7.6 수능 핵심
쌍곡선
Hyperbola
정의 · 공식과 증명
이 절은 두 정점(초점)까지의 거리의 차가 일정한 점들의 자취로 쌍곡선을 정의하고(574번), 7.2의 거리 공식으로 표준방정식 x²a²−y²b²=1을 유도합니다(575번)―7.5(타원)의 거리의 합 유도와 부호 하나만 다를 뿐 같은 대수적 골격을 따릅니다. 이어서 꼭짓점·초점·이심률을 정리하고(576번), 쌍곡선이 원의 아핀 변형인 타원과 달리 원과 위상이 다른 곡선이므로 7.5의 «단위원과의 아핀 대응» 전략이 그대로 통하지 않음을 확인한 뒤, 독립적인 대수적 방법(극한·판별식)으로 점근선(577번)과 접선의 방정식(578번)을 유도합니다. 점과 쌍곡선의 위치 관계를 판정하고(579번), 마지막으로 a=4, b=3, c=5(3–4–5 직각삼각형)인 하나의 쌍곡선으로 574–579번 전체를 수치로 재확인합니다(580번).
574정의쌍곡선|PF₁−PF₂|=2a (0<2a<F₁F₂)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위에 서로 다른 두 점 F₁, F₂(초점, focus)를 고정하고, 양수 a를 0<2a<F₁F₂를 만족하도록 잡습니다(7.5 f567번의 조건 2a>F₁F₂와 정반대―삼각부등식 |PF₁−PF₂|<F₁F₂가 임의의 점 P에서 항상 성립하므로, 차가 F₁F₂ 이상이면 그런 점이 존재할 수 없다는 것이 이 조건의 근거입니다). 이때
쌍곡선 := {P | |PF₁−PF₂|=2a}
즉 두 초점까지의 거리의 차의 절댓값이 항상 2a로 일정한 점들의 자취를 쌍곡선(hyperbola)이라 합니다. 절댓값을 벗기면 PF₁−PF₂=2a인 점들(F₂에 더 가까운 쪽)과 PF₂−PF₁=2a인 점들(F₁에 더 가까운 쪽)로 나뉘며, 이 두 갈래를 각각 쌍곡선의 가지(branch)라 합니다―575번에서 이 두 가지가 실제로 하나의 방정식 (부호가 통합된 형태)으로 표현됨을 확인합니다. 두 초점을 잇는 선분의 중점을 중심(center)이라 합니다.
575정리쌍곡선의 표준방정식x²a²−y²b²=1 (b²:=c²−a²)
증명법 : 직접증명법(거리 공식·근호 소거, 7.5 f568번과 같은 골격)
초점을 F₁(−c,0), F₂(c,0)(c>0)로 좌표축을 잡습니다(중심이 원점, 초점을 잇는 선분이 x축). 574번의 조건 0<2a<F₁F₂=2c에서 0<a<c입니다. 임의의 점 P(x,y)에 대해 :
P가 쌍곡선 위에 있음 ⇔ x²a²−y²b²=1 (b²:=c²−a²>0)
| PF₁−PF₂=±2a ⇔ (x+c)²+y² = ±2a+(x−c)²+y² | 574번(정의, 절댓값을 두 경우로) · 7.2 f549번(거리 공식) · 한쪽 근호를 이항 |
| 양변 제곱 : (x+c)²+y² = 4a²±4a(x−c)²+y²+(x−c)²+y² | 등식 양변을 제곱(이 절 전체의 동치는 두 번째 제곱 이후 아래 «역방향» 문단에서 별도로 완전하게 확인함) |
| 좌변−우변의 (x−c)², y² 항을 정리 : 4cx = 4a²±4a(x−c)²+y² | (x+c)²−(x−c)²=4cx(전개) |
| ⇔ cx−a² = ±a(x−c)²+y² | 4로 나누고 이항 |
| 다시 양변 제곱 : (cx−a²)² = a²[(x−c)²+y²] | 등식 양변을 다시 제곱 |
| 전개 : c²x²−2a²cx+a⁴ = a²x²−2a²cx+a²c²+a²y² | 양변 전개 |
| ⇔ (c²−a²)x²−a²y² = a²c²−a⁴ = a²(c²−a²) | 동류항 정리(2a²cx 소거, c²x²−a²x²로 좌변에 모으고 우변을 a²(c²−a²)로 묶음 |
| b²:=c²−a²(>0, c>a이므로)로 놓으면 : b²x²−a²y² = a²b² ⇔ x²a²−y²b²=1 | 양변을 a²b²(>0)으로 나눔 |
역방향(동치의 확인, 두 가지로의 분리까지 함께 확인). 표준방정식 x²a²−y²b²=1을 만족하는 점에서 y²=b²x²a²−b²임을 PF₁², PF₂²에 대입합니다 (b²=c²−a² 사용) :
| PF₁² = (x+c)²+y² = (x+c)²+b²x²a²−b² = … = (a+cax)² | 대입 후 전개·정리(1+b²a²=c²a², c²−b²=a²를 이용한 완전제곱 확인) |
| PF₂² = (x−c)²+y² = … = (cax−a)² | 같은 방식(부호만 반대) |
| 표준방정식은 x²≥a²( y²b²≥0이므로 x²a²≥1 )을 강제하므로 x≥a(오른쪽 가지) 또는 x≤−a(왼쪽 가지)로 갈라짐 | 표준방정식 자체의 정의역 제한 |
| 오른쪽 가지(x≥a>0)에서는 c>a>0(574번의 조건)이므로 cax≥caa=c>a ⇒ a+cax>0, cax−a>0 ⇒ PF₁=a+cax, PF₂=cax−a ⇒ PF₁−PF₂=2a | 근호 안이 완전제곱이고 밑이 양수이므로 제곱근은 그 값 자체 · 두 식을 뺌 |
| 왼쪽 가지(x≤−a<0)에서는 같은 방식으로 PF₁=−a−cax, PF₂=a−cax ⇒ PF₂−PF₁=2a | 위와 대칭(부호만 반대) |
두 경우 모두 |PF₁−PF₂|=2a―574번의 원래 조건과 완전히 동치이며, 오른쪽 가지는 F₂에(PF₂가 더 작음), 왼쪽 가지는 F₁에(PF₁가 더 작음) 더 가까운 쪽임이 이 계산으로 직접 확인됩니다(제곱 과정에서 해가 늘거나 줄지 않았음도 이렇게 함께 확인됨).
사용 : 574번(쌍곡선의 정의) · 7.2 f549번(거리 공식) · 576번(이심률 e>1, 순환을 피하려 e>1 자체는 좌표축과의 교점만으로 얻어지는 576번의 결과를 앞당겨 쓴 것―아래 576번 참고)
증명 끝
576정리쌍곡선의 기본 요소―꼭짓점·초점·이심률c²=a²+b², e:=ca (e>1)
증명법 : 직접증명법(표준방정식의 좌표축 절편)
575번의 표준방정식 x²a²−y²b²=1에서 좌표축과의 교점을 구합니다 :
| y=0 대입 : x²a²=1 ⇒ x=±a ⇒ 꼭짓점 A(a,0), A′(−a,0) | 표준방정식에 y=0 대입 |
| x=0 대입 : −y²b²=1, 즉 y²=−b²<0 ⇒ 실수해 없음―쌍곡선은 y축과 만나지 않음 | 표준방정식에 x=0 대입, 제곱은 항상 0 이상 |
AA′(길이 2a)를 주축(transverse axis, 실제로 곡선이 지나는 축)이라 합니다. y축 위에 길이 2b인 선분 B(0,b), B′(0,−b)을 켤레축(conjugate axis)이라 하는데―위에서 확인했듯 곡선이 실제로 지나지는 않는 보조 선분이며, 577번(점근선)·580번에서 쌍곡선의 모양을 가늠하는 기준으로 재사용됩니다.
초점과의 관계. b²:=c²−a²(575번의 정의)를 c²에 대해 정리하면 c²=a²+b²―7.5 f568번(타원)의 c²=a²−b²와 정확히 부호가 다릅니다(타원은 c<a, 쌍곡선은 c>a인 것과 대응). 직각삼각형 O-A-(a,b)(O에서 직각, 두 변 a, b, 빗변 c)로 이 관계를 시각화할 수 있습니다―3.1 f163번(피타고라스 정리)과 정확히 일치.
이심률(eccentricity). e:=ca로 정의합니다. c>a>0(575번, 574번의 조건 0<a<c에서)이므로 e>1이 항상 성립합니다―타원(0<e<1)·포물선(e=1, 7.7 예정)과 구분되는 쌍곡선의 특징입니다. e가 1에 가까울수록(c가 a에 가까울수록) b²=c²−a²가 0에 가까워져 두 가지가 뾰족하고 좁은 모양이 되고, e가 커질수록 (b가 a에 비해 커질수록) 가지가 넓게 벌어집니다.
사용 : 574·575번(정의·표준방정식) · 3.1 f163번(피타고라스 정리)
증명 끝
577정리쌍곡선의 점근선y=±bax
증명법 : 직접증명법(직접 계산, 함수의 극한― 수학Ⅱ 범위의 유리식의 극한)
575번의 표준방정식에서 오른쪽 가지(x≥a)의 위쪽 절반을 함수로 나타내면 y=bax²−a²입니다 (양변을 y²에 대해 정리한 뒤 y≥0인 쪽을 택함). 직선 y=bax와의 세로 방향 간격을 계산합니다 :
| bax−y = ba·[x−x²−a²] | 두 식을 뺌 |
| = ba·x²−(x²−a²)x+x²−a² = a²a·bx+x²−a² = abx+x²−a² | 분자를 켤레식 x+x²−a²으로 유리화(a²−(a²−a²) 형태의 차를 인수분해)―근호를 없애 극한 계산이 가능한 형태로 바꿈 |
x≥a>0이므로 x²−a²≥0이고, 따라서 :
0 < bax−y = abx+x²−a² < abx
x→∞이면 우변 abx→0(수학Ⅱ 범위의 유리식의 극한―분자가 상수, 분모가 무한히 커짐)이므로, 조임정리(스퀴즈 정리)에 의해 bax−y→0―즉 x→∞일 때 쌍곡선의 위쪽 가지는 직선 y=bax에 한없이 가까워집니다. 아래쪽 절반(y≤0)은 y=−bax²−a²이고 같은 계산으로 x→∞일 때 직선 y=−bax에 가까워짐이 확인됩니다(부호만 반대인 완전히 같은 계산). 표준방정식이 x, y 모두에 대해 짝함수 형태(x², y²만 등장)이므로, 왼쪽 가지(x≤−a)는 오른쪽 가지를 y축에 대해 대칭이동한 것과 같고(x→−x 치환으로 방정식이 불변), 따라서 x→−∞일 때도 같은 두 직선 y=±bax에 가까워집니다. 이 두 직선을 쌍곡선의 점근선(asymptote)이라 합니다.
두 점근선은 576번의 켤레축(길이 2b)·주축(길이 2a)으로 만든 네 꼭짓점 (±a,±b)의 직사각형(기본 직사각형)의 두 대각선이기도 합니다―직사각형의 대각선은 원점을 지나고 기울기가 ba(또는 −ba)이므로 직접 확인됩니다.
사용 : 575번(표준방정식) · 576번(주축·켤레축·기본 직사각형)
증명 끝
578정리쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식x₁xa²−y₁yb²=1
증명법 : 경우 나누기(직선의 방정식을 대입해 얻는 이차방정식의 근과 계수의 관계, 7.4 f565번과 같은 판별식 계열의 방법)
정리. 쌍곡선 x²a²−y²b²=1 위의 한 점 P₁(x₁,y₁)에서 이 쌍곡선에 접하는 직선의 방정식은 다음과 같습니다 :
x₁xa²−y₁yb² = 1
경우 1―y₁≠0. 직선 ℓ: x₁xa²−y₁yb²=1을 y에 대해 풀면 y=Bx+C―B:=b²x₁a²y₁, C:=−b²y₁입니다(y₁≠0이므로 나눗셈 가능). 이를 표준방정식 b²x²−a²y²=a²b²(575번을 정리한 동치 형태)에 대입합니다 :
| b²x²−a²(Bx+C)²=a²b² ⇔ (b²−a²B²)x²−2a²BCx−(a²C²+a²b²)=0 | 575번(표준방정식, 동치 형태) · 대입 후 x에 대해 정리 |
| P₁이 ℓ 위의 점이자 쌍곡선 위의 점이므로, x=x₁은 이 이차방정식의 한 근 | ℓ의 정의(P₁을 지나도록 B, C를 잡음) · 575번(P₁이 쌍곡선 위) |
| 계수를 대입해 정리하면(b²x₁−a²y₁²=a²b²―즉 P₁이 쌍곡선 위에 있다는 사실을 이용) : b²−a²B² = −b⁴y₁² , −2a²BC = 2b⁴x₁y₁² | B, C의 정의를 대입·정리(직접 계산, 대수적 항등식) |
| 두 근의 합 = −(−2a²BC)b²−a²B² = 2b⁴x₁y₁²b⁴y₁² = 2x₁ | 2.6 f122번(비에트의 공식, 근과 계수의 관계) |
| x=x₁이 한 근이고 두 근의 합이 2x₁이므로, 나머지 한 근도 x₁―ℓ은 쌍곡선과 x=x₁ 하나(중근)에서만 만남 | 위 두 줄을 연결(다른 근 = 2x₁−x₁ = x₁) |
즉 ℓ은 쌍곡선과 오직 한 점(P₁, 중복도 2)에서만 만나므로 접선입니다. 이 논증은 P₁이 쌍곡선의 어느 가지 위에 있든(오른쪽·왼쪽) 그대로 성립합니다―가지의 구분을 전혀 쓰지 않았기 때문입니다.
경우 2―y₁=0. 이때 P₁은 표준방정식에서 x₁²=a², 즉 P₁=(±a,0)―576번의 꼭짓점입니다. 구하는 직선은 x₁xa²−0=1, 즉 x₁x=a²―x₁²=a²이므로 x=a²x₁=x₁, 즉 수직선 x=x₁(=±a)입니다. 표준방정식에 x=x₁(=±a)를 대입하면 −y²b²=0, 즉 y=0(중근) 하나뿐―이 수직선도 쌍곡선과 꼭짓점 P₁ 하나에서만 만나는 접선입니다.
사용 : 575번(표준방정식) · 576번(꼭짓점) · 2.6 f122번(비에트의 공식)
증명 끝
579정리점과 쌍곡선의 위치 관계x₀²a²−y₀²b² <,=,> 1
증명법 : 경우 나누기(같은 x좌표에서 곡선의 y값과 직접 비교)
정리. 쌍곡선 x²a²−y²b²=1과 점 P₀(x₀,y₀)에 대해, k:=x₀²a²−y₀²b²라 하면 :
| k>1 | P₀는 쌍곡선의 한 가지가 감싸는(그 가지의 초점을 포함하는) 오목한 영역에 있음 |
| k=1 | P₀는 쌍곡선 위에 있음 |
| k<1 | P₀는 두 가지 사이의 영역(중심을 포함하는 연결된 영역)에 있음 |
|x₀|<a인 경우. y₀²b²≥0이므로 k=x₀²a²−y₀²b²≤x₀²a²<1―576번에서 확인했듯 쌍곡선은 |x|<a에서 전혀 존재하지 않으므로(정의역이 |x|≥a), 이 범위의 점은 항상 k<1이 되어 자동으로 «두 가지 사이» 영역에 속합니다(비교할 곡선 위의 점이 같은 x에 없으므로 아래의 직접 비교가 필요 없는 경우).
|x₀|≥a인 경우. 같은 x=x₀에서 쌍곡선 위의 두 점(y=±yc, yc:=bax₀²−a²≥0, 575번의 표준방정식에서 직접 계산)과 P₀를 비교합니다 :
| k>1 ⇔ y₀²b²<x₀²a²−1 ⇔ y₀²<b²(x₀²a²−1)=yc² ⇔ |y₀|<yc | k=x₀²a²−y₀²b²의 정의를 부등식으로 변형(yc의 정의 대입, 양변≥0이므로 제곱근은 동치) |
| 같은 방식으로 : k=1 ⇔ |y₀|=yc, k<1 ⇔ |y₀|>yc | 위와 동일한 변형(부등호 방향만 반전) |
즉 k>1은 P₀가 같은 x좌표의 곡선 위 두 점보다 x축에 더 가까운(|y₀|가 더 작은) 경우―해당 가지가 x축 방향(그 초점이 있는 방향)으로 오목하게 휘어드는 영역이며, 실제로 576번의 초점 F₂(c,0)에서 y₀=0<yc(x₀=c)이므로 k>1―초점이 이 영역에 있음이 직접 확인됩니다. 반대로 k<1은 P₀가 곡선보다 x축에서 더 먼(|y₀|가 더 큰) 경우로, 위·아래로 더 벌어진―즉 가지 바깥, 두 가지 사이의 영역입니다.
사용 : 575번(표준방정식) · 576번(정의역 |x|≥a, 초점)
증명 끝
580정리—활용활용―표준방정식·요소·점근선·접선·위치 관계 종합 예제x²16−y²9=1
예제. a=4, b=3인 쌍곡선 x²16−y²9=1에 대해 574–579번을 모두 수치로 확인합니다(c²=a²+b²=16+9=25 ⇒ c=5―3–4–5 직각삼각형).
1단계―기본 요소(576번).
| c=5, 이심률 e=ca=54=1.25(>1, 576번과 일치) | 576번 |
꼭짓점 (±4,0), 초점 F₁(−5,0), F₂(5,0), 기본 직사각형의 네 꼭짓점 (±4,±3).
2단계―점근선(577번).
| y=±bax=±34x | 577번 |
x=100일 때 곡선의 y값(위쪽 가지)은 34100²−4²≈74.940, 점근선의 값은 34·100=75―차이≈0.060으로, 577번에서 유도한 상계 abx=12100=0.12보다 실제로 더 작습니다(상계는 안전한 여유를 둔 부등식이므로 실제 값이 그보다 작은 것은 정상).
3단계―쌍곡선 위의 점에서의 접선(578번).
점 P₁(5, 94)가 쌍곡선 위에 있는지 확인 : 5²16−9429=2516−81169=2516−81144=2516−916=1616=1 ⇒ 쌍곡선 위에 있음(579번, 경계).
| 5x16−94y9=1 ⇒ 5x16−y4=1 ⇒ (양변에 16을 곱함) 5x−4y=16 ⇒ 5x−4y−16=0 | 578번 |
검산(초점까지의 거리, 575번 역방향에서 얻은 공식 PF=|a±cax| 재사용, P₁은 오른쪽 가지 x₁=5≥a=4) : PF₁=4+54·5=4+254=414, PF₂=54·5−4=254−4=94―차 414−94=324=8=2a ✓(574번과 일치).
4단계―점과 쌍곡선의 위치 관계(579번).
| (0,0) : 016−09=0<1 ⇒ 두 가지 사이(중심) | 579번 |
| (6,0) : 3616−0=2.25>1 ⇒ 오른쪽 가지가 감싸는 영역(초점 F₂=(5,0)와 같은 쪽) | 579번 |
| (5, 94) : 1=1 ⇒ 쌍곡선 위(3단계에서 이미 확인) | 579번 |
5단계―접선의 접점 확인(비에트의 공식 교차 검산).
5x−4y−16=0에서 y=5x−164을 쌍곡선의 방정식에 대입해 정리하면(직접 전개·동류항 정리) :
| x²16−(5x−16)²144=1 ⇒ (양변에 144를 곱함) 9x²−(25x₂−160x+256)=144 ⇒ −16x²+160x−400=0 ⇒ (x−5)²=0 | 대입 후 전개·정리(완전제곱식) |
두 근의 합 2x₁=10에서 x₁=5(중근)―578번의 접점 P₁의 x좌표와 정확히 일치하고, 578번이 실제로 접선(한 점에서만 만남)이라는 결론과도 정확히 부합합니다.
사용 : 574–579번 전체
증명 끝
참조 그림
(1) 574번―두 초점 F₁, F₂와 오른쪽 가지 위의 점 P―PF₁−PF₂가 P의 위치와 무관하게 항상 2a로 일정함을 보여줍니다(왼쪽 가지에서는 PF₂−PF₁=2a).
(2) 576·577번―꼭짓점 A, A′와 초점 F₁, F₂, 켤레축의 끝점 B, B′로 만든 기본 직사각형(회색 점선)의 두 대각선(파란 점선)이 정확히 점근선 y=±bax입니다.
(3) 577번(a=4, b=3 예제)―x=5, 7, 9에서 곡선과 점근선 사이의 세로 간격이 각각 1.500, 0.942, 0.703으로 점점 줄어듭니다(577번 상계 abx와 비교하면 각각 2.4, 1.714, 1.333―실제 간격이 항상 그보다 작음을 확인할 수 있습니다).
(4) 578번(a=4, b=3 예제)―쌍곡선 위의 점 P₁(5, 9/4)에서의 접선 5x−4y−16=0을 보여줍니다.
(5) 579번(a=4, b=3 예제)―k>1인 두 영역(주황, 각 가지가 감싸는 오목한 영역)과 k<1인 영역(회색, 두 가지 사이·중심 포함)을 보여주고, (0,0)·(6,0)·P₁(5, 9/4)로 세 경우를 예시합니다.