7.5 수능 핵심
타원
Ellipse
정의 · 공식과 증명
이 절은 두 정점(초점)까지의 거리의 합이 일정한 점들의 자취로 타원을 정의하고(567번), 7.2의 거리 공식을 이용해 표준방정식 x²a²+y²b²=1을 유도합니다(568번)―이 표준형은 단위원을 x축·y축 방향으로 각각 a배·b배 늘인 도형과 정확히 같음을 함께 확인합니다. 이어서 꼭짓점·초점·이심률 등 기본 요소를 정리하고(569번), 568번에서 확인한 아핀 대응(단위원↔타원)을 재사용해 넓이 공식(570번, 3.19 f263 재사용)과 원 위의 점에서의 접선의 방정식(571번, 7.4 f562 재사용)을 유도합니다―아핀 대응이 넓이의 배율과 접선 관계를 그대로 보존한다는 사실 하나로 두 정리를 모두 얻는 것이 이 절의 핵심 전략입니다. 점과 타원의 위치 관계를 판정하고(572번), 마지막으로 a=5, b=3인 하나의 타원으로 567–572번 전체를 수치로 재확인합니다(573번).
567정의타원PF₁+PF₂=2a (2a>F₁F₂)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위에 서로 다른 두 점 F₁, F₂(초점, focus)를 고정하고, 양수 a를 2a>F₁F₂를 만족하도록 잡습니다―이 조건은 삼각부등식(어떤 점 P에 대해서도 PF₁+PF₂≥F₁F₂이므로, 합이 F₁F₂보다 작거나 같으면 그런 점이 존재할 수 없음)을 만족하기 위한 필요조건입니다. 이때
타원 := {P | PF₁+PF₂=2a}
즉 두 초점까지의 거리의 합이 항상 2a로 일정한 점들의 자취를 타원(ellipse)이라 합니다. 두 초점을 잇는 선분의 중점을 중심(center)이라 합니다.
568정리타원의 표준방정식x²a²+y²b²=1 (b²:=a²−c²)
증명법 : 직접증명법(거리 공식·근호 소거)
초점을 F₁(−c,0), F₂(c,0)(c>0)로 좌표축을 잡습니다(중심이 원점, 초점을 잇는 선분이 x축―일반성을 잃지 않는 표준적인 배치). 567번의 조건 2a>F₁F₂=2c에서 a>c>0입니다. 임의의 점 P(x,y)에 대해 :
P가 타원 위에 있음 ⇔ x²a²+y²b²=1 (b²:=a²−c²>0)
| PF₁+PF₂=2a ⇔ (x+c)²+y² = 2a−(x−c)²+y² | 567번(정의) · 7.2 f549번(거리 공식) · 한쪽 근호를 이항 |
| 양변 제곱 : (x+c)²+y² = 4a²−4a(x−c)²+y²+(x−c)²+y² | 양변≥0(거리·2a−PF₂≤PF₁+PF₂−PF₂=PF₁≥0이므로 우변도 0 이상)이므로 제곱은 동치 |
| 좌변−우변의 (x−c)², y² 항을 정리 : 4cx = 4a²−4a(x−c)²+y² | (x+c)²−(x−c)²=4cx(전개) |
| ⇔ a²−cx = a(x−c)²+y² | 4로 나누고 이항 |
| 다시 양변 제곱 : (a²−cx)² = a²[(x−c)²+y²] | 양변≥0(좌변은 직전 줄에서 a·(x−c)²+y²과 같음을 보였으므로 자동으로 0 이상, 우변도 항상 0 이상)이므로 제곱은 동치 |
| 전개 : a⁴−2a²cx+c²x² = a²x²−2a²cx+a²c²+a²y² | 양변 전개 |
| ⇔ a²(a²−c²) = (a²−c²)x²+a²y² | 동류항 정리(2a²cx 소거, a⁴−a²c²=a²(a²−c²)로 묶고 c²x²−a²x²=−(a²−c²)x²로 이항) |
| b²:=a²−c²(>0, a>c이므로)로 놓으면 : a²b² = b²x²+a²y² ⇔ x²a²+y²b²=1 | 양변을 a²b²(>0)으로 나눔 |
역방향(동치의 확인). 두 번의 제곱 과정에서 잃어버린 조건이 없는지 직접 확인합니다―x²a²+y²b²=1을 만족하는 임의의 점에서 y²=b²(1−x²a²)를 PF₁², PF₂₂에 대입하면(b²=a²−c² 사용) :
| PF₁² = (x+c)²+y² = (x+c)²+a²−c²−(a²−c²)x²a² = … = (a+cax)² | 대입 후 전개·정리(직접 계산으로 완전제곱 확인) |
| −a≤x≤a이고 0<c<a이므로 cax≥−c>−a ⇒ a+cax>0 ⇒ PF₁=a+cax | 근호 안이 완전제곱이고 밑이 양수이므로 제곱근은 그 값 자체 |
| 같은 방식으로 PF₂²=(x−c)²+y²=(a−cax)²이고 a−cax>0이므로 PF₂=a−cax | 위와 같은 방식(부호만 반대) |
| ∴ PF₁+PF₂ = (a+cax)+(a−cax) = 2a | 위 두 줄을 더함(±cax 항이 소거) |
즉 표준방정식을 만족하는 점은 항상 567번의 원래 조건(PF₁+PF₂=2a)도 만족하므로, 두 조건은 완전히 동치입니다 (제곱 과정에서 해가 늘거나 줄지 않았음이 이렇게 직접 확인됨).
단위원과의 관계. X:=xa, Y:=yb로 치환하면 위 표준방정식은 X²+Y²=1(단위원)이 되고, 역으로 단위원 위의 임의의 점 (X,Y)에서 (x,y)=(aX,bY)는 항상 타원 위의 점입니다((aX)²a²+(bY)²b²=X²+Y²=1이므로)― 즉 사상 φ(X,Y):=(aX,bY)는 단위원과 타원 사이의 일대일 대응이며, 이 대응은 570·571번에서 반복해서 재사용됩니다. 타원은 곧 단위원을 x축 방향으로 a배, y축 방향으로 b배 늘인 도형과 정확히 일치합니다.
사용 : 567번(타원의 정의) · 7.2 f549번(거리 공식)
증명 끝
569정리타원의 기본 요소―꼭짓점·초점·이심률c²=a²−b², e:=ca (0<e<1)
증명법 : 직접증명법(표준방정식의 좌표축 절편)
568번의 표준방정식 x²a²+y²b²=1(a>b>0으로 가정―장축이 x축 방향인 경우)에서 좌표축과의 교점을 구합니다 :
| y=0 대입 : x²a²=1 ⇒ x=±a ⇒ 꼭짓점 A(a,0), A′(−a,0) | 표준방정식에 y=0 대입 |
| x=0 대입 : y²b²=1 ⇒ y=±b ⇒ 꼭짓점(단축) B(0,b), B′(0,−b) | 표준방정식에 x=0 대입 |
AA′(길이 2a)를 장축(major axis), BB′(길이 2b)를 단축(minor axis)이라 합니다(a>b이므로 2a>2b―장축이 더 김). 좌표축(x축⊥y축)이므로 원점 O, 꼭짓점 B(0,b), 초점 F₂(c,0)를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형은 O에서 직각인 직각삼각형이고(OB, OF₂가 각각 y축, x축 위에 있으므로 자명하게 OB⊥OF₂), 3.1 f163번(피타고라스 정리)에 의해 :
BF₂² = OB²+OF₂² = b²+c² = a² ⇒ BF₂ = a (b²=a²−c², 568번)
같은 방식으로 BF₁=a이므로, B에서 두 초점까지의 거리의 합도 BF₁+BF₂=2a―567번(정의)과 정확히 일치함을 재확인할 수 있습니다(B가 실제로 타원 위의 점임을 정의로부터 직접 검산).
이심률(eccentricity). e:=ca로 정의합니다. 0<c<a(568번, a>c>0)이므로 0<e<1이 항상 성립합니다. e→0(즉 c→0)이면 b²=a²−c²→a²이 되어 두 초점이 중심으로 겹치고 b→a―표준방정식이 x²a²+y²a²=1, 즉 반지름 a인 원으로 퇴화합니다(원은 e=0인 타원의 극한적 경우로 볼 수 있음). e가 1에 가까워질수록(c가 a에 가까워질수록) b가 0에 가까워져 타원이 선분에 가깝게 납작해집니다.
사용 : 567·568번(정의·표준방정식) · 3.1 f163번(피타고라스 정리)
증명 끝
570정리타원의 넓이S = πab
증명법 : 직접증명법(단위원과의 아핀 대응 재사용, 극한)
준비(좌표를 이용한 삼각형의 넓이). 원점 O와 두 점 P(p,q)=(r₁cosα, r₁sinα), Q(r,s)=(r₂cosβ, r₂sinβ)(r₁=OP, r₂=OQ)를 잇는 삼각형의 넓이는 12|ps−qr|입니다 :
| △OPQ의 넓이 = 12r₁r₂|sin(β−α)| | 3.4의 184a번(두 변과 끼인각으로 구하는 넓이―두 변 OP, OQ와 그 끼인각) |
| r₁r₂sin(β−α) = r₁r₂(sinβcosα−cosβsinα) = (r₁cosα)(r₂sinβ)−(r₁sinα)(r₂cosβ) = ps−qr | 4.9의 f453번(사인의 뺄셈정리) · 좌표 대입 |
| ∴ △OPQ의 넓이 = 12|ps−qr| | 위 두 줄을 연결, 절댓값(넓이는 항상 0 이상) |
본 증명. 568번에서 확인한 대응 φ(X,Y)=(aX,bY)(단위원→타원, 일대일)를 재사용합니다. 단위원에 내접하는 정n각형(3.19 f263번의 증명과 같은 구성, 반지름 1)의 꼭짓점을 Pk=(cosθk,sinθk) (θk=2πkn, k=0,…,n−1)라 하면, φ에 의한 대응점 Qk=(a·cosθk, b·sinθk)는 타원에 내접하는 n각형의 꼭짓점입니다(각 Qk가 568번의 표준방정식을 만족함은 직접 대입으로 확인됨).
| 단위원 쪽 : △OPkPk+1의 넓이 = 12|cosθksinθk+1−sinθkcosθk+1| | 위 준비(좌표를 이용한 삼각형의 넓이)에 Pk,Pk+1 대입 |
| 타원 쪽 : △OQkQk+1의 넓이 = 12|a cosθk·b sinθk+1−b sinθk·a cosθk+1| = ab·(12|cosθksinθk+1−sinθkcosθk+1|) | 위 준비에 Qk,Qk+1 대입 후 ab로 묶음 |
| ∴ △OQkQk+1의 넓이 = ab·(△OPkPk+1의 넓이)―이는 모든 k=0,…,n−1에서 성립 | 위 두 줄을 연결 |
| 내접 n각형은 이 n개의 삼각형(부채꼴 모양으로 나뉜 조각)의 합이므로, 타원에 내접한 n각형의 넓이 = ab·(단위원에 내접한 n각형의 넓이)―모든 n에서 성립 | 넓이의 가법성(겹치지 않는 조각의 합) |
| n→∞이면 단위원에 내접한 n각형의 넓이→π·1²=π(3.19 f263번, r=1)이므로, 타원에 내접한 n각형의 넓이→ab·π | 3.19 f263번(원의 넓이, 내접 n각형의 극한으로 정의) · 위 비례 관계를 극한에 적용 |
타원의 넓이도(3.19 f263번과 마찬가지로) 내접 n각형 넓이의 극한으로 정의되므로, S=πab입니다.
사용 : 568번(단위원과의 아핀 대응) · 3.19 f263번(원의 넓이) · 3.4 f-area-sas번(184a, 두 변과 끼인각의 넓이) · 4.9 f453번(사인의 뺄셈정리)
증명 끝
571정리타원 위의 점에서의 접선의 방정식x₁xa²+y₁yb²=1
증명법 : 직접증명법(단위원과의 아핀 대응 재사용)
정리. 타원 x²a²+y²b²=1 위의 한 점 P₁(x₁,y₁)에서 이 타원에 접하는 직선의 방정식은 다음과 같습니다 :
x₁xa²+y₁yb² = 1
568번의 대응 φ(X,Y)=(aX,bY)(단위원 X²+Y²=1→타원, 일대일)를 재사용합니다. 이 대응이 직선을 직선으로, 접선 관계를 접선 관계로 그대로 보존함을 먼저 확인합니다.
| 직선 보존 : XY평면의 직선 pX+qY+r=0(p,q가 동시에 0이 아님)에 X=xa, Y=yb를 대입하면 pax+qby+r=0―pa, qb도 동시에 0일 수 없으므로 이 역시 xy평면의 직선 | 직접 대입(선형 관계는 선형 관계로 이동) |
| φ는 전단사(역사상 (x,y)↦(xa,yb)가 존재)이므로, XY평면의 직선 ℓ′과 단위원의 교점의 개수는 xy평면의 대응 직선 ℓ=φ(ℓ′)과 타원의 교점의 개수와 정확히 같음(φ가 점을 하나씩 빠짐없이 대응시키므로) | 전단사 사상의 기본 성질(원상↔상이 일대일) |
| ∴ ℓ′이 단위원의 접선(교점 1개) ⇔ ℓ=φ(ℓ′)이 타원의 접선(교점 1개) | 위 두 줄을 연결 |
단위원 위의 점 P₁′=(x₁a, y₁b)(P₁의 원상, φ(P₁′)=P₁이고 P₁이 타원 위의 점이므로 P₁′은 단위원 위의 점)에서의 접선은 7.4 f562번의 원점 중심 특수형(반지름 1)에 의해 :
| x₁aX + y₁bY = 1 | 7.4 f562번(원 위의 점에서의 접선, x₁X+y₁Y=r²에서 r=1) |
| X=xa, Y=yb 대입 : x₁a·xa + y₁b·yb = 1 ⇔ x₁xa²+y₁yb²=1 | φ에 의한 직선의 대응(위 표) |
위에서 확인했듯 이 직선은 단위원의 접선(P₁′에서)의 상이므로, 타원의 접선(P₁에서)이 됩니다.
사용 : 568번(단위원과의 아핀 대응) · 7.4 f562번(원 위의 점에서의 접선의 방정식, 원점 중심 특수형)
증명 끝
572정리점과 타원의 위치 관계x₀²a²+y₀²b² <,=,> 1
증명법 : 경우 나누기(단위원과의 아핀 대응 재사용)
정리. 타원 x²a²+y²b²=1과 점 P₀(x₀,y₀)에 대해, k:=x₀²a²+y₀²b²라 하면 :
| k<1 | P₀는 타원의 내부에 있음 |
| k=1 | P₀는 타원 위에 있음 |
| k>1 | P₀는 타원의 외부에 있음 |
568번의 대응 φ(X,Y)=(aX,bY)로 P₀의 원상 P₀′=(x₀a, y₀b)를 잡으면, P₀′에서 원점까지의 거리의 제곱은 정확히 k입니다 :
| OP₀′² = x₀²a²+y₀²b² = k | 거리 공식(7.2 f549번)을 원점·P₀′에 적용 |
| 7.4 f563번(점과 원의 위치 관계, r=1 특수형)에 의해 : OP₀′²<1 ⇔ P₀′이 단위원 내부, =1⇔원 위, >1⇔외부 | 7.4 f563번(원점 중심 반지름 1 특수형) |
| φ는 전단사이고 직선을 직선으로 보내므로(571번 증명 참고) 원의 내부·외부(그 경계를 이루는 접선들의 안쪽·바깥쪽)의 구분도 그대로 보존―P₀′이 단위원의 내부·위·외부에 있는 것과 P₀=φ(P₀′)이 타원의 내부·위·외부에 있는 것이 정확히 대응 | 571번(직선의 보존) · φ가 원점을 원점으로 보냄(중심의 대응) |
따라서 k=OP₀′²와 1의 대소 관계(<, =, >)가 그대로 P₀의 위치 관계를 결정합니다.
사용 : 568번(단위원과의 아핀 대응) · 571번(직선의 보존) · 7.4 f549·f563번(거리 공식·점과 원의 위치 관계)
증명 끝
573정리—활용활용―표준방정식·요소·넓이·접선·위치 관계 종합 예제x²25+y²9=1
예제. a=5, b=3인 타원 x²25+y²9=1에 대해 567–572번을 모두 수치로 확인합니다.
1단계―기본 요소(569번).
| c²=a²−b²=25−9=16 ⇒ c=4(3−4−5 직각삼각형) 이심률 e=ca=45=0.8 | 569번 |
꼭짓점 (−5,0), (5,0), (0,−3), (0,3), 초점 F₁(−4,0), F₂(4,0).
2단계―넓이(570번).
| S = πab = π·5·3 = 15π | 570번 |
3단계―원 위의 점에서의 접선(571번).
점 P₁(3, 125)가 타원 위에 있는지 확인 : 3²25+12529=925+144259=925+1625=2525=1 ⇒ 타원 위에 있음(572번, 경계).
| 3x25+125y9=1 ⇒ 3x25+4y15=1 ⇒ (양변에 75를 곱함) 9x+20y=75 ⇒ 9x+20y−75=0 | 571번 |
검산(초점까지의 거리, 568번 역방향에서 얻은 공식 PF=a±cax 재사용) : PF₁=5+45·3=5+125=375, PF₂=5−45·3=5−125=135―합 375+135=505=10=2a ✓(567번과 일치).
4단계―점과 타원의 위치 관계(572번).
| (1,1) : 125+19=9225+25225=34225≈0.151<1 ⇒ 내부 | 572번 |
| (3, 125) : 1=1 ⇒ 원 위(3단계에서 이미 확인) | 572번 |
| (5,5) : 2525+259=1+259=349≈3.78>1 ⇒ 외부 | 572번 |
5단계―접선의 접점 확인(판별식 교차 검산).
9x+20y−75=0에서 y=75−9x20을 타원의 방정식에 대입해 정리하면(직접 전개·동류항 정리) :
| x²16−3x8+916=0 ⇒ (양변에 16을 곱함) x²−6x+9=0 ⇒ (x−3)²=0 | 대입 후 전개·정리(완전제곱식) |
판별식 = (−6)²−4·1·9 = 36−36 = 0으로, x=3(중근) 하나뿐―571번의 접점 P₁의 x좌표(=3)와 정확히 일치하고, 571번이 실제로 접선(교점 1개)이라는 564번(7.4) 방식의 결론과도 정확히 일치합니다.
사용 : 567–572번 전체
증명 끝
참조 그림
(1) 567번―두 초점 F₁, F₂와 타원 위의 점 P―PF₁+PF₂가 P의 위치와 무관하게 항상 2a로 일정함을 보여줍니다.
(2) 569번―꼭짓점 A, A′(장축)·B, B′(단축), 초점 F₁, F₂와 직각삼각형 OBF₂(빗변 BF₂=a, 다리 OB=b·OF₂=c―피타고라스 정리로 c²=a²−b²를 재확인)를 보여줍니다.
(3) 568·570번―단위원과 타원 사이의 아핀 대응 (X,Y)↦(aX,bY)(x축 방향 a배, y축 방향 b배)―570번(넓이)·571번(접선)의 증명이 모두 이 대응을 재사용합니다.
(4) 571번―타원 x²25+y²9=1 위의 점 P₁(3, 125)에서의 접선 9x+20y−75=0을 보여줍니다.
(5) 572번―같은 타원에 대한 점 (1,1)(내부)·(3, 125)(원 위)·(5,5)(외부)의 위치 관계를 보여줍니다.