6.4
벡터의 실수배
Scaling Vectors
정의 · 공식과 증명
이 절은 6.1―6.3에서 정의한 벡터의 성분·덧셈·뺄셈에 이어, 벡터에 실수를 곱하는 연산―실수배(스칼라배) kv:=(kx,ky)―를 도입합니다(523번). 크기 공식 |kv|=|k||v|(524번)를 증명한 뒤, 6.2 515번과 6.3 521번에서 좌표로 쓴 «같은 방향»·«반대 방향»을 실수배로 정식 정의하고(525번), kv가 부호에 따라 정확히 그 방향을 가짐과 «평행 ⇔ 성분 판정식 ⇔ 세 점이 한 직선 위»를 증명합니다. 이어서 실수배가 만족하는 두 분배법칙과 결합법칙(526·527번)을 증명하고, 512·513·514·518번의 아벨군 공리와 합쳐 (V,+,·)가 실수 위의 벡터공간의 여덟 공리를 모두 만족함을 확인합니다(528번, 대학 참고)―이때 517번의 음벡터가 k=−1인 실수배의 특수한 경우였음도 드러납니다. 마지막으로 임의의 벡터로부터 같은 방향의 단위벡터를 구성하고(529번), 6.1 f502번이 «표기 예고»로만 남겨 두었던 v=xi+yj(표준기저벡터에 의한 선형결합)를 드디어 정식으로 증명합니다(530번).
- 어떤 양의 실수 c>0가 존재해 u=cv이면, u와 v는 같은 방향(same direction)이라 합니다.
- 어떤 음의 실수 c<0가 존재해 u=cv이면, u와 v는 반대 방향(opposite direction)이라 합니다.
523정의벡터의 실수배(스칼라배)kv := (kx,ky)
정의(벡터의 실수배, scalar multiplication). 벡터 v=(x,y)와 실수 k에 대해, v의 k배(실수배·스칼라배) kv를 다음과 같이 정의합니다(공간에서는 v=(x,y,z)에 대해 kv:=(kx,ky,kz)) :
kv := (kx, ky)
이 연산에서 k를 스칼라(scalar)라 부릅니다―v와 달리 방향이 없는 보통의 실수 하나라는 것을 강조하는 이름입니다(«스칼라»라는 용어 자체를 몰라도 이후 내용을 이해하는 데는 지장이 없습니다). kv의 크기는 524번, 기하학적 방향은 525번에서 각각 엄밀하게 증명합니다― 직관적으로는 |k|배로 크기를 늘이거나 줄이고, k<0이면 방향까지 뒤집는 것입니다(517번의 −v=(−1)v가 이미 k=−1인 특수한 경우였습니다―528번에서 이 사실을 정식으로 확인합니다).
사용 : 502번(성분의 정의)
524정리실수배의 크기 공식|kv| = |k| |v|
증명법 : 직접증명법
주장. 임의의 벡터 v=(x,y)와 실수 k에 대해 다음이 성립합니다 :
|kv| = |k| · |v|
| |kv| = (kx)²+(ky)² = k²x²+k²y² = k²(x²+y²) | 523번(실수배의 정의)의 kv=(kx,ky)에 506번(크기 공식)을 적용 |
| = k²·x²+y² | 2.4의 f91번(곱의 거듭제곱근―k²≥0, x²+y²≥0이므로 조건 충족) |
| = |k| · x²+y² = |k| · |v| | 2.4의 f96번(근호와 거듭제곱의 순서, n=2가 짝수이므로 k²=|k|), 506번(|v|=x²+y²) |
수치 검산. v=(3,4), k=−2라면 kv=(−6,−8)이고 |kv|=36+64=100=10=|−2|·5=|k||v|입니다.
사용 : 523번(실수배의 정의) · 506번(크기 공식) · 2.4의 f91·f96번(거듭제곱근의 성질)
증명 끝
525정의 · 정리실수배의 방향―같은 방향·반대 방향의 정식 정의u=cv(c>0)⇔같은 방향, c<0⇔반대 방향
정의(같은 방향·반대 방향). 두 벡터 u, v가 둘 다 영벡터가 아닐 때, 다음과 같이 정의합니다 :
같은 방향이거나 반대 방향이면 두 벡터가 평행하다고 합니다. 이 관계들은 대칭입니다―u=cv(c≠0)이면 v=1cu이고(523번, 성분마다 c로 나눔), 1c는 c와 부호가 같습니다. 6.2 515번과 6.3 521번에서 좌표로 쓴 «같은 방향»(v=(tx,ty), t>0)·«반대 방향»(v=(−tx,−ty), t>0, u=(x,y))은 523번으로 쓰면 v=tu, v=(−t)u이므로 이 정의와 같은 관계입니다.
증명법(잘 정의됨, well-definedness) : 직접증명법(귀류법 성격의 계산)
주장 1(같은 방향과 반대 방향은 동시에 성립할 수 없음). v≠0이고 u≠0이면, u=cv(c>0)와 u=c′v(c′<0)가 동시에 성립하는 c, c′는 존재하지 않습니다―즉 방향 관계가 서로 배타적으로 잘 정의됩니다.
| cv=c′v라 가정하면 (c−c′)v=0 | 527번을 미리 쓰지 않고, 성분으로 직접 : c(x,y)=(cx,cy), c′(x,y)=(c′x,c′y)이므로 (cx−c′x, cy−c′y)=(0,0) |
| c>0>c′이므로 c−c′≠0, 그런데 (c−c′)x=0, (c−c′)y=0이므로 x=y=0 | 실수의 곱셈―0이 아닌 실수를 곱해 0이 되려면 나머지 인수가 반드시 0이어야 함(실수의 기본 성질) |
| ∴ v=(0,0)=0, 가정(v≠0)에 모순 | 505번(영벡터의 정의) |
따라서 v≠0인 한, u가 v와 같은 방향이면서 동시에 반대 방향일 수는 없습니다―두 정의가 서로 배타적입니다.
주장 2(kv의 방향). 임의의 v≠0와 실수 k≠0에 대해, kv는 다음을 만족합니다 :
k>0 ⇒ kv는 v와 같은 방향, k<0 ⇒ kv는 v와 반대 방향
523번의 정의 자체가 이미 «kv=k·v» 꼴이므로, 위 정의의 c를 그대로 c=k로 두면 됩니다―k>0이면 c=k>0인 경우(같은 방향)이고, k<0이면 c=k<0인 경우(반대 방향)입니다. kv≠0임은 524번(|kv|=|k||v|>0, k≠0이고 v≠0이므로)에서 보장됩니다.
주장 3(평행 판정). u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)가 둘 다 영벡터가 아니고, 한 점 O에서 OA=u, OB=v로 그릴 때, 다음 셋은 서로 동치입니다 :
(가) u, v가 평행 (나) x₁y₂−x₂y₁=0 (다) O, A, B가 한 직선 위에 있음
(가)⇒(나). u=cv이면 x₁=cx₂, y₁=cy₂이므로 x₁y₂−x₂y₁=cx₂y₂−cx₂y₂=0.
(나)⇒(가). x₂≠0이면 c:=x₁/x₂로 두어 x₁=cx₂이고 y₁=x₁y₂/x₂=cy₂. x₂=0이면 v≠0이라 y₂≠0이고, c:=y₁/y₂로 두어 y₁=cy₂, 또 x₁y₂=x₂y₁=0에서 x₁=0=cx₂. 어느 쪽이든 u=cv이고 u≠0이라 c≠0이므로 c>0(같은 방향) 또는 c<0(반대 방향)입니다.
(가)⇒(다). u=cv로 둡니다. c=1이면 A=B라 자명합니다. 그 밖에는 519·523번으로 u−v=((c−1)x₂, (c−1)y₂)=(c−1)v이므로, 520번과 6.1 506번의 따름, 524번에 의해 선분의 길이가 OA=|c||v|, OB=|v|, AB=|u−v|=|c−1||v|입니다.
| c>1 : OB+BA = |v|+(c−1)|v| = c|v| = OA ⇒ B는 선분 OA 위 | 3.4의 단원 서두의 약속 ⑥(B가 선분 OA 위에 없으면 OB+BA>OA)의 대우 |
| 0<c<1 : OA+AB = c|v|+(1−c)|v| = |v| = OB ⇒ A는 선분 OB 위 | 같은 약속 ⑥의 대우 |
| c<0 : AO+OB = (−c)|v|+|v| = (1−c)|v| = AB ⇒ O는 선분 AB 위 | 같은 약속 ⑥의 대우 |
어느 경우든 O, A, B는 한 직선 위에 있습니다. 또 c>0이면 A, B가 O에서 나가는 같은 반직선 위에, c<0이면 O를 사이에 두고 양쪽에 있습니다―아래 참조 그림 (1)에서 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.
(다)⇒(가). A=B이면 u=v(c=1)입니다. A≠B이면 O, A, B는 한 직선 위의 서로 다른 세 점이므로(A, B≠O) 그중 하나가 나머지 두 점 사이(선분 위)에 있고, 그러면 두 짧은 선분의 길이의 합이 긴 선분의 길이와 같습니다.
| A가 선분 OB 위 : |u|+|v−u| = |v| = |u+(v−u)| ⇒ v−u=tu(t>0), 즉 v=(1+t)u : 같은 방향 | 520번·506번의 따름(OA=|u|, AB=|v−u|), 515번의 등호 조건(u≠0, v−u≠0), 523번 |
| B가 선분 OA 위 : 같은 논리로 u=(1+t)v(t>0) : 같은 방향 | 위와 같음 |
| O가 선분 AB 위 : |−u|+|v| = |v−u| = |(−u)+v| ⇒ v=t(−u)=(−t)u(t>0) : 반대 방향 | 518번(|−u|=|u|), 517·519번, 515번의 등호 조건(−u와 v에 적용), 523번(t(−x,−y)=(−t)(x,y)) |
따라서 (가)·(나)·(다)는 모두 동치입니다(한 직선 위의 서로 다른 세 점 중 하나가 나머지 둘 사이에 있다는 것은 직선 위 점의 순서에 관한 기본 사실로 씁니다).
공간의 경우. u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂)가 공간벡터(둘 다 영벡터가 아님)여도 (가)⇔(다)는 글자 그대로 성립합니다―위 증명은 성분 계산이 아니라 선분의 길이(6.1 f507번의 공간의 크기 공식, 6.3 519·520번의 공간의 경우), 3.4 단원 서두의 약속 ⑥, 6.2 515번의 등호 조건(그 증명의 «공간(3차원)의 경우» 문단)만 쓰기 때문입니다. (나)는 세 식 x₁y₂−x₂y₁=0, y₁z₂−y₂z₁=0, z₁x₂−z₂x₁=0으로 바뀝니다 : (가)⇒(나)는 위와 같은 계산이고, (나)⇒(가)는 v의 0이 아닌 성분 하나(예 : x₂≠0)를 골라 c:=x₁/x₂로 두면 세 식에서 y₁=cy₂, z₁=cz₂가 나와 u=cv(c≠0)가 됩니다(다른 성분이 0이 아닐 때도 문자만 바꾼 같은 계산). 7.8~7.10절(공간좌표·평면·공간의 직선)은 이 문단을 «525번 주장 3(공간의 경우)»로 인용합니다.
수치 확인. v=(3,4)에 k=2를 적용하면 kv=(6,8)―비(比) 86=43=(원래 v의 비)로 같고 부호도 같으므로 같은 방향, |kv|=524번에 의해 2·5=10. k=−2를 적용하면 kv=(−6,−8)―비는 여전히 43이지만 부호가 모두 반대이므로 반대 방향, |kv|=10(524번, |−2|=2).
사용 : 523번(실수배의 정의) · 524번(크기 공식) · 505번(영벡터의 정의) · 6.1 506번의 따름(두 점 사이의 거리) · 6.2 515번(삼각부등식의 등호 조건) · 6.3 517~520번(음벡터·뺄셈) · 3.4의 단원 서두의 약속 ⑥(최단 경로)
증명 끝
526정리실수배의 분배법칙(벡터의 합에 대해)k(u+v) = ku+kv
증명법 : 직접증명법
주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂), 실수 k에 대해 다음이 성립합니다 :
k(u+v) = ku + kv
| u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂) | 510번(성분별 덧셈 공식) |
| k(u+v) = (k(x₁+x₂), k(y₁+y₂)) = (kx₁+kx₂, ky₁+ky₂) | 523번(실수배의 정의), 실수의 곱셈의 분배법칙(ℝ의 기본 공리) |
| ku+kv = (kx₁,ky₁)+(kx₂,ky₂) = (kx₁+kx₂, ky₁+ky₂) | 523번(ku, kv의 성분), 510번(성분별 덧셈 공식) |
| ∴ k(u+v) = ku+kv | 위 두 식의 우변이 서로 같음(504번, 성분이 모두 같으면 같은 벡터) |
기하학적 확인. 511번(평행사변형법칙)의 평행사변형 OACB(u=OA, v=OB, u+v=OC)를 O에서 k배로 확대(k>0인 경우)하면, 각 변이 그대로 k배가 되므로 큰 평행사변형의 대각선 OC′는 정확히 ku+kv인 동시에 (511번을 다시 적용하면) k(u+v)이기도 합니다―아래 참조 그림 (2)에서 u=(3,1), v=(1,2), k=2로 이 구성을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.
수치 검산. u=(3,1), v=(1,2), k=2라면 u+v=(4,3), k(u+v)=(8,6)이고, ku=(6,2), kv=(2,4)이므로 ku+kv=(8,6)―일치합니다.
사용 : 523번(실수배의 정의) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 504번(벡터의 상등) · 실수의 곱셈의 분배법칙
증명 끝
527정리실수배의 분배법칙(스칼라의 합에 대해)과 결합법칙(k+l)v = kv+lv, k(lv) = (kl)v
증명법 : 직접증명법
주장. v=(x,y), 실수 k, l에 대해 다음 두 가지가 성립합니다 :
(k+l)v = kv+lv
k(lv) = (kl)v
(1) (k+l)v=kv+lv(스칼라의 합에 대한 분배법칙).
| (k+l)v = ((k+l)x, (k+l)y) = (kx+lx, ky+ly) | 523번(실수배의 정의), 실수의 곱셈의 분배법칙 |
| kv+lv = (kx,ky)+(lx,ly) = (kx+lx, ky+ly) | 523번, 510번(성분별 덧셈 공식) |
| ∴ (k+l)v = kv+lv | 위 두 식의 우변이 같음(504번) |
(2) k(lv)=(kl)v(스칼라끼리의 결합법칙).
| lv = (lx,ly)이므로 k(lv) = (k(lx), k(ly)) = ((kl)x, (kl)y) | 523번을 두 번 적용, 실수의 곱셈의 결합법칙(k(lx)=(kl)x) |
| (kl)v = ((kl)x, (kl)y) | 523번을 스칼라 kl에 적용 |
| ∴ k(lv) = (kl)v | 위 두 식의 우변이 같음(504번) |
수치 검산. v=(2,3), k=3, l=−1이라면 (k+l)v=2v=(4,6)이고 kv+lv=(6,9)+(−2,−3)=(4,6)―일치. k(lv)=3(−v)=3(−2,−3)=(−6,−9)이고 (kl)v=(−3)v=(−3)(2,3)=(−6,−9)―역시 일치합니다.
사용 : 523번(실수배의 정의) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 504번(벡터의 상등) · 실수의 곱셈의 분배법칙·결합법칙
증명 끝
528정리특수한 실수배―항등·영·음1v=v, 0v=0, (−1)v=−v
증명법 : 직접증명법(성분 계산)
주장. 임의의 벡터 v=(x,y)에 대해 다음 세 가지가 성립합니다 :
1v = v, 0v = 0, (−1)v = −v
| 1v = (1·x, 1·y) = (x,y) = v | 523번(실수배의 정의), 실수의 곱셈의 항등원(1·x=x) |
| 0v = (0·x, 0·y) = (0,0) = 0 | 523번, 실수의 곱셈의 영인자(0·x=0), 505번(0=(0,0)) |
| (−1)v = ((−1)x, (−1)y) = (−x,−y) = −v | 523번, 실수의 곱셈((−1)x=−x), 517번(−v:=(−x,−y)) |
세 번째 등식은 517번에서 별도로 정의했던 음벡터 −v가 사실 k=−1인 실수배의 특수한 경우였음을 확인해 줍니다―즉 517번의 정의는 523번의 특수 사례로 완전히 흡수됩니다.
사용 : 523번(실수배의 정의) · 505번(영벡터의 정의) · 517번(음벡터의 정의)
증명 끝
529정리단위벡터의 구성(정규화)v≠0 ⇒ 1|v|v는 단위벡터
증명법 : 직접증명법
주장. v≠0일 때, 다음과 같이 정의되는 벡터 u를 v의 정규화(normalization)라 하면, u는 단위벡터이고 v와 같은 방향입니다 :
u := 1|v|v
| v≠0이므로 505번(크기의 정의)에 의해 |v|>0―따라서 1|v|는 잘 정의된 양의 실수 | 505번(|v|=0인 벡터는 오직 0뿐) |
| |u| = |1|v|v| = |1|v|| · |v| = 1|v| · |v| = 1 | 524번(크기 공식)을 k=1|v|에 적용, 1|v|>0이므로 절댓값 불필요, |v|≠0으로 약분 |
| 1|v|>0이므로 525번(주장 2)에 의해 u=1|v|v는 v와 같은 방향 | 525번(k>0이면 kv는 v와 같은 방향, 여기서 k=1|v|) |
따라서 u는 505번의 정의(|u|=1)에 의해 단위벡터이고, v와 같은 방향입니다―임의의 영벡터가 아닌 벡터로부터 그와 같은 방향의 단위벡터를 항상 구성할 수 있습니다.
수치 검산. v=(3,4)라면 |v|=5(506번)이므로 u=(35,45)이고, |u|=35²+45²=925+1625=1=1입니다(0.6²+0.8²=1).
사용 : 523번(실수배의 정의) · 524번(크기 공식) · 525번(방향) · 505번(영벡터·단위벡터의 정의) · 506번(크기 공식)
증명 끝
530정리표준기저벡터에 의한 선형결합v = xi+yj
증명법 : 직접증명법
주장. v=(x,y)일 때(공간에서는 v=(x,y,z)일 때 xi+yj+zk), 다음이 성립합니다 :
v = xi + yj
| xi = x(1,0) = (x,0) | 502번(i=(1,0)), 523번(실수배의 정의) |
| yj = y(0,1) = (0,y) | 502번(j=(0,1)), 523번 |
| xi+yj = (x,0)+(0,y) = (x+0, 0+y) = (x,y) | 510번(성분별 덧셈 공식) |
| ∴ v = xi+yj | 위 우변 (x,y)가 곧 v(502번, v=(x,y)의 정의) |
6.1 502번에서 예고한 표기입니다―xi, yj에는 523번(실수배)이, 그 둘의 합에는 510번(덧셈)이 필요해 이 절에서 증명합니다.
공간(3차원)의 경우. v=(x,y,z)라면 완전히 같은 방식으로 zk=(0,0,z)를 더해 v=xi+yj+zk를 얻습니다(502번의 k=(0,0,1), 510번의 3차원 성분별 덧셈).
수치 검산. v=(4,3)이라면 v=4i+3j입니다―아래 참조 그림 (3)에서 4i=(4,0)를 그린 뒤 3j를 그 끝에 이어 붙여 (509번, 삼각형법칙) 종점이 정확히 v=(4,3)에 도달함을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.
사용 : 502번(성분·표준기저벡터의 정의) · 523번(실수배의 정의) · 510번(성분별 덧셈 공식)
증명 끝
531정리—활용실수배의 계산 예제v=(3,−2)
예제. v=(3,−2), u=(1,4)에 대해 여러 실수배를 계산하고, 526·527·529·530번을 수치로 확인합니다.
1단계—기본 실수배.
| 2v = (6,−4) | 523번(실수배의 정의) |
| −v = (−3,2) | 528번((−1)v=−v, 517번과 일치) |
| 0.5v = (32,−1) | 523번 |
2단계—크기·방향(524·525번). |v|=3²+(−2)²=13≈3.606(506번). |2v|=213≈7.211=|2|·|v|(524번). 2v=(6,−4)는 비 −46=−23(원래 v의 비 −23)로 같고 부호도 같으므로 v와 같은 방향(525번, k=2>0). −v=(−3,2)는 부호가 모두 반대이므로 v와 반대 방향(525번, k=−1<0).
3단계—단위벡터(529번, u=(1,4)와 혼동을 피해 e로 표기). e := 113v ≈ (0.832,−0.555)―|e|≈0.832²+0.555²≈1.000(정확히는 529번에 의해 |e|=1이고, 반올림한 값으로 계산한 0.832²+0.555²≈1.0002의 차이는 반올림 오차입니다).
4단계—표준기저벡터(530번). v = 3i−2j입니다―3i=(3,0), −2j=(0,−2)를 더하면 (3,0)+(0,−2)=(3,−2)=v(510번).
5단계—분배법칙(526·527번, k=3). u+v=(4,2)이므로 3(u+v)=(12,6)입니다. 한편 3u=(3,12), 3v=(9,−6)이므로 3u+3v=(12,6)―526번과 일치. (2+1)v=3v=(9,−6)이고 2v+1v=(6,−4)+(3,−2)=(9,−6)―527번과도 일치합니다.
사용 : 523번(실수배의 정의) · 524·525번(크기·방향) · 526·527번(분배법칙·결합법칙) · 528번(음의 실수배) · 529번(단위벡터) · 530번(기저벡터 선형결합) · 506번(크기 공식) · 510번(성분별 덧셈 공식)
증명 끝
참조 그림
(1) 523·524·525번―v=(3,2)에서 출발해 k=2, 0.5, −1, −2를 적용한 kv를 모두 원점 O에서 그렸습니다. 다섯 점이 정확히 한 직선 위에 있고(525번 주장 3, x·ky−y·kx=0), k>0(빨강)은 v와 같은 방향, k<0(파랑)은 반대 방향이며, 화살표 길이는 |k|배로 정확히 비례합니다(524번, 정확한 2D 도형).
(2) 526번(분배법칙)―u=(3,1), v=(1,2), k=2로 511번의 평행사변형 OACB를 그리고, 이를 원점 O에서 2배로 확대한(호모테티) 평행사변형 OA′C′B′를 겹쳐 그렸습니다. 큰 평행사변형의 대각선 OC′=2(3,1)+2(1,2)=(8,6)이 곧 2(u+v)=2(4,3)=(8,6)과 같음을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다(정확한 2D 도형).
(3) 530번(표준기저벡터에 의한 선형결합)―v=(4,3)에 대해 4i=(4,0)를 그린 뒤 그 끝에 3j=(0,3)를 이어 붙이면(509번, 삼각형법칙) 종점이 정확히 v=(4,3)에 도달함을 보여줍니다(정확한 2D 도형).