6.6 대학 과정
외적
Vector Product
정의 · 공식과 증명
이 절은 6.5의 내적(스칼라곱)에 이어, 두 벡터로부터 하나의 새로운 벡터를 만들어내는 연산―외적(벡터곱, vector product·cross product) u×v―을 다룹니다. 6.5의 내적 성분 공식(534번)은 평면(2차원) 벡터에 대해서만 증명되어 있었으므로, 먼저 이를 공간(3차원) 벡터로 확장하고(874번), 이 결과를 이용해 외적을 성분 공식으로 엄밀하게 정의합니다(875번)―5.1의 3×3 행렬식의 제1행 여인수전개(829번)와 형태가 정확히 일치함도 함께 확인합니다. 이 정의로부터 외적이 u, v 각각에 수직임을 증명하고(876번), 반교환법칙·분배법칙 등 대수적 성질을 확인합니다(877번). 이어서 라그랑주 항등식으로 크기 공식 |u×v|=|u||v|sinθ을 얻고(878번), 이를 평행사변형·삼각형의 넓이로 해석합니다(879번). u∥v(평행)일 조건이 정확히 u×v=0임을 보이고(880번), 표준기저벡터의 외적(i×j=k 등)과 오른손 법칙의 관계를 확인한 뒤(881번, 방향에 대한 기하학적 설명은 엄밀한 좌표 증명과 구분해 참고 도형으로 별도 제시), 마지막으로 수치 예제로 전체 결과를 재확인합니다(882번). 이 절 전체는 «고교 교육과정 우선 진행 계획»의 건너뛸 절 목록에 속하는 대학 과정입니다.
874정리내적의 3차원 확장u⋅v = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
증명법 : 경우를 나누는 방법(6.5 534번과 완전히 같은 논증을 공간으로 확장)
주장. 공간벡터 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂)에 대해 다음이 성립합니다(θ : 6.5 532번의 각―세 점 O,A,B는 항상 하나의 평면을 결정하므로 이 정의는 좌표축의 수와 무관하게 그대로 성립하고, 6.5 533번의 내적의 정의 u⋅v:=|u||v|cosθ도 좌표를 전혀 참조하지 않으므로 그대로 성립합니다―공간으로 확장이 필요한 것은 오직 534번의 성분 공식뿐입니다) :
u⋅v = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
경우 1―u, v가 평행하지 않은 경우(O, A, B가 진짜 삼각형). O를 시점으로 OA=u, OB=v로 두면, O, A, B 세 점은 (일직선 위에 있지 않으므로) 유일한 평면을 결정하고, 그 평면 안에서 삼각형 OAB는 534번의 증명에 쓰인 평면삼각형과 정확히 같은 대상입니다―OA=|u|, OB=|v|, ∠AOB=θ이고, 6.3 519·520번(성분별 뺄셈·기하학적 의미, 공간에서도 그대로 성립)에 의해 AB=|u−v|입니다.
| AB² = OA²+OB²−2·OA·OB·cosθ | 3.4의 f185번(코사인법칙)―OAB가 속한 평면 위에서 평면기하 정리이므로 공간 안의 위치와 무관하게 그대로 적용됨 |
| |u−v|² = |u|²+|v|²−2(u⋅v) | 위 식에 OA=|u|, OB=|v|, AB=|u−v| 대입, 6.5 533번(내적의 정의) |
| |u−v|² = (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²+(z₁−z₂)² | 519번(공간에서의 성분별 뺄셈 공식), 6.1 f507번(공간에서의 크기 공식) |
| |u|²+|v|² = (x₁²+y₁²+z₁²)+(x₂²+y₂²+z₂²) | 507번(공간에서의 크기 공식) |
| ∴ −2(u⋅v) = |u−v|²−(|u|²+|v|²) = −2x₁x₂−2y₁y₂−2z₁z₂ | 두 번째 줄과 세·네 번째 줄을 전개해 정리하면 x₁², y₁², z₁², x₂², y₂², z₂² 항이 모두 상쇄됨(534번과 동일한 대수 계산에 z항만 추가) |
| ∴ u⋅v = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ | 양변을 −2로 나눔 |
경우 2―u, v가 평행한 경우(θ=0 또는 θ=π). 6.4 525번(같은·반대 방향의 정의, 좌표축의 수와 무관하게 그대로 성립)에 의해 u=cv인 실수 c≠0가 존재하고(x₁=cx₂, y₁=cy₂, z₁=cz₂), c>0이면 θ=0, c<0이면 θ=π입니다. 534번의 경우 2와 완전히 같은 계산(507번의 3차원 크기 공식만 대신 사용)으로 u⋅v=c|v|²=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂를 얻습니다.
경우 3―어느 한쪽이 영벡터인 경우. 6.5 533번의 약속에 의해 u⋅v:=0인데, 영벡터의 성분이 (0,0,0)이므로 x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂도 자동으로 0입니다―세 경우 모두 결론이 일치하므로 증명이 완결됩니다.
수치 검산. u=(2,2,1), v=(1,2,2)라면 u⋅v=2·1+2·2+1·2=2+4+2=8입니다―875번부터 이 절 전체에서 계속 사용할 기본 예제입니다(Python으로 재확인).
사용 : 6.5의 532·533번(각·내적의 정의) · 534번(평면 성분 공식과 동일한 증명 구조) · 6.1의 f507번(공간에서의 크기 공식) · 6.3의 f519·f520번(뺄셈) · 6.4의 f525번(같은·반대 방향) · 3.4의 f185번(코사인법칙)
증명 끝
875정의외적(벡터곱)의 정의u×v := (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂)
공간벡터 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂)에 대해, u와 v의 외적(벡터곱, cross product)을 다음과 같은 공간벡터로 정의합니다(6.5의 내적 u⋅v가 실수 하나를 만드는 것과 달리, 외적은 벡터 하나를 만드는 연산입니다―그래서 이름도 «벡터곱»입니다) :
u×v := (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂)
기호적 행렬식(니모닉). 이 세 성분은 5.1의 3×3 행렬식 여인수전개(829번, det A = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃)의 계수 계산과 정확히 같은 패턴으로 얻어집니다―단, 824번의 행렬식은 실수를 성분으로 갖는 정사각행렬에 대해서만 정의되어 있으므로, 첫 행에 벡터 i, j, k를 넣은 다음 표는 824번 의미의 진짜 행렬이 아니라, 829번의 전개 규칙을 성분 자리에 형식적으로 적용한 표기법(기호적 행렬식)일 뿐임을 분명히 해 둡니다 :
u×v «=» ijkx₁y₁z₁x₂y₂z₂
실제로 827번(소행렬식·여인수의 정의)의 규칙을 이 표에 형식적으로 적용하면 C₁₁=y₁z₂−z₁y₂, C₁₂=−(x₁z₂−z₁x₂)=z₁x₂−x₁z₂, C₁₃=x₁y₂−y₁x₂이고, 829번의 전개 규칙 그대로 iC₁₁+jC₁₂+kC₁₃를 계산하면 위 정의의 세 성분과 정확히 일치합니다―암기를 돕는 니모닉일 뿐, 이 절의 유일한 formal한 정의는 맨 위 성분 공식입니다.
주의(양쪽 모두 영벡터가 아니어도, 나란하면 결과가 영벡터일 수 있음). 정의가 성분 공식 자체이므로, u 또는 v가 영벡터인 경우도(성분이 모두 0이 되어) 별도의 약속 없이 u×v=0으로 자동으로 처리됩니다―6.5 533번의 내적이 기하학적 정의(|u||v|cosθ)에서 출발해 θ가 정의되지 않는 영벡터의 경우를 별도로 약속해야 했던 것과 달리, 외적은 성분 공식에서 출발하므로 이런 예외 처리가 필요 없습니다(두 벡터가 나란한 경우도 880번에서 u×v=0이 됨을 보입니다).
수치 예제. u=(2,2,1), v=(1,2,2)라면(874번과 같은 예제) :
| x성분 : y₁z₂−z₁y₂ = 2·2−1·2 = 4−2 = 2 | y₁=2, z₂=2, z₁=1, y₂=2 대입 |
| y성분 : z₁x₂−x₁z₂ = 1·1−2·2 = 1−4 = −3 | z₁=1, x₂=1, x₁=2, z₂=2 대입 |
| z성분 : x₁y₂−y₁x₂ = 2·2−2·1 = 4−2 = 2 | x₁=2, y₂=2, y₁=2, x₂=1 대입 |
| ∴ u×v = (2, −3, 2) | 위 세 성분을 순서대로 묶음(Python으로 재확인) |
사용 : 6.1의 f502번(공간벡터의 성분) · 5.1의 f827·f829번(소행렬식·여인수, 제1행 여인수전개―니모닉에만 사용, 정의 자체의 근거는 아님)
876정리외적은 두 벡터 모두에 수직u⋅(u×v) = v⋅(u×v) = 0
증명법 : 직접증명법(875번 정의를 874번 내적 공식에 그대로 대입해 전개)
주장. u⋅(u×v) = 0이고 v⋅(u×v) = 0입니다―즉 u×v는 u, v 각각에(따라서 둘이 만드는 평면 전체에) 수직인 벡터입니다.
| u×v = (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂) | 875번(외적의 정의) |
| u⋅(u×v) = x₁(y₁z₂−z₁y₂)+y₁(z₁x₂−x₁z₂)+z₁(x₁y₂−y₁x₂) | 874번(공간 내적의 성분 공식)에 u=(x₁,y₁,z₁)와 위 식을 대입 |
| = x₁y₁z₂−x₁z₁y₂+y₁z₁x₂−y₁x₁z₂+z₁x₁y₂−z₁y₁x₂ | 전개 |
| = (x₁y₁z₂−y₁x₁z₂)+(y₁z₁x₂−z₁y₁x₂)+(z₁x₁y₂−x₁z₁y₂) | 같은 세 문자의 곱끼리(x₁y₁z₂와 y₁x₁z₂ 등) 묶음 |
| = 0+0+0 = 0 | 각 괄호 안 두 항이 곱셈의 교환법칙(x₁y₁z₂=y₁x₁z₂ 등)에 의해 서로 같으므로 상쇄 |
| ∴ u⋅(u×v) = 0 | 위 계산 결과 |
v⋅(u×v)=0도 완전히 같은 방식(v=(x₂,y₂,z₂)를 874번에 대입해 전개)으로 각 항이 짝을 지어 상쇄되어 증명됩니다―직접 전개하면 x₂(y₁z₂−z₁y₂)+y₂(z₁x₂−x₁z₂)+z₂(x₁y₂−y₁x₂)=(x₁y₂z₂−x₁y₂z₂)+(y₁z₂x₂−y₁z₂x₂)+(z₁x₂y₂−z₁x₂y₂)=0입니다.
수치 검산. u=(2,2,1), v=(1,2,2), u×v=(2,−3,2)(875번)이므로 u⋅(u×v)=2·2+2·(−3)+1·2=4−6+2=0, v⋅(u×v)=1·2+2·(−3)+2·2=2−6+4=0으로 둘 다 확인됩니다.
사용 : 874번(공간 내적의 성분 공식) · 875번(외적의 정의)
증명 끝
877정리외적의 대수적 성질u×v = −(v×u)
증명법 : 직접증명법(875번 성분 공식을 각 경우에 그대로 대입)
주장. 공간벡터 u, v, w와 실수 k에 대해 다음이 성립합니다.
| (i) u×u = 0 | 반사성(같은 벡터끼리의 외적) |
| (ii) u×v = −(v×u) | 반교환법칙(anticommutativity) |
| (iii) u×(v+w) = (u×v)+(u×w) | 분배법칙 |
| (iv) (ku)×v = k(u×v) = u×(kv) | 실수배와의 결합 |
(i) 증명. 875번의 정의에 v=u=(x₁,y₁,z₁)를 대입하면 u×u=(y₁z₁−z₁y₁, z₁x₁−x₁z₁, x₁y₁−y₁x₁)=(0,0,0)=0입니다(각 성분이 같은 두 곱의 차이이므로 항상 0).
(ii) 증명. v×u의 정의에서 아래첨자 1, 2를 서로 바꾸면(875번에서 u↔v) v×u=(y₂z₁−z₂y₁, z₂x₁−x₂z₁, x₂y₁−y₂x₁)인데, 이 세 성분은 각각 u×v의 세 성분 y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂의 부호를 정확히 뒤집은 것입니다(예 : y₂z₁−z₂y₁=−(y₁z₂−z₁y₂)). 따라서 v×u=−(u×v)입니다.
(iii)·(iv) 증명. 6.2 f510번(공간에서의 덧셈 성분 공식)과 6.4 f523번(공간에서의 실수배 성분 공식)으로 좌변의 성분을 직접 계산하면, 예를 들어 (iii)의 x성분은 y₁(z₂+z₃)−z₁(y₂+y₃)=(y₁z₂−z₁y₂)+(y₁z₃−z₁y₃)로, 우변 (u×v)+(u×w)의 x성분과 정확히 같습니다(실수의 분배법칙을 각 성분에 적용한 것뿐입니다). y, z성분과 (iv)도 완전히 같은 방식으로 실수의 결합·분배법칙만으로 확인되므로, 지면상 반복하지 않습니다.
주의(결합법칙은 성립하지 않음). 6.5의 내적과 달리, 외적은 결합법칙 u×(v×w)=(u×v)×w를 일반적으로 만족하지 않습니다―예를 들어 i×(i×j)와 (i×i)×j는 881번에서 각각 −j와 0으로 계산되어 서로 다릅니다. 이는 (i)에서 이미 u×u=0임을 보았으므로, 외적이 6.5의 내적처럼 «익숙한 곱셈»과 똑같이 행동하지는 않는다는 신호이기도 합니다.
사용 : 875번(외적의 정의) · 6.2의 f510번(공간 덧셈) · 6.4의 f523번(공간 실수배)
증명 끝
878정리라그랑주 항등식과 외적의 크기 공식|u×v| = |u||v|sinθ
증명법 : 직접증명법(성분 전개 → 4.5의 피타고라스 항등식으로 치환)
주장(라그랑주 항등식). |u×v|² = |u|²|v|²−(u⋅v)²이고, 따라서 u, v가 이루는 각을 θ(6.5 532번, 0≤θ≤π)라 하면 |u×v| = |u||v|sinθ입니다.
| |u×v|² = (y₁z₂−z₁y₂)²+(z₁x₂−x₁z₂)²+(x₁y₂−y₁x₂)² | 875번(외적의 정의), 507번(공간에서의 크기 공식) |
| = (x₁²+y₁²+z₁²)(x₂²+y₂²+z₂²)−(x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)² | 좌변을 완전히 전개한 뒤(각 항이 6개의 제곱항과 서로 상쇄되는 교차항들로 이루어짐) 우변으로 다시 묶는 대수적 항등식―아래 별도 검산 참고 |
| = |u|²|v|²−(u⋅v)² | 507번(크기 공식), 874번(공간 내적의 성분 공식) |
전개 검산(대수적 항등식의 근거). 좌변을 전개하면 (y₁z₂)²−2y₁z₂z₁y₂+(z₁y₂)²+(z₁x₂)²−2z₁x₂x₁z₂+(x₁z₂)²+(x₁y₂)²−2x₁y₂y₁x₂+(y₁x₂)²이고, 우변을 전개하면 (x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂를 제곱한 항을 뺀 나머지) x₁²y₂²+x₁²z₂²+y₁²x₂²+y₁²z₂²+z₁²x₂²+z₁²y₂²−2x₁x₂y₁y₂−2y₁y₂z₁z₂−2z₁z₂x₁x₂가 되어, 양변의 6개 제곱항과 3개 교차항이 하나씩 정확히 대응합니다(예: (y₁z₂)²+(z₁y₂)² 중 (y₁z₂)²은 우변의 y₁²z₂²과, −2y₁z₂z₁y₂는 우변의 −2y₁y₂z₁z₂와 각각 일치). 세 괄호를 모두 이렇게 대응시키면 항등식이 확인됩니다.
| |u×v|² = |u|²|v|²−(|u||v|cosθ)² | 6.5 533번(내적의 정의, u⋅v=|u||v|cosθ)을 위 항등식에 대입 |
| = |u|²|v|²(1−cos²θ) | 공통인수 |u|²|v|²로 묶음 |
| = |u|²|v|²sin²θ | 4.5의 f425번(피타고라스 항등식, sin²θ+cos²θ=1) |
| ∴ |u×v| = |u||v|sinθ | 양변에 제곱근―0≤θ≤π에서 sinθ≥0이므로 4.3의 f417번(제1·2사분면에서 sin>0)과 경계값 sin0=sinπ=0에 의해 √(sin²θ)=|sinθ|=sinθ |
수치 검산. u=(2,2,1), v=(1,2,2)이면 |u|²=4+4+1=9, |v|²=1+4+4=9, u⋅v=8(874번)이므로 라그랑주 항등식의 우변은 9·9−8²=81−64=17입니다. 한편 u×v=(2,−3,2)(875번)이므로 |u×v|²=4+9+4=17―정확히 일치합니다(Python으로 재확인).
사용 : 875번(외적의 정의) · 874번(공간 내적) · 507번(공간에서의 크기 공식) · 6.5의 f532·f533번(각·내적의 정의) · 4.3의 f417번 · 4.5의 f425번(피타고라스 항등식)
증명 끝
879정리외적의 기하학적 의미―평행사변형·삼각형의 넓이S = |u×v|
증명법 : 직접증명법(삼각형 넓이 공식에 878번의 크기 공식 대입)
주장. O를 시점으로 OA=u, OB=v(u, v 둘 다 영벡터가 아니고 나란하지 않음)로 잡을 때, 삼각형 OAB의 넓이와 (O, A, B를 세 꼭짓점 중 셋으로 갖는) 평행사변형 OACB(C=A+B에 대응하는 점, OC=u+v)의 넓이는 각각 다음과 같습니다.
△OAB의 넓이 = ½|u×v|, 평행사변형 OACB의 넓이 = |u×v|
| △OAB의 넓이 = ½·OA·OB·sinθ | 3.4의 184a번(두 변과 끼인각으로 구하는 넓이, ½ab sinγ 꼴) |
| = ½|u||v|sinθ | OA=|u|, OB=|v|(6.5 532번) |
| = ½|u×v| | 878번(외적의 크기 공식) |
평행사변형 OACB는 대각선 OC로 합동인 두 삼각형 OAB와 OAB로 나뉘므로, 그 넓이는 삼각형 OAB 넓이의 2배, 즉 |u×v|입니다.
주의(방향과 왜곡). 위 결과는 어디까지나 넓이(스칼라, 항상 0 이상인 실수)에 대한 것입니다―외적 벡터 자체는 크기가 이 넓이와 같고, 방향은 그 평면에 수직(876번)이라는 두 정보를 함께 담고 있습니다. 아래 참조 그림은 이 벡터의 방향을 보여주기 위한 것일 뿐, 그림에 쓰인 경사 사영(참조 그림 문단 참고)은 실제 길이·각도를 보존하지 않으므로, 넓이 값 자체는 이 절의 계산식으로만 확인해야 합니다.
수치 검산. u=(2,2,1), v=(1,2,2), |u×v|=17(878번)이므로 삼각형 OAB의 넓이는 172, 평행사변형의 넓이는 17입니다.
사용 : 878번(외적의 크기 공식) · 6.5의 f532번 · 3.4의 184a번(두 변과 끼인각으로 구하는 넓이)
증명 끝
880정리벡터의 평행 조건u∥v ⇔ u×v = 0
증명법 : 동치인 식의 열(878번의 크기 공식이 등식·동치 연쇄를 그대로 제공)
주장. u, v가 모두 영벡터가 아닐 때, u∥v(6.4 525번의 뜻으로 같은 방향이거나 반대 방향)일 필요충분조건은 u×v=0입니다.
| u∥v | 가정 |
| ⇔ θ=0 또는 θ=π | 6.5 532번(각의 정의―같은 방향이면 θ:=0, 반대 방향이면 θ:=π로 정의되어 있고, 그 역도 성립) |
| ⇔ sinθ = 0 | 0≤θ≤π에서 sinθ=0인 것은 θ=0, θ=π뿐(4.2의 사인함수 그래프·단위원 위의 값) |
| ⇔ |u||v|sinθ = 0 | |u|>0, |v|>0(둘 다 영벡터가 아니므로)이어서 양변에 |u||v|>0을 곱하거나 나누어도 동치 |
| ⇔ |u×v| = 0 | 878번(외적의 크기 공식) |
| ⇔ u×v = 0 | 6.1 505번(크기의 정의)―|w|=0인 벡터는 w=0뿐(507번의 크기 공식에서 세 제곱의 합이 0이려면 x=y=z=0) |
영벡터를 포함하는 경우. 875번에서 이미 보았듯, u 또는 v가 0이면 항상 u×v=0입니다. 6.5 536번이 «영벡터는 모든 벡터와 수직이라고 약속하면»이라는 관용구로 수직 조건을 확장했던 것처럼, 여기서도 «영벡터는 모든 벡터와 평행이라고 약속»하면 위 동치는 영벡터를 포함한 모든 경우로 자연스럽게 확장됩니다.
수치 검산. u=(2,2,1), v=(1,2,2)는 성분비가 서로 다르므로(2:2:1 ≠ 1:2:2) 나란하지 않고, 실제로 u×v=(2,−3,2)≠0입니다(875번). 반면 w=2u=(4,4,2)라면 u×w=(2·2−1·4, 1·4−2·2, 2·4−2·4)=(4−4, 4−4, 8−8)=(0,0,0)=0으로 확인됩니다.
사용 : 878번(외적의 크기 공식) · 6.5의 f532번(각의 정의) · f536번(수직 조건의 영벡터 관용구) · 6.4의 f525번(평행의 정의) · 6.1의 f505·f507번(크기의 정의·공식)
증명 끝
881정리표준기저벡터의 외적과 방향(오른손 법칙)i×j = k, j×k = i, k×i = j
증명법 : 직접증명법(875번 성분 공식에 좌표를 직접 대입)
주장. 6.1 502번의 표준기저벡터 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)에 대해 다음이 성립합니다.
| i×j = (0·0−0·1, 0·0−1·0, 1·1−0·0) = (0,0,1) = k | 875번에 x₁=1,y₁=0,z₁=0,x₂=0,y₂=1,z₂=0 대입 |
| j×k = (1·1−0·0, 0·0−0·1, 0·0−1·0) = (1,0,0) = i | 875번에 x₁=0,y₁=1,z₁=0,x₂=0,y₂=0,z₂=1 대입 |
| k×i = (0·0−1·0, 1·1−0·0, 0·0−0·1) = (0,1,0) = j | 875번에 x₁=0,y₁=0,z₁=1,x₂=1,y₂=0,z₂=0 대입 |
877번(i)에 의해 i×i=j×j=k×k=0이고, 877번(ii)에 의해 j×i=−k, k×j=−i, i×k=−j도 함께 결정됩니다.
사용 : 6.1의 f502번(표준기저벡터의 정의) · 875번(외적의 정의) · 877번(반사성·반교환법칙)
증명 끝
882정리·활용외적의 계산 예제u×v, 평행사변형의 넓이
예제. u=(1,2,3), v=(4,5,6)일 때, u×v와 u, v가 만드는 평행사변형의 넓이를 구하시오(874―879번의 결과를 종합).
| u×v = (2·6−3·5, 3·4−1·6, 1·5−2·4) | 875번(외적의 정의)에 x₁=1,y₁=2,z₁=3,x₂=4,y₂=5,z₂=6 대입 |
| = (12−15, 12−6, 5−8) = (−3, 6, −3) | 계산 정리 |
| u⋅v = 1·4+2·5+3·6 = 4+10+18 = 32 | 874번(공간 내적의 성분 공식) |
| |u|² = 1+4+9 = 14, |v|² = 16+25+36 = 77 | 507번(공간에서의 크기 공식) |
| |u×v|² = |u|²|v|²−(u⋅v)² = 14·77−32² = 1078−1024 = 54 | 878번(라그랑주 항등식)―직접 (−3)²+6²+(−3)²=9+36+9=54로도 재확인됨 |
| ∴ |u×v| = 54 = 36 | 54=9·6이므로 54=9·6=36(2.4의 f91번, 곱의 거듭제곱근) |
| ∴ 평행사변형의 넓이 = 36 | 879번(외적의 크기가 곧 평행사변형의 넓이) |
검산. u⋅(u×v)=1·(−3)+2·6+3·(−3)=−3+12−9=0, v⋅(u×v)=4·(−3)+5·6+6·(−3)=−12+30−18=0으로, 876번(수직)도 함께 확인됩니다(Python으로 재확인).
사용 : 875번(외적의 정의) · 874번(공간 내적) · 876번(수직) · 878번(크기 공식) · 879번(넓이) · 507번(크기 공식)
참조 그림
(1) 875·876·878·879번―u=(2,2,1), v=(1,2,2)를 원점 O에서 그려 u×v=(2,−3,2)(875번)와, 점선으로 표시한 평행사변형(넓이 |u×v|=17, 879번)을 보여줍니다―좌표는 본문의 실제 공식값을 그대로 대입해 계산했습니다(경사 사영, scale=40px/단위·x축 방향 (−0.5,0.35)·y축 (1,0)·z축 (0,−1) 배율). 이 사영은 각도를 보존하지 않으므로 u⋅(u×v)=0·v⋅(u×v)=0(876번, 수직)을 그림 위에 직각 표시로 나타내지 않았습니다―수직은 876번의 대수적 증명으로 엄밀하게 확인해야 합니다.
(2) 881번―표준기저벡터 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)과 i×j=k를 보여주는 참고용 그림입니다(같은 경사 사영, scale=70px/단위). 노란 호는 오른손 법칙(네 손가락을 i에서 j로 감아쥘 때 엄지가 k 방향)을 나타내는 직관적 설명일 뿐이며, 이 등식의 엄밀한 근거는 881번 본문의 875번 성분 공식 대입(대수적 증명)입니다―881번의 univ-note 참고.