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이론/ 해석기하/ 7.1 1차원 좌표계(수직선)

7.1   수능 관련

1차원 좌표계(수직선)

One-Dimensional Coordinate System

정의 · 공식과 증명

이 절은 7장(해석기하) 전체의 출발점으로, 직선 위의 점과 실수를 대응시키는 좌표축을 도입합니다(541번, 공리). 이 대응을 이용해 두 점 사이의 유향길이와 거리를 정의하고(542번), 세 점 사이의 사슬관계와―뒤에 이어지는 내분·외분의 부호를 정당화하는―«두 점 사이에 있음»의 대수적 판정법을 증명합니다(543번). 이를 바탕으로 선분을 주어진 비로 나누는 내분점(544번)과 외분점(545번)의 좌표 공식을 유도하고, 내분의 특수한 경우(같은 비로 내분)로 중점 공식을 얻습니다(546번). 마지막으로 하나의 수치 예제로 542―546번 전체를 한꺼번에 재확인합니다(547번).

    541공리수직선의 좌표P(x)

    공리(수직선의 좌표, coordinate on a line). 직선 ℓ 위에 한 점 O를 고정해 원점(origin)이라 하고, ℓ의 두 방향 중 하나를 양의 방향(나머지는 음의 방향)으로 정하고, 길이의 단위를 하나 정합니다. 그러면 ℓ 위의 각 점 P에 대해 다음 두 조건을 만족하는 실수 x가 정확히 하나 존재합니다 :

    ① |x|는 선분 OP의 길이를 정해진 단위로 잰 값이다(즉 OP = |x|·(단위길이)) ② x>0이면 P는 O로부터 양의 방향 쪽에, x<0이면 음의 방향 쪽에 있고, P=O이면 x=0이다.

    이 실수 x를 점 P의 좌표(coordinate)라 하고, P의 좌표가 x임을 P(x)로 나타냅니다. 역으로 임의의 실수 x에 대해서도 좌표가 x인 점이 ℓ 위에 정확히 하나 존재합니다―즉 이 대응은 ℓ 위의 점들과 실수 전체 ℝ 사이의 일대일대응(전단사)입니다. 이렇게 좌표가 매겨진 직선을 수직선(number line)이라 하고, 7장 전체는 이 대응을 통해 도형의 성질을 대수적으로(좌표의 계산으로) 다룹니다.

    공리이므로 증명 대상이 아닙니다―점과 실수를 연결하는 이 대응 자체를 해석기하의 출발 전제로 받아들입니다(더 근본적인 것으로부터 유도되지 않음―1.3의 사칙연산 공리들과 같은 위상의, 이 절 고유의 공리).

    대학 : 위 대응이 실제로 존재하고(ℓ 위의 모든 점에 좌표가 있고, 모든 실수가 어떤 점의 좌표가 됨) 게다가 순서까지 보존하는 전단사임을 엄밀하게 정당화하려면 실수의 완비성(completeness―최소상계 공리 또는 데데킨트 절단)이 필요합니다―직선이 «끊김 없이 연속»이라는 기하학적 사실과 실수 집합이 «빈틈없이 채워져 있다»는 대수적 사실이 정확히 대응해야 하기 때문입니다(6.1 f501번이 평행이동을 순수 좌표로 정의해 위상수학적 논의 없이 등거리성을 확립한 것과 같은 취지로, 여기서도 완비성 증명 자체는 대학 실해석학의 몫으로 남겨둡니다). 수능 범위에서는 직선 위의 점과 실수 전체가 빠짐없이 대응한다는 사실을 직관적으로 받아들이는 것으로 충분합니다.
    542정의두 점 사이의 유향길이와 거리AB := b−a,   d(A,B) := |b−a|

    정의(유향길이, directed length). 수직선 위의 두 점 A(a), B(b)에 대해, A에서 B로 향하는 유향길이(부호 있는 길이)를 다음과 같이 정의하고 AB로 씁니다 :

    AB := b − a

    유향길이는 부호로 방향을 나타냅니다―AB>0은 B가 A보다 양의 방향 쪽에, AB<0은 음의 방향 쪽에 있음을 뜻하고, A=B이면 AB=0입니다. 정의에서 곧바로 BA=a−b=−(b−a)=−AB가 성립합니다(자리를 바꾸면 부호만 반대).

    정의(거리, distance). 두 점 A(a), B(b) 사이의 거리 d(A,B)를 유향길이의 절댓값으로 정의합니다 :

    d(A,B) := |AB| = |b − a|

    거리는 항상 0 이상이고(절댓값의 정의), d(A,B)=0 ⇔ AB=0 ⇔ A=B이며, BA=−AB와 |−x|=|x|(절댓값의 정의)에 의해 d(A,B)=d(B,A)입니다(대칭성― 어느 점을 먼저 부르든 거리는 같음).

    사용 : 541번(수직선의 좌표) · 절댓값의 정의

    543정리사슬관계와 사이 판정AB + BC = AC

    증명법(사슬관계) : 직접증명법

    정리(사슬관계, chain relation). 수직선 위의 임의의 세 점 A(a), B(b), C(c)에 대해, 점들의 순서와 무관하게 다음이 항상 성립합니다 :

    AB + BC = AC

    AB + BC = (b−a) + (c−b)542번(유향길이의 정의)
    = c−a = AC실수의 덧셈의 교환·결합법칙으로 정리(b가 상쇄)

    정리(사이 판정, betweenness criterion). 세 점 A(a), B(b), C(c)(A≠B)에서, C가 두 점 A, B 사이에 있는 것(즉 a<c<b 또는 b<c<a인 것―양 끝점은 제외)과 AC, CB가 같은 부호(둘 다 양수)인 것은 동치이고, 이때 d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)가 함께 성립합니다. C가 A, B 사이에 있지 않으면(C≠A,B) AC, CB는 다른 부호를 가집니다.

    증명법 : 경우를 나누는 증명법(일반성을 잃지 않고 a<b라 둡니다―a>b이면 A, B의 역할을 맞바꾸면 동일한 논증이 적용됩니다)

    C가 A, B 사이(a<c<b)C가 A, B 사이에 있지 않음(c<a 또는 c>b, c≠a,b)
    c−a>0이고 b−c>0  ⇒  AC>0, CB>0(같은 부호)c<a이면 c−a<0이고 b−c>0(∴b>a>c); c>b이면 c−a>0이고 b−c<0―어느 쪽이든 AC, CB는 다른 부호

    같은 부호인 경우 |AC|+|CB| = (c−a)+(b−c) = b−a = |b−a| (두 항이 모두 양수이므로 절댓값을 그대로 벗겨 더할 수 있음)이므로 d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)입니다―이 등식은 뒤의 544번(내분점)에서 «선분 내부의 점»을 수치로 재확인하는 데 쓰입니다.

    사용 : 542번(유향길이·거리의 정의) · 2.7의 순서공리(삼분법)

    증명 끝

    544정리선분의 내분점p = na + mbm+n

    증명법 : 직접증명법

    정의(내분점, internal division point). 두 점 A(a), B(b)(A≠B)와 양수 m, n에 대해, 선분 AB 위의 점 P가 AP : PB = m : n(부호 있는 유향길이의 비)을 만족시키면, P를 선분 AB를 m:n으로 내분(internally divide)하는 점이라 합니다.

    주장. 위 정의를 만족하는 점 P는 유일하게 존재하며, 그 좌표 p는 다음과 같습니다 :

    p = na + mbm+n

    P는 선분 AB 내부의 점이므로 543번에 의해 AP, PB는 같은 부호―m,n>0이므로 AP=km, PB=kn인 실수 k>0이 존재(비 m:n을 양의 배율 k로 구현)정의(비 m:n) · 543번(사이 판정)
    n(p−a) = n·AP = nkm,    m(b−p) = m·PB = mkn542번(유향길이의 정의), 위 줄 대입
    ∴ n(p−a) = m(b−p)두 식의 우변이 모두 kmn으로 같음
    np−na = mb−mp  ⇒  p(m+n) = na+mb전개 후 p항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항
    ∴ p = na+mbm+nm+n>0(양수의 합)이므로 양변을 m+n으로 나눔

    존재성(역확인). 위에서 얻은 p가 실제로 정의의 조건을 만족하는지 직접 대입해 확인합니다 :

    p−a = m(b−a)m+n   ,   b−p = n(b−a)m+n

    m,n>0이므로 이 두 값은 (b−a)와 같은 부호를 가지고―543번에 의해 p는 a와 b 사이에 있음―그 비는 AP : PB = m(b−a) : n(b−a) = m : n으로 정확히 m:n입니다. 따라서 p는 정의의 조건을 만족하며, 위 유도가 이미 «그런 P가 있다면 좌표는 이 값뿐»임을 보였으므로(유일성) P는 유일하게 존재합니다.

    수치 검산. A(−3), B(5), m:n=3:1이면 p=1·(−3)+3·53+1=124=3―아래 참조 그림 (2)에서 AP=3−(−3)=6, PB=5−3=2, AP:PB=6:2=3:1임을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.

    사용 : 542번(유향길이의 정의) · 543번(사이 판정)

    증명 끝

    545정리선분의 외분점q = mb − nam−n

    증명법 : 직접증명법

    정의(외분점, external division point). 두 점 A(a), B(b)(A≠B)와 서로 다른 양수 m, n(m≠n)에 대해, 선분 AB의 연장선 위의 점 Q가 |AQ| : |QB| = m : n이면서 AQ, QB가 서로 다른 부호를 가지면, Q를 선분 AB를 m:n으로 외분(externally divide)하는 점이라 합니다(내분점의 정의에서 비가 그대로 m:n이던 것과 달리, 외분점은 부호가 반대라는 점이 544번과의 차이입니다).

    주장. 위 정의를 만족하는 점 Q는 유일하게 존재하며(m≠n), 그 좌표 q는 다음과 같습니다 :

    q = mb − nam−n

    Q는 선분 AB 밖의 점이므로 543번에 의해 AQ, QB는 다른 부호―|AQ|:|QB|=m:n이므로 AQ=km, QB=−kn인 실수 k>0이 존재정의(비 m:n, 반대 부호) · 543번(사이 판정의 대우)
    AQ=q−a=km,    QB=b−q=−kn542번(유향길이의 정의)
    ∴ q=a+km이고 q=b+kn(둘째 식을 q에 대해 정리)각 식을 q에 대해 정리
    a+km=b+kn  ⇒  k(m−n)=b−a  ⇒  k=b−am−n두 표현이 같음, m≠n이므로 양변을 m−n으로 나눔
    ∴ q = a+km = a+m(b−a)m−n = a(m−n)+m(b−a)m−n = mb−nam−n위 k의 값 대입 후 통분·전개(a(m−n)+m(b−a)=am−an+mb−am=mb−an)

    존재성(역확인). 위에서 얻은 q가 실제로 정의의 조건을 만족하는지 직접 대입해 확인합니다 :

    q−a = m(b−a)m−n   ,   b−q = −n(b−a)m−n

    둘째 식의 분자에 음의 부호가 있어 AQ=q−a와 QB=b−q는 항상 다른 부호이고(m,n>0이므로 두 식의 분자는 (b−a)와 −(b−a)로 서로 반대), 그 절댓값의 비는 |AQ|:|QB|=|m(b−a)|:|n(b−a)|=m:n입니다. 따라서 q는 정의의 조건을 만족하며, 위 유도가 유일성도 함께 보였습니다. m>n이면 k=b−am−n와 (b−a)가 같은 부호를 가져 q=a+km이 b보다 더 멀리(원래 방향으로) 나가므로 Q는 B보다 바깥쪽에 위치하고, m<n이면 반대로 A보다 바깥쪽에 위치합니다.

    수치 검산. A(−3), B(5), m:n=3:1(m>n이므로 B쪽 바깥)이면 q=3·5−1·(−3)3−1=182=9―아래 참조 그림 (3)에서 AQ=9−(−3)=12, QB=5−9=−4, |AQ|:|QB|=12:4=3:1(부호는 서로 다름)임을 실제 좌표로 확인할 수 있습니다.

    사용 : 542번(유향길이의 정의) · 543번(사이 판정) · 544번(내분점과의 대조)

    증명 끝

    546정리선분의 중점xM = a+b2

    증명법 : 직접증명법

    정의(중점, midpoint). 두 점 A(a), B(b)를 잇는 선분 AB의 중점 M은 선분 AB를 1:1로 내분하는 점―즉 544번의 정의에서 m=n=1인 경우―으로 정의합니다(중점의 좌표는 내분 비의 문자 m과 구별하기 위해 xM으로 씁니다).

    주장. M의 좌표 xM은 다음과 같습니다 :

    xM = a+b2

    544번에 m=n=1을 대입 :   xM = 1·a+1·b1+1 = a+b2544번(내분점의 좌표), m=n=1(같은 비로 내분)

    동치 확인(등거리인 사이의 점). xM=a+b2이 A, B로부터 같은 거리에 있으면서 그 사이에 있는 유일한 점이라는, 더 직관적인 특징과 일치함을 직접 보일 수도 있습니다 :

    d(A,M) = |a+b2−a| = |b−a2|   ,   d(M,B) = |b−a+b2| = |b−a2|

    두 값이 서로 같으므로(등거리) M은 A, B로부터 같은 거리에 있고, a<b라 하면 a=2a2<a+b2<2b2=b(∵a<b이면 2a<a+b<2b, 2.7의 부등식의 덧셈)이므로 M은 A, B 사이에 있습니다(a>b이면 부등호의 방향만 반대로 같은 논증). 즉 544번의 공식과 «중점=등거리인 사이의 점»이라는 직관적 정의가 서로 일치합니다.

    사용 : 544번(내분점의 좌표, m=n=1) · 542번(거리의 정의)

    증명 끝

    547정리—활용활용―좌표·거리·내분·외분·중점 종합 예제A(−3), B(5)

    예제. A(−3), B(5)에 대해 542―546번을 모두 수치로 확인합니다.

    1단계―거리(542·543번).

    d(A,B) = |5−(−3)| = 8542번(거리 공식)

    2단계―3:1 내분점(544번).

    p = 1·(−3)+3·53+1 = 124 = 3544번(내분점의 좌표), m=3, n=1

    검산 : AP=3−(−3)=6, PB=5−3=2이므로 AP:PB=6:2=3:1―일치합니다.

    3단계―3:1 외분점(545번).

    q = 3·5−1·(−3)3−1 = 182 = 9545번(외분점의 좌표), m=3, n=1

    검산 : AQ=9−(−3)=12, QB=5−9=−4이므로 |AQ|:|QB|=12:4=3:1이고 부호가 서로 다름(543번, Q가 선분 AB 밖에 있음을 반영)―일치합니다.

    4단계―중점(546번).

    xM = (−3)+52 = 1546번(중점의 좌표)

    5단계―사슬관계 재확인(543번). A, P, B가 이 순서로 놓여 있으므로 AP+PB=6+2=8=AB―543번의 사슬관계와 일치합니다. 반면 AQ+QB=12+(−4)=8=AB로 부호 있는 사슬관계 자체는 Q의 위치와 무관하게 항상 성립하지만, 거리의 합 d(A,Q)+d(Q,B)=12+4=16≠8=d(A,B)이므로 등호 없이 성립―Q가 A, B 사이에 있지 않다는 543번의 판정(다른 부호⇒거리의 합>전체 거리)과 정확히 일치합니다.

    사용 : 542·543·544·545·546번

    증명 끝

참조 그림

O 0 A B d(A,B) = |5−(−3)| = 8 A(−3), B(5)—수직선 위의 좌표와 두 점 사이의 거리(542·543번)

(1) 541·542·543번―수직선 위에 원점 O(0)과 두 점 A(−3), B(5)를 표시하고, 두 점 사이의 거리 d(A,B)=|5−(−3)|=8(542번)을 보여줍니다.

A M P B AP = 6 PB = 2 A(−3), B(5)—P(3)는 AB를 3:1로 내분(544번), M(1)은 중점(546번, m=n=1)

(2) 544·546번―A(−3), B(5)를 3:1로 내분하는 점 P(3)(544번, AP:PB=6:2=3:1)과 중점 M(1)(546번, m=n=1인 특수한 경우)을 함께 보여줍니다.

A B Q AQ = 12 QB = 4 A(−3), B(5)—Q(9)는 AB를 3:1로 외분(545번)—B보다 바깥쪽(선분 AB 밖)에 위치

(3) 545번―A(−3), B(5)를 3:1로 외분하는 점 Q(9)―B보다 바깥쪽(선분 AB 밖)에 있으며 AQ:QB=12:(−4)로 부호가 서로 다름(543번의 사이 판정과 일치)을 보여줍니다.

chapter:07-analytic-geometry section:7.1