7.4
원의 방정식
Circle
정의 · 공식과 증명
이 절은 3.19의 원의 정의(f260)를 좌표평면 위에서 대수적으로(방정식으로) 다룹니다. 먼저 7.2의 거리 공식(f549)을 이용해 원의 표준방정식을 얻고(560번), 이를 전개·완전제곱을 통해 일반형과 서로 오갈 수 있음을 보입니다(561번). 3.19의 접선과 반지름의 수직 관계(f265)를 재사용해 원 위의 점에서의 접선의 방정식을 유도하고(562번), 점과 원·직선과 원 사이의 위치 관계를 각각 대수적·기하적으로 판정합니다(563·564번). 원점을 중심으로 하는 원에 대한 접선의 조건을 별도로 정리하고(565번), 마지막으로 하나의 원 (2,−1), r=5로 560–565번 전체를 수치로 재확인합니다(566번).
560정의 · 정리원의 표준방정식(x−a)²+(y−b)²=r²
증명법 : 직접증명법(거리 공식 이용)
좌표평면 위에서 중심 C(a,b), 반지름 r(>0)인 원(3.19 f260번의 정의―중심으로부터 거리 r인 점들의 자취)을 생각합니다. 임의의 점 P(x,y)에 대해 다음이 성립합니다 :
P가 원 위에 있음 ⇔ (x−a)²+(y−b)²=r²
| P가 원 위 ⇔ CP=r | 3.19 f260번(원의 정의) |
| CP = (x−a)²+(y−b)² | 7.2 f549번(두 점 사이의 거리 공식) |
| ∴ (x−a)²+(y−b)²=r ⇔ (x−a)²+(y−b)²=r² | 양변이 모두 0 이상이므로 제곱은 동치(r>0, 거리≥0) |
이 방정식을 원의 표준방정식(standard equation)이라 합니다. 특히 중심이 원점(a=b=0)이면 x²+y²=r²로 간단해집니다.
사용 : 3.19 f260번(원의 정의) · 7.2 f549번(거리 공식)
증명 끝
561정리원의 방정식의 일반형x²+y²+Dx+Ey+F=0
증명법 : 동치인 식의 열(완전제곱)
정리. D, E, F가 실수일 때, 방정식 x²+y²+Dx+Ey+F=0의 그래프는 D²+E²−4F>0일 때 정확히 중심 (−D2, −E2), 반지름 r=12D²+E²−4F인 원입니다. D²+E²−4F=0이면 그래프는 점 (−D2, −E2) 하나뿐인 점원이고, D²+E²−4F<0이면 이 방정식을 만족하는 실수 (x,y)가 존재하지 않아 그래프는 공집합입니다.
| x²+y²+Dx+Ey+F=0 ⇔ (x²+Dx)+(y²+Ey)=−F | 항을 x, y별로 묶음 |
| ⇔ (x+D2)²−D²4+(y+E2)²−E²4=−F | 완전제곱식 만들기(각 괄호에 (계수/2)²를 더하고 뺌) |
| ⇔ (x+D2)²+(y+E2)²=D²+E²−4F4 | 이항 정리 |
560번(표준방정식)의 형태 (x−a)²+(y−b)²=r²과 비교하면 a=−D2, b=−E2이고, 우변 D²+E²−4F4이 r²에 대응됩니다―이 값이 원의 반지름의 제곱이 되려면(r²>0이 되려면) 양수여야 하므로 D²+E²−4F>0이 필요충분조건이고, 이때 r=D²+E²−4F4=12D²+E²−4F입니다 (분모 4의 제곱근이 2이므로 밖으로 빠짐).
경계의 두 경우도 위 완전제곱식에서 바로 읽힙니다―D²+E²−4F=0이면 (x+D2)²+(y+E2)²=0인데 두 제곱의 합이 0이려면 각 항이 모두 0이어야 하므로 x=−D2, y=−E2인 단 하나의 해(점원)만 존재합니다. D²+E²−4F<0이면 우변이 음수인데 좌변(두 제곱의 합)은 항상 0 이상이므로 어떤 실수 x,y에 대해서도 등식이 성립할 수 없어 해집합은 공집합입니다.
역방향(표준형→일반형). 560번의 (x−a)²+(y−b)²=r²을 전개하면 x²+y²−2ax−2by+(a²+b²−r²)=0으로, D=−2a, E=−2b, F=a²+b²−r²로 두면 항상 일반형이 되고 (반지름 r>0이므로 이때 D²+E²−4F=4a²+4b²−4(a²+b²−r²)=4r²>0이 자동으로 성립), 위 순방향과 정확히 서로 역과정임이 확인됩니다.
사용 : 560번(표준방정식) · 완전제곱(대수)
증명 끝
562정리원 위의 점에서의 접선의 방정식(x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)=r²
증명법 : 직접증명법(내적·대수)
정리. 원 (x−a)²+(y−b)²=r²(중심 C(a,b), 반지름 r) 위의 한 점 P₁(x₁,y₁)에서 이 원에 접하는 직선(접선)의 방정식은 다음과 같습니다 :
(x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b) = r²
| 접선 ℓ은 접점 P₁를 지나는 반지름 CP₁=(x₁−a, y₁−b)와 수직 | 3.19 f265번(접선과 반지름의 수직 관계)―이 원은 f260번의 정의를 만족하는 바로 그 원이므로 f265번이 그대로 적용됨 |
| ℓ 위의 임의의 점 P(x,y)에 대해 벡터 P₁P=(x−x₁, y−y₁)는 ℓ 방향―CP₁⊥ℓ이므로 CP₁⊥P₁P, 즉 CP₁⋅P₁P=0 | 6.5 f536번(내적의 수직 조건) |
| ⇔ (x₁−a)(x−x₁)+(y₁−b)(y−y₁)=0 | 6.5 f534번(내적의 성분 공식) |
| 이 식의 좌변에 (x₁−a)²+(y₁−b)²(=r², P₁이 원 위의 점이므로 560번)을 더하면 : (x₁−a)[(x−x₁)+(x₁−a)]+(y₁−b)[(y−y₁)+(y₁−b)] = (x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b) | 대수적 재배열([(x−x₁)+(x₁−a)]=(x−a)를 이용) |
| ∴ (x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b) = 0 + r² = r² | 위 두 줄을 연결(좌변에 더한 값과 우변에 더한 값이 같음) |
특히 중심이 원점(a=b=0)인 원 x²+y²=r² 위의 점 P₁(x₁,y₁)에서의 접선은 x₁x+y₁y=r²로 간단해집니다.
사용 : 560번(표준방정식) · 3.19 f265번(접선⊥반지름) · 6.5 f534·f536번(내적의 성분 공식·수직 조건)
증명 끝
563정리점과 원의 위치 관계(x₀−a)²+(y₀−b)² <,=,> r²
증명법 : 경우 나누기(거리와 실수의 삼분법)
정리. 원 (x−a)²+(y−b)²=r²(중심 C(a,b), 반지름 r)과 점 P₀(x₀,y₀)에 대해, d:=CP₀라 하면 :
| d<r ⇔ (x₀−a)²+(y₀−b)²<r² | P₀는 원의 내부에 있음 |
| d=r ⇔ (x₀−a)²+(y₀−b)²=r² | P₀는 원 위에 있음 |
| d>r ⇔ (x₀−a)²+(y₀−b)²>r² | P₀는 원의 외부에 있음 |
| d = CP₀ = (x₀−a)²+(y₀−b)² (≥0) | 7.2 f549번(거리 공식) |
| d, r 모두 0 이상이므로 d<r, d=r, d>r 중 정확히 하나가 성립(실수의 삼분법)하고, 각 부등식은 제곱해도(양변≥0) 방향이 바뀌지 않음―d²=(x₀−a)²+(y₀−b)²이므로 d와 r의 대소 관계는 (x₀−a)²+(y₀−b)²과 r²의 대소 관계와 정확히 일치 | 실수의 삼분법 · 0 이상인 두 수의 제곱은 순서를 보존 |
| 내부·위·외부의 정의(3.19 f260번의 정의를 확장)가 각각 d<r, d=r, d>r과 정확히 대응 | 「내부」:= 중심까지 거리가 r보다 작은 점들의 집합(원 및 외부와 상호 배타적으로 정의되는 표준적인 용어) |
사용 : 7.2 f549번(거리 공식) · 실수의 삼분법
증명 끝
564정리직선과 원의 위치 관계d<r(2개), d=r(접함,1개), d>r(0개)
증명법 : 경우 나누기(피타고라스 정리)
정리. 직선 ℓ : ax+by+c=0(a,b가 동시에 0이 아님)과 원 (x−p)²+(y−q)²=r²(중심 C(p,q), 반지름 r)에 대해, 7.3의 거리 공식(f558번)으로 얻어지는 d := d(C,ℓ)라 하면 :
| d<r | ℓ과 원은 서로 다른 두 점에서 만남(할선) |
| d=r | ℓ은 원에 접함(접선)―한 점에서만 만남 |
| d>r | ℓ과 원은 만나지 않음 |
C에서 ℓ에 내린 수선의 발을 H라 하면(한 점에서 직선에 내린 수선의 발은 유일―3.19 f264번의 증명에서도 쓰인 기본 사실), CH=d입니다. ℓ 위의 임의의 점 P에 대해 H, P가 모두 ℓ 위에 있으므로 HP는 ℓ 방향이고 CH⊥ℓ이므로 CH⊥HP―즉 삼각형 CHP는 H에서 직각인 직각삼각형입니다(P=H인 경우는 퇴화하여 HP=0인 경우로 포함).
| CP² = CH²+HP² = d²+HP² | 3.1 f163번(피타고라스 정리, 직각삼각형 CHP) |
| P가 원 위(CP=r)이려면 HP²=r²−d²이어야 함 | 위 식에서 CP=r을 대입 후 정리 |
d<r인 경우. r²−d²>0이므로 HP=r²−d²>0인 실수가 유일하게 정해지고, H로부터 ℓ 방향으로 양쪽에 이 거리만큼 떨어진 서로 다른 두 점이 원 위의 점(P)이 됩니다―그 밖의 ℓ 위의 점은 CP≠r이므로 원 위에 있지 않습니다. 따라서 교점은 정확히 2개.
d=r인 경우. HP²=0이므로 HP=0, 즉 P=H인 경우만 CP=r을 만족―교점은 H 하나뿐입니다. 이때 H=P이고 CH⊥ℓ이므로 ℓ은 접점 H에서 반지름과 수직―3.19 f265번의 접선의 정의와 정확히 일치하여 ℓ이 실제로 접선임이 확인됩니다.
d>r인 경우. r²−d²<0이므로 HP²가 음수―실수 HP가 존재하지 않아 ℓ 위에는 CP=r을 만족하는 점이 없습니다. 교점은 0개.
참고(판별식과의 대응). ℓ의 방정식을 원의 방정식에 대입하면 한 변수에 대한 이차방정식을 얻는데, 이 이차방정식의 판별식의 부호(양수·0·음수)는 위 d, r의 대소 관계(d<r, d=r, d>r)와 각각 정확히 대응합니다―대입 후 얻는 이차식의 해의 개수(2개·1개·0개)가 곧 교점의 개수이기 때문이며, 566번의 예제에서 두 방법(거리 비교·판별식)이 실제로 일치함을 수치로 재확인합니다.
사용 : 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리) · 3.1 f163번(피타고라스 정리) · 3.19 f265번(접선의 정의와의 일치 확인)
증명 끝
565정리원점을 중심으로 하는 원에 대한 접선의 조건c²=r²(1+m²)
증명법 : 직접증명법(564번의 d=r 조건 적용)
정리. 원점을 중심으로 하는 원 x²+y²=r²에 대해 :
| 직선 y=mx+c(기울기 m을 갖는 직선)가 이 원에 접함 | ⇔ c²=r²(1+m²) |
| 수직선 x=k가 이 원에 접함 | ⇔ |k|=r |
| y=mx+c ⇔ mx−y+c=0(556번의 일반형)―원점 O(0,0)에서 이 직선까지의 거리 d(O,ℓ)를 구하면 : d(O,ℓ) = |m·0−0+c|m²+1 = |c|m²+1 | 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리 공식) |
| ℓ이 원에 접함 ⇔ d(O,ℓ)=r(564번, d=r 경우) | 564번(직선과 원의 위치 관계, 접선 조건) |
| ⇔ |c|m²+1=r ⇔ |c|=m²+1·r ⇔ c²=r²(m²+1) | 양변이 0 이상이므로 제곱은 동치(7.3 f558번에서 이미 확립된 거리≥0, r>0) |
수직선 x=k의 경우는 원점에서 이 직선까지의 거리가 |k|이므로(수직선까지의 거리는 정의상 가로 방향 차이의 절댓값), 564번(접선 조건 d=r)에 의해 곧바로 |k|=r을 얻습니다―y=mx+c 형태는 수직선을 나타낼 수 없으므로(7.3 f556번, 기울기가 정의되지 않음) 이 경우는 항상 별도로 다뤄야 합니다.
확인 예제. 원 x²+y²=25(r=5)와 외부의 점 P₀(5,5)(5²+5²=50>25이므로 563번에 의해 외부)를 지나는 두 접선을 구합니다. y=mx+c 형태(P₀를 지나므로 c=5−5m)와 수직선 x=5 두 가지를 모두 검토합니다 :
| 수직선 x=5 : |5|=5=r ⇒ 접함(564번 확인) ― 접점은 y²+25=25⇒y=0, 즉 (5,0) | 위 정리(수직선 경우) |
| y=mx+c, c=5−5m 대입 : c²=r²(1+m²) ⇒ (5−5m)²=25(1+m²) ⇒ 25−50m+25m²=25+25m² ⇒ −50m=0 ⇒ m=0 | 위 정리(y=mx+c 경우) |
| m=0, c=5 : 직선 y=5―검산 c²=25=r²(1+0)=25 ⇒ 접함(564번 확인) ― 접점은 x²+25=25⇒x=0, 즉 (0,5) | 위 결과 대입 |
즉 P₀(5,5)에서 원 x²+y²=25에 그은 두 접선은 x=5(접점 (5,0))와 y=5(접점 (0,5))입니다―P₀가 두 접선의 교점이 되는 것도 5=5, 5=5로 즉시 확인됩니다.
사용 : 564번(직선과 원의 위치 관계) · 7.3 f556·f558번(일반형·점과 직선 사이의 거리) · 563번(점의 위치 판정, 예제에서)
증명 끝
566정리—활용활용―표준방정식·접선·위치 관계 종합 예제x²+y²−4x+2y−20=0
예제. 일반형 방정식 x²+y²−4x+2y−20=0으로 주어진 원에 대해 560–565번을 모두 수치로 확인합니다.
1단계―표준방정식으로 변환(561번).
| D=−4, E=2, F=−20 ⇒ D²+E²−4F=16+4+80=100>0(원임을 확인) 중심 : (−D2, −E2) = (2,−1), 반지름 : r=12100=12·10=5 | 561번 |
따라서 표준방정식은 (x−2)²+(y+1)²=25입니다(직접 전개해도 x²+y²−4x+2y+(−20)=0으로 원래 일반형과 정확히 일치―검산 완료).
2단계―원 위의 점에서의 접선(562번).
점 P₁(6,2)가 원 위에 있는지 확인 : (6−2)²+(2+1)²=16+9=25 ⇒ 원 위에 있음(563번, 경계).
| (6−2)(x−2)+(2+1)(y+1)=25 ⇒ 4(x−2)+3(y+1)=25 ⇒ 4x−8+3y+3=25 ⇒ 4x+3y−30=0 | 562번 |
검산(수직성) : 반지름 CP₁의 기울기 = 2−(−1)6−2 = 34, 접선의 기울기는 (562번 식 4x+3y−30=0에서) −43―두 기울기의 곱 34·(−43)=−1이므로 7.3 f557번(수직 조건)과 일치합니다.
3단계―점과 원의 위치 관계(563번).
| (4,1) : (4−2)²+(1+1)²=4+4=8<25 ⇒ 내부 | 563번 |
| (6,2) : 25=25 ⇒ 원 위(2단계에서 이미 확인) | 563번 |
| (10,10) : (10−2)²+(10+1)²=64+121=185>25 ⇒ 외부 | 563번 |
4단계―직선과 원의 위치 관계(564번).
| y=−1(중심을 지나는 수평선) : d(C,ℓ)=|−1−(−1)|=0<5 ⇒ 할선, 교점 (x−2)²=25⇒x=7 또는 −3―즉 (7,−1), (−3,−1) | 564번 · 7.3 f558번 |
| x=10(수직선) : d(C,ℓ)=|10−2|=8>5 ⇒ 교점 없음―실제로 (10−2)²+(y+1)²=25 ⇒ 64+(y+1)²=25로 (y+1)²=−39<0이 되어 실수해가 없음(판별식 음수와 일치) | 564번(d>r) · 참고 문단(판별식과의 대응) |
| 4x+3y−30=0(2단계의 접선) : d(C,ℓ)=|4·2+3·(−1)−30|4²+3²=|8−3−30|5=255=5=r ⇒ 접함(2단계와 일치, 교점은 P₁(6,2) 하나뿐) | 564번(d=r) · 7.3 f558번 |
판별식 교차 검산(4x+3y−30=0의 경우) : y=−43x+10을 원의 방정식에 대입하면 259x²−1003x+100=0―판별식 = 1003²−4·259·100 = 100009−100009 = 0으로, 접선(교점 1개)이라는 564번의 결론과 정확히 일치합니다.
5단계―원 밖의 점에서 그은 접선(565번, 평행이동 이용).
외부의 점 P₀(7,4)(3단계 방식으로 검산 : (7−2)²+(4+1)²=25+25=50>25이므로 외부)에서 이 원에 그은 접선을 구합니다. X=x−2, Y=y+1로 평행이동하면 원은 X²+Y²=25(원점 중심)로, 점 P₀는 (7−2, 4+1)=(5,5)로 옮겨집니다―565번의 확인 예제와 정확히 같은 상황이므로, 그 결과(접선 X=5, Y=5)를 그대로 가져와 다시 x,y로 되돌립니다 :
| X=5 ⇒ x−2=5 ⇒ x=7 (접점 : Y=0⇒y=−1, 즉 (7,−1)―4단계의 할선 교점과 일치) | 565번(평행이동) |
| Y=5 ⇒ y+1=5 ⇒ y=4 (접점 : X=0⇒x=2, 즉 (2,4)) | 565번(평행이동) |
검산(564번, d=r) : d(C, x=7)=|7−2|=5=r ✓, d(C, y=4)=|4−(−1)|=5=r ✓―두 직선 모두 접함이 확인되고, 두 접선의 교점 (7,4)가 정확히 원래의 외부점 P₀와 일치합니다(평행이동은 거리·접선 관계를 보존하므로 당연한 결과).
사용 : 560–565번 전체
증명 끝
참조 그림
(1) 560번―중심 C(a,b), 반지름 r인 원 위의 점 P(x,y)와 직각삼각형의 두 다리 x−a, y−b(빗변이 r)를 보여줍니다―7.2의 거리 공식을 그대로 원에 적용한 것입니다.
(2) 562번―원 (x−2)²+(y+1)²=25 위의 점 P₁(6,2)에서의 접선 ℓ : 4x+3y−30=0―반지름 CP₁과 접선이 P₁에서 수직(3.19 f265번)임을 보여줍니다.
(3) 563번―원 (x−2)²+(y+1)²=25에 대한 점 (4,1)(내부, 8<25)· (6,2)(원 위, 25=25)·(10,10)(외부, 185>25)의 위치 관계를 보여줍니다.
(4) 564번―같은 원에 대한 세 직선의 위치 관계―y=−1(중심을 지나는 할선, 교점 2개 (7,−1)·(−3,−1))·4x+3y−30=0(접선, 교점 1개 (6,2))·x=10(교점 0개, d=8>r=5)를 보여줍니다.
(5) 565번―원 x²+y²=25(중심 O(0,0), r=5)와 외부의 점 P₀(5,5)에서 그은 두 접선 x=5(접점 (5,0))·y=5(접점 (0,5))―y=mx+c 꼴로는 나타낼 수 없는 수직선이 접선 중 하나로 나오는 경우입니다.
(6) 566번(5단계)―원 (x−2)²+(y+1)²=25와 외부의 점 P₀(7,4)에서 그은 두 접선 x=7(접점 (7,−1))·y=4(접점 (2,4))―X=x−2, Y=y+1의 평행이동으로 565번의 원점 중심 예제((5,5)→X=5,Y=5)를 그대로 옮겨 얻었습니다.