6.3
벡터의 뺄셈
Vector Subtraction
정의 · 공식과 증명
이 절은 6.2에서 정의한 벡터의 덧셈에 이어, 덧셈에 대한 역원인 음벡터(negative vector) −v를 도입하고, 이를 이용해 뺄셈 u−v := u+(−v)로 정의합니다(517번). −v가 실제로 v의 덧셈에 대한 역원(v+(−v)=0)임과 몇 가지 기본 성질(대합 −(−v)=v, 크기 보존 |−v|=|v|)을 증명하고(518번―이로써 512·513·514번과 함께 (V,+)가 아벨군의 네 공리를 모두 갖추게 됨을 univ-note로 짚어둡니다), 성분별 뺄셈 공식(519번)과 뺄셈의 기하학적 의미―같은 시점에서 그린 두 벡터의 끝점을 잇는 벡터(520번)를 얻습니다. 마지막으로 515번(벡터의 삼각부등식)을 u와 −v, 그리고 (u−v)와 v/(v−u)와 u에 각각 응용해 벡터의 역삼각부등식 ||u|−|v|| ≤ |u−v| ≤ |u|+|v|를 등호 성립 조건까지 포함해 증명합니다(521번). 이 절이 해소해야 할 기존 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료 — 6.3을 needs_section으로 지정한 항목 없음). 6.1 502번이 예고한 v=xi+yj 표기(pf-vector-basis-linear-combination)는 이 절에서도 아직 해소되지 않습니다―실수배가 필요하므로 6.4(벡터의 실수배)로 계속 이월됩니다.
517정의벡터의 음(역원)과 뺄셈−v := (−x,−y), u−v := u+(−v)
정의(벡터의 음, negative vector). v=(x,y)에 대해, v의 음(음벡터) −v를 다음과 같이 정의합니다(공간에서는 v=(x,y,z)에 대해 −v:=(−x,−y,−z)) :
−v := (−x, −y)
기하학적으로 −v는 v와 크기가 같고 방향이 정반대인 벡터―즉 원점 O에 대한 점대칭(180° 회전)으로 v를 옮긴 것입니다(아래 참조 그림 (1) 참고).
정의(벡터의 뺄셈). 두 벡터 u, v에 대해, u에서 v를 뺀 것 u−v를 다음과 같이 정의합니다 :
u−v := u + (−v)
즉 뺄셈은 새로운 연산이 아니라, 509·510번의 덧셈에 −v(v의 음)를 더하는 것으로 환원됩니다.
사용 : 502번(성분의 정의) · 509·510번(벡터의 덧셈, 성분별 덧셈 공식)
518정리음벡터의 성질v+(−v)=0, −(−v)=v, |−v|=|v|
증명법 : 직접증명법(성분 계산)
주장. 임의의 벡터 v=(x,y)에 대해 다음 세 가지가 성립합니다 :
v+(−v) = (−v)+v = 0
−(−v) = v
|−v| = |v|
(1) v+(−v)=0(진짜 역원임).
| v+(−v) = (x,y)+(−x,−y) = (x+(−x), y+(−y)) = (0,0) = 0 | 510번(성분별 덧셈 공식), 517번(−v의 정의), 505번(영벡터 0=(0,0)) |
| (−v)+v = 0 | 512번(교환법칙)을 위 결과에 적용 |
따라서 −v는 실제로 v의 덧셈에 대한 역원입니다―514번(영벡터가 항등원)과 결합해, 임의의 v에 그 역원 −v를 더하면 항등원 0이 됩니다.
(2) −(−v)=v(대합, involution).
| −v=(−x,−y)라 하면 −(−v) = (−(−x), −(−y)) = (x,y) = v | 517번(음벡터의 정의)을 −v에 다시 적용, 실수의 이중부호 −(−x)=x |
(3) |−v|=|v|(크기 보존).
| |−v| = (−x)²+(−y)² = x²+y² = |v| | 506번(크기 공식)을 −v=(−x,−y)에 적용, (−x)²=x², (−y)²=y² |
사용 : 517번(음벡터·뺄셈의 정의) · 505번(영벡터의 정의) · 506번(크기 공식) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 512번(교환법칙) · 514번(항등원)
증명 끝
519정리성분별 뺄셈 공식u−v = (x₁−x₂, y₁−y₂)
증명법 : 직접증명법
주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)일 때(공간에서는 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂)일 때 (x₁−x₂, y₁−y₂, z₁−z₂)), 다음이 성립합니다 :
u−v = (x₁−x₂, y₁−y₂)
| −v = (−x₂, −y₂) | 517번(음벡터의 정의) |
| u−v = u+(−v) = (x₁,y₁)+(−x₂,−y₂) = (x₁+(−x₂), y₁+(−y₂)) = (x₁−x₂, y₁−y₂) | 517번(뺄셈의 정의), 510번(성분별 덧셈 공식) |
수치 검산. u=(3,4), v=(1,0)이라면 u−v=(3−1, 4−0)=(2,4)입니다―아래 참조 그림 (2)에서 이 구성을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.
사용 : 517번(음벡터·뺄셈의 정의) · 510번(성분별 덧셈 공식)
증명 끝
520정리뺄셈의 기하학적 의미O에서 그린 OA=u, OB=v이면 u−v = BA
증명법 : 직접증명법(509번의 삼각형법칙 등식을 뺄셈으로 재정리)
주장. 임의의 점 O에서 OA=u, OB=v를 같은 시점 O로부터 그리면(503번), 다음이 성립합니다 :
u−v = BA
즉 u−v는 v의 끝점 B에서 u의 끝점 A로 향하는 벡터입니다.
| OB+BA = OA, 즉 v+BA = u | 509번(삼각형법칙, 시점 O→경유점 B→종점 A) |
| (−v)+(v+BA) = (−v)+u | 양변에 −v를 더함 |
| ((−v)+v)+BA = u+(−v) | 513번(결합법칙)으로 좌변 괄호 재배치, 512번(교환법칙)으로 우변 순서 교환 |
| 0+BA = u−v, 즉 BA = u−v | 518번((−v)+v=0), 514번(0이 항등원), 517번(뺄셈의 정의) |
따라서 u−v=BA입니다―u, v를 같은 시점에서 그렸을 때, 뺄셈의 결과는 빼는 쪽(v)의 끝점에서 빼이는 쪽(u)의 끝점으로 향하는 벡터입니다(509번 삼각형법칙의 화살표 방향과는 다름에 주의―509번은 O→A→C로 이어 붙는 방향이지만, 여기서는 O에서 갈라져 나온 두 화살표의 끝점을 서로 잇는 것입니다).
사용 : 509번(삼각형법칙) · 512번(교환법칙) · 513번(결합법칙) · 514번(항등원) · 517·518번(뺄셈의 정의·역원의 성질)
증명 끝
521정리벡터의 역삼각부등식||u|−|v|| ≤ |u−v| ≤ |u|+|v|
증명법 : 경우를 나누는 증명법(515번을 두 갈래로 응용)
주장. 임의의 벡터 u, v에 대해 :
||u|−|v|| ≤ |u−v| ≤ |u|+|v|
상계(오른쪽 부등식) |u−v| ≤ |u|+|v|.
| |u−v| = |u+(−v)| ≤ |u|+|−v| = |u|+|v| | 515번(벡터의 삼각부등식)을 u, (−v)에 적용, 518번(|−v|=|v|) |
등호 성립 조건은 515번의 등호 조건을 u, −v에 적용한 것과 같습니다―u 또는 v가 영벡터이거나, 둘 다 영벡터가 아니면서 u가 −v와 같은 방향일 때(즉 u, v가 서로 반대 방향일 때)입니다.
하계(왼쪽 부등식) ||u|−|v|| ≤ |u−v|. |u|−|v|와 |v|−|u| 둘 다 |u−v| 이하임을 보이면, 그 둘 중 더 큰 값인 ||u|−|v||(둘의 최댓값과 같음―둘 중 하나는 항상 0 이하이므로)도 |u−v| 이하가 됩니다.
| |u| = |(u−v)+v| ≤ |u−v|+|v|, 즉 |u|−|v| ≤ |u−v| | 517번(u=(u−v)+v, 뺄셈의 정의를 거꾸로 풂), (u−v)와 v에 515번 적용 |
| |v| = |(v−u)+u| ≤ |v−u|+|u| = |u−v|+|u|, 즉 |v|−|u| ≤ |u−v| | (v−u)와 u에 515번 적용, |v−u|=|−(u−v)|=|u−v|(518번 −(−v)=v를 w=u−v에 적용해 v−u=−(u−v)를 얻고, 518번 |−w|=|w|를 다시 적용) |
| ∴ ||u|−|v|| = max(|u|−|v|, |v|−|u|) ≤ |u−v| | 위 두 부등식 결합 |
하계 등호 성립 조건. 첫째 부등식의 등호는 515번((u−v)와 v에 적용)의 등호 조건―u−v=0(즉 u=v)이거나, v=0이거나, u−v와 v가 둘 다 영벡터가 아니면서 같은 방향일 때 성립합니다(이 절에서는 아직 실수배를 정식으로 다루지 않으므로, «같은 방향»은 6.2 515번과 같은 방식으로 좌표를 직접 비교해 판단합니다). 이 마지막 경우는 u가 v와 같은 방향이면서 |u|≥|v|인 상황에 해당합니다. u=v 이거나 v=0인 경우는 ||u|−|v||=0=|u−v|로 자명하게 성립하므로, 실질적인 등호 성립 조건은 u, v가 같은 방향일 때(u=v 또는 v=0인 경계 경우를 포함)로 요약됩니다―(위 상계의 등호 조건인 반대 방향과 정확히 대조됩니다).
수치 확인. u=(3,4), v=(1,0)(평행하지 않음) : |u|=5, |v|=1, u−v=(2,4), |u−v|=25≈4.472―||u|−|v||=4≤4.472≤6=|u|+|v|(양쪽 모두 엄격한 부등식, 아래 참조 그림 (2)). u=(3,4), v=2u=(6,8)(같은 방향) : u−v=−u=(−3,−4), |u−v|=5―||u|−|v||=|5−10|=5=|u−v|(하계 등호 성립, 상계는 5<15로 엄격하게 남음, 아래 참조 그림 (3)).
사용 : 515번(벡터의 삼각부등식) · 517·518번(뺄셈의 정의·음벡터의 성질) · 505·506번(크기의 정의·공식)
증명 끝
522정리—활용뺄셈·역삼각부등식의 계산 예제u=(1,2), v=(3,−1)
예제. 6.2 516번에서 쓴 u=(1,2), v=(3,−1)에 대해 −v, u−v, |u−v|를 구하고 521번(역삼각부등식)을 수치로 확인합니다.
1단계—음벡터와 뺄셈.
| −v = (−3,1) | 517번(음벡터의 정의) |
| u−v = (1−3, 2−(−1)) = (−2,3) | 519번(성분별 뺄셈 공식) |
2단계—크기 계산.
| |u| = 1²+2² = 5 ≈ 2.236 | 506번(크기 공식) |
| |v| = 3²+(−1)² = 10 ≈ 3.162 | 506번 |
| |u−v| = (−2)²+3² = 13 ≈ 3.606 | 506번 |
3단계—역삼각부등식(521번) 확인. ||u|−|v|| = |2.236−3.162| = 0.926, |u|+|v| = 2.236+3.162 = 5.398입니다.
0.926 ≤ 3.606 ≤ 5.398
u=(1,2), v=(3,−1)은 서로 평행하지 않으므로(521번의 등호 조건에 해당하지 않음―u−v=(−2,3)이 v=(3,−1)과 같은 방향이 아니고, u, v도 서로 반대 방향이 아님) 양쪽 모두 엄격한 부등식으로 성립합니다―Python으로 재확인.
사용 : 517번(음벡터의 정의) · 519번(성분별 뺄셈 공식) · 506번(크기 공식) · 521번(역삼각부등식)
증명 끝
참조 그림
(1) 517번(음벡터의 정의)―v=(3,4)와 −v=(−3,−4)를 원점 O에서 함께 그렸습니다. 점선은 A·O·A′이 한 직선 위에 있음(점대칭)을 보여주고, |v|=|−v|=5로 518번(크기 보존)을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다(scale=28px/단위, 정확한 2D 도형).
(2) 519·520번―같은 시점 O에서 그린 u=OA=(3,4), v=OB=(1,0)에 대해, u−v=BA(B에서 A로 향하는 벡터)임을 보여줍니다. u, v가 평행하지 않아 삼각형 OAB는 진짜 삼각형이고, |u|=5, |v|=1, |u−v|=2²+4²=25≈4.472―521번(역삼각부등식)의 엄격한 경우에 해당합니다(scale=40px/단위, 정확한 2D 도형).
(3) 521번(역삼각부등식)의 하계 등호 성립 경우―v=2u=(6,8)로 u와 같은 방향인 예입니다. O, A, B가 한 직선 위(퇴화)에 있고, u−v=−u=(−3,−4)로 ||u|−|v||=|5−10|=5=|u−v|―하계에서 등호가 정확히 성립함을 실제 좌표로 확인했습니다 (상계 5<15는 여전히 엄격, scale=28px/단위, 정확한 2D 도형―입체가 등장하지 않는 절이라 3D 원근 참고 도형은 해당 없음).