7.7 수능 핵심
포물선
Parabola
정의 · 공식과 증명
이 절은 한 정점(초점, focus) F와 F를 지나지 않는 한 직선(준선, directrix) ℓ까지의 거리가 서로 같은 점들의 자취로 포물선을 정의합니다(581번)―3.19(원)의 «한 정점까지의 거리가 일정», 7.5(타원)의 «두 정점까지의 거리의 합이 일정», 7.6(쌍곡선)의 «두 정점까지의 거리의 차가 일정»과 전혀 다른 방식― 점 하나와 직선 하나를 함께 씀―으로 곡선을 정의합니다. F에서 ℓ로 내린 수선을 축으로 잡아 좌표를 세우고 7.2 f549(거리 공식)·7.3 f558(점과 직선 사이의 거리 공식)로 표준방정식 y²=4px를 유도합니다(582번)― 타원·쌍곡선과 달리 두 번 제곱하거나 부호를 나누어 볼 필요 없이 단 한 번의 제곱만으로 동치가 확인되는데, 이는 정의 자체가 (음이 아닌) 두 거리의 합·차가 아니라 등식 하나이기 때문입니다. 이어서 꼭짓점·초점· 준선·이심률(582번의 결과로 e≡1)을 정리하고(583번), 초점을 지나는 현(초점현)의 길이 공식과 그 특수한 경우인 통경을 유도한 뒤(584번), 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식을(585번, 판별식 방법―이번에는 y가 아니라 x를 y의 함수로 풀어 7.6 f578번과 달리 경우를 나눌 필요가 전혀 없습니다), 점과 포물선의 위치 관계를 판정하고(586번), 마지막으로 p=2인 포물선 y²=8x 하나로 581–586번 전체를 수치로 재확인합니다(587번).
581정의포물선d(P,F)=d(P,ℓ)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위에 한 점 F(초점, focus)와 F를 지나지 않는 한 직선 ℓ(준선, directrix)를 고정합니다(F∉ℓ―F가 ℓ 위에 있으면 아래 식의 우변이 0이 될 수 있는 점이 F 자신뿐이라 곡선이 제대로 정의되지 않습니다). 이때
포물선 := {P | d(P,F)=d(P,ℓ)}
즉 초점까지의 거리와 준선까지의 거리(수선의 발까지의 거리, 7.3 f558번)가 항상 같은 점들의 자취를 포물선(parabola)이라 합니다. F에서 ℓ에 내린 수선을 축(axis)이라 하며, 축과 포물선이 만나는 점을 582번에서 좌표로 구체적으로 확인합니다.
582정리포물선의 표준방정식y²=4px
증명법 : 직접증명법(거리 공식·점과 직선 사이의 거리 공식, 단 한 번의 제곱)
좌표 설정. F에서 ℓ에 내린 수선의 발을 H, 선분 FH의 중점을 O라 하고 p:=FH2>0(=OF=OH)로 놓습니다. 축 FH를 x축으로, O를 원점으로, F가 x축의 양의 쪽에 오도록 좌표를 잡으면 F(p,0), H(−p,0)이고 ℓ는 H를 지나며 축(x축)에 수직인 직선이므로 ℓ : x=−p입니다(일반성을 잃지 않음―임의의 등거리변환으로 이 위치로 옮길 수 있음, 7.5 f568번 ·7.6 f575번의 좌표 설정과 같은 방식). O 자신도 OF=OH=p로 정의에 의해 포물선 위의 점―이 점을 꼭짓점(vertex)이라 하며 583번에서 다시 확인합니다.
임의의 점 P(x,y)에 대해, F까지의 거리는 7.2 f549번(거리 공식)으로 (x−p)²+y², ℓ까지의 거리는 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리 공식, 직선 x+p=0에 적용)으로 |x+p|입니다 :
| P가 포물선 위에 있음 ⇔ (x−p)²+y² = |x+p| | 581번(정의) · 7.2 f549번 · 7.3 f558번 |
| 양변은 모두 0 이상이므로, 양변을 제곱해도 동치 : (x−p)²+y² = (x+p)² | a,b≥0일 때 a=b ⇔ a²=b²(음수가 아닌 두 값의 등식이므로 제곱이 한 번으로 끝나고, 타원·쌍곡선처럼 두 번째 제곱이나 부호를 나누는 절차가 필요 없음) |
| 전개 : x²−2px+p²+y² = x²+2px+p² | 양변 전개 |
| ⇔ y² = 4px | 동류항 정리(−2px를 이항, x²·p² 소거) |
위 과정은 모든 화살표가 «⇔»(필요충분)이므로 역방향(표준방정식→정의)도 이미 함께 증명되었습니다― 타원(7.5 f568번)·쌍곡선(7.6 f575번)이 절댓값을 두 경우로 나누거나 두 번 제곱해야 했던 것과 달리, 이 절은 «두 거리의 합·차»가 아니라 «두 거리 자체의 등식»이라 처음부터 부호의 모호함이 없기 때문입니다.
초점까지의 거리(초점거리) 공식. 표준방정식은 y²=4px≥0이므로 x≥0이 항상 성립합니다― 따라서 위에서 구한 ℓ까지의 거리 |x+p|는 절댓값 기호 없이 그대로 x+p입니다. 정의(581번)에 의해 포물선 위의 점의 초점까지의 거리도 이와 같으므로 :
PF = x+p (포물선 위의 점 (x,y), x≥0이므로 항상 양수)
이 «초점거리 공식»은 7.5 f568번(타원의 PF=a±cax)·7.6 f575번(쌍곡선의 PF=|a±cax|)과 같은 역할―584번(초점현)에서 바로 재사용됩니다.
사용 : 581번(정의) · 7.2 f549번(거리 공식) · 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리 공식)
증명 끝
583정리포물선의 기본 요소―꼭짓점·초점·준선·이심률e:=PFd(P,ℓ)≡1
증명법 : 직접증명법(표준방정식의 좌표축 절편, 정의의 직접 대입)
582번의 표준방정식 y²=4px에서 좌표축과의 교점을 구합니다 :
| y=0 대입 : 0=4px ⇒ x=0 ⇒ 꼭짓점 O(0,0) 하나뿐 | 표준방정식에 y=0 대입 |
| x=0 대입 : y²=0 ⇒ y=0 ⇒ y축과도 꼭짓점 O 하나에서만 만남 | 표준방정식에 x=0 대입 |
즉 포물선은 좌표축과 원점(꼭짓점) 한 점에서만 만나며, 이는 582번의 좌표 설정에서 O를 F·H의 중점으로 둔 것과 정확히 일치합니다(교차 검산). 초점은 F(p,0), 준선은 ℓ : x=−p, 축(대칭축)은 x축입니다― 표준방정식이 y에 대해 짝함수(y²만 등장)이므로 x축에 대해 대칭인 것으로도 재확인됩니다.
이심률(eccentricity). e:=PFd(P,ℓ)로 정의하면, 581번(정의) 자체가 포물선 위의 모든 점 P에서 PF=d(P,ℓ)라고 말하고 있으므로 e≡1―점 P의 위치와 무관하게 항등적으로 성립합니다. 이는 7.5 f569번(타원, 0<e<1)·7.6 f576번(쌍곡선, e>1)과 대비되는 포물선의 특징이며, 세 곡선을 이심률로 구분하는 체계에서 포물선이 정확히 e=1의 경계에 해당함을 보여줍니다 (0<e<1·e=1·e>1 세 경우가 각각 타원·포물선·쌍곡선이라는 대응―3.19의 원은 두 정점이 아닌 한 정점만으로 정의되는 별도의 방식이라 이 이심률 체계와 직접 비교하지 않습니다).
초점거리 공식(요약). 582번에서 얻은 PF=x+p를 이 절 전체가 재사용합니다―584번(초점현)의 핵심 도구입니다.
사용 : 581번(정의) · 582번(표준방정식·초점거리 공식)
증명 끝
584정리초점현의 길이·통경P₁P₂=x₁+x₂+2p, 통경=4p
증명법 : 직접증명법(매개변수화·근과 계수의 관계)
정리. 초점 F를 지나는 직선(초점현, focal chord)이 포물선과 만나는 두 점을 P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂)라 하면 :
P₁P₂ = x₁+x₂+2p
축(x축)과 각 θ(0<θ<π, 즉 sinθ≠0―θ=0이면 직선이 축 자체가 되어 583번에서 확인했듯 꼭짓점 한 점에서만 만나므로 현이 아닙니다)를 이루는 방향으로 F에서 잰 부호 있는 거리 t를 매개변수로 잡으면, 이 직선 위의 점은 (p+t cosθ, t sinθ)입니다(t=0이 F 자신). 이를 표준방정식 y²=4px(582번)에 대입합니다 :
| (t sinθ)² = 4p(p+t cosθ) ⇔ sin²θ·t²−4p cosθ·t−4p²=0 | 582번(표준방정식) · 대입 후 t에 대해 정리(sin²θ≠0이므로 진짜 이차방정식) |
| 두 근의 곱 t₁t₂ = −4p²sin²θ < 0 | 2.6 f122번(비에트의 공식)―분자·분모 모두 양수이므로 전체는 음수 |
두 근의 곱이 음수이므로 t₁, t₂는 서로 다른 부호―즉 F(t=0)는 두 교점 사이에 있습니다(직선 위에서 t가 부호 있는 거리이므로, 두 근이 반대 부호라는 것은 원점 t=0을 사이에 두고 있다는 뜻과 정확히 같습니다). 따라서 :
| P₁P₂ = |t₁−t₂| = |t₁|+|t₂| (반대 부호이므로) = P₁F+P₂F | t는 F로부터 잰 부호 있는 거리이므로 |ti|=PiF―반대 부호일 때만 성립하는 절댓값의 성질 |
| = (x₁+p)+(x₂+p) = x₁+x₂+2p | 582번(초점거리 공식 PF=x+p)을 P₁, P₂ 각각에 적용 |
통경(latus rectum)―최단 초점현. 비에트의 공식으로 두 근의 합 t₁+t₂=4p cosθsin²θ도 얻으므로 :
| x₁+x₂ = 2p+cosθ(t₁+t₂) = 2p+4p cos²θsin²θ = 2p(2−sin²θ)sin²θ | xi=p+ticosθ(매개변수화 자체) · 위에서 구한 t₁+t₂ 대입 · cos²θ=1−sin²θ |
| s:=sin²θ∈(0,1]에 대해 2p(2−s)s=2p·(2s−1)은 s가 커질수록 감소―s=1(θ=π2, 축에 수직)에서 최솟값 2p | 2s이 s에 대해 감소함수(s>0)이므로 전체도 감소함수 |
따라서 x₁+x₂≥2p(등호는 θ=π2일 때만)이므로 초점현의 길이 x₁+x₂+2p≥4p―축에 수직인 초점현이 가장 짧고, 그 길이는 정확히 4p입니다. 이 최단 초점현을 통경(通徑, latus rectum)이라 합니다―직접 확인하면 θ=π2일 때 t₁t₂=−4p², t₁+t₂=0이므로 t=±2p, 즉 두 끝점은 (p,2p), (p,−2p)― 초점의 x좌표 x=p에서 표준방정식에 직접 대입해도 y²=4p²⇒y=±2p로 정확히 같은 결과를 얻습니다(교차 검산).
사용 : 582번(표준방정식·초점거리 공식) · 583번(축) · 2.6 f122번(비에트의 공식)
증명 끝
585정리포물선 위의 점에서의 접선의 방정식y₁y=2p(x+x₁)
증명법 : 직접증명법(직선의 방정식을 대입해 얻는 이차방정식의 중근 판정, 7.6 f578번과 같은 판별식 계열의 방법이나 경우 나누기가 필요 없음―아래 참고)
정리. 포물선 y²=4px 위의 한 점 P₁(x₁,y₁)에서 이 포물선에 접하는 직선의 방정식은 다음과 같습니다 :
y₁y = 2p(x+x₁)
직선 ℓ : y₁y=2p(x+x₁)을 x에 대해 풉니다(y₁=0인 경우도 포함해 항상 가능―계수 2p≠0로 나누기만 하면 되므로, 7.6 f578번이 y에 대해 풀 때 y₁≠0을 요구해 경우를 나눠야 했던 것과 다름) :
x = y₁y2p−x₁
이를 표준방정식 y²=4px(582번)에 대입합니다 :
| y² = 4p·(y₁y2p−x₁) = 2y₁y−4px₁ | 582번(표준방정식) · 대입 |
| ⇔ y²−2y₁y+4px₁ = 0 | 이항 |
| P₁이 포물선 위의 점이므로 y₁²=4px₁(582번) ⇒ y²−2y₁y+y₁²=0 ⇔ (y−y₁)²=0 | 4px₁을 y₁²로 치환(완전제곱식) |
y에 대한 이 이차방정식이 y=y₁을 중근으로 가지므로, ℓ은 포물선과 오직 한 점(P₁, 중복도 2)에서만 만납니다―즉 접선입니다. 이 논증에서 y₁=0인지 여부를 전혀 구분하지 않았으므로(x에 대해 푸는 방식을 택한 덕분에 나눗셈 대상이 2p로 고정), y₁=0인 꼭짓점의 경우도 자동으로 포함됩니다―실제로 y₁=0을 접선의 방정식에 대입하면 0=2p(x+x₁)에서 x₁=0(583번, y₁=0이면 꼭짓점)이므로 x=0―y축(꼭짓점에서의 접선)이 정확히 얻어지고, 이는 583번에서 확인한 «y축과 포물선은 원점 한 점에서만 만남»과 일치합니다.
사용 : 582번(표준방정식) · 583번(꼭짓점)
증명 끝
586정리점과 포물선의 위치 관계y₀²−4px₀ <,=,> 0
증명법 : 경우 나누기(같은 x좌표에서 곡선의 y값과 직접 비교, 7.6 f579번과 같은 방법)
정리. 포물선 y²=4px와 점 P₀(x₀,y₀)에 대해, k:=y₀²−4px₀라 하면 :
| k<0 | P₀는 포물선 내부(오목한 쪽, 초점을 포함하는 영역)에 있음 |
| k=0 | P₀는 포물선 위에 있음 |
| k>0 | P₀는 포물선 외부에 있음 |
x₀<0인 경우. −4px₀>0(p>0, x₀<0)이고 y₀²≥0이므로 k=y₀²−4px₀>0― 583번에서 확인했듯 포물선의 정의역은 x≥0이므로(y²=4px≥0⇒x≥0), 이 범위의 점은 비교할 곡선 위의 점이 같은 x에 아예 없고, 항상 외부에 속합니다.
x₀≥0인 경우. 같은 x=x₀에서 포물선 위의 두 점(y=±yc, yc:=4px₀≥0, 582번의 표준방정식에서 직접 계산)과 P₀를 비교합니다 :
| k<0 ⇔ y₀²<4px₀=yc² ⇔ |y₀|<yc | k의 정의를 부등식으로 변형(yc의 정의 대입, 양변≥0이므로 제곱근은 동치) |
| 같은 방식으로 : k=0 ⇔ |y₀|=yc, k>0 ⇔ |y₀|>yc | 위와 동일한 변형(부등호 방향만 반전) |
즉 k<0은 P₀가 같은 x좌표의 곡선 위 두 점보다 x축에 더 가까운(|y₀|가 더 작은) 경우―포물선이 오목하게 감싸는 안쪽 영역이며, 실제로 583번의 초점 F(p,0)에서 y₀=0<yc(x₀=p이면 yc=2p>0)이므로 k<0―초점이 이 영역에 있음이 직접 확인됩니다. 반대로 k>0은 P₀가 곡선보다 x축에서 더 먼 경우로, 포물선 바깥(볼록한 쪽) 영역입니다.
사용 : 582번(표준방정식) · 583번(정의역 x≥0, 초점)
증명 끝
587정리—활용활용―표준방정식·요소·초점현·접선·위치 관계 종합 예제y²=8x
예제. p=2인 포물선 y²=8x에 대해 581–586번을 모두 수치로 확인합니다.
1단계―기본 요소(583번).
꼭짓점 O(0,0), 초점 F(2,0), 준선 x=−2, 축 = x축. 점 P(4.5,6)이 포물선 위에 있는지 확인 : y²=36, 8x=8·4.5=36 ⇒ 일치. 정의(581번)를 직접 검산 : PF=(4.5−2)²+6²=42.25=6.5, d(P,ℓ)=4.5−(−2)=6.5―정확히 일치(582번의 초점거리 공식 PF=x+p=4.5+2=6.5로도 같은 값).
2단계―초점현·통경(584번).
| 통경(축에 수직인 초점현) : x=2에서 y²=16 ⇒ y=±4 ⇒ 끝점 (2,4), (2,−4), 길이 8=4p | 584번 |
일반 초점현 검산(축과 비스듬한 경우) : 초점 F(2,0)를 지나는 직선이 P₁′(8,8)·P₂′(0.5,−2)에서 포물선과 만난다고 하면(각 점을 표준방정식에 대입 : 8²=64=8·8 ✓, (−2)²=4=8·0.5 ✓, 기울기 검산 : 8−08−2=43=−2−00.5−2이므로 F, P₁′, P₂′은 실제로 한 직선 위✓) :
| P₁′P₂′ = (8−0.5)²+(8−(−2))² = 156.25 = 12.5 | 7.2 f549번(거리 공식, 직접 계산) |
| x₁+x₂+2p = 8+0.5+4 = 12.5 | 584번(초점현의 길이 공식) |
두 값이 정확히 일치―584번의 공식이 통경 같은 특수한 경우뿐 아니라 일반적인(축에 수직이 아닌) 초점현에서도 성립함을 확인합니다.
3단계―접선(585번).
점 (2,4)에서의 접선 : y₁y=2p(x+x₁) ⇒ 4y=4(x+2) ⇒ y=x+2, 즉 x−y+2=0. 검산(대입) : y=x+2를 y²=8x에 넣으면 (x+2)²=8x ⇒ x²−4x+4=0 ⇒ (x−2)²=0―x=2 중근, y=4―접점이 정확히 (2,4)와 일치(585번의 결론과 부합, 3단계에서 확인한 통경의 끝점이기도 함).
4단계―점과 포물선의 위치 관계(586번).
| (1,2) : k=2²−8·1=4−8=−4<0 ⇒ 내부(초점과 같은 쪽) | 586번 |
| (0,5) : k=5²−0=25>0 ⇒ 외부 | 586번 |
| (−2,3) : x₀=−2<0이므로 정의역 밖―자동으로 k=3²−8·(−2)=9+16=25>0 ⇒ 외부 | 586번(x₀<0 경우) |
사용 : 581–586번 전체
증명 끝
참조 그림
(1) 581번―초점 F와 준선 ℓ(x=−2)에 대해, 포물선 위의 점 P(4.5,6)에서 PF와 준선까지의 수직거리 PQ(Q는 준선 위의 수선의 발)가 둘 다 6.5로 같습니다(P의 위치와 무관하게 항상 성립).
(2) 582·583번―꼭짓점 O는 초점 F와 준선 ℓ에서 똑같이 p만큼 떨어진 점―F에서 ℓ로 내린 수선의 중점이 곧 꼭짓점이라는 좌표 설정 자체를 보여줍니다.
(3) 584번(p=2 예제)―초점 F(2,0)를 지나고 축에 수직인 초점현(통경) P₁(2,4)P₂(2,−4)― 길이 8=4p로, 모든 초점현 중 가장 짧습니다.
(4) 585번(p=2 예제)―포물선 위의 점 P₁(2,4)에서의 접선 x−y+2=0을 보여줍니다.
(5) 586번(p=2 예제)―내부(초록, k<0)의 점 (1,2)와 외부(주황, k>0)의 점 (0,5)·(−2,3)을 포물선·초점·준선과 함께 보여줍니다.