이론/ 벡터/ 6.2 벡터의 덧셈

6.2 수능 관련

벡터의 덧셈

Vector Addition

정의 · 공식과 증명

이 절은 6.1에서 정의한 벡터에 덧셈 연산을 도입합니다. 삼각형법칙(head-to-tail)으로 u+v를 기하학적으로 정의하고, 이 정의가 시작점의 선택과 무관하게 잘 정의됨을 6.1 501번의 평행이동 합성 논증으로 증명합니다(509번). 이로부터 실전 계산에 쓰이는 성분별 덧셈 공식 u+v=(x₁+x₂, y₁+y₂)을 얻고(510번), 이와 동치인 평행사변형법칙을 기하학적으로 증명합니다(511번, 퇴화 경우 포함). 이어서 덧셈의 교환법칙(512번)·결합법칙(513번)·영벡터의 항등원 성질(514번)을 성분 공식으로부터 대수적으로 얻고, 양변을 제곱해 성분으로 비교하는 방법으로 벡터의 삼각부등식 |u+v|≤|u|+|v|를 증명합니다(515번, 등호 성립 조건까지 포함―삼각형법칙의 그림으로는 3.4 f182번(삼각부등식)과 같은 내용). 6.1 502번이 예고한 v=xi+yj 표기는 벡터의 실수배까지 함께 있어야 성립하므로―덧셈만 정의된 이 절에서는 아직 완성되지 않고, 6.4(벡터의 실수배)에서 마저 증명합니다.

509정의벡터의 덧셈(삼각형법칙)u+v := AC, AB=u, BC=v

정의(삼각형법칙, triangle law). 두 벡터 u, v와 임의의 점 A에 대해, 501번의 보조정리(위치벡터 표현의 존재성·유일성을 임의의 시점 A에 대해 특수화한 것)에 의해 A를 시점으로 하고 u를 나타내는 유향선분 AB가 유일하게 존재합니다. 같은 방식으로 B를 시점으로 하고 v를 나타내는 유향선분 BC가 유일하게 존재합니다. 이때 두 벡터의 합 u+v를 다음과 같이 정의합니다 :

u+v := AC

즉 u를 나타내는 화살표의 끝(머리)에 v를 나타내는 화살표의 시작(꼬리)을 이어 붙이고, 전체의 시점에서 종점으로 가는 화살표가 u+v입니다(head-to-tail).

증명법 : 직접증명법(평행이동의 합성이 시작점 A에 의존하지 않음을 보임)

정리(잘 정의됨, well-definedness). 위의 정의로 얻어지는 벡터 u+v는 시점 A의 선택과 무관하게 하나로 정해집니다―즉 다른 점 A′에서 같은 방식으로 구성해도 같은 벡터가 나옵니다.

u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)라 하면 503번에 의해 AB=(x₁,y₁)를 주는 평행이동은 T_x₁,y₁(즉 T_x₁,y₁(A)=B), BC=(x₂,y₂)를 주는 평행이동은 T_x₂,y₂(즉 T_x₂,y₂(B)=C)	503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식)의 정의를 뒤집어 읽음―AB=(h,k) ⇔ T_h,k(A)=B
C = T_x₂,y₂(T_x₁,y₁(A)) = T_{x₁+x₂, y₁+y₂}(A)	501번 증명 중 평행이동의 합성 공식 T_h₁,k₁∘T_h₂,k₂=T_{h₁+h₂,k₁+k₂}
이 합성 T_{x₁+x₂, y₁+y₂}는 A와 무관하게 x₁,y₁,x₂,y₂(즉 u,v)만으로 정해짐	실수의 덧셈 x₁+x₂, y₁+y₂는 A의 좌표를 전혀 포함하지 않음
∴ 다른 점 A′에서 같은 방식으로 B′, C′를 잡아도 C′=T_{x₁+x₂, y₁+y₂}(A′)이므로, AC와 A′C′의 성분은 둘 다 (x₁+x₂, y₁+y₂)―즉 같은 벡터	503번(T_h,k(A)=C이면 AC=(h,k)), 504번(성분이 같으면 같은 벡터)

따라서 u+v는 시점의 선택에 무관하게 잘 정의됩니다.

사용 : 501번(위치벡터 표현의 존재성·유일성, 평행이동 합성 공식, 유향선분의 동치 정의) · 503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식) · 504번(벡터의 상등)

증명 끝

510정리성분별 덧셈 공식u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂)

증명법 : 직접증명법(509번의 구성에서 시점을 O로 특수화)

주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)일 때, 다음이 성립합니다(공간에서는 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂)일 때 (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)) :

u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂)

509번의 구성에서 시점을 A=O(원점)로 잡습니다. 그러면 O를 시점으로 하는 u의 대표 유향선분 OB는 502번의 정의에 의해 u의 위치벡터 표현이고, B=(x₁,y₁)입니다.

T_x₁,y₁(O) = (0+x₁, 0+y₁) = (x₁,y₁) = B	T_x₁,y₁의 정의(501번)에 O(0,0) 대입
C = T_x₂,y₂(B) = (x₁+x₂, y₁+y₂)	T_x₂,y₂의 정의에 B(x₁,y₁) 대입
OC는 시점이 O인 유향선분이므로 502번에 의해 u+v=OC의 위치벡터 표현이고, 그 성분은 C의 좌표	502번(위치벡터·성분의 정의)

∴ u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂)

공간(3차원)의 경우. T_{x₁,y₁,z₁}, T_{x₂,y₂,z₂}에 완전히 같은 논증을 적용하면 u+v=(x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)을 얻습니다.

수치 검산. u=(3,4), v=(4,3)이라면 u+v=(3+4, 4+3)=(7,7)입니다―아래 참조 그림에서 이 구성을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.

사용 : 509번(벡터의 덧셈, 삼각형법칙) · 501번(평행이동의 정의) · 502번(위치벡터·성분의 정의)

증명 끝

511정리평행사변형법칙u, v를 같은 시점에서 그리면 대각선이 u+v

증명법 : 직접증명법(509번의 삼각형법칙과 504번의 벡터 상등을 결합)

주장(평행사변형법칙, parallelogram law). 점 O에서 u=OA, v=OB를 같은 시점 O로부터 그리고, C:=A+v(즉 A에서 v만큼 평행이동한 점)라 하면, 사각형 OACB는 (u, v가 서로 평행하지 않는 한) 평행사변형이고 그 대각선 OC가 u+v입니다.

1단계—OC가 u+v임. C의 구성 자체가 509번의 삼각형법칙(시점 O, 경유점 A)과 정확히 같습니다―OA=u, AC=v이므로 509번에 의해 OC=u+v입니다.

2단계—대변이 같은 벡터·같은 길이(BC=u, AC=v). u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)라 하면 A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂), C=(x₁+x₂,y₁+y₂)입니다(510번).

BC = (C−B의 성분) = (x₁+x₂−x₂, y₁+y₂−y₂) = (x₁,y₁) = u	503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식)을 B,C에 적용
AC = (x₁+x₂−x₁, y₁+y₂−y₁) = (x₂,y₂) = v	503번을 A,C에 적용(정의에서 이미 AC=v로 C를 구성했으므로 일관성 확인)
OA=BC(둘 다 u), OB=AC(둘 다 v)	504번(벡터의 상등, 성분이 같으면 같은 벡터)

같은 벡터를 나타내는 유향선분은 길이가 같으므로(6.1 506번의 따름) OA=BC=|u|, OB=AC=|v|입니다. u, v가 평행하지 않으면 사각형 OACB는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로, 중학교에서 배운 평행사변형의 조건에 의해 평행사변형입니다. 뒤의 증명이 실제로 쓰는 것은 1단계의 등식 OC=u+v와 위의 벡터 등식뿐이고, «평행사변형»은 그 그림의 이름입니다.

퇴화 경우(u, v가 평행한 경우). u, v가 서로 평행(같은 방향 또는 반대 방향)이면 O, A, C, B가 모두 한 직선 위에 있어 사각형 OACB는 넓이가 0인 퇴화된 평행사변형이 됩니다(진짜 평행사변형이 아님). 그러나 1단계의 논증(OC=u+v)은 u, v의 평행 여부와 무관하게 그대로 성립하므로, 이 경우에도 등식 자체는 유효합니다―515번(삼각부등식)의 등호 성립 조건에서 이 경우를 다시 다룹니다.

사용 : 509번(삼각형법칙) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 503번(성분 공식) · 504번(벡터의 상등) · 506번의 따름(같은 벡터를 나타내는 유향선분의 길이)

증명 끝

512정리덧셈의 교환법칙u+v = v+u

증명법 : 직접증명법

u+v = v+u

u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂)	510번(성분별 덧셈 공식)
= (x₂+x₁, y₂+y₁)	실수의 덧셈의 교환법칙(ℝ의 기본 공리)
= v+u	510번을 v+u에 적용

기하학적으로는 511번의 평행사변형에서 대각선 OC가 «O→A→C»(u를 먼저)로도 «O→B→C»(v를 먼저)로도 똑같이 도달된다는 사실과 같습니다―평행사변형은 두 갈래 경로 모두를 가지고 있기 때문입니다.

사용 : 510번(성분별 덧셈 공식) · 실수의 덧셈의 교환법칙

증명 끝

513정리덧셈의 결합법칙(u+v)+w = u+(v+w)

증명법 : 직접증명법

주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂), w=(x₃,y₃)에 대해 :

(u+v)+w = u+(v+w)

(u+v)+w = (x₁+x₂, y₁+y₂)+(x₃,y₃) = ((x₁+x₂)+x₃, (y₁+y₂)+y₃)	510번을 u+v와 그 결과+w에 순서대로 적용
= (x₁+(x₂+x₃), y₁+(y₂+y₃))	실수의 덧셈의 결합법칙(ℝ의 기본 공리)
= (x₁,y₁)+(x₂+x₃, y₂+y₃) = u+(v+w)	510번을 v+w와 u+그 결과에 순서대로 적용

이 결과 덕분에 세 개 이상의 벡터를 더할 때 괄호(더하는 순서)를 표기하지 않고 u+v+w로 써도 모호함이 없습니다.

사용 : 510번(성분별 덧셈 공식) · 실수의 덧셈의 결합법칙

증명 끝

514정리영벡터는 덧셈의 항등원v+0 = 0+v = v

증명법 : 직접증명법

v+0 = 0+v = v

v=(x,y)라 하면 505번에 의해 0=(0,0)	505번(영벡터의 정의)
v+0 = (x+0, y+0) = (x,y) = v	510번(성분별 덧셈 공식), 실수 덧셈의 항등원 0
0+v = (0+x, 0+y) = (x,y) = v	510번, 실수 덧셈의 항등원 0(또는 512번 교환법칙으로 위 결과에서 바로 얻음)

기하학적으로는 시점과 종점이 일치하는(509번에서 다루지 않은 경계 경우) 영벡터를 삼각형법칙으로 이어붙이면 원래 화살표에서 전혀 움직이지 않는 것과 같습니다.

사용 : 505번(영벡터의 정의) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 512번(교환법칙)

증명 끝

515정리벡터의 삼각부등식|u+v| ≤ |u|+|v|

증명법 : 직접증명법(양변을 제곱해 성분으로 비교)

주장. 임의의 벡터 u, v에 대해 :

|u+v| ≤ |u| + |v|

등호는 u, v 중 하나가 영벡터이거나, 둘 다 영벡터가 아니면서 같은 방향일 때에만 성립합니다.

u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)라 하고 s := x₁x₂+y₁y₂로 둡니다.

\|u+v\|² = (x₁+x₂)²+(y₁+y₂)² = \|u\|²+\|v\|²+2s	510번(성분별 덧셈 공식), 506번(크기 공식, 양변 제곱), 전개
\|u\|²\|v\|² = (x₁²+y₁²)(x₂²+y₂²) = s² + (x₁y₂−x₂y₁)²	506번, 양변을 전개해 비교(둘 다 x₁²x₂²+x₁²y₂²+y₁²x₂²+y₁²y₂²)
s² ≤ \|u\|²\|v\|²이므로 s ≤ \|s\| ≤ \|u\|\|v\|	실수의 제곱은 0 이상, 2.7의 f139번(거듭제곱근과 대소관계)·2.4의 f96번(s²=\|s\|)
\|u+v\|² ≤ \|u\|²+\|v\|²+2\|u\|\|v\| = (\|u\|+\|v\|)²	첫째 줄에 셋째 줄을 대입
∴ \|u+v\| ≤ \|u\|+\|v\|	양변이 0 이상이므로 양의 제곱근을 비교(2.7의 f139번)

등호 조건. 위에서 등호는 정확히 s=|u||v|일 때입니다. u 또는 v가 영벡터이면 s=0=|u||v|라 등호가 성립합니다(514번으로 보아도 |u+0|=|u|). 둘 다 영벡터가 아니면 s=|u||v|는 ⓐ 둘째 줄에서 (x₁y₂−x₂y₁)²=0, 즉 x₁y₂=x₂y₁이고 ⓑ s≥0인 것과 같습니다. ⓐ에서 u≠0이므로, x₁≠0이면 t:=x₂/x₁로 두어 x₂=tx₁, y₂=x₂y₁/x₁=ty₁이고, x₁=0이면 y₁≠0이라 t:=y₂/y₁로 두어 y₂=ty₁, 또 0=x₁y₂=x₂y₁에서 x₂=0=tx₁입니다. 어느 쪽이든 v=(tx₁, ty₁)이고 v≠0이라 t≠0입니다. 이때 s=t(x₁²+y₁²)=t|u|²이므로 ⓑ는 t>0과 같습니다. 거꾸로 v=(tx₁, ty₁), t>0이면 |u+v|=|((1+t)x₁, (1+t)y₁)|=(1+t)|u|=|u|+|v|입니다(506번).

정리하면 등호는 «둘 중 하나가 영벡터이거나, v=(tx₁, ty₁)(t>0)»일 때에만 성립합니다. 여기서 v=(tx₁, ty₁), v=(−tx₁, −ty₁)(t>0)인 관계를 각각 같은 방향·반대 방향이라 부릅니다―6.4 525번에서 실수배로 정식 정의하는 관계와 같습니다. 반대 방향이면 s=−t|u|²<0이라 엄격한 부등식입니다.

기하학적 의미. 509번처럼 OA=u, AC=v, OC=u+v로 그리면, O, A, C가 삼각형을 이룰 때 이 부등식은 3.4 f182번(삼각형의 두 변의 합은 나머지 한 변보다 길다)과 같은 내용입니다. 위 증명은 O, A, C가 한 직선 위에 놓이는 경우까지 한꺼번에 다룹니다(두 벡터가 평행한 것과 O, A, C가 한 직선 위에 있는 것이 같다는 사실은 6.4 525번 주장 3에서 증명합니다).

공간(3차원)의 경우. s=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂로 두면 둘째 줄이 |u|²|v|² = s²+(x₁y₂−x₂y₁)²+(y₁z₂−y₂z₁)²+(z₁x₂−z₂x₁)²으로 바뀔 뿐, 부등식과 등호 조건(세 괄호가 모두 0이고 s≥0)은 같은 방식으로 얻어집니다.

수치 확인. u=(3,4), v=(4,3)(평행하지 않음) : |u|=|v|=5, |u+v|=|(7,7)|=72≈9.899<10(엄격한 부등식). u=(3,4), v=2u=(6,8)(같은 방향) : |u+v|=|(9,12)|=15=5+10(등호).

사용 : 510번(성분별 덧셈 공식) · 505·506번(크기의 정의·공식) · 514번(영벡터의 항등원) · 2.7의 f139번(거듭제곱근과 대소관계) · 2.4의 f96번(근호와 거듭제곱) · 3.4의 f182번(삼각부등식, 기하학적 의미)

증명 끝

516정리—활용덧셈 법칙들의 계산 예제(u+v)+w = u+(v+w) 수치 확인

예제. u=(1,2), v=(3,−1), w=(−2,4)에 대해 (u+v)+w와 u+(v+w)를 각각 계산해 513번(결합법칙)을 수치로 확인하고, 세 벡터의 합의 크기를 구합니다.

1단계—(u+v)+w.

u+v = (1+3, 2+(−1)) = (4,1)	510번(성분별 덧셈 공식)
(u+v)+w = (4+(−2), 1+4) = (2,5)	510번을 u+v와 w에 적용

2단계—u+(v+w).

v+w = (3+(−2), −1+4) = (1,3)	510번
u+(v+w) = (1+1, 2+3) = (2,5)	510번을 u와 v+w에 적용

(u+v)+w = (2,5) = u+(v+w)

513번(결합법칙)이 실제 수치로 확인됩니다.

3단계—합의 크기.

|u+v+w| = |(2,5)| = 2²+5² = 29

506번(크기 공식)

4단계—삼각부등식(515번) 확인. |u|=1²+2²=5, |v|=3²+1²=10, |w|=2²+4²=20이고 5+10+20≈2.236+3.162+4.472=9.870이며 |u+v+w|=29≈5.385이므로 5.385<9.870―세 벡터를 두 번 더해 얻은 결과에 515번을 두 번 적용한 것과 일치하는 부등식입니다(두 번 모두 더하는 두 벡터―u와 v, u+v=(4,1)과 w―가 같은 방향이 아니므로 매 단계 엄격한 부등식).

사용 : 510번(성분별 덧셈 공식) · 513번(결합법칙) · 506번(크기 공식) · 515번(삼각부등식)

증명 끝

참조 그림

509·510번―삼각형법칙(triangle law)을 실제 수치 u=(3,4), v=(4,3)으로 확인한 그림입니다. O→A는 u, A→C는 A를 시점으로 다시 그린 v(파란 실선), B′→C(회색 점선)는 O→A와 같은 평행이동(성분 (3,4))이 v의 원래 위치벡터 OB′을 옮긴 것임을 보여줍니다―이것이 509번이 증명한 잘 정의됨(시점 무관성)의 기하학적 그림입니다. 좌표는 모두 실제 값으로 그렸습니다.

511번(평행사변형법칙)―같은 O에서 시작한 u=OA=(3,4), v=OB=(4,3)로 완성한 평행사변형 OACB입니다. 점선으로 표시한 BC(=u)·AC(=v)가 각각 OA·OB와 평행·길이가 같음을 확인할 수 있고, 대각선 OC=(7,7)이 곧 u+v―509번의 삼각형법칙(O→A→C 경로)과 정확히 같은 결론입니다(정확한 2D 도형).

515번(삼각부등식)의 기하학적 의미―u=(3,4), v=(4,3)이 평행하지 않아 O,A,C가 진짜 삼각형을 이루는 경우입니다. |u|=|v|=5, |u+v|=72≈9.899로, 3.4 f182번(삼각부등식)에 의해 9.899<10=|u|+|v|가 성립함을 실제 좌표로 확인한 정확한 2D 도형입니다.

515번의 등호 성립 경우(퇴화)―v=2u인 같은 방향의 예로 u=(3,4), v=(6,8)을 택했습니다. O, A(3,4), C(9,12)가 한 직선 위에 있어(511번의 퇴화 평행사변형과 같은 상황) 진짜 삼각형을 이루지 않으므로 3.4 f182번을 쓸 수 없지만, |u+v|=|(9,12)|=15=5+10=|u|+|v|로 등호가 정확히 성립함을 실제 좌표로 확인했습니다(정확한 2D 도형).

chapter:06-vectors section:6.2

\|u+v\|² = (x₁+x₂)²+(y₁+y₂)² = \|u\|²+\|v\|²+2s	510번(성분별 덧셈 공식), 506번(크기 공식, 양변 제곱), 전개
\|u\|²\|v\|² = (x₁²+y₁²)(x₂²+y₂²) = s² + (x₁y₂−x₂y₁)²	506번, 양변을 전개해 비교(둘 다 x₁²x₂²+x₁²y₂²+y₁²x₂²+y₁²y₂²)
s² ≤ \|u\|²\|v\|²이므로 s ≤ \|s\| ≤ \|u\|\|v\|	실수의 제곱은 0 이상, 2.7의 f139번(거듭제곱근과 대소관계)·2.4의 f96번(s²=\|s\|)
\|u+v\|² ≤ \|u\|²+\|v\|²+2\|u\|\|v\| = (\|u\|+\|v\|)²	첫째 줄에 셋째 줄을 대입
∴ \|u+v\| ≤ \|u\|+\|v\|	양변이 0 이상이므로 양의 제곱근을 비교(2.7의 f139번)