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7.3   수능 관련

평면 위의 직선

Straight Line in Plane

정의 · 공식과 증명

이 절은 좌표평면 위의 직선을 대수적으로(방정식으로) 다룹니다. 먼저 직선을 한 점과 방향벡터로 매개변수화하고, 그로부터 기울기를 정의합니다(555번). 이어서 기울기·두 점·절편 등 주어진 조건에 따라 직선의 방정식을 여러 형태로 유도하고, 이들이 모두 일반형 ax+by+c=0 하나로 통합됨을 보입니다(556번). 6.4의 실수배와 6.5의 내적(수직 조건·정사영)을 재사용해 두 직선의 평행·수직 조건(557번)과 점과 직선 사이의 거리 공식(558번)을 유도하고, 하나의 수치 예제로 555–558번 전체를 재확인합니다(559번).

555정의 · 정리직선의 방향벡터와 기울기m := q/p

정의(방향벡터, direction vector). 직선 ℓ 위의 서로 다른 두 점 A, B에 대해, 벡터 AB(또는 그 0이 아닌 실수배)를 ℓ의 방향벡터라 합니다.

증명법 : 존재성·유일성 논증

정리(직선의 매개변수 표현). A를 지나고 방향벡터 d(=AB)를 갖는 직선 ℓ 위의 임의의 점 P에 대해, P=A+td인 실수 t가 유일하게 존재합니다―즉 ℓ={A+td : t∈ℝ}.

(⊆) P=A이면 t=0. P≠A이면 A, B, P는 ℓ 위의 점, 즉 한 직선 위에 있으므로 AP와 AB=d는 평행 : AP=td(t≠0)  ⇒  P=A+td	6.4 f525번 주장 3의 (다)⇒(가)(O 자리에 A)
(⊇) 역으로 P=A+td(t≠0)이면 AP=tAB이므로 A, B, P는 한 직선 위에 있고, 두 점 A, B를 지나는 직선은 ℓ 하나뿐이므로 P는 ℓ 위	6.4 f525번 주장 3의 (가)⇒(다) · 두 점을 지나는 직선은 하나뿐
유일성 : d≠0(A≠B)이므로 td=t′d ⇒ t=t′	6.4 f523번(실수배), 영벡터가 아닌 벡터의 스칼라배 표현은 유일

방향벡터로 AB의 0이 아닌 실수배 cAB를 써도 A+t(cAB)=A+(tc)AB이므로 같은 집합을 얻습니다. 또 A 대신 ℓ 위의 다른 점을 기준점으로 써도 같은 논증이 성립합니다.

정의(기울기, slope). ℓ의 방향벡터 d=(p,q)에서 p≠0(즉 ℓ이 y축에 평행하지 않음)이면 ℓ의 기울기 m을 다음과 같이 정의합니다 :

m := qp

p=0(ℓ이 y축에 평행, 수직선)이면 기울기는 정의하지 않습니다.

정리(두 점 공식, well-defined). ℓ 위의 서로 다른 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)가 x₁≠x₂를 만족하면, m=y₂−y₁x₂−x₁이고, 이 값은 ℓ 위에서 어떤 두 점을 고르든(또는 어떤 방향벡터를 고르든) 항상 같습니다.

AB=(x₂−x₁, y₂−y₁)는 ℓ의 방향벡터―정의에서 p=x₂−x₁≠0, q=y₂−y₁이므로 m=y₂−y₁x₂−x₁	6.1 f503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분 공식) · 위 기울기의 정의
0이 아닌 임의의 실수 k에 대해 kAB=(k(x₂−x₁), k(y₂−y₁))도 ℓ의 방향벡터이고, 그 비는 k(y₂−y₁)k(x₂−x₁)=y₂−y₁x₂−x₁로 k가 약분되어 같은 m을 줌	6.4 f523번(실수배도 방향벡터) · 분수의 약분
ℓ 위의 다른 두 점 C, D를 골라도 매개변수 표현으로 C=A+tCAB, D=A+tDAB이므로 CD=(tD−tC)AB이고, C≠D라 tD−tC≠0―위 둘째 단계와 같은 논증으로 같은 m을 줌	위 매개변수 표현 · 6.1 f503번

사용 : 6.1 f503번(벡터의 성분 공식) · 6.4 f523번(실수배) · 6.4 f525번 주장 3(평행 판정)

증명 끝

556정리직선의 방정식의 여러 형태ax+by+c=0

증명법 : 직접증명법(555번의 기울기로부터 순차 유도)

직선 ℓ의 방정식―즉 "점 P(x,y)가 ℓ 위에 있을 조건을 x, y의 방정식으로 나타낸 것"―을 주어진 정보에 따라 네 가지 형태로 유도하고, 이들이 모두 하나의 통합된 일반형으로 귀결됨을 보입니다.

(a) 점·기울기형(point-slope form). ℓ이 P₀(x₀,y₀)를 지나고 기울기 m을 가질 때 :

y−y₀ = m(x−x₀)

x≠x0인 점 P(x,y) : P가 ℓ 위 ⇔ P0P=(x−x0, y−y0)가 ℓ의 방향벡터 ⇔ y−y0x−x0=m ⇔ y−y0=m(x−x0)	555번(매개변수 표현·두 점 공식). (⇐) 기울기가 m이면 (1,m)이 ℓ의 방향벡터이고 P0P=(x−x0)(1,m)이므로 P는 ℓ 위
x=x0인 점 P : 식은 y=y0, 즉 P=P0가 되고 P0는 ℓ 위. 또 x=x0이고 P≠P0인 점이 ℓ 위에 있다면 P0P=(0, y−y0)가 방향벡터가 되어 기울기가 정의되지 않으므로 그런 점은 없음―즉 위 식은 모든 경우를 정확히 나타냄	직접 대입 · 555번(모든 방향벡터는 서로 실수배이므로 첫 성분이 모두 0이거나 모두 0이 아님)

(b) 두점형(two-point form). ℓ이 서로 다른 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)를 지날 때, (a)에 P₀=A, m=y₂−y₁x₂−x₁(555번)을 대입하면 :

y−y₁ = y₂−y₁x₂−x₁(x−x₁)

(c) 절편형(intercept form). ℓ이 x축·y축을 각각 x절편 a≠0, y절편 b≠0에서 만날 때(즉 (a,0), (0,b)를 지날 때) :

xa + yb = 1

(b)에 A=(a,0), B=(0,b) 대입 : m=b−00−a=−ba,   y−0=−ba(x−a)	(b)에 대입
y=−bax+b  ⇒  ay=−bx+ab  ⇒  bx+ay=ab  ⇒  xa+yb=1	전개·정리(양변을 ab≠0으로 나눔)

(d) 일반형(general form)―모든 직선의 통합 표현. a,b가 동시에 0이 아닌 실수일 때 :

ax+by+c=0

(a)–(c)→일반형. (a)의 y−y0=m(x−x0)을 전개하면 mx−y+(y0−mx0)=0―a=m, b=−1, c=y0−mx0로 두면 일반형. 수직선(555번에서 기울기가 정의되지 않는 경우―방향벡터가 (0,q)라 점이 A+t(0,q)=(xA, yA+tq) 꼴이므로 x=k 꼴)도 a=1,b=0,c=−k로 두면 일반형에 포함됨―즉 (a)–(c)와 수직선을 합친 모든 직선이 일반형으로 표현됨.

일반형→직선. 역으로 ax+by+c=0(a,b가 동시에 0이 아님)이 주어지면―b≠0이면 y=−abx−cb로 풀려 기울기 −ab인 (a)형 직선, b=0(a≠0)이면 x=−ca로 풀려 수직선(555번에 의해 점 (−ca,0)을 지나고 방향벡터가 (0,1)인 직선).

따라서 (a)–(c)에서 다룬 모든 직선(점·기울기, 두 점, 절편으로 주어지는 경우)과 수직선을 합친 좌표평면의 모든 직선의 집합은, 계수 (a,b,c)(a,b가 동시에 0이 아님)를 갖는 방정식 ax+by+c=0의 해집합 전체와 정확히 일치합니다―일반형이 이 절에서 다룬 모든 표현을 포괄하는 통합 형태임이 확인됩니다.

사용 : 555번(기울기의 정의·두 점 공식)

증명 끝

557정리두 직선의 평행 조건과 수직 조건ℓ₁∥ℓ₂(또는 일치)⇔m₁=m₂,   ℓ₁⊥ℓ₂⇔m₁m₂=−1

증명법 : 동치인 식의 열(방향벡터 이용)

두 직선 ℓ₁, ℓ₂이 모두 기울기가 정의됨(y축에 평행하지 않음, 555번)―각각 기울기 m₁, m₂―일 때를 다룹니다(수직선이 포함된 경우는 아래 따로 언급). 555번에 의해 ℓ₁의 방향벡터로 d₁=(1,m₁)(p=1로 정규화)을, ℓ₂의 방향벡터로 d₂=(1,m₂)을 잡을 수 있습니다.

보조정리(두 직선의 위치 관계). 두 직선 ℓ₁={A₁+sd₁}, ℓ₂={A₂+td₂}(555번)에 대해 ① d₁, d₂가 평행하면 두 직선은 일치하거나 만나지 않고 ② 평행하지 않으면 정확히 한 점에서 만납니다.

① 공통점 X가 있다면 X를 기준점으로 ℓ1={X+sd1}, ℓ2={X+td2}이고, d2=kd1(k≠0)이므로 X+td2=X+(tk)d1―두 집합이 같아 일치. 공통점이 없으면 만나지 않음	555번(매개변수 표현, 기준점은 직선 위의 어느 점이든 됨) · 6.4 f525번
② d1=(p1,q1), d2=(p2,q2)가 평행하지 않으면 p1q2−p2q1≠0. A2−A1=(u,v)라 하면 교점 조건 A1+sd1=A2+td2는 sp1−tp2=u, sq1−tq2=v이고, t를 소거하면 s(p1q2−p2q1)=uq2−vp2, s를 소거하면 t(p1q2−p2q1)=uq1−vp1―s, t가 하나씩 정해지므로 교점은 정확히 하나	6.4 f525번 주장 3((가)⇔(나)의 대우) · 연립일차방정식의 소거

정의(두 직선의 평행·수직). 두 직선이 만나지 않으면 평행하다고 하고 ℓ₁∥ℓ₂로 씁니다. 두 직선이 한 점에서 만날 때, 방향벡터 d₁, d₂가 이루는 각 θ(6.5 532번) 또는 π−θ를 두 직선이 이루는 각이라 하고(방향벡터를 −d로 바꾸면 θ가 π−θ로 바뀌므로 두 값을 함께 봄), 이 각이 직각이면 수직이라 하고 ℓ₁⊥ℓ₂로 씁니다. θ=π2 ⇔ π−θ=π2이므로, 수직은 방향벡터를 어떻게 고르든 d₁⊥d₂와 같습니다.

평행 조건.

ℓ₁ ∥ ℓ₂ 또는 ℓ₁=ℓ₂  ⇔  m₁ = m₂

ℓ1∥ℓ2 또는 일치 ⇔ 방향벡터끼리 평행, 즉 d2=kd1인 0이 아닌 실수 k가 존재	위 보조정리(평행하지 않으면 정확히 한 점에서 만나므로 만나지 않을 수도, 일치할 수도 없음) · 6.4 f525번(평행벡터의 정의)
(1,m2)=k(1,m1)=(k,km1)  ⇒  첫 성분에서 k=1  ⇒  m2=km1=m1	성분별 비교(첫 성분이 1로 고정되어 있어 k가 즉시 정해짐)
역으로 m1=m2이면 d1=(1,m1)=(1,m2)=d2로 방향벡터가 같아(k=1) ℓ1∥ℓ2 또는 일치	위 보조정리 ①

따라서 두 직선이 평행(만나지 않음)할 조건은 m₁=m₂이면서 공통점이 없는 것이고, y=m₁x+n₁, y=m₂x+n₂ 꼴이면 m₁=m₂, n₁≠n₂입니다(n₁=n₂이면 일치).

(수직선끼리는 평행하거나 일치하고, 수직선과 기울기가 정의된 직선은 평행할 수 없습니다―방향벡터의 p성분이 각각 0, 1≠0이라 결코 서로 실수배가 될 수 없기 때문입니다.)

수직 조건.

ℓ₁ ⊥ ℓ₂  ⇔  m₁m₂ = −1

ℓ1⊥ℓ2 ⇔ 방향벡터끼리 수직, 즉 d1⋅d2=0(수직인 두 벡터는 평행하지 않으므로 보조정리 ②에 의해 두 직선은 실제로 한 점에서 만남)	위 정의(두 직선이 이루는 각) · 6.5 f536번(내적의 수직 조건)
d1⋅d2=(1,m1)⋅(1,m2)=1·1+m1m2=1+m1m2	6.5 f534번(내적의 성분 공식)
⇒ 1+m1m2=0  ⇔  m1m2=−1	위 두 줄을 연결

(수직선 x=k와 수평선―기울기 0인 직선, y=h―은 항상 수직이며, 이 경우는 기울기의 곱을 정의할 수 없어 위 대수적 조건과 별도로 다룹니다. 수직선끼리는 서로 평행하거나 일치하며 결코 수직이 될 수 없습니다.)

사용 : 555번(직선과 방향벡터·매개변수 표현) · 6.4 f525번(평행벡터·주장 3) · 6.5 f532·f534·f536번(두 벡터 사이의 각·내적의 성분 공식·수직 조건)

증명 끝

558정리점과 직선 사이의 거리 공식d = |ax₀+by₀+c|/a²+b²

증명법 : 직접증명법(코시–슈바르츠 부등식 이용)

정리. 직선 ℓ : ax+by+c=0(a,b가 동시에 0이 아님)과 점 P₀(x₀,y₀)에 대해, P₀에서 ℓ까지의 거리 d(ℓ 위의 점까지의 거리 중 가장 짧은 것―아래에서 보이듯 수선의 발까지의 거리)는 다음과 같습니다 :

d = |ax₀+by₀+c|a²+b²

ℓ 위의 한 점 Q(x₁,y₁)를 하나 잡음(ax₁+by₁+c=0). 벡터 n=(a,b)는 ℓ에 수직―556번에 의해 ℓ의 방향벡터는 (−b,a)(또는 b≠0일 때 (1,−ab), 어느 쪽이든 (−b,a)의 실수배)이고 n⋅(−b,a)=−ab+ba=0이므로	6.5 f534·f536번(내적의 성분 공식·수직 조건) · 556번(일반형과 방향벡터)
ℓ 위의 임의의 점 X(x′,y′)에 대해(ax′+by′+c=0) : n⋅XP0 = a(x0−x′)+b(y0−y′) = ax0+by0+c	6.1 f503번(XP0의 성분) · 6.5 f534번(성분 공식) · ax′+by′=−c
|ax0+by0+c| = |n⋅XP0| ≤ |n||XP0|  ⇒  |XP0| ≥ |ax0+by0+c|a²+b²	6.5 f538번(코시–슈바르츠 부등식) · |n|=a²+b²>0(6.1 506번)
F := P0 − ax0+by0+ca²+b²n로 두면 aFx+bFy+c = (ax0+by0+c) − ax0+by0+ca²+b²(a²+b²) = 0이므로 F는 ℓ 위의 점	6.4 f523번(실수배) · 직접 대입
FP0 = ax0+by0+ca²+b²n이므로 |FP0| = |ax0+by0+c|a²+b²·a²+b² = |ax0+by0+c|a²+b²―위 하한과 같고, FP0는 n과 평행이므로 ℓ에 수직(F는 P0에서 ℓ에 내린 수선의 발)	6.4 f524번(|kv|=|k||v|) · 첫 줄(n⊥ℓ)
∴ d = (ℓ 위의 점까지 거리의 최솟값) = |FP0| = |ax0+by0+c|a²+b²	위 두 줄(하한이 실제로 F에서 이루어짐)

정사영으로 보기. 둘째 줄에 의해 ℓ 위의 어느 점 Q를 잡아도 QP₀를 n 방향으로 정사영한 스칼라 정사영은 comp_nQP₀ = QP₀⋅n|n| = ax₀+by₀+ca²+b²(6.5 f539번)로 Q의 선택과 무관하고, 그 절댓값이 바로 d입니다―점과 직선 사이의 거리는 «법선 방향 성분의 크기»입니다.

사용 : 556번(일반형과 방향벡터) · 6.1 f503·f506번 · 6.4 f523·f524번(실수배·크기) · 6.5 f534·f536·f538·f539번(내적·수직 조건·코시–슈바르츠·정사영)

증명 끝

559정리—활용활용―기울기·방정식·평행·수직·거리 종합 예제A(2,1), B(6,4)

예제. A(2,1), B(6,4)를 지나는 직선 ℓ에 대해 555–558번을 모두 수치로 확인합니다.

1단계―기울기(555번).

m = 4−16−2 = 34

555번(두 점 공식)

2단계―직선의 방정식(556번).

점·기울기형(A 사용) : y−1 = 34(x−2)  ⇒  4y−4=3x−6  ⇒  3x−4y−2=0

556(a)(b)번

검산(B 사용) : 3·6−4·4−2=18−16−2=0―B도 이 직선 위에 있음이 확인됩니다.

x절편 : y=0⇒3x=2⇒x=23, y절편 : x=0⇒−4y=2⇒y=−12―절편형(556(c)번)으로 검산하면 x23+y−12=1  ⇔  32x−2y=1  ⇔  3x−4y=2―위와 일치합니다.

3단계―평행선과 수직선(557번).

원점 C(0,0)을 지나고 ℓ와 평행(기울기 34 그대로) : 3x−4y=0	557번(평행 조건 m1=m2, C는 ℓ 위에 있지 않으므로(3·0−4·0−2≠0) 일치가 아니라 평행) · 556(a)번(C 대입)
B(6,4)를 지나고 ℓ와 수직(34·m=−1⇒m=−43) : y−4=−43(x−6)  ⇒  4x+3y−36=0	557번(수직 조건 m1m2=−1) · 556(a)번

검산(방향벡터의 내적) : ℓ의 방향벡터 (4,3)(기울기 34을 (1,34)×4로 정수화), 수직선의 방향벡터 (3,−4)(기울기 −43을 (1,−43)×3으로 정수화)―내적 4·3+3·(−4)=12−12=0― 557번(수직 조건)과 일치합니다.

4단계―점과 직선 사이의 거리(558번).

P(10,10)에서 ℓ : 3x−4y−2=0까지의 거리(a=3,b=−4,c=−2) : d = |3·10−4·10−2|3²+4² = |30−40−2|9+16 = 1225 = 125 = 2.4

558번(점과 직선 사이의 거리 공식)

검산 : 558번의 증명에서 수선의 발은 F = P − −1225(3,−4) = (10+3625, 10−4825) = (28625, 20225) = (11.44, 8.08)이고, 3·11.44−4·8.08−2 = 34.32−32.32−2 = 0이라 F는 ℓ 위, |PF| = 1225·5 = 125 = 2.4입니다. 또 558번에 의해 ℓ 위의 어느 점까지의 거리도 2.4 이상입니다― 예를 들어 ℓ 위의 점 A(2,1)까지의 거리(549번)는 d(P,A)=(10−2)²+(10−1)²=64+81=145≈12.04입니다.

사용 : 555·556·557·558번

증명 끝

참조 그림

(1) 555번―직선 ℓ의 경사각 α와 방향벡터 d=(p,q), 기울기 m:=q/p를 보여줍니다.

(2) 556번―A(2,1), B(6,4)를 지나는 직선 ℓ : 3x−4y−2=0(기울기 34)과 x절편·y절편을 보여줍니다.

(3) 557번―ℓ1과 평행한 ℓ3(원점 C를 지남, 기울기가 같음), ℓ1과 수직인 ℓ2(B를 지남)를 함께 보여줍니다.

(4) 558번―점 P(10,10)에서 직선 ℓ1 : 3x−4y−2=0까지의 거리 d=2.4(수선의 발 F)를 보여줍니다.