7.6 수능 핵심
쌍곡선
Hyperbola
정의 · 공식과 증명
이 절은 두 정점(초점)까지의 거리의 차가 일정한 점들의 자취로 쌍곡선을 정의하고(574번), 7.2의 거리 공식으로 표준방정식 x²a²−y²b²=1을 유도합니다(575번)―7.5(타원)의 거리의 합 유도와 부호 하나만 다를 뿐 같은 대수적 골격을 따릅니다. 이어서 꼭짓점·초점·이심률을 정리하고(576번), 쌍곡선은 두 가지로 나뉘어 한없이 뻗어 나가는 곡선이라 단위원을 늘인 모양이 아니므로 7.5의 «단위원과의 대응» 전략은 쓰지 않고, 점근선은 유리화와 부등식으로(577번), 접선은 접선을 정의한 뒤 접점을 지나는 모든 직선을 대입하는 방법으로(578번) 다룹니다. 점과 쌍곡선의 위치 관계를 판정하고(579번), 마지막으로 a=4, b=3, c=5(3–4–5 직각삼각형)인 하나의 쌍곡선으로 574–579번 전체를 수치로 재확인합니다(580번).
574정의쌍곡선|PF₁−PF₂|=2a (0<2a<F₁F₂)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위에 서로 다른 두 점 F₁, F₂(초점, focus)를 고정하고, 양수 a를 0<2a<F₁F₂를 만족하도록 잡습니다(7.5 f567번의 조건 2a>F₁F₂와 정반대). 이 조건이 필요한 까닭 : 어떤 점 P에 대해서도 PF₁≤PF₂+F₂F₁, PF₂≤PF₁+F₁F₂(삼각부등식)이므로 |PF₁−PF₂|≤F₁F₂이고, 따라서 2a>F₁F₂이면 그런 점이 없습니다. 또 2a=F₁F₂이면, 예를 들어 PF₁−PF₂=F₁F₂는 PF₁=PF₂+F₂F₁, 즉 F₂가 선분 PF₁ 위에 있다는 것(3.4의 단원 서두의 약속 ⑥, 등호는 선분 위에 있을 때뿐)이므로, 그런 점들은 직선 F₁F₂에서 선분 F₁F₂ 바깥으로 뻗은 두 반직선이 되어 곡선이 아니기 때문입니다. (a=0, 즉 차가 0이면 선분 F₁F₂의 수직이등분선이 되어 역시 제외합니다.) 이때
쌍곡선 := {P | |PF₁−PF₂|=2a}
즉 두 초점까지의 거리의 차의 절댓값이 항상 2a로 일정한 점들의 자취를 쌍곡선(hyperbola)이라 합니다. 절댓값을 벗기면 PF₁−PF₂=2a인 점들(F₂에 더 가까운 쪽)과 PF₂−PF₁=2a인 점들(F₁에 더 가까운 쪽)로 나뉘며, 이 두 갈래를 각각 쌍곡선의 가지(branch)라 합니다―575번에서 이 두 가지가 실제로 하나의 방정식 (부호가 통합된 형태)으로 표현됨을 확인합니다. 두 초점을 잇는 선분의 중점을 중심(center)이라 합니다.
575정리쌍곡선의 표준방정식x²a²−y²b²=1 (b²:=c²−a²)
증명법 : 직접증명법(거리 공식·근호 소거, 7.5 f568번과 같은 골격)
초점을 F₁(−c,0), F₂(c,0)(c>0)로 좌표축을 잡습니다 : 두 초점의 중점(중심)을 원점, 직선 F₁F₂를 x축, 원점에서 이에 수직인 직선을 y축으로 하고 F₂ 쪽을 x축의 양의 방향으로 합니다. 7.2 f548번의 좌표평면은 원점과 서로 수직인 두 축을 어디에 잡아도 만들어지고, 거리 공식(7.2 f549번)은 어떤 좌표축에서도 그대로 성립하므로, 쌍곡선을 옮기지 않고 좌표축을 이렇게 골라도 일반성을 잃지 않습니다(7.7 f582번·7.5 f568번과 같은 이유). 574번의 조건 0<2a<F₁F₂=2c에서 0<a<c입니다. 임의의 점 P(x,y)에 대해 :
P가 쌍곡선 위에 있음 ⇔ x²a²−y²b²=1 (b²:=c²−a²>0)
| PF₁−PF₂=±2a ⇔ (x+c)²+y² = ±2a+(x−c)²+y² | 574번(정의, 절댓값을 두 경우로) · 7.2 f549번(거리 공식) · 한쪽 근호를 이항 |
| 양변 제곱 : (x+c)²+y² = 4a²±4a(x−c)²+y²+(x−c)²+y² | 등식 양변을 제곱(이 절 전체의 동치는 두 번째 제곱 이후 아래 «역방향» 문단에서 별도로 완전하게 확인함) |
| 좌변−우변의 (x−c)², y² 항을 정리 : 4cx = 4a²±4a(x−c)²+y² | (x+c)²−(x−c)²=4cx(전개) |
| ⇔ cx−a² = ±a(x−c)²+y² | 4로 나누고 이항 |
| 다시 양변 제곱 : (cx−a²)² = a²[(x−c)²+y²] | 등식 양변을 다시 제곱 |
| 전개 : c²x²−2a²cx+a⁴ = a²x²−2a²cx+a²c²+a²y² | 양변 전개 |
| ⇔ (c²−a²)x²−a²y² = a²c²−a⁴ = a²(c²−a²) | 동류항 정리(2a²cx 소거, c²x²−a²x²로 좌변에 모으고 우변을 a²(c²−a²)로 묶음 |
| b²:=c²−a²(>0, c>a이므로)로 놓으면 : b²x²−a²y² = a²b² ⇔ x²a²−y²b²=1 | 양변을 a²b²(>0)으로 나눔 |
역방향(동치의 확인, 두 가지로의 분리까지 함께 확인). 표준방정식 x²a²−y²b²=1을 만족하는 점에서 y²=b²x²a²−b²임을 PF₁², PF₂²에 대입합니다 (b²=c²−a² 사용) :
| PF₁² = (x+c)²+y² = (x+c)²+b²x²a²−b² = … = (a+cax)² | 대입 후 전개·정리(1+b²a²=c²a², c²−b²=a²를 이용한 완전제곱 확인) |
| PF₂² = (x−c)²+y² = … = (cax−a)² | 같은 방식(부호만 반대) |
| 표준방정식은 x²≥a²( y²b²≥0이므로 x²a²≥1 )을 강제하므로 x≥a(오른쪽 가지) 또는 x≤−a(왼쪽 가지)로 갈라짐 | 표준방정식 자체의 정의역 제한 |
| 오른쪽 가지(x≥a>0)에서는 c>a>0(574번의 조건)이므로 cax≥caa=c>a ⇒ a+cax>0, cax−a>0 ⇒ PF₁=a+cax, PF₂=cax−a ⇒ PF₁−PF₂=2a | 근호 안이 완전제곱이고 밑이 양수이므로 제곱근은 그 값 자체 · 두 식을 뺌 |
| 왼쪽 가지(x≤−a<0)에서는 같은 방식으로 PF₁=−a−cax, PF₂=a−cax ⇒ PF₂−PF₁=2a | 위와 대칭(부호만 반대) |
두 경우 모두 |PF₁−PF₂|=2a―574번의 원래 조건과 완전히 동치이며, 오른쪽 가지는 F₂에(PF₂가 더 작음), 왼쪽 가지는 F₁에(PF₁가 더 작음) 더 가까운 쪽임이 이 계산으로 직접 확인됩니다(제곱 과정에서 해가 늘거나 줄지 않았음도 이렇게 함께 확인됨).
사용 : 574번(쌍곡선의 정의, 0<a<c) · 7.2 f548·f549번(좌표축·거리 공식)
증명 끝
576정리쌍곡선의 기본 요소―꼭짓점·초점·이심률c²=a²+b², e:=ca (e>1)
증명법 : 직접증명법(표준방정식의 좌표축 절편)
575번의 표준방정식 x²a²−y²b²=1에서 좌표축과의 교점을 구합니다 :
| y=0 대입 : x²a²=1 ⇒ x=±a ⇒ 꼭짓점 A(a,0), A′(−a,0) | 표준방정식에 y=0 대입 |
| x=0 대입 : −y²b²=1, 즉 y²=−b²<0 ⇒ 실수해 없음―쌍곡선은 y축과 만나지 않음 | 표준방정식에 x=0 대입, 제곱은 항상 0 이상 |
AA′(길이 2a)를 주축(transverse axis, 실제로 곡선이 지나는 축)이라 합니다. y축 위에 길이 2b인 선분 B(0,b), B′(0,−b)을 켤레축(conjugate axis)이라 하는데―위에서 확인했듯 곡선이 실제로 지나지는 않는 보조 선분이며, 577번(점근선)·580번에서 쌍곡선의 모양을 가늠하는 기준으로 재사용됩니다.
초점과의 관계. b²:=c²−a²(575번의 정의)를 c²에 대해 정리하면 c²=a²+b²―7.5 f568번(타원)의 c²=a²−b²와 정확히 부호가 다릅니다(타원은 c<a, 쌍곡선은 c>a인 것과 대응). 직각삼각형 O-A-(a,b)(A에서 직각, 두 변 OA=a와 b, 빗변 c)로 이 관계를 시각화할 수 있습니다―3.1 f163번(피타고라스 정리)과 정확히 일치.
이심률(eccentricity). e:=ca로 정의합니다. c>a>0(575번, 574번의 조건 0<a<c에서)이므로 e>1이 항상 성립합니다―타원(0<e<1)·포물선(e=1, 7.7 f583번)과 구분되는 쌍곡선의 특징입니다. e가 1에 가까울수록(c가 a에 가까울수록) b²=c²−a²가 0에 가까워져 두 가지가 뾰족하고 좁은 모양이 되고, e가 커질수록 (b가 a에 비해 커질수록) 가지가 넓게 벌어집니다.
준선과 이심률. 575번의 역방향에서 오른쪽 가지(x≥a)의 점은 PF₂=cax−a=ex−a, 왼쪽 가지(x≤−a)의 점은 PF₂=a−ex입니다. 직선 ℓ₂ : x=a²c(=ae)를 잡으면 d(P,ℓ₂)=|x−a²c|(7.3 f558번)이므로, 두 경우 모두
PF₂ = |ex−a| = e·|x−a²c| = e·d(P,ℓ₂), 즉 PF₂d(P,ℓ₂) = e
입니다(e·a²c=ca·a²c=a). 같은 방식으로 ℓ₁ : x=−a²c에 대해 PF₁=e·d(P,ℓ₁)입니다. ℓ₁, ℓ₂를 쌍곡선의 준선이라 합니다. 이렇게 타원(7.5 f569번, 0<e<1)·포물선(7.7 f583번, e=1)·쌍곡선(e>1)은 모두 «초점까지의 거리 : 준선까지의 거리 = e(일정)»인 곡선이고, e의 크기로 구분됩니다.
사용 : 574·575번(정의·표준방정식·초점까지의 거리) · 3.1 f163번(피타고라스 정리) · 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리, 준선)
증명 끝
577정리쌍곡선의 점근선y=±bax
증명법 : 직접증명법(유리화와 부등식)
점근선의 뜻. 곡선 위의 점이 한없이 멀어질 때 그 점과 어떤 직선 사이의 간격이 한없이 0에 가까워지면, 그 직선을 곡선의 점근선(asymptote)이라 합니다. 여기서 «간격이 한없이 0에 가까워진다»는 «아무리 작은 양수 ε을 정해도, 점이 충분히 멀리 가면 간격이 ε보다 작다»는 뜻입니다 (극한의 언어로 쓰면 간격의 극한이 0 ― 극한은 3권에서 정리하며, 아래 증명은 극한의 성질을 쓰지 않습니다).
정리. 쌍곡선 x²a²−y²b²=1의 점근선은 두 직선 y=±bax입니다.
575번의 표준방정식에서 오른쪽 가지(x≥a)의 위쪽 절반은 y=bax²−a² (x≥a)입니다(y²=b²a²(x²−a²)에서 y≥0인 쪽). 직선 y=bax와의 세로 방향 간격 g(x):=bax−y를 계산합니다 :
| g(x) = ba·(x−x²−a²) | 두 식을 뺌 |
| = ba·x²−(x²−a²)x+x²−a² = abx+x²−a² | 분자·분모에 x+x²−a²을 곱함(유리화) · (x−x²−a²)(x+x²−a²)=x²−(x²−a²)=a² |
| x≥a>0이고 x²−a²≥0이므로 : 0 < g(x) ≤ abx (등호는 x=a일 때만) | 분모 x+x²−a²≥x>0, 등호는 x²−a²=0일 때 |
| a≤x<x′이면 x²−a²≤x′²−a²이라 분모가 커지므로 g(x)>g(x′) ― 간격은 x가 커질수록 계속 줄어듦 | 0 이상인 두 수의 제곱근은 순서를 보존 |
| 양수 ε을 아무리 작게 정해도, x>abε이면 g(x) ≤ abx < ε | 위 부등식 |
즉 x가 커질수록 쌍곡선의 위쪽 가지는 직선 y=bax의 아래쪽에서 이 직선에 한없이 가까워집니다(세로 간격 대신 직선까지의 거리(7.3 f558번)로 재어도, 그 거리는 a·g(x)a²+b²이라 함께 0에 가까워집니다). 아래쪽 절반은 y=−bax²−a²이고 y−(−bax)=g(x)이므로 같은 계산으로 직선 y=−bax에 한없이 가까워집니다. 표준방정식은 x를 −x로 바꾸어도 변하지 않으므로 왼쪽 가지(x≤−a)는 오른쪽 가지를 y축에 대해 대칭이동한 것이고, 두 직선 y=±bax도 이 대칭이동으로 서로 바뀌므로, x가 음의 방향으로 한없이 갈 때도 같은 두 직선에 한없이 가까워집니다. 따라서 두 직선 y=±bax가 쌍곡선의 점근선입니다.
두 점근선은 576번의 켤레축(길이 2b)·주축(길이 2a)으로 만든 네 꼭짓점 (±a,±b)의 직사각형(기본 직사각형)의 두 대각선이기도 합니다―직사각형의 대각선은 원점을 지나고 기울기가 ba(또는 −ba)이므로 직접 확인됩니다.
사용 : 575번(표준방정식) · 576번(주축·켤레축·기본 직사각형) · 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리, 참고)
증명 끝
578정리쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식x₁xa²−y₁yb²=1
증명법 : 경우 나누기(P₁을 지나는 모든 직선을 대입 ― 존재와 유일성을 함께)
접선의 정의. 원·타원에서는 «곡선과 오직 한 점에서만 만나는 직선»을 접선이라 했습니다(3.19 f265번, 7.5 f571번). 쌍곡선에서는 이 말만으로는 부족합니다 : 아래에서 보듯 점근선에 평행한 직선은 쌍곡선과 한 점에서만 만나지만 곡선을 가로질러 지나갑니다(포물선의 축에 평행한 직선과 같은 사정, 7.7 f585번). 그래서 다음과 같이 정합니다.
정의. 쌍곡선 위의 점 P₁을 지나고 점근선에 평행하지 않은 직선 중, 쌍곡선과 P₁ 한 점에서만 만나는 직선을 P₁에서의 접선이라 한다.
정리. 쌍곡선 x²a²−y²b²=1 위의 각 점 P₁(x₁,y₁)에서의 접선은 정확히 하나 있고, 그 방정식은 다음과 같습니다 :
x₁xa²−y₁yb² = 1
| P₁을 지나고 방향벡터가 (u,v)((u,v)≠(0,0))인 직선 위의 점은 (x₁+tu, y₁+tv)(t는 실수)이고, t가 다르면 점도 다름 | 7.3 f555번(매개변수 표현) |
| 이 점이 쌍곡선 위 ⇔ (x₁+tu)²a²−(y₁+tv)²b²=1 ⇔ At²+2Bt=0, A:=u²a²−v²b², B:=x₁ua²−y₁vb² | 전개 · P₁이 쌍곡선 위에 있으므로 x₁²a²−y₁²b²=1(575번)이 상수항을 지움 |
| A=0 ⇔ v²b²=u²a² ⇔ v=±bau ⇔ 방향벡터가 (a,±b)의 실수배 ⇔ 직선이 점근선 y=±bax에 평행(또는 일치) | 577번(점근선의 방향벡터 (a,±b)) · 7.3 f557번(방향벡터가 평행 ⇔ 평행 또는 일치) |
| A=0일 때 B≠0 : v=±bau이면 B=ua(x₁a∓y₁b)인데, u≠0(u=0이면 v도 0)이고 x₁a∓y₁b=0이면 x₁²a²−y₁²b²=0이 되어 P₁이 쌍곡선 위라는 것과 모순 ― 따라서 2Bt=0의 해는 t=0 하나 | 직접 계산 |
| 즉 점근선에 평행한 직선은 쌍곡선과 P₁ 한 점에서만 만남(정의에서 제외하는 직선). 이 직선은 점근선과 일치하지도 않음(점근선은 쌍곡선과 만나지 않음 ― 원점을 지나는 직선 y=±bax를 대입하면 0=1) | 위 줄 |
| A≠0(점근선에 평행하지 않음)이면 해는 t=0, t=−2BA ― 쌍곡선과 P₁ 한 점에서만 만남 ⇔ B=0 | t(At+2B)=0 |
| B=0 ⇔ x₁a²u−y₁b²v=0 ⇔ 방향벡터가 (y₁b², x₁a²)의 실수배(이 벡터는 x₁≠0이라 영벡터가 아님) | x₁²≥a²>0(576번) · 7.3 f555번 |
| 이 방향에서 A=1a²b²(y₁²b²−x₁²a²)=−1a²b²≠0 ― 실제로 점근선에 평행하지 않음 | 대입(575번) |
| 그 직선 : x₁a²(x−x₁)−y₁b²(y−y₁)=0 ⇔ x₁xa²−y₁yb²=x₁²a²−y₁²b²=1 | 방향벡터에 수직인 벡터 (x₁a², −y₁b²)를 법선으로 하는 직선(7.3 f556·f558번) · 575번 |
따라서 P₁에서의 접선은 정확히 하나이고 위 방정식으로 주어집니다. y₁=0인 꼭짓점 (±a,0)에서는 x₁x/a²=1, 즉 수직선 x=x₁(=±a)이 접선이며, P₁이 어느 가지 위에 있든 같은 논증이 그대로 성립합니다(가지나 y₁=0 여부로 경우를 나눌 필요가 없음).
참고(중근). 접선일 때는 A≠0, B=0이라 대입식이 At²=0, 즉 t=0이 중근입니다. 그래서 «직선의 방정식을 대입한 이차방정식이 중근을 가지면 접선»(판별식 D=0)이라는 계산법을 쓸 수 있습니다. 점근선에 평행한 직선은 A=0이라 대입식이 일차방정식이 되어 중근이 생길 수 없으므로, 이 계산법과 위 정의는 정확히 같은 직선을 접선이라 부릅니다.
참고 2(가로지름과 닿음). 직선 위의 점 (x₁+tu, y₁+tv)에서 579번의 k(x²a²−y²b²)를 재면, 위 계산과 같이 k=1+At²+2Bt입니다. 점근선에 평행한 직선(A=0, B≠0)에서는 k=1+2Bt라 t의 부호에 따라 k>1과 k<1이 바뀌므로, 이 직선은 P₁에서 «가지의 안쪽»과 «두 가지 사이»를 가로질러 지나갑니다(579번). 접선(B=0)에서는 A<0(방향벡터 (y₁b², x₁a²)의 실수배에서 A는 −1a²b²의 양수배)이라 k=1+At²≤1 ― 접선은 P₁을 빼면 모두 «두 가지 사이»에 놓여 곡선에 닿기만 합니다.
사용 : 575번(표준방정식) · 576번(꼭짓점, |x|≥a) · 577번(점근선) · 7.3 f555·f556·f557번(매개변수 표현·일반형·평행 조건) · 3.19 f265번·7.5 f571번(원·타원의 접선과 비교)
증명 끝
579정리점과 쌍곡선의 위치 관계x₀²a²−y₀²b² <,=,> 1
증명법 : 경우 나누기(같은 x좌표에서 곡선의 y값과 직접 비교)
정의(영역). 쌍곡선 위에 있지 않은 점 P₀(x₀,y₀)를 생각합니다. |x₀|≥a이면 같은 x=x₀에서 쌍곡선 위의 두 점 (x₀, ±yc)(yc:=bax₀²−a²)이 있습니다. P₀가 이 두 점 사이(|y₀|<yc)에 있으면 «그 가지가 감싸는 영역(가지의 안쪽)», 그렇지 않으면(|x₀|<a이거나 |y₀|>yc) «두 가지 사이의 영역»이라 합니다.
정리. 쌍곡선 x²a²−y²b²=1과 점 P₀(x₀,y₀)에 대해, k:=x₀²a²−y₀²b²라 하면 :
| k>1 | P₀는 쌍곡선의 한 가지가 감싸는(그 가지의 초점을 포함하는) 오목한 영역에 있음 |
| k=1 | P₀는 쌍곡선 위에 있음 |
| k<1 | P₀는 두 가지 사이의 영역(중심을 포함하는 영역)에 있음 |
|x₀|<a인 경우. y₀²b²≥0이므로 k=x₀²a²−y₀²b²≤x₀²a²<1―576번에서 확인했듯 쌍곡선은 |x|<a에서 전혀 존재하지 않으므로(정의역이 |x|≥a), 이 범위의 점은 항상 k<1이 되어 자동으로 «두 가지 사이» 영역에 속합니다(비교할 곡선 위의 점이 같은 x에 없으므로 아래의 직접 비교가 필요 없는 경우).
|x₀|≥a인 경우. 같은 x=x₀에서 쌍곡선 위의 두 점(y=±yc, yc:=bax₀²−a²≥0, 575번의 표준방정식에서 직접 계산)과 P₀를 비교합니다 :
| k>1 ⇔ y₀²b²<x₀²a²−1 ⇔ y₀²<b²(x₀²a²−1)=yc² ⇔ |y₀|<yc | k=x₀²a²−y₀²b²의 정의를 부등식으로 변형(yc의 정의 대입, 양변≥0이므로 제곱근은 동치) |
| 같은 방식으로 : k=1 ⇔ |y₀|=yc, k<1 ⇔ |y₀|>yc | 위와 동일한 변형(부등호 방향만 반전) |
즉 k>1은 P₀가 같은 x좌표의 곡선 위 두 점보다 x축에 더 가까운(|y₀|가 더 작은) 경우―해당 가지가 x축 방향(그 초점이 있는 방향)으로 오목하게 휘어드는 영역이며, 실제로 576번의 초점 F₂(c,0)에서 y₀=0<yc(x₀=c)이므로 k>1―초점이 이 영역에 있음이 직접 확인됩니다. 반대로 k<1은 P₀가 곡선보다 x축에서 더 먼(|y₀|가 더 큰) 경우로, 위·아래로 더 벌어진―즉 가지 바깥, 두 가지 사이의 영역입니다.
사용 : 575번(표준방정식) · 576번(정의역 |x|≥a, 초점)
증명 끝
580정리—활용활용―표준방정식·요소·점근선·접선·위치 관계 종합 예제x²16−y²9=1
예제. a=4, b=3인 쌍곡선 x²16−y²9=1에 대해 574–579번을 모두 수치로 확인합니다(c²=a²+b²=16+9=25 ⇒ c=5―3–4–5 직각삼각형).
1단계―기본 요소(576번).
| c=5, 이심률 e=ca=54=1.25(>1, 576번과 일치) | 576번 |
꼭짓점 (±4,0), 초점 F₁(−5,0), F₂(5,0), 기본 직사각형의 네 꼭짓점 (±4,±3).
2단계―점근선(577번).
| y=±bax=±34x | 577번 |
x=100일 때 곡선의 y값(위쪽 가지)은 34100²−4²≈74.940, 점근선의 값은 34·100=75―차이≈0.060으로, 577번에서 유도한 상계 abx=12100=0.12보다 실제로 더 작습니다(상계는 안전한 여유를 둔 부등식이므로 실제 값이 그보다 작은 것은 정상).
3단계―쌍곡선 위의 점에서의 접선(578번).
점 P₁(5, 94)가 쌍곡선 위에 있는지 확인 : 5²16−9429=2516−81169=2516−81144=2516−916=1616=1 ⇒ 쌍곡선 위에 있음(579번, 경계).
| 5x16−94y9=1 ⇒ 5x16−y4=1 ⇒ (양변에 16을 곱함) 5x−4y=16 ⇒ 5x−4y−16=0 | 578번 |
검산(초점까지의 거리, 575번 역방향에서 얻은 공식 PF=|a±cax| 재사용, P₁은 오른쪽 가지 x₁=5≥a=4) : PF₁=4+54·5=4+254=414, PF₂=54·5−4=254−4=94―차 414−94=324=8=2a ✓(574번과 일치).
4단계―점과 쌍곡선의 위치 관계(579번).
| (0,0) : 016−09=0<1 ⇒ 두 가지 사이(중심) | 579번 |
| (6,0) : 3616−0=2.25>1 ⇒ 오른쪽 가지가 감싸는 영역(초점 F₂=(5,0)와 같은 쪽) | 579번 |
| (5, 94) : 1=1 ⇒ 쌍곡선 위(3단계에서 이미 확인) | 579번 |
5단계―접선의 접점 확인(비에트의 공식 교차 검산).
5x−4y−16=0에서 y=5x−164을 쌍곡선의 방정식에 대입해 정리하면(직접 전개·동류항 정리) :
| x²16−(5x−16)²144=1 ⇒ (양변에 144를 곱함) 9x²−(25x²−160x+256)=144 ⇒ −16x²+160x−400=0 ⇒ (x−5)²=0 | 대입 후 전개·정리(완전제곱식) |
두 근의 합 2x₁=10에서 x₁=5(중근)―578번의 접점 P₁의 x좌표와 정확히 일치하고, 578번이 실제로 접선(한 점에서만 만남)이라는 결론과도 정확히 부합합니다.
사용 : 574–579번 전체
증명 끝
참조 그림
(1) 574번―두 초점 F₁, F₂와 오른쪽 가지 위의 점 P―PF₁−PF₂가 P의 위치와 무관하게 항상 2a로 일정함을 보여줍니다(왼쪽 가지에서는 PF₂−PF₁=2a).
(2) 576·577번―꼭짓점 A, A′와 초점 F₁, F₂, 켤레축의 끝점 B, B′로 만든 기본 직사각형(회색 점선)의 두 대각선(파란 점선)이 정확히 점근선 y=±bax입니다.
(3) 577번(a=4, b=3 예제)―x=5, 7, 9에서 곡선과 점근선 사이의 세로 간격이 각각 1.500, 0.942, 0.703으로 점점 줄어듭니다(577번 상계 abx와 비교하면 각각 2.4, 1.714, 1.333―실제 간격이 항상 그보다 작음을 확인할 수 있습니다).
(4) 578번(a=4, b=3 예제)―쌍곡선 위의 점 P₁(5, 94)에서의 접선 5x−4y−16=0을 보여줍니다.
(5) 579번(a=4, b=3 예제)―k>1인 두 영역(주황, 각 가지가 감싸는 오목한 영역)과 k<1인 영역(회색, 두 가지 사이·중심 포함)을 보여주고, (0,0)·(6,0)·P₁(5, 94)로 세 경우를 예시합니다.