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6.1   수능 관련

벡터의 성분

Vector Coordinates

정의 · 공식과 증명

이 절은 벡터(vector)라는 새로운 대상을 처음으로 도입하는 절입니다. 유향선분(방향이 있는 선분)과 그 사이의 평행이동에 의한 동치 관계로부터 시작해(501번), 좌표평면 위의 위치벡터를 이용해 벡터를 순서쌍으로 나타내는 «성분» 개념을 정의하고(502번), 두 점으로부터 벡터의 성분을 직접 계산하는 공식(503번)과 벡터의 상등 조건(504번)을 증명합니다. 이어서 벡터의 크기(노름)를 정의하고(505번), 그 계산 공식을 1.1 f25번(좌표평면)과 3.1 f163번(피타고라스 정리)만으로 증명합니다(평면은 506번, 이를 한 번 더 확장한 공간의 경우는 507번). 508번은 이 모든 공식을 구체적인 수치(3·4·5와 5·12·13)로 확인하는 활용 예제입니다. 이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다 (pending-forward-refs.json 재확인 완료 — 6.1을 needs_section으로 지정한 항목은 없습니다). 이 절에서 도입하는 «성분(x,y)로 벡터를 나타내는 표기»와 표준기저벡터 i, j, k에 대한 완전한 대수적 취급(덧셈·실수배와의 관계)은 6.2(벡터의 덧셈)·6.4(벡터의 실수배)에서 다룹니다.

501정의벡터(유향선분의 동치류)AB∼CD ⇔ 크기·방향이 같음

정의(유향선분). 평면 위의 서로 다른 두 점 A, B에 대해 A에서 B로 향하는 유향선분(방향이 있는 선분)을 AB―(화살표를 얹어 로도 씀)―로 나타내고, A를 시점, B를 종점이라 합니다. 유향선분 AB의 크기는 선분 AB의 길이이고, 방향은 A에서 B로 향하는 방향입니다.

정의(평행이동, 좌표에 의한 정의). 실수 h, k에 대해 평면의 변환 T_h,k : (x,y) ↦ (x+h, y+k)를 평행이동이라 합니다. 이는 벡터라는 개념을 전혀 쓰지 않고 좌표만으로 정의되는 순수한 대수적 변환입니다(뒤에서 이 평행이동 자체가 벡터 (h,k)에 대응함을 502·503번이 보이지만, 지금 이 정의 단계에서는 아직 벡터를 쓰지 않습니다―정의 순서가 거꾸로 돌지 않도록 하기 위함입니다). 평행이동은 두 점 사이의 거리와 방향을 바꾸지 않는 합동변환(등거리변환)입니다―이는 중학교 도형의 이동에서 다루는 평행이동의 기본 성질입니다.

정의(유향선분의 동치, equipollence). 두 유향선분 AB, CD에 대해, 어떤 평행이동 T_h,k가 A↦C와 B↦D를 동시에 만족시키면(같은 h, k) AB와 CD가 동치(equipollent)라 하고 AB∼CD로 씁니다. 이 관계는 동치관계입니다―평행이동 전체가 합성에 대해 닫혀 있기 때문입니다 : 항등변환 T_0,0이 반사성을, 역변환 T_−h,−k가 대칭성을, 합성 T_h₁,k₁∘T_h₂,k₂=T_{h₁+h₂,k₁+k₂}가 다시 평행이동이라는 사실이 추이성을 줍니다.

정의(벡터). 이 동치관계 아래에서 서로 동치인 유향선분들을 하나로 묶은 것을 벡터라 하고, v 또는 AB처럼 씁니다. 벡터는 시점의 위치와 무관하게 크기와 방향만으로 정해지므로 자유벡터(free vector)라고도 부릅니다―임의의 점을 시점으로 다시 그려도 같은 벡터를 나타낸다는 뜻입니다.

대학 참고. 위 문단의 «동치관계 아래에서 동치인 것들을 하나로 묶은 것»은 동치류(equivalence class), 즉 유향선분 전체의 집합을 이 동치관계로 나눈 몫집합(quotient set)의 원소라는 것이 대학 집합론의 정확한 표현입니다. 고교·수능 범위에서는 «크기와 방향이 같으면 같은 벡터»라는 직관적 서술만으로 충분하며, 수능 준비생이 동치류·몫집합 같은 용어까지 공부할 필요는 없습니다.

보조정리(위치벡터 표현의 존재성과 유일성). 임의의 유향선분 AB와 임의의 점 C에 대해, C를 시점으로 하고 AB와 동치인 유향선분 CD가 유일하게 존재합니다.

존재성 : A(a₁,a₂), C(c₁,c₂)라 하고 h=c₁−a₁, k=c₂−a₂로 두면 Th,k(A)=C	Th,k의 정의에 대입
D := Th,k(B)로 두면 Th,k가 A↦C, B↦D를 동시에 만족 ⇒ AB∼CD	동치의 정의(같은 h,k)
유일성 : C를 시점으로 하는 CD, CD′가 모두 AB와 동치라면 CD∼CD′(대칭성·추이성)	동치관계이므로
CD∼CD′를 주는 평행이동 Th′,k′는 C↦C를 만족 ⇒ Th′,k′(C)=(c₁+h′,c₂+k′)=C ⇒ h′=k′=0	Th′,k′의 정의에서 C=C를 대입
⇒ Th′,k′=T0,0(항등변환) ⇒ D′=T0,0(D)=D	h′=k′=0을 정의에 대입

따라서 D′=D―시점이 C인 대표 유향선분은 하나뿐입니다.

사용 : 1.1의 f25번 (좌표평면, 순서쌍) · 중학 도형의 이동(평행이동이 두 점 사이의 거리·방향을 보존한다는 기본 성질―4.6 f431번이 대칭이동에 대해 같은 수준으로 사용한 것과 동일한 근거)

502정의벡터의 성분과 표준기저벡터v=(x,y), i=(1,0), j=(0,1)

정의(위치벡터). 원점 O를 시점으로 하는 벡터의 대표 유향선분을 위치벡터(position vector)라 부릅니다. 501번의 보조정리(C=O인 경우)에 의해, 임의의 벡터 v에 대해 시점이 O인 대표 유향선분 OP가 유일하게 존재합니다.

정의(성분, components). 점 P의 좌표가 (x,y)일 때, 벡터 v=OP의 성분(좌표)을 (x,y)라 하고 v=(x,y)로 씁니다(순서쌍이므로 1.1 f25번의 좌표평면 ℝ×ℝ의 원소). 501번의 유일성 덕분에 이 성분은 벡터 v 하나에 대해 오직 하나로 정해집니다(잘 정의됨, well-defined)―즉 v를 어떤 유향선분으로 표현하든 그 위치벡터 표현은 항상 같은 P로 귀결됩니다.

정의(공간벡터, 3차원 확장). 좌표공간에서도 평행이동을 T_h,k,l : (x,y,z) ↦ (x+h,y+k,z+l)로, 유향선분의 동치·벡터·위치벡터·성분을 501·502번과 완전히 같은 방식으로 정의합니다―점이 하나 더 늘었을 뿐 정의·보조정리의 논증 구조는 그대로입니다. 이때 벡터의 성분은 순서쌍이 아니라 순서 3짝(x,y,z)∈ℝ×ℝ×ℝ의 원소입니다.

정의(표준기저벡터). 평면에서 i=(1,0), j=(0,1)을, 공간에서 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)을 표준기저벡터라 합니다. i, j(, k)는 각각 x축, y축(, z축) 방향의 단위 길이를 나타내는 벡터입니다.

표기 예고. 벡터 v=(x,y)를 xi+yj의 형태로도 쓸 수 있는데, 이 표기가 성립하려면 벡터의 실수배(xi란 벡터 i를 x배로 늘인 것)와 덧셈(그 둘을 이어붙이는 것)이 먼저 정의되어야 합니다―덧셈은 6.2에서 다루지만, 실수배가 정의되기 전까지는 xi 자체가 아직 성립하지 않는 표기이므로 6.4(벡터의 실수배) f530번에서 v=xi+yj가 성립함을 실제로 증명합니다. 지금 이 절에서는 (x,y)라는 순서쌍 표기만 사용합니다.

사용 : 501번(위치벡터 표현의 존재성·유일성) · 1.1의 f25번(좌표평면)

503정리두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식AB=(x₂−x₁, y₂−y₁)

증명법 : 직접증명법(구체적인 평행이동을 하나 제시해 501·502번의 정의를 직접 적용)

주장. A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)일 때, 벡터 AB의 성분은 다음과 같습니다(공간에서는 A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂)일 때 (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)) :

AB = (x₂−x₁,   y₂−y₁)

1단계—O로 보내는 평행이동을 구체적으로 잡음. h=−x₁, k=−y₁로 두고 T_h,k : (x,y)↦(x−x₁, y−y₁)를 생각합니다.

Th,k(A) = (x₁−x₁, y₁−y₁) = (0,0) = O	Th,k의 정의에 A(x₁,y₁) 대입
Th,k(B) = (x₂−x₁, y₂−y₁) =: P	Th,k의 정의에 B(x₂,y₂) 대입, P를 새로 이름 붙임

2단계—동치·위치벡터의 정의 적용. 같은 T_h,k가 A↦O, B↦P를 동시에 만족시키므로, 501번의 동치 정의에 의해 AB∼OP―즉 유향선분 AB와 OP는 같은 벡터를 나타냅니다 : AB=OP. 그런데 OP는 시점이 O인 유향선분이므로 502번의 정의에 의해 이것이 바로 벡터 AB의 위치벡터 표현이고, 그 성분은 종점 P의 좌표 (x₂−x₁, y₂−y₁)입니다.

∴ AB = (x₂−x₁, y₂−y₁)

공간(3차원)의 경우. h=−x₁, k=−y₁, l=−z₁로 둔 T_h,k,l에 완전히 같은 논증을 적용하면 AB=(x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)을 얻습니다―점 하나가 늘었을 뿐 1·2단계의 구조는 그대로입니다.

수치 검산. A(2,1), B(5,5)라면 AB=(5−2, 5−1)=(3,4)입니다―아래 참조 그림에서 이 평행이동(−2,−1)이 실제로 A를 O로, B를 P(3,4)로 보내는 것을 확인할 수 있습니다.

사용 : 501번(유향선분의 동치 정의) · 502번(위치벡터·성분의 정의)

증명 끝

504정리벡터의 상등u=v ⇔ 대응하는 성분이 모두 같음

증명법 : 직접증명법(501번 보조정리의 유일성 논증을 O를 시점으로 하는 경우에 재적용)

주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)에 대해, 다음은 서로 동치입니다(공간에서도 같은 방식으로 성립) :

u = v  ⇔  x₁=x₂ 그리고 y₁=y₂

u, v의 위치벡터 표현을 각각 OP₁, OP₂(P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂))라 합니다―502번에 의해 유일하게 존재합니다.

(⇐) 성분이 같으면 같은 벡터. x₁=x₂, y₁=y₂이면 P₁=P₂이므로 OP₁와 OP₂는 글자 그대로 같은 유향선분입니다. 같은 유향선분은 항등변환 T_0,0에 의해 자기 자신과 동치이므로(501번 동치관계의 반사성) OP₁∼OP₂, 즉 u=v입니다.

(⇒) 같은 벡터이면 성분이 같음. u=v이면 정의상 두 벡터의 임의의 대표 유향선분끼리는 서로 동치이므로, 특히 OP₁∼OP₂입니다. 이를 주는 평행이동을 T_h,k라 하면 O↦O를 만족시켜야 합니다 :

Th,k(O) = (0+h, 0+k) = (h,k)	Th,k의 정의(501번)에 O(0,0) 대입
Th,k(O) = O 이어야 하므로 (h,k)=(0,0), 즉 h=k=0	OP₁∼OP₂가 요구하는 조건(시점 O↦O)
⇒ Th,k = T0,0(항등변환) ⇒ P₂ = T0,0(P₁) = P₁	h=k=0을 Th,k의 정의에 대입

∴ P₂=P₁  ⇔  (x₂,y₂)=(x₁,y₁)  ⇔  x₁=x₂, y₁=y₂

이는 501번 보조정리의 유일성 부분(C=O인 경우)을 그대로 다시 쓴 것과 같은 논증입니다―거기서는 «같은 시점을 갖는 두 동치 유향선분은 종점도 같다»를 보였는데, 여기서는 그 명제를 «성분이 같은 것»의 언어로 다시 읽은 것뿐입니다.

사용 : 501번(유향선분의 동치 정의, 동치관계의 반사성) · 502번(위치벡터의 유일성)

증명 끝

505정의벡터의 크기, 영벡터, 단위벡터|v| := |OP|,  0 := (0,0)

정의(크기, norm). 벡터 v의 위치벡터 표현을 OP라 할 때, v의 크기(길이, norm)를 |v| := |OP|(선분 OP의 길이)로 정의합니다. 이 값은 v를 어떤 유향선분으로 나타내든 항상 같습니다―평행이동은 두 점 사이의 거리를 바꾸지 않는 합동변환(501번에서 이미 사용한 중학 도형의 이동 수준의 기본 성질)이므로, 서로 동치인 유향선분들은 모두 길이가 같기 때문입니다. 즉 |v|는 잘 정의됩니다(well-defined).

정의(영벡터). 501번의 유향선분 정의는 «서로 다른 두 점» A≠B를 전제했으므로, 시점과 종점이 일치하는 경우(A=B)는 그 정의에서 제외되어 있습니다. 이 경우를 별도로 영벡터(zero vector) 0으로 정의합니다―크기가 |0|=0이고, 방향은 정해지지 않은 특수한 벡터입니다. 성분으로는 0=(0,0)(공간에서는 0=(0,0,0))입니다.

정의(단위벡터). |v|=1인 벡터 v를 단위벡터(unit vector)라 합니다. 표준기저벡터 i=(1,0), j=(0,1)(공간의 k=(0,0,1)도 마찬가지)은 단위벡터의 예입니다(506번의 크기 공식으로 |i|=1²+0²=1임을 바로 확인할 수 있습니다).

사용 : 501번(평행이동이 거리를 보존한다는 성질, 위치벡터의 정의) · 502번(성분의 정의)

506정리벡터의 크기 공식 (평면)|v| = x²+y²

증명법 : 직접증명법(피타고라스 정리를 직각삼각형 OQP에 적용, 축 위의 경계 경우는 따로 확인)

주장. v=(x,y)일 때, 다음이 성립합니다 :

|v| = x²+y²

v의 위치벡터 표현을 OP(P(x,y))라 하면, 505번의 정의에 의해 |v|=|OP|입니다. 이제 |OP|=x²+y²임을 보입니다.

경계 경우(x=0 또는 y=0). x=0이면 P는 y축 위의 점 (0,y)이므로 |OP|=|y|=y²=0²+y²로 공식이 그대로 성립합니다. y=0인 경우도 대칭적으로 |OP|=|x|=x²+0²로 성립합니다.

일반 경우(x≠0이고 y≠0). Q(x,0)을 P에서 x축에 내린 수선의 발이라 합니다. 그러면 OQ는 x축 위의 선분(길이 |x|), QP는 x축에 수직인 선분(길이 |y|)이므로, 삼각형 OQP는 Q에서 직각인 직각삼각형입니다.

OQ = |x|,   QP = |y|,   ∠OQP = 90°	Q(x,0)의 구성(수선의 발)
OP² = OQ² + QP² = x² + y²	피타고라스 정리(3.1 f163번), |x|²=x²이므로
OP ≥ 0 이므로 OP = x²+y²	길이는 음이 아니므로 음이 아닌 제곱근을 취함

경계 경우와 일반 경우 모두 같은 식 |v|=x²+y²로 통합되므로―경우에 따라 다른 공식이 필요하지 않습니다―임의의 v=(x,y)에 대해 이 공식이 성립합니다.

수치 검산. v=(3,4)라면 |v|=3²+4²=9+16=25=5입니다(3²+4²=25=5², Python으로 재확인).

사용 : 505번(크기의 정의) · 3.1의 f163번(피타고라스 정리)

증명 끝

507정리벡터의 크기 공식 (공간, 3차원 확장)|v| = x²+y²+z²

증명법 : 직접증명법(506번의 평면 공식을 z=0인 xy평면에 적용한 뒤, 피타고라스 정리를 한 번 더 적용)

주장. v=(x,y,z)일 때, 다음이 성립합니다 :

|v| = x²+y²+z²

v의 위치벡터 표현을 OP(P(x,y,z))라 합니다. Q(x,y,0)을 P에서 xy평면에 내린 발이라 하면, Q는 xy평면 위의 점이므로 506번(평면의 경우, z좌표가 관여하지 않는 xy평면 안의 점들에 그대로 적용)을 d:=OQ에 적용할 수 있습니다 :

d := OQ = x²+y²	506번을 점 Q(x,y,0)—xy평면 위의 점이므로 x,y성분만 있는 평면 벡터와 같은 상황—에 적용
QP = |z|,   QP ⊥ xy평면	Q(x,y,0), P(x,y,z)는 x,y좌표가 같고 z좌표만 다르므로 QP는 z축에 평행 — z축은 xy평면과 수직
OQ ⊂ xy평면이고 QP ⊥ xy평면이므로 OQ ⊥ QP, 즉 ∠OQP = 90°	평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직(공간도형의 기본 성질)
OP² = OQ² + QP² = d² + z² = (x²+y²) + z²	피타고라스 정리(3.1 f163번)를 직각삼각형 OQP에 재적용
OP ≥ 0 이므로 OP = x²+y²+z²	길이는 음이 아니므로 음이 아닌 제곱근을 취함

피타고라스 정리를 두 번―한 번은 xy평면 안에서(506번), 한 번은 xy평면과 수직 방향으로―적용해 얻은 결과입니다. 적분·극한 논증은 전혀 쓰지 않은 순수한 종합기하 논증이므로, 이 절 전체에 대학 과정(집합론 언어를 쓴 501번의 univ-note 제외) 표기가 필요한 다른 지점은 없습니다.

수치 검산. v=(3,4,12)라면 d=3²+4²=25=5이고, |v|=5²+12²=25+144=169=13입니다 (3²+4²+12²=169=13², Python으로 재확인).

사용 : 506번(평면의 크기 공식) · 3.1의 f163번(피타고라스 정리) · 평면에 수직인 직선의 기본 성질(공간도형)

증명 끝

508정리—활용성분과 크기의 계산 예제A(2,1)→B(5,5), |AB|=5

예제. 평면 위의 두 점 A(2,1), B(5,5)에 대해 벡터 AB의 성분과 크기를 구하고, 이를 z=12만큼 더 나아간 공간의 점 A′(2,1,0), B′(5,5,12)로 확장했을 때의 크기까지 구해 봅니다.

1단계—평면에서 성분(503번).

AB = (5−2, 5−1) = (3,4)

503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식)

2단계—평면에서 크기(506번).

|AB| = 3²+4² = 9+16 = 25 = 5

506번(벡터의 크기 공식)

3단계—공간으로 확장(503·507번). A′(2,1,0), B′(5,5,12)에 503번의 공간 버전을 적용합니다 :

A′B′ = (5−2, 5−1, 12−0) = (3,4,12)	503번(공간 버전)
|A′B′| = 3²+4²+12² = 9+16+144 = 169 = 13	507번(공간의 크기 공식)

일관성 확인. 3²+4²=25=5²이고 5²+12²=25+144=169=13²이므로, A′B′의 크기는 507번의 증명이 실제로 사용한 «평면에서 구한 d=5에 z=12를 다시 피타고라스 정리로 결합»하는 방식과 정확히 일치합니다(3,4,5와 5,12,13이 모두 피타고라스 세 쌍이라는 사실이 우연히 겹쳐 계산이 깔끔해진 예입니다). 두 계산 모두 Python으로 오차 없이 재확인했습니다.

사용 : 503번(성분 공식) · 506번(평면의 크기 공식) · 507번(공간의 크기 공식)

증명 끝

참조 그림

501·502·503·508번―평행이동에 의한 유향선분의 동치를 실제 수치 A(2,1)→B(5,5)로 확인한 그림입니다. 평행이동 (−2,−1)이 A를 O로, B를 P(3,4)로 동시에 옮기므로(회색 점선 화살표), 유향선분 AB와 위치벡터 OP는 501번의 정의에 의해 같은 벡터를 나타냅니다―이것이 503번에서 증명한 성분 공식 AB=(3,4)의 기하학적 의미입니다. 좌표는 모두 실제 값을 그대로 픽셀에 대입했습니다 (scale=40px/단위).

506번의 증명에 쓰인 직각삼각형 OQP―v=(3,4)인 구체적인 예로, 다리 x=3, y=4, 빗변 |v|=5(피타고라스 정리, 3.1 163번)를 실제 좌표 (scale=50px/단위)로 계산해 그린 정확한 단면 도형입니다.

507번의 두 번째 피타고라스 적용―v=(3,4,12)인 예에서 d=OQ=5, z=12, |v|=5²+12²=13(정확한 2D 단면 도형, scale=18px/단위). 506번의 첫 번째 삼각형(위 그림)과 이 두 번째 삼각형을 이어 붙이면 507번의 증명 전체가 완성됩니다.

참고 도형(원근)―v=(3,4,12)에 대응하는 직육면체를 원근감 있게 그린 것입니다. 변의 비율 x:y:z=3:4:12를 실제 공식값 그대로 픽셀에 대입했고(오블리크 투영, x축을 30° 방향으로 0.6배 축소, scale=11px/단위), 대각선이 곧 벡터의 크기 |v|=13입니다. 가려진 뒤쪽 모서리 3개는 점선으로, 보이는 모서리 9개는 실선으로 표시했습니다―506·507번의 증명 자체는 이 참고 그림이 아니라 위 두 개의 정확한 2D 단면 그림에 근거합니다.