, z축) = a²+b²
증명법 : 직접증명법
정리. 점 P(a,b,c)에 대해 다음이 성립합니다.
| xy평면에 내린 수선의 발 H(a,b,0) | d(P, xy평면) = PH = |c| |
| yz평면에 내린 수선의 발 (0,b,c) | 거리 = |a| |
| zx평면에 내린 수선의 발 (a,0,c) | 거리 = |b| |
| z축에 내린 수선의 발 K(0,0,c) | d(P, z축) = PK = a²+b² |
| x축에 내린 수선의 발 (a,0,0) | 거리 = b²+c² |
| y축에 내린 수선의 발 (0,b,0) | 거리 = a²+c² |
1단계―xy평면의 경우. H(a,b,0)이 P에서 xy평면에 내린 수선의 발임을 보입니다.
| H의 z좌표가 0이므로 H∈xy평면 | 589번 ② |
| α를 x축 위의 좌표가 a인 점을 지나며 x축에 수직인 평면, β를 y축 위의 좌표가 b인 점을 지나며 y축에 수직인 평면이라 하면 P, H는 모두 α∩β 위에 있음 | 588번(역방향 구성―P, H는 x좌표 a, y좌표 b가 같음) |
| ℓ := α∩β는 직선이고 ℓ⊂α ⊥ x축, ℓ⊂β ⊥ y축 ⇒ ℓ ⊥ x축, ℓ ⊥ y축 | 두 평면의 교선(공간도형) · 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직 |
| ∴ ℓ ⊥ xy평면, 즉 PH ⊥ xy평면 ⇒ H는 P에서 xy평면에 내린 수선의 발 | 한 직선이 평면 위 만나는 두 직선과 수직이면 평면과 수직(589번 ①과 같은 성질) |
| PH = d(P,H) = (a−a)²+(b−b)²+(c−0)² = |c| | 590번(거리 공식) |
2단계―z축의 경우. K(0,0,c)가 P에서 z축에 내린 수선의 발임을 보입니다.
| K의 x좌표·y좌표가 0이므로 K∈z축 | 589번 ③ |
| γ를 z축 위의 좌표가 c인 점을 지나며 z축에 수직인 평면이라 하면 P, K ∈ γ | 588번(역방향 구성―P, K는 z좌표가 c로 같음) |
| PK ⊂ γ이고 γ ⊥ z축 ⇒ PK ⊥ z축 ⇒ K는 P에서 z축에 내린 수선의 발 | 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직 |
| PK = (a−0)²+(b−0)²+(c−c)² = a²+b² | 590번(거리 공식) |
나머지 네 경우(yz평면·zx평면·x축·y축)는 좌표의 이름만 순환시킨 같은 논증으로 얻어집니다.
«거리»가 최소임의 확인. 점과 평면(또는 직선) 사이의 거리는 수선의 발까지의 거리로 정의하는데, 이것이 실제로 최솟값임을 확인해 둡니다. Q를 xy평면 위의 임의의 점이라 하면 PH ⊥ xy평면이므로 PH ⊥ HQ이고,
PQ² = PH² + HQ² ≥ PH² (등호는 Q=H일 때)
이므로 PQ ≥ PH입니다(3.1 f163번, 피타고라스 정리). z축에 대해서도 같은 논증이 그대로 적용됩니다.
수치 예. P(3,4,12)이면 xy평면까지의 거리는 12, yz평면까지는 3, zx평면까지는 4, z축까지는 3²+4²=5, 원점까지는 3²+4²+12²=13입니다(590번으로 검산― 6.1 f508번에서 쓴 것과 같은 점).
사용 : 588번 · 589번 ①②③ · 590번(거리 공식) · 3.1 f163번(피타고라스 정리) · 공간도형의 기본 성질
증명 끝
591번―P(3,4,12)에서 xy평면에 내린 수선의 발 H(3,4,0)과 z축에 내린 수선의 발 K(0,0,12). 직각 표시는 PH ⊥ xy평면(정확히는 PH ⊥ H를 지나는 xy평면 위의 직선)과 PK ⊥ z축을 나타냅니다. 좌표 3:4:12를 그대로 픽셀에 대입했고, PH=12, PK=5, OP=13입니다.
592정리선분의 내분점과 외분점(공간)p = (nx₁+mx₂m+n, ny₁+my₂m+n, nz₁+mz₂m+n)
증명법 : 직접증명법(벡터 이용―7.2 f550·f551번의 논증을 성분 하나 늘려 그대로 옮김)
정의(내분점·외분점). 두 점 A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂)(A≠B)와 양수 m, n에 대해, 선분 AB 위의 점 P가 AP:PB = m:n(길이의 비)을 만족시키면 P를 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점이라 합니다. 또 m≠n일 때, 직선 AB 위에서 선분 AB의 바깥쪽에 있는 점 Q가 AQ:QB = m:n을 만족시키면 Q를 선분 AB를 m:n으로 외분하는 점이라 합니다―7.2 f550·f551번과 똑같이, 공간에도 고정된 기준 방향이 없으므로 부호 없는 길이의 비로 정의하고 «사이/바깥»을 정의에 함께 명시합니다.
주장. 위 정의를 만족하는 P, Q는 각각 유일하게 존재하며, 좌표는 다음과 같습니다 :
p = (nx₁+mx₂m+n, ny₁+my₂m+n, nz₁+mz₂m+n)
q = (mx₂−nx₁m−n, my₂−ny₁m−n, mz₂−nz₁m−n)
| (내분) P가 선분 AB 위에서 AP:PB=m:n이므로 AP, PB는 같은 방향이고 크기의 비가 m:n ⇒ AP = mm+nAB | 정의(내분점) · 6.2 f509번(덧셈) · 6.4 f523·f525번(같은 방향은 양의 실수배) |
| (외분) m>n이면 AQ, AB가 같은 방향이고 |AQ|=(1+k)|AB|, k=nm−n ⇒ AQ = mm−nAB; m<n이면 계수 mm−n이 음수가 되어 방향 반전을 자동으로 반영 | 정의(외분점) · 비례식 · 6.4 f525번(반대 방향은 음의 실수배) |
| AB = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)―공간에서도 성분 하나가 늘어날 뿐 같은 공식 | 6.1 f503번(공간의 경우) |
| p = a + AP, q = a + AQ를 좌표별로 전개 후 통분 ⇒ 위 두 공식 | 6.2 f510번(성분별 덧셈―공간) · 6.4 f523번(성분별 실수배―공간) |
존재성(역확인)과 유일성. 내분의 경우 AP = mm+nAB이고 0<mm+n<1이므로 P는 선분 AB 위(A, B 사이)에 있고, PB = AB−AP = nm+nAB에서 |AP|:|PB| = m:n이 실제로 성립합니다. 외분의 경우 계수 mm−n는 m,n>0, m≠n이므로 0도 1도 아니고 구간 (0,1) 밖(m>n이면 >1, m<n이면 <0)이므로 Q는 직선 AB 위이되 선분 AB 밖에 있습니다. 두 경우 모두 유도의 모든 단계가 동치 변형이므로 유일성도 함께 확인됩니다.
이 결과는 7.2 f550·f551번(평면)의 공식을 세 성분에 각각 그대로 적용한 것과 정확히 같은 형태입니다―벡터의 덧셈·실수배가 각 좌표에서 독립적으로 이뤄진다는 사실(6.2 f510·6.4 f523번)이 공간에서도 그대로 성립하기 때문입니다.
사용 : 6.1 f503번 · 6.2 f509·f510번 · 6.4 f523·f525번 · 7.2 f550·f551번(평면 공식과의 형태적 일치)
증명 끝
593정리선분의 중점과 삼각형의 무게중심(공간)g = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3, z₁+z₂+z₃3)
증명법 : 직접증명법(대칭성을 이용한 공점성 증명―7.2 f553번과 같은 구조)
정의(중점). 선분 AB의 중점 M은 선분 AB를 1:1로 내분하는 점(592번에서 m=n=1)으로 정의합니다.
주장 ①(중점의 좌표).
xM = x₁+x₂2, yM = y₁+y₂2, zM = z₁+z₂2
| 592번에 m=n=1 대입 : xM = 1·x₁+1·x₂1+1 = x₁+x₂2, yM·zM도 동일 | 592번(내분점의 좌표), m=n=1 |
또 590번(거리 공식)으로 d(A,M) = d(M,B) = 12d(A,B)임을 직접 확인할 수 있습니다―세 성분의 차가 모두 정확히 절반이 되므로 제곱합이 14배가 되기 때문입니다.
주장 ②(삼각형의 무게중심). 공간의 세 점 A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂), C(x₃,y₃,z₃)가 한 직선 위에 있지 않을 때, 세 중선 AD, BE, CF(D, E, F는 각각 BC, CA, AB의 중점)는 한 점에서 만나고, 그 교점은 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분합니다. 이 점을 무게중심 G라 하며 좌표는 다음과 같습니다 :
g = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3, z₁+z₂+z₃3)
| D는 BC의 중점 ⇒ D = (x₂+x₃2, y₂+y₃2, z₂+z₃2) | ①(중점의 좌표) |
| A, D를 2:1로 내분한 점의 x좌표 : 1·x₁+2·x₂+x₃22+1 = x₁+x₂+x₃3 (y, z좌표도 같은 과정) | 592번(내분점의 좌표), m=2, n=1 |
| ∴ 그 점은 (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3, z₁+z₂+z₃3)―세 점의 이름 교환에 대해 완전히 대칭인 식 | 위 결과 정리 |
| 같은 방식으로 B, E를 2:1로, C, F를 2:1로 내분한 점을 계산하면―문자만 순환시킨 결과―똑같은 점이 나옴 | 식의 대칭성(순수 대수) |
즉 세 점이 모두 같으므로 이 점은 세 중선 AD, BE, CF 위에 동시에 있고, 따라서 세 중선은 이 점에서 공통으로 만나며(공점) 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1로 내분합니다. 7.2 f553번(평면)과 완전히 같은 논증이며, 세 점이 한 평면 위에 있다는 사실(한 직선 위에 있지 않은 세 점은 한 평면을 결정)조차 좌표 계산에는 전혀 쓰이지 않습니다.
사용 : 592번(내분점의 좌표, m=n=1 및 m=2,n=1) · 590번(거리 공식) · 7.2 f552·f553번(평면 공식과의 형태적 일치)
증명 끝
592·593번―A(1,2,2), B(3,5,8)에 대해 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 P(73,4,6), 중점 M(2,72,5), 2:1로 외분하는 점 Q(5,8,14). Q는 직선 AB 위에 있되 선분 AB 바깥(B보다 바깥쪽)에 있습니다. 모든 좌표를 실제 공식값 그대로 픽셀에 대입했습니다.
594정리좌표평면 · 좌표축 · 원점에 대한 대칭점A(a,b,c) → (a,b,−c), (−a,−b,c), (−a,−b,−c)
증명법 : 직접증명법(591번의 수선의 발과 593번의 중점을 결합)
정의(대칭점). 점 A와 평면 π에 대해, A∉π일 때 선분 AA′의 중점이 π 위에 있고 AA′ ⊥ π인 점 A′를 A의 π에 대한 대칭점이라 하고(A∈π이면 A′=A로 정합니다). 직선 ℓ에 대해서도 같은 방식―선분 AA′의 중점이 ℓ 위에 있고 AA′ ⊥ ℓ―으로, 점 O에 대해서는 선분 AA′의 중점이 O인 것으로 정의합니다.
정리. A(a,b,c)의 대칭점은 다음과 같습니다.
| xy평면에 대한 대칭점 | (a, b, −c) |
| yz평면에 대한 대칭점 | (−a, b, c) |
| zx평면에 대한 대칭점 | (a, −b, c) |
| x축에 대한 대칭점 | (a, −b, −c) |
| y축에 대한 대칭점 | (−a, b, −c) |
| z축에 대한 대칭점 | (−a, −b, c) |
| 원점에 대한 대칭점 | (−a, −b, −c) |
1단계―xy평면. D(a,b,−c)로 둡니다(c=0이면 D=A로 정의와 일치하므로 c≠0이라 해도 됩니다).
| 선분 AD의 중점 = (a+a2, b+b2, c+(−c)2) = (a, b, 0) ∈ xy평면 | 593번 ①(중점의 좌표) · 589번 ②(z=0) |
| A, D는 x·y좌표가 같으므로 591번 1단계의 직선 ℓ(=α∩β) 위에 함께 있고 ℓ ⊥ xy평면 ⇒ AD ⊥ xy평면 | 591번 1단계 |
| ∴ D는 A의 xy평면에 대한 대칭점 (그 중점 (a,b,0)이 바로 591번의 수선의 발 H) | 위 두 줄 · 대칭점의 정의 |
2단계―z축. E(−a,−b,c)로 둡니다.
| 선분 AE의 중점 = (a+(−a)2, b+(−b)2, c+c2) = (0, 0, c) ∈ z축 | 593번 ① · 589번 ③(x=y=0) |
| A, E는 z좌표가 c로 같으므로 591번 2단계의 평면 γ(z축에 수직) 위에 함께 있음 ⇒ AE ⊂ γ ⇒ AE ⊥ z축 | 591번 2단계 · 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직 |
| ∴ E는 A의 z축에 대한 대칭점 (그 중점 (0,0,c)가 바로 591번의 수선의 발 K) | 위 두 줄 · 대칭점의 정의 |
3단계―원점. F(−a,−b,−c)로 두면 선분 AF의 중점이 (a+(−a)2, b+(−b)2, c+(−c)2) = (0,0,0) = O이므로, 정의에 의해 F가 A의 원점에 대한 대칭점입니다(593번 ①).
나머지 네 경우(yz평면·zx평면·x축·y축)는 좌표의 이름만 순환시킨 같은 논증으로 얻어집니다.
규칙으로 외우기. 대칭의 기준이 좌표평면이면 그 평면에 이름이 없는 한 좌표의 부호만 바뀌고(xy평면 → z만), 좌표축이면 그 축이 아닌 두 좌표의 부호가 바뀌며(z축 → x, y), 원점이면 세 좌표 모두 바뀝니다―바뀌는 좌표의 개수가 차례로 1개·2개·3개입니다.
사용 : 591번(수선의 발) · 593번 ①(중점의 좌표) · 589번 ②③(좌표평면·좌표축의 좌표에 의한 특징)
증명 끝
594번―A(1,2,2)의 xy평면에 대한 대칭점 D(1,2,−2), z축에 대한 대칭점 E(−1,−2,2), 원점에 대한 대칭점 F(−1,−2,−2). 선분 AD의 중점 (1,2,0)은 xy평면 위, 선분 AE의 중점 (0,0,2)는 z축 위, 선분 AF의 중점은 O입니다―그림의 세 대칭 관계는 모두 실제 좌표를 그대로 픽셀에 대입해 그렸습니다.
595정리—활용활용―거리 · 내분 · 외분 · 중점 · 무게중심 · 수선의 발 · 대칭점 종합 예제A(1,2,2), B(3,5,8), C(8,8,8)
예제. A(1,2,2), B(3,5,8), C(8,8,8)에 대해 590–594번을 모두 수치로 확인합니다.
1단계―거리(590번).
| d(A,B) = (3−1)²+(5−2)²+(8−2)² = 2²+3²+6² = 4+9+36 = 49 = 7 | 590번(거리 공식) |
| d(A,C) = 7²+6²+6² = 49+36+36 = 121 = 11 | 590번 |
| d(B,C) = 5²+3²+0² = 34 | 590번 |
세 변의 길이가 7, 11, 34이고 34≈5.83이므로, 가장 긴 변 11이 나머지 두 변의 합 7+34≈12.83보다 작습니다―삼각부등식이 등호 없이 성립하므로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있지 않습니다(한 직선 위에 있다면 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합과 정확히 같아야 함).
2단계―2:1 내분점(592번).
| p = (1·1+2·32+1, 1·2+2·52+1, 1·2+2·82+1) = (73, 123, 183) = (73, 4, 6) | 592번(내분점), m=2, n=1 |
검산 : AP = (43)²+2²+4² = 16+36+1449 = 1969 = 143, PB = (23)²+1²+2² = 4+9+369 = 499 = 73이므로 AP:PB = 143:73 = 2:1―일치합니다. 또 AP+PB = 213 = 7 = d(A,B)이므로 P가 실제로 A, B 사이에 있습니다.
3단계―2:1 외분점(592번).
| q = (2·3−1·12−1, 2·5−1·22−1, 2·8−1·22−1) = (5, 8, 14) | 592번(외분점), m=2, n=1(m>n이므로 B보다 바깥쪽) |
검산 : AQ = 4²+6²+12² = 16+36+144 = 196 = 14, QB = 2²+3²+6² = 7이므로 AQ:QB = 14:7 = 2:1이고, AQ = AB + BQ (14 = 7+7)이므로 Q가 B보다 바깥쪽에 있음도 확인됩니다.
4단계―중점(593번 ①).
| M = (1+32, 2+52, 2+82) = (2, 72, 5) | 593번 ①(중점의 좌표) |
검산 : AM = 1²+(32)²+3² = 4+9+364 = 494 = 72 = 12d(A,B)이고 MB도 같습니다.
5단계―무게중심(593번 ②).
| G = (1+3+83, 2+5+83, 2+8+83) = (123, 153, 183) = (4, 5, 6) | 593번 ②(무게중심의 좌표) |
세 중선으로 각각 교차 검산합니다. BC의 중점 D = (112, 132, 8)이므로 A, D를 2:1로 내분하면 (1·1+2·1123, 1·2+2·1323, 1·2+2·83) = (4,5,6). CA의 중점 E = (92, 5, 5)이므로 B, E를 2:1로 내분하면 (3+93, 5+103, 8+103) = (4,5,6). AB의 중점 F = (2, 72, 5)이므로 C, F를 2:1로 내분하면 (8+43, 8+73, 8+103) = (4,5,6)― 세 결과가 모두 같으므로 세 중선이 실제로 G에서 만납니다.
6단계―수선의 발과 거리(591번). A(1,2,2)에 대해 :
| xy평면에 내린 수선의 발 (1,2,0) | 거리 |2| = 2 |
| yz평면에 내린 수선의 발 (0,2,2) | 거리 |1| = 1 |
| z축에 내린 수선의 발 (0,0,2) | 거리 1²+2² = 5 |
| 원점 O까지의 거리 | 1²+2²+2² = 9 = 3 |
7단계―대칭점(594번). A(1,2,2)의 xy평면에 대한 대칭점은 (1,2,−2), z축에 대한 대칭점은 (−1,−2,2), 원점에 대한 대칭점은 (−1,−2,−2)입니다. 세 대칭점 모두 원점으로부터의 거리가 3으로 A와 같은데, 이는 대칭이동이 거리를 보존한다는 사실(590번의 공식이 각 좌표의 제곱만 쓰므로 부호가 바뀌어도 값이 변하지 않음)의 한 예입니다.
사용 : 590번(거리) · 591번(수선의 발) · 592번(내분·외분) · 593번(중점·무게중심) · 594번(대칭점)
증명 끝