7.2
2차원 좌표계(평면좌표)
Two-Dimensional Coordinate System
정의 · 공식과 증명
7.1이 직선(1차원) 위의 좌표를 다뤘다면, 이 절은 평면(2차원)으로 확장합니다(548번, 공리―서로 수직인 두 좌표축의 결합). 이어서 두 점 사이의 거리 공식을 6장(벡터)의 결과를 재사용해 유도하고(549번), 7.1에서 이미 확립한 1차원 내분·외분·중점 공식(544–546번)과 정확히 같은 형태가 성분별로 그대로 이어짐을 벡터 연산으로 보입니다(550–552번). 마지막으로 이 내분점 공식(550번, m=2,n=1)을 대칭적으로 세 번 적용해 삼각형의 무게중심이 세 중선의 공통 교점임을 증명하고(553번), 하나의 수치 예제로 549–553번 전체를 재확인합니다(554번).
548공리평면좌표P(x,y)
공리(평면좌표, coordinates in the plane). 평면 위에 한 점 O를 고정해 원점으로 삼고, O에서 서로 수직으로 만나는 두 직선을 잡아 541번의 방식으로 각각에 좌표를 매깁니다―하나는 x축(가로), 다른 하나는 y축(세로)이라 하고, 두 축에는 같은 단위길이를 사용합니다. 평면 위의 임의의 점 P에 대해, P에서 x축에 내린 수선의 발의 좌표를 x, y축에 내린 수선의 발의 좌표를 y라 하면 순서쌍 (x,y)가 정해집니다. 이 (x,y)를 P의 좌표라 하고 P(x,y)로 나타냅니다.
역으로 임의의 순서쌍 (x,y)∈ℝ×ℝ에 대해서도, x좌표가 x인 점을 지나며 x축에 수직인 직선과 y좌표가 y인 점을 지나며 y축에 수직인 직선은 정확히 한 점에서 만나고, 그 교점이 바로 좌표 (x,y)를 갖는 점입니다―즉 이 대응은 평면 위의 점들과 순서쌍의 집합 ℝ²=ℝ×ℝ 사이의 일대일대응입니다. 이렇게 좌표가 매겨진 평면을 좌표평면이라 하고, 7장 전체는 이 대응을 통해 평면도형의 성질을 두 실수의 순서쌍에 대한 대수적 계산으로(해석기하, analytic geometry) 다룹니다.
공리이므로 증명 대상이 아닙니다―각 축 위의 일대일대응(541번)을 서로 수직인 두 축으로 결합해 평면 전체로 확장하는, 이 절 고유의 공리로 받아들입니다. 특히 «점 P(x,y)에서 x축에 내린 수선의 발의 좌표는 (x,0)»이라는 이 약속은 4.2(단위원)와 6.1(506번의 직각삼각형 OQP)에서 중학교 좌표평면의 사실로 이미 써 왔고, 여기서 공리로 분명히 적습니다.
549정리두 점 사이의 거리(거리 공식)d(A,B) = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²
증명법 : 직접증명법(6장 벡터의 결과를 재사용)
정리(거리 공식, distance formula). 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)에 대해, 두 점 사이의 거리 d(A,B)(선분 AB의 길이―542번이 수직선 위에서 다룬 것과 같은 개념)는 다음과 같습니다 :
d(A,B) = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²
| 선분 AB의 길이는 벡터 AB의 크기와 같음 : d(A,B) = |AB| | 6.1 506번 뒤 따름(같은 벡터를 나타내는 유향선분의 길이는 그 벡터의 크기) |
| AB = (x₂−x₁, y₂−y₁) | 6.1 f503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식) |
| d(A,B) = |AB| = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)² | 6.1 f506번(벡터의 크기 공식(평면) |v|=x²+y²을 위 성분에 적용) |
1차원과의 일치 확인. 만약 A,B가 같은 x축 평행선 위에 있어 y₁=y₂라면, 위 공식은 d(A,B)=(x₂−x₁)²=|x₂−x₁|로 줄어들어 542번(1차원 거리 공식)과 정확히 일치합니다― 7.2의 거리 공식이 7.1의 특수한 경우를 포함하는 자연스러운 확장임을 보여줍니다.
사용 : 6.1 f503·f506번과 그 뒤 따름(성분 공식·크기 공식·선분의 길이) · 542번(1차원 거리와의 일치)
이 공식은 6.1 506번 뒤 따름에서 이미 얻은 것과 같은 결과입니다―7장에서는 좌표평면의 언어(d(A,B))로 다시 적어 둡니다.
증명 끝
550정리선분의 내분점p = nx₁+mx₂m+n
증명법 : 직접증명법(벡터 이용)
정의(내분점, internal division point). 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)(A≠B)와 양수 m, n에 대해, 선분 AB 위의 점 P가 AP:PB = m:n(길이의 비, m,n>0)을 만족시키면 P를 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점이라 합니다.
7.1(544번)에서는 수직선에 고정된 방향이 있어 AP:PB를 부호 있는 유향길이의 비로 정의할 수 있었지만, 평면 위의 일반적인 선분에는 그런 고정된 기준 방향이 없으므로 여기서는 길이(양수)의 비로 정의합니다―그 대신 "P가 A, B 사이(선분 위)에 있다"는 조건을 정의에 함께 명시해 544번의 부호 조건을 대신합니다.
주장. 위 정의를 만족하는 점 P는 유일하게 존재하며, 그 좌표 p는 다음과 같습니다 :
p = (nx₁+mx₂m+n, ny₁+my₂m+n)
| P가 선분 AB 위(A, B와 다른 점)이므로 |AP|+|PB| = |AB|이고, AP+PB = AB이므로 |AP+PB| = |AP|+|PB| | 선분 위의 점(두 부분의 길이의 합이 전체 길이) · 6.1 506번 뒤 따름(선분의 길이=벡터의 크기) · 6.2 f509번(벡터의 덧셈) |
| ⇒ PB = tAP(t>0), 즉 두 벡터는 같은 방향이고 AB = (1+t)AP, AP = sAB(s=11+t>0) | 6.2 f515번(삼각부등식의 등호 조건, AP, PB≠0) · 6.4 f525번(같은 방향) |
| |AP| = s|AB|이고 |AP|:|PB| = m:n이므로 s = |AP||AB| = mm+n ⇒ AP = mm+nAB | 6.4 f524번(|kv|=|k||v|) · |AB|=|AP|+|PB| |
| p = a + AP = a + mm+n(x₂−x₁, y₂−y₁) = (nx₁+mx₂m+n, ny₁+my₂m+n) | 6.1 f503번(vec AB 성분) · 6.4 f523번(실수배) · 좌표별 전개 후 통분 |
존재성(역확인). 위에서 얻은 p가 실제로 정의의 조건을 만족하는지 확인합니다 :
AP = p−a = mm+nAB
s=mm+n로 두면 0<s<1이고(m,n>0), |AP| = s|AB|, PB=AB−AP = (1−s)AB이므로 |PB| = (1−s)|AB|입니다(6.4 f524번). 따라서 |AP|+|PB| = |AB|이므로 3.4 단원 서두의 약속 ⑥(P가 선분 AB 위에 있지 않으면 AP+PB>AB)의 대우에 의해 P는 선분 AB 위에 있고 (6.4 f525번 주장 3의 (가)⇒(다)와 같은 논법), |AP|:|PB| = s:(1−s) = m:n이 실제로 성립합니다. 위 유도가 «그런 P가 있다면 좌표는 이 값뿐»임을 이미 보였으므로 유일성도 함께 확인됩니다.
이 결과는 544번(1차원 내분점) 공식 p=na+mbm+n을 x, y 두 성분에 각각 그대로 적용한 것과 정확히 같은 형태입니다―벡터의 성분별 연산(덧셈·실수배가 각 좌표에서 독립적으로 이뤄짐, 6.2 f510·6.4 f523번)이 이 일치를 보장합니다.
사용 : 6.1 f503번·506번 뒤 따름 · 6.2 f509·f510·f515번(덧셈·성분·삼각부등식의 등호 조건) · 6.4 f523·f524·f525번(실수배·크기·같은 방향·주장 3) · 3.4 단원 서두의 약속 ⑥(최단 경로) · 544번(1차원 내분점과의 형태적 일치)
증명 끝
551정리선분의 외분점q = mx₂−nx₁m−n
증명법 : 직접증명법(벡터 이용)
정의(외분점, external division point). 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)와 m≠n인 양수 m, n에 대해, 직선 AB 위에서 선분 AB의 바깥쪽에 있는 점 Q가 AQ:QB = m:n(길이의 비)을 만족시키면 Q를 선분 AB를 m:n으로 외분하는 점이라 합니다―아래 증명에서 보이듯 m>n이면 Q는 B보다 바깥쪽에, m<n이면 Q는 A보다 바깥쪽에 위치합니다(550번의 내분과 같은 이유로 부호 없는 길이의 비로 정의).
주장. 위 정의를 만족하는 점 Q는 유일하게 존재하며(m≠n), 그 좌표 q는 다음과 같습니다 :
q = (mx₂−nx₁m−n, my₂−ny₁m−n)
| Q는 직선 AB 위에서 선분 AB 밖에 있으므로 A가 선분 QB 위에 있거나 B가 선분 AQ 위에 있음. A가 선분 QB 위이면 |QB|=|QA|+|AB|>|AQ|, B가 선분 AQ 위이면 |AQ|=|AB|+|BQ|>|QB| ― 따라서 m>n이면 B가 선분 AQ 위, m<n이면 A가 선분 QB 위 | 한 직선 위의 서로 다른 세 점 중 하나는 나머지 둘 사이(6.4 f525번 주장 3에서 쓴 기본 사실) · 선분 위의 점 |
| m>n : |AQ|=|AB|+|BQ|이므로 550번과 같은 논법으로 AQ, AB는 같은 방향, AQ = |AQ||AB|AB. 또 |AQ|:(|AQ|−|AB|)=m:n에서 n|AQ|=m|AQ|−m|AB|, 즉 |AQ| = mm−n|AB| ⇒ AQ = mm−nAB | 6.2 f515번(등호 조건) · 6.4 f524번 · 비례식 정리 |
| m<n : |QB|=|QA|+|AB|이므로 같은 논법으로 QA, AB는 같은 방향, 즉 AQ=−QA는 AB와 반대 방향이고 AQ = −|AQ||AB|AB. 또 |AQ|:(|AQ|+|AB|)=m:n에서 |AQ| = mn−m|AB| ⇒ AQ = −mn−mAB = mm−nAB | 6.2 f515번 · 6.3의 음벡터 · 6.4 f524번 · 비례식 정리 |
| q = a + AQ = a + mm−n(x₂−x₁, y₂−y₁) = (mx₂−nx₁m−n, my₂−ny₁m−n) | 6.1 f503번 · 6.4 f523번 · 좌표별 전개 후 통분(두 경우 모두 같은 식으로 통합됨) |
존재성(역확인)과 유일성. s=mm−n로 두고 AQ=sAB인 점 Q를 잡습니다. m,n>0, m≠n이므로 s≠0, 1이고, Q는 6.4 f525번 주장 3의 (가)⇒(다)에 의해 직선 AB 위에 있습니다. m>n이면 s>1이고 |AB|+|BQ| = |AB|+(s−1)|AB| = s|AB| = |AQ|이므로(BQ=(s−1)AB, 6.4 f524번) 약속 ⑥의 대우로 B는 선분 AQ 위―Q는 B보다 바깥쪽이고, |AQ|:|QB| = s:(s−1) = m:n입니다. m<n이면 s<0이고 QB=AB−AQ=(1−s)AB이므로 |QA|+|AB| = (−s)|AB|+|AB| = |QB|―A는 선분 QB 위, Q는 A보다 바깥쪽이고, |AQ|:|QB| = (−s):(1−s) = m:n입니다. 어느 쪽이든 정의의 조건과 일치하고, 위 유도가 «그런 Q가 있다면 좌표는 이 값뿐»임을 보였으므로 유일성도 함께 확인됩니다. 이 결과 역시 545번(1차원 외분점) 공식 q=mb−nam−n을 x, y 성분에 그대로 적용한 것과 같은 형태입니다.
사용 : 6.1 f503번 · 6.2 f515번(등호 조건) · 6.4 f523·f524·f525번(실수배·크기·같은/반대 방향·주장 3) · 3.4 단원 서두의 약속 ⑥ · 550번(같은 방향의 논법) · 545번(1차원 외분점과의 형태적 일치)
증명 끝
552정리선분의 중점xM = x₁+x₂2
증명법 : 직접증명법
정의(중점, midpoint). 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)를 잇는 선분 AB의 중점 M은 선분 AB를 1:1로 내분하는 점―550번의 정의에서 m=n=1인 경우―으로 정의합니다(중점의 좌표는 내분 비의 문자 m과 구별하기 위해 xM, yM으로 씁니다―546번과 같은 관례).
주장. M의 좌표는 다음과 같습니다 :
xM = x₁+x₂2, yM = y₁+y₂2
| 550번에 m=n=1을 대입 : xM = 1·x₁+1·x₂1+1 = x₁+x₂2, yM도 동일 | 550번(내분점의 좌표), m=n=1(같은 비로 내분) |
동치 확인(등거리인 사이의 점). M이 A, B로부터 같은 거리에 있으면서 직선 AB 위에서 그 사이에 있는 유일한 점이라는 특징과 일치함을 직접 보일 수 있습니다 :
d(A,M) = (x₁+x₂2−x₁)²+(y₁+y₂2−y₁)² = (x₂−x₁2)²+(y₂−y₁2)² = 12d(A,B)
같은 방식으로 d(M,B)=12d(A,B)도 성립하므로(549번, 뺄셈의 부호만 반대라 제곱하면 같음) M은 A, B로부터 같은 거리에 있고, 550번의 역확인 논증(m=n=1을 대입)에 의해 M은 선분 AB 위(A,B 사이)에 있습니다. 즉 550번의 공식과 «중점=등거리인 사이의 점»이라는 직관적 정의가 서로 일치합니다.
사용 : 550번(내분점의 좌표, m=n=1) · 549번(거리 공식) · 546번(1차원 중점과의 형태적 일치)
증명 끝
553정리삼각형의 무게중심g = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3)
증명법 : 직접증명법(대칭성을 이용한 공점성 증명)
삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB의 중점을 각각 D, E, F라 합니다(552번). 꼭짓점과 그 대변의 중점을 잇는 선분 AD, BE, CF를 중선(median)이라 합니다.
주장(무게중심, centroid). 세 중선 AD, BE, CF는 한 점에서 만나며(공점, concurrent), 그 교점은 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분합니다. 이 교점을 삼각형 ABC의 무게중심 G라 하며, 좌표는 다음과 같습니다 :
g = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3)
| D는 BC의 중점 ⇒ D = (x₂+x₃2, y₂+y₃2) | 552번(중점의 좌표) |
| A, D를 2:1로 내분하는 점(m=2, n=1) : g1 = 1·x₁+2·x₂+x₃22+1 = x₁+x₂+x₃3(y좌표도 동일 과정) | 550번(내분점의 좌표), m=2,n=1 |
| ∴ g1 = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3)―이는 x₁,x₂,x₃(과 y₁,y₂,y₃)의 대칭식 | 위 결과 정리·세 문자에 대해 완전히 대칭인 형태 확인 |
| 같은 방식으로 B, E를 2:1로 내분한 점과 C, F를 2:1로 내분한 점을 각각 계산하면―대칭식이므로 문자만 순환시킨 결과―똑같이 (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3) | g₁의 식이 A,B,C의 이름 교환에 대해 불변(대칭성) |
즉 A-D를 2:1로 내분한 점, B-E를 2:1로 내분한 점, C-F를 2:1로 내분한 점이 모두 같은 점 g=(x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3)이므로, 이 점은 세 중선 AD, BE, CF 위에 동시에 있습니다―즉 세 중선이 이 점에서 공통으로 만나고(공점), 그 점이 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1로 내분합니다. 이 교점을 무게중심 G라 정의하면 증명이 끝납니다. 이 교점은 하나뿐입니다―중선 AD, BE가 같은 직선이라면 그 직선이 B와 D를 지나므로 D가 중점인 선분 BC의 C도 지나게 되어 A, B, C가 한 직선 위에 놓이므로(삼각형이 아님) 두 중선은 서로 다른 직선이고, 서로 다른 두 직선은 많아야 한 점에서 만나기 때문입니다.
사용 : 550번(내분점의 좌표, m=2,n=1) · 552번(중점의 좌표) · 좌표식의 대칭성(순수 대수)
증명 끝
554정리—활용활용―거리·내분·외분·중점·무게중심 종합 예제A(−3,−2), B(9,3), C(6,8)
예제. A(−3,−2), B(9,3), C(6,8)에 대해 549–553번을 모두 수치로 확인합니다.
1단계―거리(549번).
| d(A,B) = (9−(−3))²+(3−(−2))² = 12²+5² = 144+25 = 169 = 13 | 549번(거리 공식) · 3.1 f163번(5-12-13 직각삼각형) |
2단계―3:2 내분점(550번).
| p = (2·(−3)+3·93+2, 2·(−2)+3·33+2) = (215, 55) = (215, 1) | 550번(내분점의 좌표), m=3, n=2 |
검산 : AP=(215−(−3))²+(1−(−2))²=(365)²+3²=129625+22525=152125=395, PB=(9−215)²+(3−1)²=(245)²+2²=57625+10025=67625=265이므로 AP:PB=395:265=39:26=3:2―일치합니다.
3단계―3:2 외분점(551번).
| q = (3·9−2·(−3)3−2, 3·3−2·(−2)3−2) = (331, 131) = (33, 13) | 551번(외분점의 좌표), m=3, n=2(m>n이므로 B보다 바깥쪽) |
검산 : AQ=(33−(−3))²+(13−(−2))²=36²+15²=1296+225=1521=39, QB=(9−33)²+(3−13)²=(−24)²+(−10)²=576+100=676=26이므로 AQ:QB=39:26=3:2―B보다 바깥쪽(m>n)이라는 551번의 판정과 일치합니다.
4단계―중점(552번).
| xM = (−3)+92 = 3, yM = (−2)+32 = 12 | 552번(중점의 좌표) |
5단계―삼각형 ABC의 무게중심(553번).
| g = ((−3)+9+63, (−2)+3+83) = (123, 93) = (4, 3) | 553번(무게중심의 좌표) |
검산(중선 AD 재확인) : D는 BC의 중점이므로 D=(9+62, 3+82)=(152, 112). A, D를 2:1로 내분(550번, m=2,n=1)하면 (1·(−3)+2·1523, 1·(−2)+2·1123) = (123, 93) = (4,3)―위 g와 정확히 일치합니다(553번의 대칭성 증명이 실제 수치로도 재확인됨).
사용 : 549·550·551·552·553번
증명 끝
참조 그림
(1) 548번―점 P(x,y)의 좌표는 x축·y축 위에 내린 수선의 발의 좌표로 정해짐을 보여줍니다.
(2) 549번―A(−3,−2), B(9,3) 사이의 거리를 직각삼각형(피타고라스 정리, 3.1 f163번)으로 구합니다―dx=12, dy=5, d(A,B)==13(5-12-13 직각삼각형).
(3) 550·552번―A(−3,−2), B(9,3)를 3:2로 내분하는 점 P(215,1)과 중점 M(3,12)을 함께 보여줍니다.
(4) 551번―A(−3,−2), B(9,3)를 3:2로 외분하는 점 Q(33,13)―m>n이므로 B보다 바깥쪽(선분 AB 밖)에 위치합니다.
(5) 553번―삼각형 ABC(A(−3,−2), B(9,3), C(6,8))의 세 중선이 무게중심 G(4,3)에서 만나고, 각 중선을 2:1로 내분함을 보여줍니다.