4.4 수능 핵심
특수각의 삼각함수값
Trigonometric Functions of Common Angles
정의 · 공식과 증명
3.1의 f157번은 예각 α에 대한 삼각비를 직각삼각형의 변의 비(대변÷빗변 등)로 정의하면서, "이 정의는 0°<α<90°에서만 뜻을 가지며 4장에서 단위원 위의 점의 좌표로 다시 정의하여 모든 실수 각으로 확장한다"고 예고했습니다. 4.2의 f409번이 실제로 그 확장(단위원 좌표에 의한 정의)을 수행했지만, 두 정의가 겹치는 구간(0<θ<π2)에서 서로 완전히 같은 값을 준다는 사실은 아직 확인되지 않았습니다. 이 절은 먼저 그 사실을 증명하고(420번), 이를 근거로 삼아 등변직각삼각형과 정삼각형이라는 구체적인 도형으로부터 특수각 π6, π4, π3의 삼각비를 계산합니다(421·422번). 이어서 축 위의 경계각 0, π2의 값을 4.2에서 이미 확립된 사실로부터 재확인하고(423번), 마지막으로 나머지 네 함수(코탄젠트·시컨트·코시컨트)의 값을 더해 특수각 전체의 종합표를 완성합니다(424번).
단위원 위의 다섯 특수각 0, π6, π4, π3, π2 — 이 절에서 증명할 결과의 개관이며, 각 좌표값의 엄밀한 근거는 420~424번에서 차례로 제시합니다.
420정리직각삼각형 정의와 단위원 정의의 일치(0<θ<π2)3.1의 정의 = 4.2의 정의
증명법 : 직접증명법 (AA 닮음)
주장. 0<θ<π2인 θ에 대해, 예각 θ를 가지는 임의의 직각삼각형에서 3.1의 f157번대로 계산한 삼각비(대변÷빗변 등)는 4.2의 f409번(단위원 좌표)으로 정의한 cos θ, sin θ, tan θ와 정확히 일치합니다.
임의의 직각삼각형(왼쪽, 변 p,q,r)과 단위원 위의 삼각형 O-A′-P(θ)(오른쪽, 변 cos θ,sin θ,1) — 두 삼각형은 각 θ와 직각을 공유하므로 AA 닮음
1단계 — 단위원 삼각형의 확인. 4.2의 f409번에 의해 P(θ)=(cos θ, sin θ)이고, 3.19의 f260번(원의 정의, r=1인 경우)에 의해 단위원 위의 모든 점은 원점 O로부터 거리가 정확히 1입니다. 즉 |OP(θ)|=1. P(θ)에서 x축에 내린 수선의 발을 A′라 하면 삼각형 O-A′-P(θ)는 A′에서 직각이고, 0<θ<π2이므로 4.3의 f417번(제1사분면)에 의해 cos θ>0, sin θ>0이라 이 삼각형의 두 다리는 실제로 양수 길이 OA′=cos θ, A′P(θ)=sin θ이며, 빗변 OP(θ)=1이고, O에서의 각은 θ 자신입니다.
2단계 — 임의의 직각삼각형과의 AA 닮음. 예각 θ를 가지는 임의의 직각삼각형을 X-Y-Z(직각은 Y, 각 θ는 X)라 하고 XY=p(이웃변), YZ=q(대변), XZ=r(빗변)이라 둡니다. 삼각형의 내각의 합(3.4의 f181번)에 의해 이 삼각형의 나머지 각은 90°−θ이고, 위 1단계의 삼각형 O-A′-P(θ)도 같은 이유로 나머지 각이 90°−θ입니다. 두 삼각형이 직각과 각 θ(따라서 나머지 각 90°−θ까지)를 공유하므로 3.1의 f157번의 증명(①)이 이미 사용한 것과 같은 AA 닮음 조건에 의해
△XYZ ∼ △OA′P(θ)
가 성립합니다. 닮은 삼각형의 대응변은 비례하므로, 대응 Y↔A′, X↔O, Z↔P(θ)에서
XYOA′ = YZA′P(θ) = XZOP(θ) =: k (닮음비)
인 공통 비율 k가 존재합니다. OP(θ)=1이므로 XZ=k·1=k, 즉 k=r입니다. 따라서
p = XY = k·OA′ = r cos θ , q = YZ = k·A′P(θ) = r sin θ
3단계 — 삼각비의 일치. 이제 3.1 f157번의 정의대로 삼각형 XYZ에서 각 θ의 삼각비를 직접 계산합니다.
| sin θ(f157 정의) = qr = r sin θr = sin θ(f409 정의) | 2단계의 q=r sin θ 대입, 약분 |
| cos θ(f157 정의) = pr = r cos θr = cos θ(f409 정의) | 2단계의 p=r cos θ 대입, 약분 |
| tan θ(f157 정의) = qp = sin θcos θ = tan θ(f410 정의) | 위 두 줄의 비, 4.2 f410번(탄젠트의 정의) |
즉 임의의 직각삼각형 XYZ에서 계산한 삼각비는 삼각형의 크기나 모양(닮음비 k)에 무관하게, 오직 θ에만 의존하는 단위원 정의의 값과 정확히 같습니다.
따름(이 절에서의 쓰임). 이 정리 덕분에, 421·422번에서는 굳이 단위원 위에 삼각형을 그리지 않고 등변직각삼각형·정삼각형처럼 계산이 편한 구체적인 직각삼각형을 자유롭게 골라 그 변의 비를 재는 것만으로 cos θ, sin θ, tan θ(단위원 정의)의 값을 얻을 수 있습니다.
사용 : 3.1의 f157번(직각삼각형에서의 삼각비 정의와 AA 닮음) · 3.4의 f181번(내각의 합) · 3.19의 f260번(원의 정의) · 4.2의 f409번(단위원 정의) · 4.2의 f410번(탄젠트의 정의) · 4.3의 f417번(제1사분면 부호)
증명 끝
421정리π4(45°)의 삼각비sin=cos=22, tan=1
증명법 : 직접증명법 (구체적 작도 + 420번)
작도. 점 O에서 직각으로 만나는 두 선분 OP, OQ를 길이가 각각 1이 되도록 긋고, 빗변 PQ를 그어 직각삼각형 OPQ를 만듭니다(OP=OQ=1, ∠O=90°).
직각이등변삼각형 OPQ — 다리 OP=OQ=1, 빗변 PQ=2, 밑각 ∠P=∠Q=45°=π4
1단계 — 밑각의 확인. OP=OQ이므로 삼각형 OPQ는 정점 O에서 만나는 두 변이 같은 이등변삼각형입니다(3.2의 보조정리가 다루는 구조에서 "정점 C"의 역할을 O가, "밑각의 두 꼭짓점 A,B"의 역할을 P,Q가 맡는 경우). 위 보조정리에 의해 밑각이 같습니다 : ∠P=∠Q. 3.2의 f172번(β=90°−α2, 여기서 α는 꼭지각)을 꼭지각 ∠O=90°에 적용하면
∠P = ∠Q = 90° − 90°2 = 45° = π4
2단계 — 빗변의 길이. 3.1의 f163번(피타고라스 정리)에 의해
PQ² = OP² + OQ² = 1² + 1² = 2
길이는 양수이므로 PQ = 2입니다.
3단계 — 420번 적용. 정점 P에서 본 각 ∠P=π4에 대해, 이웃변은 OP=1, 대변은 OQ=1, 빗변은 PQ=2입니다. 420번에 의해 이 비가 그대로 단위원 정의의 값입니다 :
| sinπ4 = OQPQ = 12 | 420번(대변÷빗변) |
| = 1·22·2 = 22 | 분모의 유리화 (2·2=2) |
| cosπ4 = OPPQ = 12 = 22 | 420번(이웃변÷빗변), 같은 방식으로 유리화 |
| tanπ4 = OQOP = 11 = 1 | 420번(대변÷이웃변) |
(정점 Q에서 보아도 대변·이웃변이 서로 바뀔 뿐 OP=OQ=1이므로 완전히 같은 값을 줍니다.)
사용 : 3.2의 보조정리(밑각의 동일성) · 3.2의 f172번(밑각과 꼭지각의 관계) · 3.1의 f163번(피타고라스 정리) · 420번(직각삼각형 비와 단위원 정의의 일치)
증명 끝
422정리π6, π3(30°,60°)의 삼각비sinπ6=cosπ3=12, cosπ6=sinπ3=32
증명법 : 직접증명법 (정삼각형의 이등분 + 420번)
준비 — 정삼각형의 세 내각이 60°임을 확인. 변의 길이가 모두 같은(BC=CA=AB) 삼각형 ABC를 생각합니다. CA=CB(정점 C)이므로 3.2의 보조정리에 의해 ∠A=∠B. 같은 보조정리를 BA=BC(정점 B)에 적용하면 ∠A=∠C. 두 결과를 합치면 ∠A=∠B=∠C이고, 3.4의 f181번(내각의 합 180°)에 의해 3∠A=180°, 즉 ∠A=∠B=∠C=60°=π3입니다.
작도. 한 변의 길이가 2인 정삼각형 ABC(B,C가 밑변, A가 꼭짓점)를 그리고, A에서 밑변 BC에 내린 수선의 발을 D라 합니다.
정삼각형 ABC(변 2)를 높이 AD로 이등분 — 직각삼각형 ABD : 다리 BD=1, AD=3, 빗변 AB=2, ∠B=60°, ∠BAD=30°
1단계 — D는 BC의 중점, AD⊥BC, AD는 각 A의 이등분선. AB=AC(정점 A)이므로 3.2의 보조정리(밑각의 동일성과 대칭축)에 의해, 꼭지각 A의 이등분선은 밑변 BC의 수직이등분선과 정확히 일치합니다. D를 그 이등분선이 BC와 만나는 점으로 잡았으므로 BD=DC=1(=밑변의 절반)이고 AD⊥BC이며, 동시에 ∠BAD=∠CAD=60°2=30°입니다.
2단계 — AD의 길이. 정삼각형은 이등변삼각형의 특수한 경우(두 변이 아니라 세 변이 모두 같음)이므로, 3.3의 f176번(높이 h=a32)에 한 변 a=2를 대입하면
AD = h = 232 = 3
3단계 — 420번 적용. 직각삼각형 ABD(직각은 D)에서, 정점 B의 각은 ∠B=60°=π3이고 이웃변 BD=1, 대변 AD=3, 빗변 AB=2입니다. 정점 A(에서 D쪽으로 본 부분삼각형)의 각은 ∠BAD=30°=π6이고 이웃변 AD=3, 대변 BD=1, 빗변 AB=2입니다. 420번에 의해 이 비가 곧 단위원 정의의 값입니다 :
| sinπ3 = ADAB = 32 | 420번, ∠B=π3의 대변÷빗변 |
| cosπ3 = BDAB = 12 | 420번, ∠B=π3의 이웃변÷빗변 |
| tanπ3 = ADBD = 31 = 3 | 420번, ∠B=π3의 대변÷이웃변 |
| sinπ6 = BDAB = 12 | 420번, ∠BAD=π6의 대변÷빗변 |
| cosπ6 = ADAB = 32 | 420번, ∠BAD=π6의 이웃변÷빗변 |
| tanπ6 = BDAD = 13 = 33 | 420번, ∠BAD=π6의 대변÷이웃변, 분모 유리화 |
사용 : 3.2의 보조정리(밑각의 동일성과 대칭축) · 3.3의 f176번(정삼각형의 높이) · 3.4의 f181번(내각의 합) · 420번(직각삼각형 비와 단위원 정의의 일치)
증명 끝
423정리0, π2(0°,90°)의 삼각비(경계각)cos0=1,sin0=0 · cosπ2=0,sinπ2=1
증명법 : 직접증명법 (4.2에서 이미 확립된 값의 재확인)
θ=0, π2는 좌표축 위의 각(4.3의 f416번이 말하는 "사분면의 경계각")이라 420번의 직각삼각형 방식이 통하지 않습니다(변의 길이가 0이 되는 퇴화된 삼각형이라 3.1 f157번의 정의 자체가 적용되지 않음 — f157번③이 "0°<α<90°에서만" 뜻을 가진다고 명시한 이유가 바로 이것입니다). 대신 4.2에서 단위원 좌표로부터 이미 확정된 값을 그대로 씁니다.
θ=0(회전 없음)과 θ=π2(직각만큼 회전) — 4.2에서 이미 확립된 좌표를 그대로 표시
θ=0. 4.2의 f409번에 의해 P(θ)는 시초선 OA(양의 x축)를 반시계 방향으로 θ만큼 회전시켜 얻은 점입니다. θ=0은 회전량이 0, 즉 전혀 회전시키지 않은 것이므로 P(0)은 시초선이 가리키는 점 (1,0) 그대로입니다 : P(0)=(1,0)(4.2의 f411번 증명에서도 그대로 사용된 값). 즉 cos0=1, sin0=0입니다.
θ=π2. 4.2의 f411번의 증명에서, 4.1의 f408번(도수법↔호도법 대응표, 90°=π2 rad)과 직각의 정의를 이용해 시초선을 π2만큼 반시계 방향으로 돌리면 정확히 양의 y축 방향에 도달함을 보였습니다 : P(π2)=(0,1). 즉 cosπ2=0, sinπ2=1입니다.
나머지 네 함수. 4.2의 f410번(비·역수로 정의)과 f411번(정의역 — cos θ=0 ⟺ θ=π2+kπ, sin θ=0 ⟺ θ=kπ)을 그대로 적용합니다.
| θ | sin | cos | tan | cot | sec | csc |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 정의 안됨 | 1 | 정의 안됨 |
| π2 | 1 | 0 | 정의 안됨 | 0 | 정의 안됨 | 1 |
θ=0에서는 sin0=0이므로 f411번에 의해 cot0=cos0sin0, csc0=1sin0이 정의되지 않고(0이 kπ 꼴이므로), θ=π2에서는 cosπ2=0이므로 tanπ2=sin{FRAC("π","2")}cos{FRAC("π","2")}, secπ2=1cos{FRAC("π","2")}이 정의되지 않습니다(π2이 π2+kπ 꼴이므로, k=0).
사용 : 4.2의 f409번(단위원 정의) · 4.2의 f410번(비·역수 정의) · 4.2의 f411번(정의역, P(π2)=(0,1)의 근거) · 4.3의 f416번(경계각의 정의)
증명 끝
424정리특수각의 코탄젠트·시컨트·코시컨트, 그리고 종합표421~423번의 값으로부터 4.2 f410번의 비·역수 정의를 적용
증명법 : 직접증명법 (421~423번에 4.2 f410번의 정의를 적용)
4.2의 f410번에 의해 cot θ:=cos θsin θ, sec θ:=1cos θ, csc θ:=1sin θ입니다. 421·422번에서 구한 π6, π4, π3의 sin, cos 값을 그대로 대입합니다.
π6. sinπ6=12, cosπ6=32이므로
cotπ6 = 3212 = 3 , secπ6 = 132 = 23 = 233 , cscπ6 = 112 = 2
π4. sinπ4=cosπ4=22이므로
cotπ4 = 2222 = 1 , secπ4 = 122 = 22 = 2 , cscπ4 = 122 = 2
π3. sinπ3=32, cosπ3=12이므로
cotπ3 = 1232 = 33 , secπ3 = 112 = 2 , cscπ3 = 132 = 233
(분모의 유리화는 421번에서 이미 보인 것과 같은 방식 — 예를 들어 23=2·33·3=233입니다.)
0, π2(경계각)의 cot, sec, csc는 423번에서 이미 확정했습니다(sin, cos 중 하나가 0이 되는 지점이라 두 함수가 정의되지 않는 경우가 나옵니다).
종합표. 420~423번의 결과를 모두 모으면 다음과 같습니다 :
| θ | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
| sin θ | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 |
| cos θ | 1 | 32 | 22 | 12 | 0 |
| tan θ | 0 | 33 | 1 | 3 | 정의 안됨 |
| cot θ | 정의 안됨 | 3 | 1 | 33 | 0 |
| sec θ | 1 | 233 | 2 | 2 | 정의 안됨 |
| csc θ | 정의 안됨 | 2 | 2 | 233 | 1 |
특수각 종합표 — 위쪽의 대표 도형(단위원 위 다섯 점)이 sin θ, cos θ 두 행의 시각적 요약입니다.
사용 : 4.2의 f410번(비·역수 정의) · 421번(π4) · 422번(π6, π3) · 423번(0, π2)
증명 끝