5.1 대학 과정

행렬식

Determinants

정의 · 공식과 증명

이 장(5.1–5.5)은 행렬 자체의 대수적 정의(상등·연산)보다 먼저 «정사각형으로 배열한 실수»에 대한 행렬식(determinant)이라는 함수를 정의합니다 — 행렬의 formal한 정의와 연산은 5.3–5.4에서 다룹니다. 이 장은 2×2, 3×3인 경우(제2차·제3차 행렬식)만 다룹니다. 일반적인 n×n 행렬식(n≥4)도 여인수전개로 정의할 수 있고 같은 성질을 갖지만(대학 선형대수학), 이 사이트의 어느 증명도 그것을 쓰지 않으므로 다루지 않습니다. 새로 도입하는 표기 (행렬 대괄호, 행렬식 세로선)는 근호의 갈고리와 달리 전부 직선이므로 SVG 없이 CSS만으로 구현했습니다.

824정의정사각행렬과 성분 표기(Square Matrix and Entry Notation)A = a₁₁a₁₂⋯a_1na₂₁a₂₂⋯a_2n⋮⋮⋱⋮a_n1a_n2⋯a_nn (n×n 정사각행렬, (i,j) 성분 a_ij)

양의 정수 n에 대해, 실수 n²개를 n개의 행(가로줄)과 n개의 열(세로줄)로 이루어진 정사각형 모양으로 배열한 것을 n차 정사각행렬(square matrix of order n)이라 하고, 이 절에서는 위와 같이 대괄호로 묶어 표기합니다. i번째 행, j번째 열에 있는 실수를 그 행렬의 (i,j) 성분(entry)이라 하며 a_ij로 씁니다(1≤i,j≤n). 예를 들어 2×2, 3×3 정사각행렬은 각각

abcd a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃

로 씁니다. 행렬 자체가 만족하는 대수적 규칙(두 행렬의 상등·덧셈·곱셈 등)은 5.3–5.4에서 formal하게 다룹니다 — 이 절에서는 오직 정사각 배열 하나에 실수 하나를 대응시키는 행렬식(determinant)이라는 함수를 정의하기 위한 표기로만 사용하며, 그 함수는 825번(n=2)과 828번(n=3)에서 각각 명시적인 식으로 정의합니다.

825정의2×2 행렬식(제2차 행렬식)detabcd := abcd = ad−bc

824번의 2×2 정사각행렬 A=abcd에 대해, 실수 ad−bc를 A의 행렬식(determinant)이라 하고 det A, 또는 성분을 세로선으로 감싼

abcd := ad−bc

로 씁니다(«제2차 행렬식», second-order determinant). 대괄호(행렬)와 세로선(행렬식)은 같은 배열이라도 서로 다른 대상 — 배열 자체 A와 그 배열에 대응하는 실수 det A — 을 나타내므로 반드시 구분해 씁니다.

826정리2×2 행렬식의 기하학적 의미(평행사변형의 넓이)u=(a,b), v=(c,d)가 이루는 평행사변형의 넓이 = |ad−bc|

증명법 : 직접증명법(도형을 대각선으로 나눈 두 삼각형에 3.4의 184a번(두 변과 끼인각으로 구하는 넓이)을 적용)

평행한 경우. u=(a,b), v=(c,d)가 평행하면(어느 한쪽이 영벡터인 경우 포함) u=0이거나 어떤 실수 t에 대해 v=tu, 즉 (c,d)=(ta,tb)입니다. 이때 네 점 O,U,W,V는 한 직선 위에 있어 평행사변형이 선분(또는 한 점)으로 퇴화하므로 넓이가 0이고, ad−bc도 u=0이면 a=b=0이라 0·d−0·c=0, v=tu이면 a(tb)−b(ta)=0입니다. 따라서 식이 성립합니다. 이하에서는 u,v가 평행하지 않다고 가정합니다 — 그러면 둘 다 영벡터가 아니고 아래의 θ는 0도 π도 아니어서(0<θ<π) 두 삼각형 OUV, UWV는 퇴화하지 않은 진짜 삼각형입니다.

준비. O를 원점, U를 좌표 (a,b)인 점, V를 좌표 (c,d)인 점이라 하고, W:=U+V(좌표 (a+c,b+d))라 합시다. 그러면 OU=VW=u, OV=UW=v이므로 네 점 O,U,W,V는 (이 순서로 이은) 평행사변형을 이룹니다. 이 평행사변형은 대각선 UV에 의해 삼각형 OUV와 삼각형 UWV로 나뉩니다.

1단계 : 두 삼각형의 세 변과 끼인각. 6.5 532번의 정의에 의해 θ:=∠(u,v)∈[0,π]는 cosθ=u·v|u||v|로 결정되는 값입니다. 삼각형 OUV는 변 OU=|u|, OV=|v|와 그 끼인각 ∠UOV=θ를 갖습니다. 한편 삼각형 UWV의 두 변은

WU = U−W = −v, WV = V−W = −u

이므로 길이는 각각 |WU|=|v|, |WV|=|u|이고, 그 끼인각 ∠UWV는 (−v)·(−u)=v·u=u·v이자 |−v|=|v|, |−u|=|u|이므로 코사인 값이 cosθ와 똑같습니다 — 532번의 정의(코사인 값으로 결정되는 [0,π]의 각)에 의해 ∠UWV=θ입니다. 즉 두 삼각형 OUV, UWV는 «두 변의 길이 |u|,|v|와 그 끼인각 θ»라는 같은 SAS 자료를 갖습니다.

2단계 : 넓이 합. 3.4 184a번(SAS 넓이공식)을 두 삼각형에 각각 적용하면

넓이(OUV) = 12|u||v|sinθ, 넓이(UWV) = 12|v||u|sinθ

이고, 평행사변형 OUWV는 대각선 UV로 겹치지 않게 두 삼각형으로 나뉘므로 그 넓이는 두 삼각형 넓이의 합입니다(3.4 서두의 약속 ⑦). 따라서

넓이(OUWV) = |u||v|sinθ

3단계 : ad−bc와의 일치. θ∈[0,π]에서 sinθ≥0이므로 sinθ=1−cos²θ이고, 양변에 |u||v|>0을 곱하면

|u||v|sinθ = |u|²|v|²−(|u||v|cosθ)² = |u|²|v|²−(u·v)²

입니다(마지막 등호는 |u||v|cosθ=u·v, 532번의 정의). 이제 6.1 506번(|u|²=a²+b², |v|²=c²+d²)과 6.5 534번(u·v=ac+bd)을 대입하고 2.2의 전개 공식들로 직접 전개하면

\|u\|²\|v\|²−(u·v)²
= (a²+b²)(c²+d²)−(ac+bd)²	506번·534번 대입
= a²c²+a²d²+b²c²+b²d²−(a²c²+2abcd+b²d²)	전개
= a²d²−2abcd+b²c²	동류항 정리
= (ad−bc)²	완전제곱식

를 얻습니다. 따라서 |u||v|sinθ=(ad−bc)²=|ad−bc|이고, 2단계의 결과와 합쳐

넓이(OUWV) = |ad−bc| = |detabcd|

를 얻습니다.

u=(4,1), v=(1,3)로 이루어진 평행사변형 OUWV. 대각선 UV로 나뉜 두 삼각형은 각각 12|u||v|sinθ의 넓이를 가지며(θ는 O에서도 W에서도 같은 각), 합치면 전체 넓이는 |u||v|sinθ=|4·3−1·1|=11 — 실제로 ad−bc=11과 일치합니다.

참고로 ad−bc 자체는 음수가 될 수 있습니다(예 : u,v의 순서를 바꾸면 부호가 바뀝니다) — 그 부호는 v가 u로부터 반시계 방향인지 시계 방향인지(방향, orientation)를 기록하는 것으로 이해할 수 있지만, 이를 엄밀하게 정의하는 것은 이 절의 범위를 넘으므로 여기서는 절댓값(넓이 자체)만 증명했습니다.

사용 : 6.1의 506번 · 6.5의 532번 · 6.5의 534번 · 3.4의 184a번 · 3.4 서두의 약속 ⑦(넓이의 합)

증명 끝

827정의소행렬식과 여인수(Minor and Cofactor)M_ij := (i행, j열을 지운 소행렬의 행렬식), C_ij := (−1)^i+jM_ij

n×n 정사각행렬 A와 그 성분 a_ij(824번)에 대해, A에서 i번째 행과 j번째 열을 통째로 지우면 (n−1)×(n−1) 정사각행렬이 남습니다. 이 행렬의 행렬식을 A의 (i,j) 소행렬식(minor)이라 하고 M_ij로 씁니다. 그리고

C_ij := (−1)^i+jM_ij

를 A의 (i,j) 여인수(cofactor)라 합니다 — 부호 (−1)^i+j는 i,j가 같은 홀짝일 때 +, 다를 때 −가 되어 체스판처럼 번갈아 나타납니다. 이 절에서는 n=3인 경우, 즉 828번의 3×3 행렬 A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃의 제1행에 대한 소행렬식·여인수만 필요하며, 이는 A에서 1행을 지운 2×2 소행렬의 행렬식(825번)으로 다음과 같이 구체적으로 씁니다 :

M₁₁=a₂₂a₂₃a₃₂a₃₃, M₁₂=a₂₁a₂₃a₃₁a₃₃, M₁₃=a₂₁a₂₂a₃₁a₃₂

이고, C₁₁=M₁₁, C₁₂=−M₁₂, C₁₃=M₁₃입니다(부호는 각각 (−1)¹⁺¹,(−1)¹⁺²,(−1)¹⁺³).

828정의3×3 행렬식(제3차 행렬식, 사뤼스 법칙)det A := a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂
−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃

824번의 3×3 정사각행렬 A=a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃에 대해, A의 행렬식을 다음 여섯 항의 합(«제3차 행렬식», third-order determinant)으로 정의합니다 :

det A = a₁₁a₁₂a₁₃a₂₁a₂₂a₂₃a₃₁a₃₂a₃₃

:= a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂

−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃

이를 사뤼스 법칙(Sarrus’ Rule)이라 부릅니다 — 오른쪽에 첫 두 열을 다시 이어 붙였다고 생각하면, 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 세 개(a₁₁a₂₂a₃₃, a₁₂a₂₃a₃₁, a₁₃a₂₁a₃₂)의 곱은 +부호로, 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 내려가는 대각선 세 개(a₁₃a₂₂a₃₁, a₁₁a₂₃a₃₂, a₁₂a₂₁a₃₃)의 곱은 −부호로 더한 것이 위 식입니다. 이 «대각선 그림»은 3×3에서만 통하는 외우는 방법입니다(이 장은 n≥4를 다루지 않습니다 — 서두 참고).

829정리3×3 행렬식의 제1행 여인수전개(Cofactor Expansion along the First Row)det A = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

증명법 : 직접증명법(양변을 모두 전개해 같은 여섯 항의 합임을 확인)

827번의 M₁₁,M₁₂,M₁₃과 825번(2×2 행렬식)을 이용해 우변 a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃=a₁₁M₁₁−a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃을 전개하면

a₁₁M₁₁−a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃
= a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂)−a₁₂(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁)+a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁)	825번 대입
= a₁₁a₂₂a₃₃−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁	분배법칙으로 전개

인데, 마지막 줄의 여섯 항을 다시 늘어놓으면 828번의 정의

a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃ = det A

와 항 단위로 정확히 일치합니다(부호 포함, 여섯 항이 하나씩 대응). 따라서 a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃=det A입니다.

사용 : 825번 · 827번 · 828번

증명 끝

830정리활용 ― 2×2·3×3 행렬식의 수치 계산 예4113=11, 300020112=12

증명법 : 직접증명법(정의를 그대로 대입해 계산)

(1) 2×2 예제. 825번의 정의에 a=4,b=1,c=1,d=3을 대입하면

4113 = 4·3−1·1 = 11

이고, 이는 826번에서 그린 u=(4,1), v=(1,3)의 평행사변형 넓이와 정확히 일치합니다.

(2) 3×3 예제. 828번(사뤼스 법칙)에 A=300020112, 즉 a₁₁=3,a₂₂=2,a₃₃=2이고 a₃₁=a₃₂=1, 나머지 성분은 0을 대입하면

det A
= a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₁₃a₂₂a₃₁−a₁₁a₂₃a₃₂−a₁₂a₂₁a₃₃	828번
= 3·2·2+0+0−0−0−0 = 12	0인 항 소거

이고, 829번(제1행 여인수전개)으로도 검산하면 M₁₁=2012=4, M₁₂=0012=0, M₁₃=0211=−2이므로

det A = a₁₁M₁₁−a₁₂M₁₂+a₁₃M₁₃ = 3·4−0·0+0·(−2) = 12

로 828번과 정확히 일치합니다.

u=(3,0,0), v=(0,2,0), w=(1,1,2)를 세 모서리로 하는 평행육면체(사방투영, z축을 30° 대각선 방향으로 그림). 826번의 2×2(넓이) 결과와 마찬가지로 3×3 행렬식의 절댓값도 이 평행육면체의 부피와 같다는 유사한 기하학적 의미를 갖습니다 — 이 사실은 세 벡터의 삼중곱(6.7)에서 다루므로, 여기서는 참고로만 밝히고 증명하지 않습니다.

사용 : 825번 · 826번 · 828번 · 829번

증명 끝

chapter:05-matrices-and-determinants section:5.1