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6.7   대학 과정

삼중곱

Triple Product

정의 · 공식과 증명

이 절은 6.6의 외적에 이어, 세 개의 공간벡터로부터 하나의 실수 또는 하나의 벡터를 만들어내는 두 가지 «삼중곱»(triple product) 연산―스칼라삼중곱과 벡터삼중곱―을 다룹니다. 먼저 u⋅(v×w)를 스칼라삼중곱으로 정의하고(883번), 이것이 u, v, w를 각 행으로 하는 3×3 행렬의 행렬식과 정확히 일치함을 5.1의 829번(제1행 여인수전개)으로 증명합니다(884번). 이 행렬식과의 동일시로부터 5.2의 834번(행 교환과 부호)을 적용해 스칼라삼중곱의 순환대칭성·반대칭성을 얻고(885번), 평행육면체를 옆모서리 방향으로 평행이동해 같은 부피의 직각기둥으로 바꾸는 보조정리를 세운 뒤 6.6의 879번(외적과 넓이)과 7.9의 599번(두 벡터에 수직인 벡터)으로 |u⋅(v×w)|가 u, v, w가 만드는 평행육면체의 부피임을 증명합니다(886번). 이어서 u가 v, w의 평면 위에 있을(동일평면일) 필요충분조건이 u⋅(v×w)=0임을 5.5의 871번(크래머 공식)으로 직접 증명한 뒤(887번), 6.6의 877번에서 결합법칙이 성립하지 않는다고만 밝혀 두었던 외적을, 구체적인 전개 공식(벡터삼중곱, «BAC−CAB 공식»)으로 직접 계산하는 방법을 제공하고(888번), 그 따름정리로 자코비 항등식을 얻습니다(889번). 마지막으로 하나의 수치 예제로 이 절 전체의 결과를 종합합니다(890번). 이 절 전체는 «고교 교육과정 우선 진행 계획»의 건너뛸 절 목록에 속하는 대학 과정이며, 챕터 6(벡터)의 마지막 절입니다.

883정의스칼라삼중곱(Scalar Triple Product)u⋅(v×w)

공간벡터 u, v, w에 대해, 먼저 6.6 875번(외적)로 v×w(공간벡터)를 만들고, 그 결과와 u의 6.6 874번(내적)을 취해 얻는 실수

u⋅(v×w)

를 u, v, w의 스칼라삼중곱(scalar triple product)이라 부릅니다―내적은 항상 실수를 만들므로(874번), 이 값은 (외적과 달리) 벡터가 아니라 실수입니다.

연산 순서에 대한 주의. 정의상 괄호 안의 v×w를 먼저 계산해야 하므로 괄호를 생략하지 않습니다. 반대로 ⋅을 먼저 계산한 (u⋅v)×w는 애초에 정의되지 않는 식입니다―u⋅v는 875번의 정의역인 «두 공간벡터의 순서쌍»에 속하지 않는 실수이므로, 그것과 공간벡터 w 사이에는 애초에 ×(외적)이 정의되지 않습니다. 따라서 «⋅»과 «×»를 함께 쓸 때 괄호가 없는 u⋅v×w라는 표기는 이 절에서 사용하지 않습니다.

수치 예제(이 절 전체에서 계속 사용). u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1)이면(u, v는 6.6과 같은 예제) :

v×w = (2·1−2·1,  2·1−1·1,  1·1−2·1) = (0, 1, −1)	6.6 875번에 x2=1,y2=2,z2=2,x3=1,y3=1,z3=1 대입
u⋅(v×w) = 2·0+2·1+1·(−1) = 0+2−1 = 1	6.6 874번에 u=(2,2,1)과 위 결과 대입

사용 : 6.6의 f874번(내적의 성분공식) · f875번(외적의 정의)

884정리스칼라삼중곱과 행렬식u⋅(v×w) = x₁y₁z₁x₂y₂z₂x₃y₃z₃

증명법 : 직접증명법(883번을 성분으로 전개한 뒤, 5.1 829번의 여인수전개와 항 단위로 대조)

주장. u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂), w=(x₃,y₃,z₃)에 대해, u, v, w를 각각 제1·2·3행으로 하는 3×3 행렬을 A라 하면 다음이 성립합니다.

u⋅(v×w) = det A = x₁y₁z₁x₂y₂z₂x₃y₃z₃

v×w = (y2z3−z2y3,  z2x3−x2z3,  x2y3−y2x3)	6.6 875번에 v, w 대입
u⋅(v×w) = x1(y2z3−z2y3)+y1(z2x3−x2z3)+z1(x2y3−y2x3)	6.6 874번(내적의 성분공식)에 u와 위 결과 대입

한편 A의 제1행 (x₁,y₁,z₁)에 대해 5.1 829번(제1행 여인수전개)을 적용하면 det A = x₁C₁₁+y₁C₁₂+z₁C₁₃인데, 5.1 827번(소행렬식·여인수의 정의)과 825번(2×2 행렬식)으로 각 여인수를 계산하면 :

C11 = M11 = y2z2y3z3 = y2z3−z2y3	827·825번(제1행·제1열을 지운 소행렬식)
C12 = −M12 = −x2z2x3z3 = z2x3−x2z3	827번(−1)1+2=−1, 825번
C13 = M13 = x2y2x3y3 = x2y3−y2x3	827·825번

∴ det A = x₁(y₂z₃−z₂y₃)+y₁(z₂x₃−x₂z₃)+z₁(x₂y₃−y₂x₃)

이는 앞서 얻은 u⋅(v×w)의 전개식과 세 항 모두(계수·부호 포함) 정확히 일치하므로 u⋅(v×w) = det A입니다.

수치 검산. 883번의 예제 u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1)에서 u⋅(v×w)=1이었는데, 5.1 828번(사뤼스 법칙)으로 직접 계산해도 det221122111=(2·2·1+2·2·1+1·1·1)−(1·2·1+2·2·1+1·1·2)=(4+4+1)−(2+4+2)=9−8=1로 정확히 일치합니다(Python으로 재확인).

사용 : 883번(스칼라삼중곱의 정의) · 6.6의 f874·f875번 · 5.1의 f825번(2×2 행렬식) · f827번(소행렬식·여인수) · f828번(사뤼스 법칙) · f829번(제1행 여인수전개)

증명 끝

885정리스칼라삼중곱의 순환대칭성과 부호u⋅(v×w) = v⋅(w×u) = w⋅(u×v) = −v⋅(u×w)

증명법 : 직접증명법(884번으로 행렬식으로 바꾼 뒤, 5.2 834번의 행 교환 부호 규칙을 반복 적용)

주장. 공간벡터 u, v, w에 대해, D:=u⋅(v×w)라 하면 다음이 성립합니다.

(순환) v⋅(w×u) = w⋅(u×v) = D	세 벡터를 순서대로 한 칸씩 돌려도(순환치환) 값이 같음
(반대칭) v⋅(u×w) = u⋅(w×v) = w⋅(v×u) = −D	임의의 두 벡터를 맞바꾸면 부호가 반전됨

884번에 의해 D = det A, A는 u, v, w를 각각 제1·2·3행으로 하는 행렬입니다. 884번은 «제1·2·3행이 어떤 세 벡터냐»와 무관하게 «제1행⋅(제2행×제3행)=행렬식»이라는 형태로 성립하므로, 행의 순서를 바꾼 다른 배열에도 그대로 적용됩니다―예를 들어 v, w, u를 제1·2·3행으로 하는 행렬 A′에 884번을 적용하면 v⋅(w×u) = det A′입니다.

A′(행 v,w,u)는 A(행 u,v,w)의 제1·2행을 맞바꾼 뒤, 다시 제2·3행을 맞바꾼 것	(u,v,w) → (v,u,w) → (v,w,u)
det A′ = −(−det A) = det A = D	5.2 834번(행 교환과 부호)을 두 번 적용―부호가 두 번 반전되어 원래대로
∴ v⋅(w×u) = D	위 두 줄

w⋅(u×v) = D도 완전히 같은 방식(행 u,v,w를 두 번의 맞교환으로 w,u,v로 만듦)으로 증명됩니다.

반대칭 쪽은 행을 한 번만 맞바꾸는 경우입니다―예를 들어 v, u, w를 행으로 하는 행렬 A″는 A의 제1·2행만 맞바꾼 것이므로, 834번에 의해 det A″=−det A=−D이고, 884번에 의해 det A″=v⋅(u×w)이므로 v⋅(u×w)=−D입니다. u⋅(w×v)=−D(제2·3행만 맞바꿈), w⋅(v×u)=−D(제1·3행만 맞바꿈)도 각각 한 번의 행 교환으로 같은 방식으로 증명됩니다.

수치 검산. 883번의 예제(u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1), D=1)에서, w×u=(1·1−1·2,  1·2−1·1,  1·2−1·2)=(−1,1,0)(875번)이므로 v⋅(w×u)=1·(−1)+2·1+2·0=1=D(순환, 일치). 한편 6.6 875번에 u=(2,2,1), w=(1,1,1)을 대입하면 u×w=(2·1−1·1,  1·1−2·1,  2·1−2·1)=(1,−1,0)이므로, v⋅(u×w)=1·1+2·(−1)+2·0=−1=−D(반대칭, 일치)로 확인됩니다.

사용 : 884번(스칼라삼중곱과 행렬식) · 5.2의 f834번(행 교환과 부호)

증명 끝

·보조정리평행육면체는 부피가 같은 직각기둥으로 바뀐다V(평행육면체) = |v′×w′|·|u|

증명법 : 직접증명법(옆모서리 방향의 평행이동과 부피의 공리)

주장. O를 시점으로 OA=u, OB=v, OC=w로 잡고 u⋅(v×w)≠0이라 하자. 위치벡터가 sv+tw+λu(0≤s, t, λ≤1)인 점 전체가 이루는 평행육면체를 P라 하고(밑면은 v, w가 만드는 평행사변형, 옆모서리는 u),

v′ := v − v⋅u|u|²u,    w′ := w − w⋅u|u|²u

로 두면, P의 부피는 v′, w′가 만드는 평행사변형을 밑면으로 하고 높이가 |u|인 직각기둥의 부피와 같습니다. 즉 V(P) = |v′×w′|·|u|입니다.

1단계―준비. α:=v⋅u|u|², β:=w⋅u|u|²라 하면(u=0이면 u⋅(v×w)=0이 되므로 u≠0, 곧 |u|≠0):

v′⋅u = v⋅u − α(u⋅u) = v⋅u − v⋅u = 0,   같은 방식으로 w′⋅u = 0	7.9 596번 (2)(공간 내적의 분배·실수배, u⋅u=|u|²)
v′×w′ = v×w − β(v×u) − α(u×w) + αβ(u×u)	6.6 877번 (iii)(iv)(분배·실수배 ― (ii)와 함께 쓰면 왼쪽 인수에 대한 분배 (v+w)×u=v×u+w×u도 성립)
u⋅(v′×w′) = u⋅(v×w) − β·u⋅(v×u) − α·u⋅(u×w) + 0 = u⋅(v×w)	596번 (2), 877번 (i) u×u=0, 6.6 876번(u⋅(u×w)=0, 877번 (ii)로 u⋅(v×u)=−u⋅(u×v)=0)
∴ v′×w′ ≠ 0, 곧 v′, w′는 나란하지 않음	u⋅(v×w)≠0과 위 줄, 6.6 880번(평행 조건)

2단계―기둥 안의 네 입체. 밑면 평행사변형 B={sv+tw : 0≤s, t≤1}을 u 방향으로 끝없이 늘인 기둥 Z={p+λu : p∈B, λ는 실수} 안에서 생각합니다. c:=|u⋅v|+|u⋅w|로 두면 B의 점 p=sv+tw에 대해 u⋅p=s(u⋅v)+t(u⋅w)≤c(596번 (2), 0≤s, t≤1)이므로 μ(p):=c−u⋅p|u|²≥0입니다. Z 안의 네 입체를 «B의 각 점 p 위에서 λ가 움직이는 범위»로 정합니다.

P : 0 ≤ λ ≤ 1	처음의 평행육면체
Q : 0 ≤ λ ≤ μ(p),    R : μ(p) ≤ λ ≤ μ(p)+1,    W : 0 ≤ λ ≤ μ(p)+1	u⋅p≥−c이므로 0≤μ(p)≤2c|u|² ― 셋 모두 유한한 입체
Q를 u만큼 평행이동한 입체 Q+u : 1 ≤ λ ≤ μ(p)+1	(p+λu)+u=p+(λ+1)u
W = P ∪ (Q+u) = Q ∪ R  (겹치는 곳은 λ=1 또는 λ=μ(p)인 경계면뿐)	[0, μ+1] = [0, 1]∪[1, μ+1] = [0, μ]∪[μ, μ+1] (μ≥0)
V(P) + V(Q+u) = V(W) = V(Q) + V(R)	3.22 285번(부피의 공리) ②(나누면 부피의 합)
V(Q+u) = V(Q)  ⇒  V(P) = V(R)	평행이동은 두 점 사이의 거리를 바꾸지 않으므로 Q+u와 Q는 합동 ― 285번 ①

3단계―R은 직각기둥. R의 아랫면은 λ=μ(p)인 점들, 윗면은 그것을 u만큼 옮긴 λ=μ(p)+1인 점들입니다.

p+μ(p)u = sv+tw+c − s(u⋅v) − t(u⋅w)|u|²u = sv′+tw′+c|u|²u	p=sv+tw, 596번 (2)로 u⋅p를 풀어 씀, v′·w′의 정의
아랫면 = v′, w′가 만드는 평행사변형을 c|u|²u만큼 옮긴 것(0≤s, t≤1), 윗면 = 아랫면+u	위 줄, 6.2 511번(평행사변형법칙)
아랫면은 법선벡터가 u인 한 평면 위에 있고, 옆모서리는 모두 u와 평행 ⇒ R은 높이 |u|인 직각기둥	1단계(v′⋅u=w′⋅u=0)와 7.9 597번(점―법선꼴), 3.24 298번(직각기둥의 정의)
∴ V(P) = V(R) = |v′×w′|·|u|	3.24 301번(각기둥의 부피 V=Bh, 직각기둥), 밑넓이는 6.6 879번(1단계에서 v′, w′는 나란하지 않음)

참고. 각뿔의 부피와 달리(3.25 304번) 각기둥은 이처럼 유한 번의 자르기·옮기기만으로 직각기둥과 부피를 비교할 수 있어 극한 논법이 필요 없습니다. 밑면이 평행사변형이 아닌 빗각기둥도 같은 논증(밑면을 B로 바꾸어)으로 «수직 단면의 넓이×옆모서리의 길이»가 됩니다.

사용 : 6.6의 f875번 · f876번 · f877번 · f879번 · f880번 · 6.2의 f511번 · 7.9의 596번·597번 · 3.22의 285번(부피의 공리) · 3.24의 298번·301번(직각기둥의 부피)

증명 끝

886정리스칼라삼중곱의 기하학적 의미―평행육면체의 부피V = |u⋅(v×w)|

증명법 : 직접증명법(보조정리로 직각기둥으로 바꾼 뒤 7.9 599번으로 단면 넓이를 계산)

주장. O를 시점으로 OA=u, OB=v, OC=w로 잡을 때, u, v, w가 O에서 만드는 평행육면체(모서리가 각각 u, v, w와 평행한 6개의 평행사변형 면으로 둘러싸인 입체)의 부피 V는 다음과 같습니다(u⋅(v×w)≠0일 때. u⋅(v×w)=0인 경우는 아래 «퇴화하는 경우»).

V = |u⋅(v×w)|

V = |v′×w′|·|u|	보조정리(v′, w′는 보조정리의 것)
u⋅v′ = u⋅w′ = 0이고 v′, w′는 나란하지 않음 ⇒ u = t(v′×w′)인 실수 t가 있음	보조정리 1단계, 7.9 599번의 보조정리 ③(두 벡터에 모두 수직인 벡터는 m의 실수배 ― m은 6.6 875번과 같은 식)
u⋅(v′×w′) = t|v′×w′|²,   |u| = |t||v′×w′|	596번 (2), 6.4 524번(|kv|=|k||v|)
∴ V = |t||v′×w′|² = |u⋅(v′×w′)| = |u⋅(v×w)|	위 두 줄, 보조정리 1단계(u⋅(v′×w′)=u⋅(v×w))

따름―밑넓이×높이. v, w가 만드는 평행사변형을 밑면으로 잡으면 밑넓이는 S=|v×w|(6.6 879번)입니다. 7.9 599번에 의해 세 점 O, B, C를 지나는 평면의 법선벡터로 n:=v×w를 쓸 수 있고, 이 평면은 O를 지나므로 방정식이 n⋅x=0 꼴(7.9 597번)입니다. 따라서 A에서 이 평면까지의 거리, 곧 높이는 7.9 601번(점과 평면 사이의 거리)에 의해 h=|u⋅n||n|=|u⋅(v×w)||v×w|이고, 위 결과는 V = S·h와 같습니다―3.24 301번의 «밑넓이×높이»가 빗각기둥인 평행육면체에서도 그대로 성립하는 것입니다.

퇴화하는 경우. u⋅(v×w)=0이면 세 벡터가 한 평면 위에 놓여(v∥w이면 6.6 880번, 아니면 아래 887번) 평행육면체가 부피를 갖는 입체를 이루지 못하므로, 그 부피를 0으로 약속합니다. 이때 공식의 값 |u⋅(v×w)|도 0이므로 공식은 예외 없이 성립합니다.

수치 검산. 883번의 예제 u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1)에서 u⋅(v×w)=1이므로, 이 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피는 V=|1|=1입니다. 보조정리의 식으로도 u⋅v=8, u⋅w=5, |u|²=9이므로 v′=(1,2,2)−89(2,2,1)=(−79, 29, 109), w′=(1,1,1)−59(2,2,1)=(−19, −19, 49), v′×w′=(1881, 1881, 981)=(29, 29, 19)―|v′×w′|=13(제곱이 4+4+181=19), u⋅(v′×w′)=2·2+2·2+1·19=1=u⋅(v×w)이고, |u|=3이므로 V=13·3=1로 일치합니다(Python으로 재확인).

사용 : 883번(스칼라삼중곱의 정의) · 보조정리 · 6.6의 f879번(평행사변형의 넓이) · f880번(평행 조건) · 6.4의 f524번 · 7.9의 596번·597번·599번·601번 · 3.24의 301번(따름에서 비교)

증명 끝

887정리동일평면(공면) 조건u, v, w가 O에서 동일평면 ⇔ u⋅(v×w) = 0

증명법 : 동치인 식의 열 및 직접증명법(5.5 871번의 크래머 공식으로 계수의 존재·유일성을 직접 확인)

주장. v, w가 나란하지 않다고(즉 6.6 880번에 의해 v×w≠0) 하자. O를 시점으로 하는 세 벡터 u, v, w가 동일평면(coplanar, 즉 어떤 실수 s, t에 대해 u=sv+tw)일 필요충분조건은 u⋅(v×w)=0입니다.

(⇒) u=sv+tw이면 u⋅(v×w)=0.

u⋅(v×w) = (sv+tw)⋅(v×w)	가정 대입
= s(v⋅(v×w))+t(w⋅(v×w))	7.9 596번 (2)(공간 내적의 분배법칙·실수배와의 결합)
= s·0+t·0 = 0	6.6 876번(외적은 두 벡터 모두에 수직)―v⋅(v×w)=0, w⋅(v×w)=0

(⇐) u⋅(v×w)=0이면 u=sv+tw인 s, t가 존재. v=(x₂,y₂,z₂), w=(x₃,y₃,z₃), u=(x₁,y₁,z₁)이라 하자. v×w≠0이므로 6.6 875번의 세 성분 x₂y₃−y₂x₃, z₂x₃−x₂z₃, y₂z₃−z₂y₃ 중 적어도 하나는 0이 아닙니다. 아래에서는 D:=x₂y₃−y₂x₃≠0인 경우를 증명합니다. 다른 성분이 0이 아니면, 세 벡터의 성분을 모두 (x, y, z) → (y, z, x)로 한꺼번에 돌려 읽은 벡터에 같은 증명을 쓰면 됩니다―875번의 세 성분식은 이 순환에 대해 자리만 돌고(예 : x성분 y₂z₃−z₂y₃는 z성분 자리의 식이 됨) 874번의 합 x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂는 그대로이므로, u⋅(v×w)의 값도 «세 성분 모두에서 u=sv+tw»라는 조건도 바뀌지 않기 때문입니다. 순환을 한 번 또는 두 번 하면 0이 아닌 성분을 D의 자리로 옮길 수 있습니다.

D≠0이므로 5.5 871번(크래머 공식)에 의해 연립방정식 sx₂+tx₃=x₁, sy₂+ty₃=y₁은 유일한 해

s = x₁y₃−y₁x₃D,    t = x₂y₁−y₂x₁D

를 갖습니다(이 s, t는 오직 u, v, w의 x, y성분만으로 정해지는 유일한 값입니다―다른 어떤 s′, t′도 s′v+t′w의 x, y성분이 각각 x₁, y₁과 같으려면 5.5 870번(D≠0일 때 해의 유일성)에 의해 s′=s, t′=t이어야 합니다). 이제 z성분이 자동으로 sz₂+tz₃=z₁을 만족하는지가 관건이며, 이는 정확히 u⋅(v×w)=0과 동치임을 보입니다.

sz2+tz3 = (x1y3−y1x3)z2+(x2y1−y2x1)z3D	위 s, t 대입 후 통분
= x1(y3z2−y2z3)+y1(x2z3−x3z2)D	x1, y1로 묶어 정리
= −[x1(y2z3−z2y3)+y1(z2x3−x2z3)]D	y3z2−y2z3=−(y2z3−z2y3), x2z3−x3z2=−(z2x3−x2z3)
∴ z1 − (sz2+tz3) = x1(y2z3−z2y3)+y1(z2x3−x2z3)+z1(x2y3−y2x3)D = u⋅(v×w)D	z1=z1DD에서 위 식을 뺌(D=x2y3−y2x3)―분자는 884번 증명에 나온 u⋅(v×w)의 전개식과 정확히 같음

D≠0이므로, 이 식의 우변이 0인 것(즉 z₁=sz₂+tz₃, 곧 u=sv+tw가 세 성분 모두에서 성립하는 것)과 u⋅(v×w)=0은 동치입니다. 가정에 의해 u⋅(v×w)=0이므로 z₁=sz₂+tz₃이 성립하고, 앞서 구한 s, t에 대해 u=sv+tw가 세 성분 모두 성립합니다.

참고(기하적인 뜻). 7.9 599번에 의해 세 점 O, B, C(OB=v, OC=w, 나란하지 않음)를 지나는 평면의 법선벡터로 v×w를 쓸 수 있고, 7.9 597번에 의해 점 A가 이 평면 위에 있을 필요충분조건은 (v×w)⋅OA=0입니다. 따라서 «네 점 O, A, B, C가 한 평면 위에 있다»는 기하적인 뜻도 u⋅(v×w)=0과 같고, 887번에 의해 u=sv+tw와도 같습니다.

수치 검산. v=(2,1,0), w=(0,1,2), u=(2,2,2)라 하면 v×w=(1·2−0·1,  0·0−2·2,  2·1−1·0)=(2,−4,2)(875번)이고 u⋅(v×w)=2·2+2·(−4)+2·2=4−8+4=0(874번)이므로 887번에 의해 u는 v, w와 동일평면입니다―실제로 u=1·v+1·w=(2,1,0)+(0,1,2)=(2,2,2)로 s=t=1인 명시적 표현을 확인할 수 있습니다(Python으로 재확인).

사용 : 6.6의 f874번 · f875번 · f876번(외적의 수직성) · f880번(평행 조건) · 7.9의 596번(공간 내적의 분배법칙)·597번·599번(참고) · 5.5의 f870번(해의 유일성)·f871번(크래머 공식) · 884번(증명에 쓰인 전개식 재사용)

증명 끝

888정리벡터삼중곱(BAC−CAB 공식)u×(v×w) = v(u⋅w) − w(u⋅v)

증명법 : 직접증명법(875번을 두 번 적용해 성분을 완전히 전개)

주장. 공간벡터 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂), w=(x₃,y₃,z₃)에 대해 다음이 성립합니다―좌변은 벡터이므로(외적의 결과, 875번), «벡터삼중곱»이라 부르며, 883–887번의 스칼라삼중곱과는 이름은 비슷하지만 다른 연산입니다.

u×(v×w) = v(u⋅w) − w(u⋅v)

이 등식의 우변은 «가운데(B) 것에 바깥쪽 둘의 내적을 곱한 것에서, 바깥쪽(C) 것에 가운데·바깥쪽의 내적을 곱한 것을 뺀다»는 뜻에서 흔히 BAC−CAB 공식이라 부릅니다(A=u, B=v, C=w로 놓으면 우변이 B(A⋅C)−C(A⋅B) 꼴).

x성분의 계산. 먼저 v×w=(y₂z₃−z₂y₃,  z₂x₃−x₂z₃,  x₂y₃−y₂x₃)=:(p₁,p₂,p₃)로 두면(875번), u×(v×w)의 x성분은 875번을 u와 (p₁,p₂,p₃)에 다시 적용해 y₁p₃−z₁p₂입니다.

y1p3−z1p2 = y1(x2y3−y2x3) − z1(z2x3−x2z3)	p2, p3의 정의 대입
= x2y1y3 − x3y1y2 − x3z1z2 + x2z1z3	전개
= x2(y1y3+z1z3) − x3(y1y2+z1z2)	x2, x3로 묶음
= x2(x1x3+y1y3+z1z3) − x1x2x3 − x3(x1x2+y1y2+z1z2) + x1x2x3	x1x2x3를 더하고 뺌(값은 불변)
= x2(u⋅w) − x3(u⋅v)	6.6 874번―u⋅w=x1x3+y1y3+z1z3, u⋅v=x1x2+y1y2+z1z2

마지막 줄 x₂(u⋅w)−x₃(u⋅v)는 정확히 우변 v(u⋅w)−w(u⋅v)의 x성분(v의 x성분이 x₂, w의 x성분이 x₃)과 일치합니다.

y성분의 계산. 875번에 의해 u×(p₁,p₂,p₃)의 y성분은 z₁p₁−x₁p₃입니다.

z1p1−x1p3 = z1(y2z3−z2y3) − x1(x2y3−y2x3)	p1, p3의 정의 대입
= y2z1z3 − y3z1z2 − x1x2y3 + x1x3y2	전개
= y2(x1x3+z1z3) − y3(x1x2+z1z2)	y2, y3로 묶음
= y2(x1x3+y1y3+z1z3) − y1y2y3 − y3(x1x2+y1y2+z1z2) + y1y2y3	y1y2y3를 더하고 뺌
= y2(u⋅w) − y3(u⋅v)	874번

z성분의 계산. 같은 방식으로 z성분은 x₁p₂−y₁p₁입니다.

x1p2−y1p1 = x1(z2x3−x2z3) − y1(y2z3−z2y3)	p1, p2의 정의 대입
= x1x3z2 − x1x2z3 − y1y2z3 + y1y3z2	전개
= z2(x1x3+y1y3) − z3(x1x2+y1y2)	z2, z3로 묶음
= z2(x1x3+y1y3+z1z3) − z1z2z3 − z3(x1x2+y1y2+z1z2) + z1z2z3	z1z2z3를 더하고 뺌
= z2(u⋅w) − z3(u⋅v)	874번

두 결과는 각각 우변 v(u⋅w)−w(u⋅v)의 y성분(y₂, y₃)·z성분(z₂, z₃)과 일치하므로, 세 성분이 모두 같아 6.1 f504번(벡터의 상등)에 의해 등식이 성립합니다.

주의(결합법칙이 없는 이유). 6.6 877번에서 예고했던 «외적은 결합법칙을 만족하지 않는다»는 사실을 이제 이 공식으로 정량적으로 확인할 수 있습니다―일반적으로 v(u⋅w)−w(u⋅v)와 (u×v)×w(=−w×(u×v)=−[u(w⋅v)−v(w⋅u)]=v(u⋅w)−u(v⋅w), 888번을 w×(u×v)에 적용하고 877번(ii)로 부호를 바꿈)는(공통으로 v(·)이 곱해지는 항은 있지만 나머지 항은 각각 w(u⋅v)와 u(v⋅w)로 서로 다른 벡터에 곱해지므로) 일반적으로 서로 다른 벡터입니다―괄호를 어디에 치느냐에 따라 결과가 달라지는 것이 바로 877번에서 예고한 결합법칙의 부재입니다. 구체적인 예로 u=v=i, w=j이면 이 공식으로 i×(i×j)=i(i⋅j)−j(i⋅i)=−j이지만 (i×i)×j=0입니다(6.6 877번의 주의와 같은 결과).

수치 검산. 883번의 예제 u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1)에서 v×w=(0,1,−1)(883번)이므로 u×(v×w)=(2·(−1)−1·1,  1·0−2·(−1),  2·1−2·0)=(−3,2,2)(875번). 한편 u⋅w=2+2+1=5, u⋅v=2+4+2=8(874번)이므로 v(u⋅w)−w(u⋅v)=5(1,2,2)−8(1,1,1)=(5,10,10)−(8,8,8)=(−3,2,2)로 정확히 일치합니다(Python으로 재확인).

사용 : 6.6의 f874번 · f875번 · f877번(결합법칙이 없음·반교환법칙) · 883번(수치 예제 재사용)

증명 끝

889정리자코비 항등식(Jacobi Identity)u×(v×w) + v×(w×u) + w×(u×v) = 0

증명법 : 직접증명법(888번을 세 번 순환적으로 적용한 뒤 상쇄)

주장. 공간벡터 u, v, w에 대해 다음이 성립합니다.

u×(v×w) + v×(w×u) + w×(u×v) = 0

u×(v×w) = v(u⋅w) − w(u⋅v)	888번
v×(w×u) = w(v⋅u) − u(v⋅w)	888번에서 u→v, v→w, w→u로 순환 대입
w×(u×v) = u(w⋅v) − v(w⋅u)	888번에서 u→w, v→u, w→v로 순환 대입

세 줄을 모두 더한 뒤 u, v, w 앞의 계수를 각각 모으면 :

u의 계수 : −(v⋅w)+(w⋅v) = 0	6.6 874번의 성분공식은 두 벡터에 대해 대칭이므로 v⋅w=w⋅v
v의 계수 : (u⋅w)−(w⋅u) = 0	같은 이유로 u⋅w=w⋅u
w의 계수 : −(u⋅v)+(v⋅u) = 0	같은 이유로 u⋅v=v⋅u

세 계수가 모두 0이므로 합은 0입니다.

대학(리 대수와의 연결). 이 항등식이 «자코비 항등식»이라는 고유한 이름을 갖는 이유는, 벡터의 외적 [u,v]:=u×v를 «괄호곱»으로 보면 (ℝ³,×)가 리 대수(Lie algebra)라는 대수 구조의 한 예가 되고, 이 항등식이 바로 리 대수의 정의에 들어가는 공리 중 하나이기 때문입니다―결합법칙이 없는 대신(6.6 877번, 888번) 이 항등식이 그 자리를 대신하는 셈입니다. 리 대수 이론 자체는 선형대수의 표준 학부 과정을 넘어서므로 여기서는 다루지 않으며, 이 절에서 필요한 것은 오직 위에서 직접 계산으로 확인한 등식뿐입니다.

수치 검산. 883번의 예제(u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1))에서 888번의 방법대로 계산하면 u×(v×w)=(−3,2,2)(888번), w×u=−(u×w)=−(1,−1,0)=(−1,1,0)(885번의 검산과 6.6 877번(ii)), v×(w×u)=v×(−1,1,0)=(2·0−2·1,  2·(−1)−1·0,  1·1−2·(−1))=(−2,−2,3)(875번), u×v=(2,−3,2)(6.6 875번), w×(u×v)=(1,1,1)×(2,−3,2)=(1·2−1·(−3),  1·2−1·2,  1·(−3)−1·2)=(5,0,−5)(875번)입니다. 셋을 더하면 (−3,2,2)+(−2,−2,3)+(5,0,−5)=(−3−2+5,  2−2+0,  2+3−5)=(0,0,0)=0으로 정확히 확인됩니다(Python으로 재확인).

사용 : 888번(벡터삼중곱) · 6.6의 f874번(내적의 대칭성) · f875번 · f877번(반교환법칙)

증명 끝

890정리·활용삼중곱의 계산 예제u⋅(v×w),  u×(v×w),  동일평면 조건,  평행육면체의 부피

예제. u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1)일 때, (1) 스칼라삼중곱과 이를 이용한 순환·반대칭 검산, (2) 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피, (3) 벡터삼중곱을 두 가지 방법(직접 계산·888번 공식)으로 계산해 서로 일치함을 확인하고, (4) 별개의 예로 v′=(2,1,0), w′=(0,1,2), u′=(2,2,2)가 동일평면임을 확인합니다(883–889번의 결과를 종합).

(1) v×w = (0,1,−1),   u⋅(v×w) = 1	883번(같은 예제)
⋅ det221122111 = 1	884번(스칼라삼중곱=행렬식, 828번 사뤼스 법칙으로 재검산)
⋅ v⋅(w×u) = 1,   v⋅(u×w) = −1	885번(순환은 1로 같고, 두 벡터를 맞바꾼 반대칭은 −1)
(2) 평행육면체의 부피 V = |u⋅(v×w)| = |1| = 1	886번
(3a) 직접 계산 : u×(v×w) = u×(0,1,−1) = (−3,2,2)	6.6 875번을 u와 v×w에 적용
(3b) 888번 공식 : u⋅w=5, u⋅v=8 ∴ v(u⋅w)−w(u⋅v) = 5(1,2,2)−8(1,1,1) = (−3,2,2)	888번―(3a)와 정확히 일치
(4) v′×w′ = (2,−4,2),   u′⋅(v′×w′) = 2·2+2·(−4)+2·2 = 0	887번(같은 예제)―동일평면(u′=v′+w′이므로 부피도 0)

종합. (1)·(2)에서 883–886번이, (3)에서 888번이, (4)에서 887번이 서로 다른 수치로 재확인되었고, 889번(자코비 항등식)은 (3a)·(3b)에 쓰인 u×(v×w)=(−3,2,2)를 포함해 v×(w×u)=(−2,−2,3), w×(u×v)=(5,0,−5)을 더하면 0이 됨을 889번 자체의 검산에서 이미 확인했습니다.

사용 : 883번 · 884번 · 885번 · 886번 · 887번 · 888번 · 889번(이 절 전체의 결과)

참조 그림

(1) 886번―u=(2,2,1), v=(1,2,2), w=(1,1,1)이 원점 O에서 만드는 평행육면체를 보여줍니다(점선은 나머지 9개 모서리―오블리크 사영은 평행성을 보존하므로, 실제로 마주보는 모서리들이 그림에서도 서로 평행합니다). 부피 V=|u⋅(v×w)|=1(886번)―좌표는 실제 공식값을 그대로 대입해 계산했습니다(경사 사영, scale=42px/단위·x축 방향 (−0.5,0.35)·y축 (1,0)·z축 (0,−1) 배율). 이 사영은 길이·각도·부피를 보존하지 않으므로, 부피 값 자체는 이 절의 계산식으로만 확인해야 합니다.

(2) 887번―v=(2,1,0), w=(0,1,2), u=v+w=(2,2,2)가 v, w가 만드는 평면(점선 평행사변형) 위에 있는(동일평면인) 경우를 보여줍니다―u⋅(v×w)=0(887번)이므로, (1)의 평행육면체가 완전히 납작해져(높이 0) 부피가 0인 극단적인 경우에 해당합니다. 같은 경사 사영(scale=46px/단위)을 사용했습니다.