6.2
벡터의 덧셈
Vector Addition
정의 · 공식과 증명
이 절은 6.1에서 정의한 벡터에 덧셈 연산을 도입합니다. 삼각형법칙(head-to-tail)으로 u+v를 기하학적으로 정의하고, 이 정의가 시작점의 선택과 무관하게 잘 정의됨을 6.1 501번의 평행이동 합성 논증으로 증명합니다(509번). 이로부터 실전 계산에 쓰이는 성분별 덧셈 공식 u+v=(x₁+x₂, y₁+y₂)을 얻고(510번), 이와 동치인 평행사변형법칙을 기하학적으로 증명합니다(511번, 퇴화 경우 포함). 이어서 덧셈의 교환법칙(512번)·결합법칙(513번)·영벡터의 항등원 성질(514번)을 성분 공식으로부터 대수적으로 얻고, 삼각형법칙의 기하학적 그림에 3.4 f182번(삼각부등식)을 적용해 벡터의 삼각부등식 |u+v|≤|u|+|v|를 증명합니다(515번, 등호 성립 조건까지 포함). 이 절이 해소해야 할 기존 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료 — 6.2를 needs_section으로 지정한 항목 없음). 6.1 502번이 예고한 v=xi+yj 표기는 벡터의 실수배까지 함께 있어야 성립하므로―덧셈만 정의된 이 절에서는 아직 완성되지 않고, 6.4(벡터의 실수배)에서 마저 증명합니다.
509정의벡터의 덧셈(삼각형법칙)u+v := AC, AB=u, BC=v
정의(삼각형법칙, triangle law). 두 벡터 u, v와 임의의 점 A에 대해, 501번의 보조정리(위치벡터 표현의 존재성·유일성을 임의의 시점 A에 대해 특수화한 것)에 의해 A를 시점으로 하고 u를 나타내는 유향선분 AB가 유일하게 존재합니다. 같은 방식으로 B를 시점으로 하고 v를 나타내는 유향선분 BC가 유일하게 존재합니다. 이때 두 벡터의 합 u+v를 다음과 같이 정의합니다 :
u+v := AC
즉 u를 나타내는 화살표의 끝(머리)에 v를 나타내는 화살표의 시작(꼬리)을 이어 붙이고, 전체의 시점에서 종점으로 가는 화살표가 u+v입니다(head-to-tail).
증명법 : 직접증명법(평행이동의 합성이 시작점 A에 의존하지 않음을 보임)
정리(잘 정의됨, well-definedness). 위의 정의로 얻어지는 벡터 u+v는 시점 A의 선택과 무관하게 하나로 정해집니다―즉 다른 점 A′에서 같은 방식으로 구성해도 같은 벡터가 나옵니다.
| u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)라 하면 503번에 의해 AB=(x₁,y₁)를 주는 평행이동은 Tx₁,y₁(즉 Tx₁,y₁(A)=B), BC=(x₂,y₂)를 주는 평행이동은 Tx₂,y₂(즉 Tx₂,y₂(B)=C) | 503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식)의 정의를 뒤집어 읽음―AB=(h,k) ⇔ Th,k(A)=B |
| C = Tx₂,y₂(Tx₁,y₁(A)) = Tx₁+x₂, y₁+y₂(A) | 501번 증명 중 평행이동의 합성 공식 Th₁,k₁∘Th₂,k₂=Th₁+h₂,k₁+k₂ |
| 이 합성 Tx₁+x₂, y₁+y₂는 A와 무관하게 x₁,y₁,x₂,y₂(즉 u,v)만으로 정해짐 | 실수의 덧셈 x₁+x₂, y₁+y₂는 A의 좌표를 전혀 포함하지 않음 |
| ∴ 어느 A′에서 시작하든 같은 평행이동 Tx₁+x₂, y₁+y₂가 A′을 대응하는 종점 C′로 보내므로, 501번의 동치 정의에 의해 AC∼A′C′―즉 같은 벡터 | 501번(유향선분의 동치 정의, 같은 평행이동이면 동치) |
따라서 u+v는 시점의 선택에 무관하게 잘 정의됩니다.
사용 : 501번(위치벡터 표현의 존재성·유일성, 평행이동 합성 공식, 유향선분의 동치 정의) · 503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식)
증명 끝
510정리성분별 덧셈 공식u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂)
증명법 : 직접증명법(509번의 구성에서 시점을 O로 특수화)
주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)일 때, 다음이 성립합니다(공간에서는 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂)일 때 (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)) :
u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂)
509번의 구성에서 시점을 A=O(원점)로 잡습니다. 그러면 O를 시점으로 하는 u의 대표 유향선분 OB는 502번의 정의에 의해 u의 위치벡터 표현이고, B=(x₁,y₁)입니다.
| Tx₁,y₁(O) = (0+x₁, 0+y₁) = (x₁,y₁) = B | Tx₁,y₁의 정의(501번)에 O(0,0) 대입 |
| C = Tx₂,y₂(B) = (x₁+x₂, y₁+y₂) | Tx₂,y₂의 정의에 B(x₁,y₁) 대입 |
| OC는 시점이 O인 유향선분이므로 502번에 의해 u+v=OC의 위치벡터 표현이고, 그 성분은 C의 좌표 | 502번(위치벡터·성분의 정의) |
∴ u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂)
공간(3차원)의 경우. Tx₁,y₁,z₁, Tx₂,y₂,z₂에 완전히 같은 논증을 적용하면 u+v=(x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)을 얻습니다.
수치 검산. u=(3,4), v=(4,3)이라면 u+v=(3+4, 4+3)=(7,7)입니다―아래 참조 그림에서 이 구성을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.
사용 : 509번(벡터의 덧셈, 삼각형법칙) · 501번(평행이동의 정의) · 502번(위치벡터·성분의 정의)
증명 끝
511정리평행사변형법칙u, v를 같은 시점에서 그리면 대각선이 u+v
증명법 : 직접증명법(509번의 삼각형법칙과 504번의 벡터 상등을 결합)
주장(평행사변형법칙, parallelogram law). 점 O에서 u=OA, v=OB를 같은 시점 O로부터 그리고, C:=A+v(즉 A에서 v만큼 평행이동한 점)라 하면, 사각형 OACB는 (u, v가 서로 평행하지 않는 한) 평행사변형이고 그 대각선 OC가 u+v입니다.
1단계—OC가 u+v임. C의 구성 자체가 509번의 삼각형법칙(시점 O, 경유점 A)과 정확히 같습니다―OA=u, AC=v이므로 509번에 의해 OC=u+v입니다.
2단계—대변이 각각 평행·길이가 같음(BC=u, AC=v). u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)라 하면 A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂), C=(x₁+x₂,y₁+y₂)입니다(510번).
| BC = (C−B의 성분) = (x₁+x₂−x₂, y₁+y₂−y₂) = (x₁,y₁) = u | 503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식)을 B,C에 적용 |
| AC = (x₁+x₂−x₁, y₁+y₂−y₁) = (x₂,y₂) = v | 503번을 A,C에 적용(정의에서 이미 AC=v로 C를 구성했으므로 일관성 확인) |
| OA=BC(둘 다 u), OB=AC(둘 다 v) | 504번(벡터의 상등, 성분이 같으면 같은 벡터) |
501번의 정의에 의해 같은 벡터를 나타내는 두 유향선분은 평행이동으로 서로 옮겨지므로 길이와 방향이 같습니다―즉 OA∥BC이고 길이가 같으며, OB∥AC이고 길이가 같습니다. 이는 정확히 사각형이 평행사변형이 되는 조건(한 쌍의 대변이 각각 평행하고 길이가 같음)입니다.
퇴화 경우(u, v가 평행한 경우). u, v가 서로 평행(같은 방향 또는 반대 방향)이면 O, A, C, B가 모두 한 직선 위에 있어 사각형 OACB는 넓이가 0인 퇴화된 평행사변형이 됩니다(진짜 평행사변형이 아님). 그러나 1단계의 논증(OC=u+v)은 u, v의 평행 여부와 무관하게 그대로 성립하므로, 이 경우에도 등식 자체는 유효합니다―515번(삼각부등식)의 등호 성립 조건에서 이 경우를 다시 다룹니다.
사용 : 509번(삼각형법칙) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 503번(성분 공식) · 504번(벡터의 상등) · 501번(동치인 유향선분은 평행이동으로 옮겨짐―길이·방향 보존)
증명 끝
512정리덧셈의 교환법칙u+v = v+u
증명법 : 직접증명법
u+v = v+u
| u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂) | 510번(성분별 덧셈 공식) |
| = (x₂+x₁, y₂+y₁) | 실수의 덧셈의 교환법칙(ℝ의 기본 공리) |
| = v+u | 510번을 v+u에 적용 |
기하학적으로는 511번의 평행사변형에서 대각선 OC가 «O→A→C»(u를 먼저)로도 «O→B→C»(v를 먼저)로도 똑같이 도달된다는 사실과 같습니다―평행사변형은 두 갈래 경로 모두를 가지고 있기 때문입니다.
사용 : 510번(성분별 덧셈 공식) · 실수의 덧셈의 교환법칙
증명 끝
513정리덧셈의 결합법칙(u+v)+w = u+(v+w)
증명법 : 직접증명법
주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂), w=(x₃,y₃)에 대해 :
(u+v)+w = u+(v+w)
| (u+v)+w = (x₁+x₂, y₁+y₂)+(x₃,y₃) = ((x₁+x₂)+x₃, (y₁+y₂)+y₃) | 510번을 u+v와 그 결과+w에 순서대로 적용 |
| = (x₁+(x₂+x₃), y₁+(y₂+y₃)) | 실수의 덧셈의 결합법칙(ℝ의 기본 공리) |
| = (x₁,y₁)+(x₂+x₃, y₂+y₃) = u+(v+w) | 510번을 v+w와 u+그 결과에 순서대로 적용 |
이 결과 덕분에 세 개 이상의 벡터를 더할 때 괄호(더하는 순서)를 표기하지 않고 u+v+w로 써도 모호함이 없습니다.
사용 : 510번(성분별 덧셈 공식) · 실수의 덧셈의 결합법칙
증명 끝
514정리영벡터는 덧셈의 항등원v+0 = 0+v = v
증명법 : 직접증명법
v+0 = 0+v = v
| v=(x,y)라 하면 505번에 의해 0=(0,0) | 505번(영벡터의 정의) |
| v+0 = (x+0, y+0) = (x,y) = v | 510번(성분별 덧셈 공식), 실수 덧셈의 항등원 0 |
| 0+v = (0+x, 0+y) = (x,y) = v | 510번, 실수 덧셈의 항등원 0(또는 512번 교환법칙으로 위 결과에서 바로 얻음) |
기하학적으로는 시점과 종점이 일치하는(509번에서 다루지 않은 경계 경우) 영벡터를 삼각형법칙으로 이어붙이면 원래 화살표에서 전혀 움직이지 않는 것과 같습니다.
사용 : 505번(영벡터의 정의) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 512번(교환법칙)
증명 끝
515정리벡터의 삼각부등식|u+v| ≤ |u|+|v|
증명법 : 경우를 나누는 증명법(u, v가 평행하지 않는 경우와 평행한 경우를 나눔)
주장. 임의의 벡터 u, v에 대해 :
|u+v| ≤ |u| + |v|
등호는 u, v 중 하나가 영벡터이거나, 둘 다 영벡터가 아니면서 같은 방향일 때에만 성립합니다.
경우 1—u, v가 평행하지 않음(둘 다 영벡터가 아니고 방향도 다름). 509번의 삼각형법칙 구성에서 O, A, C(OA=u, AC=v, OC=u+v)를 생각합니다. u, v가 평행하지 않으므로 O, A, C는 한 직선 위에 있지 않은―즉 진짜 삼각형을 이룹니다.
| 삼각형 OAC의 세 변 : OA=|u|, AC=|v|, OC=|u+v| | 각 변의 길이가 곧 대응하는 벡터의 크기(505번) |
| OC < OA + AC, 즉 |u+v| < |u|+|v| | 3.4의 f182번(삼각부등식, 변 OC에 대해) |
이 경우 등호 없이 엄격한 부등식이 성립합니다.
경우 2—u, v가 평행함(같은 방향, 반대 방향, 또는 둘 중 하나가 영벡터). 이 경우 O, A, C가 한 직선 위에 있으므로(511번의 퇴화 경우와 동일한 상황) 3.4 f182번(진짜 삼각형에 대한 명제)을 쓸 수 없어 따로 다룹니다. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)라 하고, 평행하다는 것은 어떤 실수 t≥0에 대해(같은 방향) v=(tx₁,ty₁) 또는(반대 방향) v=(−tx₁,−ty₁)로 쓸 수 있다는 뜻입니다(v가 u의 실수배―스칼라 t의 부호로 방향을 구분, 이 절에서는 아직 실수배를 정식으로 다루지 않으므로 좌표로 직접 서술합니다).
| 같은 방향(v=(tx₁,ty₁), t≥0) : |u+v| = |((1+t)x₁,(1+t)y₁)| = (1+t)|u| = |u|+t|u| = |u|+|v| | 506번(크기 공식)을 성분에 적용, 1+t≥0이므로 |1+t|=1+t; |v|=|(tx₁,ty₁)|=t|u|(t≥0) |
| ∴ 같은 방향인 경우 등호가 성립 : |u+v|=|u|+|v| | 위 계산 결과 |
| 반대 방향(v=(−tx₁,−ty₁), t>0, t≠1로 두 벡터가 크기까지 같지는 않은 일반적인 경우) : |u+v| = |(1−t)| · |u| | u+v=((1−t)x₁,(1−t)y₁)에 506번 적용 |
| |(1−t)|·|u| < |u|+t|u| = |u|+|v| (t>0이므로 |1−t|<1+t) | 삼각부등식(실수, |a−b|≤|a|+|b|의 특수 사례―여기서는 1−t와 1+t 비교로 직접 확인 가능한 부등식) |
| ∴ 반대 방향인 경우 엄격한 부등식 : |u+v| < |u|+|v| | 위 계산 결과(t=1, 즉 u,v가 크기까지 같은 반대 방향이면 u+v=0이 되어 좌변이 0이 되는 극단적인 경우도 이 부등식에 포함됨) |
| 둘 중 하나가 영벡터(예 v=0) : |u+v|=|u|=|u|+0=|u|+|v| | 514번(영벡터가 덧셈의 항등원), |0|=0 |
따라서 등호는 정확히 «둘 중 하나가 영벡터이거나, 둘 다 영벡터가 아니면서 같은 방향»일 때에만 성립하고, 그 밖의 모든 경우(평행하지 않거나, 반대 방향)에는 엄격한 부등식입니다.
수치 확인. u=(3,4), v=(4,3)(평행하지 않음) : |u|=|v|=5, |u+v|=|(7,7)|=72≈9.899<10(엄격한 부등식). u=(3,4), v=2u=(6,8)(같은 방향) : |u+v|=|(9,12)|=15=5+10(등호). Python으로 재확인.
사용 : 509번(삼각형법칙) · 505·506번(크기의 정의·공식) · 514번(영벡터의 항등원) · 3.4의 f182번(삼각부등식)
증명 끝
516정리—활용덧셈 법칙들의 계산 예제(u+v)+w = u+(v+w) 수치 확인
예제. u=(1,2), v=(3,−1), w=(−2,4)에 대해 (u+v)+w와 u+(v+w)를 각각 계산해 513번(결합법칙)을 수치로 확인하고, 세 벡터의 합의 크기를 구합니다.
1단계—(u+v)+w.
| u+v = (1+3, 2+(−1)) = (4,1) | 510번(성분별 덧셈 공식) |
| (u+v)+w = (4+(−2), 1+4) = (2,5) | 510번을 u+v와 w에 적용 |
2단계—u+(v+w).
| v+w = (3+(−2), −1+4) = (1,3) | 510번 |
| u+(v+w) = (1+1, 2+3) = (2,5) | 510번을 u와 v+w에 적용 |
(u+v)+w = (2,5) = u+(v+w)
513번(결합법칙)이 실제 수치로 확인됩니다.
3단계—합의 크기.
| |u+v+w| = |(2,5)| = 2²+5² = 29 | 506번(크기 공식) |
4단계—삼각부등식(515번) 확인. |u|=1²+2²=5, |v|=3²+1²=10, |w|=2²+4²=20이고 5+10+20≈2.236+3.162+4.472=9.870이며 |u+v+w|=29≈5.385이므로 5.385<9.870―세 벡터를 두 번 더해 얻은 결과에 515번을 두 번 적용한 것과 일치하는 부등식입니다(경우 1에 해당―u,v,w가 서로 평행하지 않으므로 매 단계 엄격한 부등식).
사용 : 510번(성분별 덧셈 공식) · 513번(결합법칙) · 506번(크기 공식) · 515번(삼각부등식)
증명 끝
참조 그림
509·510번―삼각형법칙(triangle law)을 실제 수치 u=(3,4), v=(4,3)으로 확인한 그림입니다. O→A는 u, A→C는 A를 시점으로 다시 그린 v(파란 실선), B′→C(회색 점선)는 O→A와 같은 평행이동(성분 (3,4))이 v의 원래 위치벡터 OB′을 옮긴 것임을 보여줍니다―이것이 509번이 증명한 잘 정의됨(시점 무관성)의 기하학적 그림입니다. 좌표는 모두 실제 값을 그대로 픽셀에 대입했습니다(scale=32px/단위).
511번(평행사변형법칙)―같은 O에서 시작한 u=OA=(3,4), v=OB=(4,3)로 완성한 평행사변형 OACB입니다. 점선으로 표시한 BC(=u)·AC(=v)가 각각 OA·OB와 평행·길이가 같음을 확인할 수 있고, 대각선 OC=(7,7)이 곧 u+v―509번의 삼각형법칙(O→A→C 경로)과 정확히 같은 결론입니다(scale=32px/단위, 정확한 2D 도형).
515번(삼각부등식)의 경우 1―u=(3,4), v=(4,3)이 평행하지 않아 O,A,C가 진짜 삼각형을 이루는 경우입니다. |u|=|v|=5, |u+v|=72≈9.899로, 3.4 f182번(삼각부등식)에 의해 9.899<10=|u|+|v|가 성립함을 실제 좌표로 확인한 정확한 2D 도형입니다(scale=32px/단위).
515번의 경우 2(퇴화, 등호 성립)―v=2u인 같은 방향의 예로 u=(3,4), v=(6,8)을 택했습니다. O, A(3,4), C(9,12)가 한 직선 위에 있어(511번의 퇴화 평행사변형과 같은 상황) 진짜 삼각형을 이루지 않으므로 3.4 f182번을 쓸 수 없지만, |u+v|=|(9,12)|=15=5+10=|u|+|v|로 등호가 정확히 성립함을 실제 좌표로 확인했습니다(scale=22px/단위, 정확한 2D 도형―입체가 등장하지 않는 절이라 3D 원근 참고 도형은 해당 없음).