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6.5   수능 관련

내적

Scalar Product

정의 · 공식과 증명

이 절은 6.1―6.4에서 정의한 벡터의 성분·덧셈·뺄셈·실수배에 이어, 두 벡터로부터 하나의 실수를 만들어내는 새로운 연산―내적(스칼라곱, scalar product·dot product) u⋅v―을 다룹니다. 먼저 두 벡터 사이의 각 θ를 정식으로 정의하고(532번), 이를 이용해 내적을 기하학적으로 정의합니다(533번, u⋅v:=|u||v|cosθ). 코사인법칙(3.4의 f185번)을 적용해 이 값이 성분만으로 u⋅v=x₁x₂+y₁y₂로 계산됨을 증명하고(534번), 내적이 만족하는 대수적 성질―교환법칙·u⋅u=|u|²·분배법칙·실수배와의 결합―을 확인합니다(535번). 이어서 u⋅v=0이 정확히 두 벡터가 수직임을 뜻함을 보이고(536번), 두 벡터 사이의 각을 내적으로 표현하는 공식 cosθ=u⋅v|u||v|을 얻습니다(537번). 순수하게 성분만으로 (x₁y₂−x₂y₁)²≥0이라는 대수적 사실로부터 코시–슈바르츠 부등식 |u⋅v|≤|u||v|을 증명하고(538번), 마지막으로 한 벡터를 다른 벡터의 방향으로 투영하는 스칼라 정사영·벡터 정사영을 정의한 뒤(539번), 수치 예제로 전체 결과를 재확인합니다(540번).

532정의두 벡터 사이의 각0≤θ≤π

정의(두 벡터 사이의 각). 두 벡터 u, v가 둘 다 영벡터가 아닐 때, 임의의 점 O를 시점으로 하여 OA=u, OB=v가 되도록 점 A, B를 잡으면(6.1 f501번, 자유벡터―임의의 시점으로 다시 그릴 수 있음), ∠AOB(0≤∠AOB≤π인 쪽의 각)를 u와 v 사이의 각이라 하고 θ로 씁니다.

증명법(잘 정의됨, well-definedness) : 직접증명법

주장. 위 정의는 시점 O의 선택에 무관합니다―즉 다른 점 O′을 시점으로 삼아 O′A′=u, O′B′=v로 다시 그려도 ∠A′O′B′=∠AOB입니다.

O에서 O′으로 보내는 평행이동 T를 하나 잡으면, T(A)=A′, T(B)=B′	6.1 f501번(동치, equipollence)―u=OA=O′A′가 성립하려면 O를 O′으로 보내는 평행이동이 A도 A′으로 보내야 함(같은 h,k), v도 동일
O′A′=OA, O′B′=OB, A′B′=AB	6.1 506번의 따름(평행이동은 두 점 사이의 거리를 바꾸지 않음)
∴ ∠A′O′B′=∠AOB	u, v가 평행하지 않으면 O, A, B는 삼각형을 이루고(525번 주장 3), 두 삼각형은 SSS 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④)이라 대응하는 각이 같음

따라서 θ는 대표 유향선분의 선택과 무관하게 u, v 자체만으로 결정되는 잘 정의된 값입니다. u, v가 525번의 뜻에서 같은 방향이면 A, B가 O에서 나가는 같은 반직선 위에 있어 θ:=0으로, 반대 방향이면 A, B가 O를 사이에 두고 양쪽에 있어 θ:=π로 정합니다(525번 주장 3의 증명, 모두 0≤θ≤π의 범위 안). 이 두 경우에도 위의 평행이동 논증으로 같은 방향·반대 방향 관계가 시점과 무관하므로 θ는 잘 정의됩니다. 어느 한쪽이라도 영벡터이면 A 또는 B 자체가 O와 일치해 각이 만들어지지 않으므로, 이 경우의 “각”은 정의하지 않습니다(533번에서 내적 자체는 별도의 약속으로 다룹니다).

사용 : 6.1 f501번(벡터의 정의·동치) · 6.1 506번의 따름(평행이동은 거리를 바꾸지 않음) · 525번(같은·반대 방향, 주장 3) · 3.4 약속 ④(SSS 합동)

증명 끝

533정의내적(스칼라곱)의 정의u⋅v := |u||v|cosθ

정의(내적, 스칼라곱). 두 벡터 u, v가 둘 다 영벡터가 아닐 때, 내적(스칼라곱) u⋅v를 다음과 같이 정의합니다(θ는 532번의 각) :

u⋅v := |u||v|cosθ

어느 한쪽이라도 영벡터이면(532번에서 각 자체가 정의되지 않으므로) 다음과 같이 따로 약속합니다 :

u⋅v := 0  ( u=0 또는 v=0인 경우)

이 두 정의를 합치면 임의의 두 벡터에 대해 u⋅v가 항상 정의되는 하나의 실수(스칼라)입니다―그래서 «스칼라곱»이라 부릅니다. 어느 한쪽이 영벡터인 경우의 약속이 534번의 성분 공식과 자동으로 일치함은, 그 벡터의 성분이 (0,0)이므로 x₁x₂+y₁y₂도 항상 0이 되는 것으로 바로 확인됩니다(534번 증명 말미에서 다시 확인합니다).

사용 : 532번(두 벡터 사이의 각) · 505번(영벡터의 정의)

534정리내적의 성분 공식u⋅v = x₁x₂+y₁y₂

증명법 : 경우를 나누는 방법

주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)에 대해 다음이 성립합니다 :

u⋅v = x₁x₂+y₁y₂

경우 1―u, v가 평행하지 않은 경우(O, A, B가 진짜 삼각형). O를 시점으로 OA=u, OB=v로 두면(532번), 525번 주장 3에 의해 O, A, B는 한 직선 위에 있지 않아 삼각형을 이룹니다. 삼각형 OAB에서 OA=|u|, OB=|v|, ∠AOB=θ이고, 519·520번과 6.1 506번의 따름에 의해 AB=|u−v|입니다.

AB² = OA²+OB²−2·OA·OB·cosθ	3.4의 f185번(코사인법칙)을 삼각형 OAB에 적용
|u−v|² = |u|²+|v|²−2|u||v|cosθ = |u|²+|v|²−2(u⋅v)	위 식에 OA=|u|, OB=|v|, AB=|u−v|(519·520번) 대입, 533번(내적의 정의)
|u−v|² = (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)² = x₁²−2x₁x₂+x₂²+y₁²−2y₁y₂+y₂²	519번(성분별 뺄셈 공식), 506번(크기 공식)
|u|²+|v|² = (x₁²+y₁²)+(x₂²+y₂²)	506번(크기 공식)
∴ −2(u⋅v) = |u−v|²−(|u|²+|v|²) = −2x₁x₂−2y₁y₂	두 번째 줄과 세·네 번째 줄의 결합―같은 양(|u−v|²−|u|²−|v|²)을 두 가지로 표현
∴ u⋅v = x₁x₂+y₁y₂	양변을 −2로 나눔

경우 2―u, v가 평행한 경우(θ=0 또는 θ=π, O, A, B가 한 직선 위―경우 1의 코사인법칙은 진짜 삼각형에만 적용되므로 별도로 처리). 525번에 의해 u=cv가 되는 실수 c≠0가 존재하고(x₁=cx₂, y₁=cy₂), c>0이면 θ=0, c<0이면 θ=π입니다.

x₁x₂+y₁y₂ = (cx₂)x₂+(cy₂)y₂ = c(x₂²+y₂²) = c|v|²	x₁=cx₂, y₁=cy₂ 대입, 506번(크기 공식)
c>0(θ=0)이면 |c|=c이므로 u⋅v = |u||v|cos0 = |c||v|·|v|·1 = c|v|²	533번(정의), 524번(|u|=|c||v|), 4.4의 f423번(cos0=1)
c<0(θ=π)이면 |c|=−c이므로 u⋅v = |u||v|cosπ = |c||v|·|v|·(−1) = (−c)(−1)|v|² = c|v|²	533번, 524번, 4.6의 f433번(cosπ=cos(π−0)=−cos0=−1)
∴ 두 경우 모두 u⋅v = c|v|² = x₁x₂+y₁y₂	위 세 줄의 결합―c의 부호와 무관하게 항상 성립

경우 3―어느 한쪽이 영벡터인 경우. 533번의 약속에 의해 u⋅v:=0인데, 영벡터의 성분이 (0,0)이므로 x₁x₂+y₁y₂도 그 항이 항상 0을 포함해 자동으로 0입니다―세 경우 모두 결론이 일치하므로, 임의의 u, v에 대해 u⋅v = x₁x₂+y₁y₂가 증명되었습니다.

수치 검산. u=(4,3), v=(1,2)라면 x₁x₂+y₁y₂=4·1+3·2=10입니다. 경우 1의 방식으로 재확인하면 OA=|u|=5, OB=|v|=5, AB=|u−v|=10이고, 코사인법칙으로 θ≈26.57°―아래 참조 그림 (1)에서 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.

사용 : 533번(내적의 정의) · 519·520번(성분별 뺄셈·기하학적 의미) · 506번(크기 공식) · 524·525번(실수배의 크기·방향) · 3.4의 f185번(코사인법칙) · 4.4의 f423번(cos0=1) · 4.6의 f433번(cosπ=−1) · 경우를 나누는 방법

증명 끝

535정리내적의 대수적 성질u⋅v=v⋅u,  u⋅u=|u|²,  분배법칙

증명법 : 직접증명법(성분 계산)

주장. u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂), w=(x₃,y₃), 실수 k에 대해 다음이 성립합니다 :

(1) u⋅v = v⋅u    (2) u⋅u = |u|²

(3) u⋅(v+w) = u⋅v+u⋅w    (4) (ku)⋅v = k(u⋅v) = u⋅(kv)

(1) 교환법칙.

u⋅v = x₁x₂+y₁y₂ = x₂x₁+y₂y₁ = v⋅u

534번(성분 공식)을 양쪽에, 실수의 곱셈의 교환법칙(ℝ의 기본 공리)

(2) u⋅u=|u|².

u⋅u = 534번에 x₂=x₁, y₂=y₁ 대입 = x₁²+y₁²	534번(성분 공식)
x₁²+y₁² = |u|²	506번(크기 공식, 양변 제곱)

특히 u⋅u≥0이고, 등호는 505번(영벡터의 정의, |u|=0인 벡터는 오직 0뿐)에 의해 u=0일 때만 성립합니다.

(3) 분배법칙.

v+w = (x₂+x₃,  y₂+y₃)	510번(성분별 덧셈 공식)
u⋅(v+w) = x₁(x₂+x₃)+y₁(y₂+y₃) = (x₁x₂+y₁y₂)+(x₁x₃+y₁y₃)	534번, 실수의 곱셈의 분배법칙
= u⋅v+u⋅w	534번을 두 항 각각에 적용

(4) 실수배와의 결합.

ku = (kx₁,  ky₁)이므로 (ku)⋅v = (kx₁)x₂+(ky₁)y₂ = k(x₁x₂+y₁y₂) = k(u⋅v)	523번(실수배의 정의), 534번, 실수의 곱셈의 결합법칙
kv = (kx₂,  ky₂)이므로 u⋅(kv) = x₁(kx₂)+y₁(ky₂) = k(x₁x₂+y₁y₂) = k(u⋅v)	523번, 534번, 실수의 곱셈의 결합법칙·교환법칙

수치 검산. u=(4,3), v=(1,2), w=(−2,1), k=3이라면 u⋅v=10=v⋅u(1·4+2·3=10, 확인), u⋅u=16+9=25=|u|²(|u|=5). v+w=(−1,3)이므로 u⋅(v+w)=4·(−1)+3·3=5이고, u⋅v+u⋅w=10+(−8+3)=10+(−5)=5―일치. (3u)⋅v=(12,9)⋅(1,2)=12+18=30=3·10=3(u⋅v)―일치합니다.

사용 : 534번(내적의 성분 공식) · 506번(크기 공식) · 505번(영벡터의 정의) · 510번(성분별 덧셈 공식) · 523번(실수배의 정의) · 실수의 곱셈의 교환·결합·분배법칙

증명 끝

536정리수직 조건u ⊥ v ⇔ u⋅v = 0

증명법 : 동치인 식의 열

주장. u, v가 둘 다 영벡터가 아닐 때, 다음은 동치입니다 :

u ⊥ v  ⇔  u⋅v = 0  ⇔  x₁x₂+y₁y₂ = 0

u ⊥ v ⇔ θ=π2(532번의 각 θ가 직각)	수직의 정의(두 유향선분·직선이 이루는 각이 직각)
⇔ cosθ=0	4.4의 f423번(cos(π/2)=0)과, 0≤θ≤π에서 4.3의 f417번·f418번(코사인의 부호―[0,π2)에서 양, (π2,π]에서 음)으로 cosθ=0의 해가 θ=π/2 하나뿐임을 확인
⇔ |u||v|cosθ=0 ⇔ u⋅v=0	|u|,|v|>0(505번, 둘 다 영벡터가 아니므로)이므로 곱셈의 영인자 성질, 533번(내적의 정의)
u⋅v=0 ⇔ x₁x₂+y₁y₂=0	534번(성분 공식)

영벡터를 포함하는 관용적 확장. 어느 한쪽이 영벡터이면 각 θ 자체가 정의되지 않아 «수직»이라는 기하학적 개념도 엄밀하게는 정의되지 않지만, 533번의 약속(u⋅v:=0)과 성분 조건 x₁x₂+y₁y₂=0이 이 경우에도 자동으로 성립하므로, 실전에서는 «영벡터는 모든 벡터와 수직이라고 약속한다»고 편의상 확장해 x₁x₂+y₁y₂=0 하나만으로 수직 여부를 판정해도 무방합니다.

수치 검산. u=(3,4), v=(−4,3)이라면 u⋅v=3·(−4)+4·3=−12+12=0이므로 u⊥v이고, 실제로 |u|=|v|=5, θ=90°입니다―아래 참조 그림 (2)에서 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.

사용 : 532번(두 벡터 사이의 각) · 533번(내적의 정의) · 534번(성분 공식) · 505번(영벡터의 정의) · 4.3의 f417·f418번(코사인의 부호) · 4.4의 f423번(cos(π/2)=0)

증명 끝

537정리두 벡터 사이의 각의 코사인 공식cosθ = u⋅v|u||v|

증명법 : 직접증명법

주장. u, v가 둘 다 영벡터가 아닐 때(θ : 532번의 각), 다음이 성립합니다 :

cosθ = u⋅v|u||v| = x₁x₂+y₁y₂x₁²+y₁²·x₂²+y₂²

u⋅v = |u||v|cosθ	533번(내적의 정의)
|u|,|v|>0이므로 양변을 |u||v|로 나누면 cosθ = u⋅v|u||v|	505번(영벡터가 아니므로 크기가 양수)
= x₁x₂+y₁y₂x₁²+y₁²·x₂²+y₂²	534번(성분 공식), 506번(크기 공식)

이 공식으로, 좌표만 알면 각도기 없이 두 벡터 사이의 각을 계산할 수 있습니다―536번(수직 조건)은 이 공식에서 cosθ=0이 되는 특수한 경우로 다시 얻어집니다.

수치 검산. u=(4,3), v=(1,2)라면 534번에서 u⋅v=10, |u|=5, |v|=5이므로 cosθ=1055=215⁄5≈0.894―θ≈26.57°입니다.

사용 : 533번(내적의 정의) · 534번(성분 공식) · 506번(크기 공식) · 505번(영벡터의 정의)

증명 끝

538정리코시–슈바르츠 부등식|u⋅v| ≤ |u||v|

증명법 : 직접증명법(성분 계산)

주장(코시–슈바르츠 부등식, Cauchy–Schwarz Inequality). 임의의 두 벡터 u=(x₁,y₁), v=(x₂,y₂)에 대해 다음이 성립하고, 등호는 u, v가 평행할 때(어느 한쪽이 영벡터인 경우를 포함)만 성립합니다 :

|u⋅v| ≤ |u||v|

(|u||v|)² − (u⋅v)² = (x₁²+y₁²)(x₂²+y₂²) − (x₁x₂+y₁y₂)²	506번(크기 공식, 양변 제곱), 534번(성분 공식)
= (x₁²x₂²+x₁²y₂²+y₁²x₂²+y₁²y₂²) − (x₁²x₂²+2x₁x₂y₁y₂+y₁²y₂²)	두 곱을 완전히 전개(2.1·2.2의 다항식 전개)
= x₁²y₂²−2x₁x₂y₁y₂+y₁²x₂² = (x₁y₂−x₂y₁)²	동류항 소거 후 완전제곱식으로 인수분해(2.1의 (a−b)²=a²−2ab+b²)
(x₁y₂−x₂y₁)² ≥ 0	임의의 실수의 제곱은 음이 아님(ℝ의 기본 성질)
∴ (|u||v|)² ≥ (u⋅v)², 양변이 음이 아니므로 |u||v| ≥ |u⋅v|	위 네 줄의 결합, |u||v|≥0(505번), a²≤b² & b≥0 ⇒ |a|≤b(2.7의 f139번(거듭제곱근과 대소관계)·2.4의 f96번)

등호 조건. 위 유도에서 등호는 정확히 (x₁y₂−x₂y₁)²=0, 즉 x₁y₂=x₂y₁일 때 성립합니다. 어느 한쪽이 영벡터이면 이 식은 저절로 성립하고, 둘 다 영벡터가 아니면 525번 주장 3((가)⇔(나))에 의해 이는 u, v가 평행(같은 방향·반대 방향)이라는 것과 같습니다. 따라서 등호는 어느 한쪽이 영벡터이거나 두 벡터가 평행할 때, 그리고 그때만 성립합니다. (같은 계산은 6.2 515번의 증명에서도 썼습니다.)

각(θ)을 통한 재확인. u, v가 둘 다 영벡터가 아니면, 이 부등식은 537번의 cosθ=u⋅v|u||v|와 4.2의 f412번(|cosθ|≤1)을 결합한 것과도 정확히 일치합니다―|u⋅v|=|u||v||cosθ|≤|u||v|.

수치 검산. u=(4,3), v=(1,2)라면 |u⋅v|=10, |u||v|=55≈11.180―10≤11.180으로 부등식이 성립하고, x₁y₂−x₂y₁=4·2−1·3=5≠0이므로(u, v가 평행하지 않음) 등호는 성립하지 않는(엄격한 부등식) 경우입니다.

사용 : 506번(크기 공식) · 534번(성분 공식) · 505번(영벡터의 정의) · 525번(주장 3, 평행 판정) · 2.7의 f139번 · 2.4의 f96번 · 537번(코사인 공식) · 4.2의 f412번(cos의 치역)

증명 끝

539정리정사영―스칼라 정사영·벡터 정사영comp_vu = u⋅v|v|

정의(스칼라 정사영·벡터 정사영). v≠0일 때, u의 v-방향 스칼라 정사영(scalar projection)과 벡터 정사영(vector projection)을 각각 다음과 같이 정의합니다 :

comp_vu := u⋅v|v|   ,   proj_vu := u⋅v|v|²v

증명법(기하학적 의미) : 직접증명법

주장. O를 시점으로 OA=u로 두고, O를 지나고 v와 평행한 직선(«v-직선») 위에 A에서 내린 수선의 발을 P라 하면, P=OP=proj_vu이고, comp_vu는 그 부호 있는 길이(P가 v와 같은 방향 쪽에 있으면 +, 반대쪽이면 −)입니다.

P는 v-직선 위의 점이므로 OP=tv인 실수 t가 존재	OV=v인 점 V를 잡으면 v-직선은 직선 OV. P=O이면 t=0, P≠O이면 O, V, P가 한 직선 위이므로 525번 주장 3((다)⇒(가))에 의해 OP=tv(t≠0)
수선의 조건 AP⊥v ⇔ (OP−u)⋅v = 0	536번(수직 조건), AP=OP−OA(519·520번의 뺄셈). A가 v-직선 위에 있으면 P=A, AP=0이고 이 식은 533번의 약속으로 그대로 성립
(tv−u)⋅v = t(v⋅v)−(u⋅v) = t|v|²−(u⋅v) = 0	535번(분배법칙·실수배와의 결합), 535번(2)(v⋅v=|v|²)
∴ t = u⋅v|v|²	|v|>0(505번)이므로 양변을 |v|²로 나눔
OP = tv = u⋅v|v|²v = projvu	위 t의 값 대입

|OP| = |t||v| = |u⋅v||v|²·|v| = |u⋅v||v|이고, t와 v의 방향(525번)을 함께 보면 P가 v과 같은 방향 쪽(t>0, 즉 u⋅v>0)에 있는지 반대쪽(t<0)에 있는지가 정확히 부호로 반영되므로, t|v| = comp_vu가 그 부호 있는 길이입니다.

각(θ)에 의한 해석. u≠0이면 537번에 의해 u⋅v=|u||v|cosθ이므로 comp_vu=|u|cosθ―직각삼각형 OPA에서 밑변의 길이가 빗변·cos(끼인각)인 것과 같은 형태입니다(θ가 예각이면 양수, 둔각이면 음수, 536번의 직각인 경우는 0).

수치 검산. u=(4,3), v=(1,2)라면 u⋅v=10(534번), |v|²=5이므로 comp_vu=105=25≈4.472이고, proj_vu=105v=2v=(2,4)―아래 참조 그림 (3)에서 실제 좌표로 P=(2,4)임을 확인할 수 있습니다.

사용 : 505번(영벡터의 정의) · 519·520번(뺄셈·기하학적 의미) · 525번(주장 3, 평행 판정) · 533번(영벡터의 약속) · 534번(성분 공식) · 535번(대수적 성질) · 536번(수직 조건) · 537번(코사인 공식)

증명 끝

540정리—활용활용―내적의 계산 예제u=(2,−1), v=(3,4)

예제. u=(2,−1), v=(3,4)에 대해 534―539번을 모두 수치로 확인합니다.

1단계―내적(534번).

u⋅v = 2·3+(−1)·4 = 6−4 = 2

534번(성분 공식)

2단계―대수적 성질(535번). v⋅u=3·2+4·(−1)=6−4=2=u⋅v(교환법칙). u⋅u=4+1=5=|u|²(|u|=5).

3단계―각과 수직 여부(536·537번). |v|=5이므로 cosθ=25·5≈0.179―θ≈79.70°. u⋅v=2≠0이므로 u과 v은 수직이 아닙니다(536번).

4단계―코시–슈바르츠 부등식(538번). |u⋅v|=2, |u||v|=55≈11.180―2≤11.180으로 부등식이 성립하고, x₁y₂−x₂y₁=2·4−3·(−1)=8+3=11≠0이므로 등호가 성립하지 않는(엄격한) 경우입니다.

5단계―정사영(539번). comp_vu=25=0.4, proj_vu=225v=(0.24, 0.32)입니다―θ≈79.70°가 예각이므로 comp_vu>0(P가 v과 같은 방향 쪽)임과 일치합니다.

사용 : 534번(성분 공식) · 535번(대수적 성질) · 536번(수직 조건) · 537번(코사인 공식) · 538번(코시–슈바르츠 부등식) · 539번(정사영)

증명 끝

참조 그림

(1) 532·533·534번―u=(4,3), v=(1,2)를 원점 O에서 그려 삼각형 OAB를 만들었습니다. 두 벡터 사이의 각 θ(532번)와, 코사인법칙(3.4 f185번)으로 u⋅v=10(534번)을 얻는 유도의 근거가 되는 도형입니다―OA=5, OB=5, AB=10(정확한 2D 도형).

(2) 536번(수직 조건)―u=(3,4), v=(−4,3)로 u⋅v=−12+12=0임을 확인하고, 실제로 θ=90°임을 보여줍니다(정확한 2D 도형).

(3) 539번(정사영)―u=(4,3), v=(1,2)일 때, A(=u의 종점)에서 O를 지나는 v-직선에 내린 수선의 발 P=(2,4)=proj_vu를 보여줍니다―comp_vu=25≈4.472(정확한 2D 도형).