7.7 수능 핵심
포물선
Parabola
정의 · 공식과 증명
이 절은 한 정점(초점, focus) F와 F를 지나지 않는 한 직선(준선, directrix) ℓ까지의 거리가 서로 같은 점들의 자취로 포물선을 정의합니다(581번)―3.19(원)의 «한 정점까지의 거리가 일정»과 달리 점 하나와 직선 하나를 함께 써서 곡선을 정의합니다(뒤의 7.5 타원은 «두 정점까지의 거리의 합», 7.6 쌍곡선은 «거리의 차»로 정의합니다). F에서 ℓ로 내린 수선을 x축으로 하는 좌표축을 골라 7.2 f549(거리 공식)·7.3 f558(점과 직선 사이의 거리 공식)로 표준방정식 y²=4px를 유도합니다(582번)―정의가 두 거리의 등식 하나이므로 단 한 번의 제곱만으로 동치가 확인됩니다. 이어서 꼭짓점·초점· 준선·이심률(e≡1)을 정리하고(583번), 초점을 지나는 현(초점현)의 길이 공식과 그 특수한 경우인 통경을 유도한 뒤(584번), 포물선의 접선을 정의하고 포물선 위의 각 점에서 접선이 정확히 하나 있음과 그 방정식을 보이며(585번), 점과 포물선의 위치 관계를 판정하고(586번), 마지막으로 p=2인 포물선 y²=8x 하나로 581–586번 전체를 수치로 재확인합니다(587번).
581정의포물선d(P,F)=d(P,ℓ)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위에 한 점 F(초점, focus)와 F를 지나지 않는 한 직선 ℓ(준선, directrix)를 고정합니다(F∉ℓ―F가 ℓ 위에 있으면 아래 조건을 만족하는 점들은 F를 지나고 ℓ에 수직인 직선이 되어 곡선이 아니므로 제외합니다 : 점 P에서 ℓ에 내린 수선의 발을 Q라 하면 d(P,ℓ)=PQ이고, F가 ℓ 위에 있으므로 PF≥PQ(7.3 f558번, PQ는 ℓ 위의 점까지의 거리 중 최솟값)이며 등호는 F=Q일 때뿐이기 때문입니다 ― ℓ 위의 점 X를 Q+tw(w는 ℓ 방향의 단위벡터)로 쓰면 PX²=PQ²+t²(7.4 f564번과 같은 계산)). 이때
포물선 := {P | d(P,F)=d(P,ℓ)}
즉 초점까지의 거리와 준선까지의 거리(수선의 발까지의 거리, 7.3 f558번)가 항상 같은 점들의 자취를 포물선(parabola)이라 합니다. F에서 ℓ에 내린 수선을 축(axis)이라 하며, 축과 포물선이 만나는 점을 582번에서 좌표로 구체적으로 확인합니다.
582정리포물선의 표준방정식y²=4px
증명법 : 직접증명법(거리 공식·점과 직선 사이의 거리 공식, 단 한 번의 제곱)
좌표 설정. F에서 ℓ에 내린 수선의 발을 H, 선분 FH의 중점을 O라 하고 p:=FH2>0(=OF=OH)로 놓습니다. 축 FH를 x축으로, O를 원점으로, F가 x축의 양의 쪽에 오도록 좌표를 잡으면 F(p,0), H(−p,0)이고 ℓ는 H를 지나며 축(x축)에 수직인 직선이므로 ℓ : x=−p입니다. 좌표축은 우리가 고릅니다 : 7.2 f548번의 좌표평면은 평면 위의 어느 점을 원점으로, 그 점에서 서로 수직인 어느 두 직선을 축으로 잡아도 만들어지고, 두 점 사이의 거리 공식(7.2 f549번)과 점과 직선 사이의 거리 공식(7.3 f558번)은 이 약속에서 나온 것이라 어떤 좌표축에서도 그대로 성립합니다. 그래서 포물선을 옮기지 않고, 포물선에 맞춰 좌표축을 이렇게 놓아도 일반성을 잃지 않습니다(어떤 포물선이든 이렇게 놓은 좌표에서는 아래 방정식이 됨). O 자신도 OF=OH=p로 정의에 의해 포물선 위의 점―이 점을 꼭짓점(vertex)이라 하며 583번에서 다시 확인합니다.
임의의 점 P(x,y)에 대해, F까지의 거리는 7.2 f549번(거리 공식)으로 (x−p)²+y², ℓ까지의 거리는 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리 공식, 직선 x+p=0에 적용)으로 |x+p|입니다 :
| P가 포물선 위에 있음 ⇔ (x−p)²+y² = |x+p| | 581번(정의) · 7.2 f549번 · 7.3 f558번 |
| 양변은 모두 0 이상이므로, 양변을 제곱해도 동치 : (x−p)²+y² = (x+p)² | a,b≥0일 때 a=b ⇔ a²=b²(음수가 아닌 두 값의 등식이므로 제곱이 한 번으로 끝나고, 두 번째 제곱이나 부호를 나누는 절차가 필요 없음) |
| 전개 : x²−2px+p²+y² = x²+2px+p² | 양변 전개 |
| ⇔ y² = 4px | 동류항 정리(−2px를 이항, x²·p² 소거) |
위 과정은 모든 화살표가 «⇔»(필요충분)이므로 역방향(표준방정식→정의)도 이미 함께 증명되었습니다― 정의가 «두 거리 자체의 등식»이라 처음부터 부호의 모호함이 없기 때문입니다(뒤에서 볼 타원·쌍곡선은 «두 거리의 합·차»라서 두 번 제곱하고 역방향을 따로 확인해야 합니다).
초점까지의 거리(초점거리) 공식. 표준방정식은 y²=4px≥0이므로 x≥0이 항상 성립합니다― 따라서 위에서 구한 ℓ까지의 거리 |x+p|는 절댓값 기호 없이 그대로 x+p입니다. 정의(581번)에 의해 포물선 위의 점의 초점까지의 거리도 이와 같으므로 :
PF = x+p (포물선 위의 점 (x,y), x≥0이므로 항상 양수)
이 «초점거리 공식»은 584번(초점현)에서 바로 다시 씁니다(뒤의 타원·쌍곡선에서도 같은 역할의 공식이 나옵니다).
사용 : 581번(정의) · 7.2 f549번(거리 공식) · 7.3 f558번(점과 직선 사이의 거리 공식)
증명 끝
583정리포물선의 기본 요소―꼭짓점·초점·준선·이심률e:=PFd(P,ℓ)≡1
증명법 : 직접증명법(표준방정식의 좌표축 절편, 정의의 직접 대입)
582번의 표준방정식 y²=4px에서 좌표축과의 교점을 구합니다 :
| y=0 대입 : 0=4px ⇒ x=0 ⇒ 꼭짓점 O(0,0) 하나뿐 | 표준방정식에 y=0 대입 |
| x=0 대입 : y²=0 ⇒ y=0 ⇒ y축과도 꼭짓점 O 하나에서만 만남 | 표준방정식에 x=0 대입 |
즉 포물선은 좌표축과 원점(꼭짓점) 한 점에서만 만나며, 이는 582번의 좌표 설정에서 O를 F·H의 중점으로 둔 것과 정확히 일치합니다(교차 검산). 초점은 F(p,0), 준선은 ℓ : x=−p, 축(대칭축)은 x축입니다― 표준방정식이 y에 대해 짝함수(y²만 등장)이므로 x축에 대해 대칭인 것으로도 재확인됩니다.
이심률(eccentricity). e:=PFd(P,ℓ)로 정의하면, 581번(정의) 자체가 포물선 위의 모든 점 P에서 PF=d(P,ℓ)라고 말하고 있으므로 e≡1―점 P의 위치와 무관하게 항등적으로 성립합니다. 뒤의 7.5 f569번·7.6 f576번에서는 타원·쌍곡선에도 초점과 짝을 이루는 준선을 잡으면 같은 비 PF/d(P,ℓ)가 일정한 값 e를 가지며, 그 값이 타원은 0<e<1, 쌍곡선은 e>1임을 보입니다. 즉 «초점까지의 거리 : 준선까지의 거리»가 일정한 곡선을 이 비로 나누면 포물선이 정확히 e=1의 경계에 해당합니다(3.19의 원은 준선 없이 한 정점만으로 정의되므로 이 비교에 넣지 않습니다).
초점거리 공식(요약). 582번에서 얻은 PF=x+p를 이 절 전체가 재사용합니다―584번(초점현)의 핵심 도구입니다.
사용 : 581번(정의) · 582번(표준방정식·초점거리 공식)
증명 끝
584정리초점현의 길이·통경P₁P₂=x₁+x₂+2p, 통경=4p
증명법 : 직접증명법(매개변수화·근과 계수의 관계)
정리. 초점 F를 지나는 직선(초점현, focal chord)이 포물선과 만나는 두 점을 P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂)라 하면 :
P₁P₂ = x₁+x₂+2p
축(x축)과 각 θ(0<θ<π, 즉 sinθ≠0―θ=0이면 직선이 축 자체가 되어 583번에서 확인했듯 꼭짓점 한 점에서만 만나므로 현이 아닙니다)를 이루는 방향으로 F에서 잰 부호 있는 거리 t를 매개변수로 잡으면, 이 직선 위의 점은 (p+t cosθ, t sinθ)입니다(t=0이 F 자신). 이를 표준방정식 y²=4px(582번)에 대입합니다 :
| (t sinθ)² = 4p(p+t cosθ) ⇔ sin²θ·t²−4p cosθ·t−4p²=0 | 582번(표준방정식) · 대입 후 t에 대해 정리(sin²θ≠0이므로 진짜 이차방정식) |
| 두 근의 곱 t₁t₂ = −4p²sin²θ < 0 | 2.6 f122번(비에트의 공식)―분자·분모 모두 양수이므로 전체는 음수 |
두 근의 곱이 음수인 이차방정식은 판별식이 양수(D=16p²cos²θ+16p²sin²θ=16p²>0)라 서로 다른 두 실근을 가지므로, 축이 아닌 초점을 지나는 직선은 포물선과 항상 정확히 두 점에서 만납니다(t의 값이 다르면 점도 다름). 또 두 근의 곱이 음수이므로 t₁, t₂는 서로 다른 부호―즉 F(t=0)는 두 교점 사이에 있습니다(직선 위에서 t가 부호 있는 거리이므로, 두 근이 반대 부호라는 것은 원점 t=0을 사이에 두고 있다는 뜻과 정확히 같습니다). 따라서 :
| P₁P₂ = |t₁−t₂| = |t₁|+|t₂| (반대 부호이므로) = P₁F+P₂F | t는 F로부터 잰 부호 있는 거리이므로 |ti|=PiF―반대 부호일 때만 성립하는 절댓값의 성질 |
| = (x₁+p)+(x₂+p) = x₁+x₂+2p | 582번(초점거리 공식 PF=x+p)을 P₁, P₂ 각각에 적용 |
통경(latus rectum)―최단 초점현. 비에트의 공식으로 두 근의 합 t₁+t₂=4p cosθsin²θ도 얻으므로 :
| x₁+x₂ = 2p+cosθ(t₁+t₂) = 2p+4p cos²θsin²θ = 2p(2−sin²θ)sin²θ | xi=p+ticosθ(매개변수화 자체) · 위에서 구한 t₁+t₂ 대입 · cos²θ=1−sin²θ |
| s:=sin²θ∈(0,1]에 대해 2p(2−s)s=2p·(2s−1)은 s가 커질수록 감소―s=1(θ=π2, 축에 수직)에서 최솟값 2p | 2s이 s에 대해 감소함수(s>0)이므로 전체도 감소함수 |
따라서 x₁+x₂≥2p(등호는 θ=π2일 때만)이므로 초점현의 길이 x₁+x₂+2p≥4p―축에 수직인 초점현이 가장 짧고, 그 길이는 정확히 4p입니다. 이 최단 초점현을 통경(通徑, latus rectum)이라 합니다―직접 확인하면 θ=π2일 때 t₁t₂=−4p², t₁+t₂=0이므로 t=±2p, 즉 두 끝점은 (p,2p), (p,−2p)― 초점의 x좌표 x=p에서 표준방정식에 직접 대입해도 y²=4p²⇒y=±2p로 정확히 같은 결과를 얻습니다(교차 검산).
사용 : 582번(표준방정식·초점거리 공식) · 583번(축) · 2.6 f122번(비에트의 공식)
증명 끝
585정리포물선 위의 점에서의 접선의 방정식y₁y=2p(x+x₁)
증명법 : 직접증명법(P₁을 지나는 모든 직선을 대입해 인수분해 ― 존재와 유일성을 함께)
접선의 정의. 원에서는 «원과 오직 한 점에서만 만나는 직선»을 접선이라 했습니다(3.19 f265번). 포물선에서는 이 말만으로는 부족합니다 : 축(x축)에 평행한 직선 y=c도 포물선과 점 (c²/4p, c) 한 점에서만 만나지만(y=c를 대입하면 x가 하나로 정해짐), 이 직선은 그 점의 한쪽은 포물선의 바깥, 다른 쪽은 안쪽(뒤의 586번에서 정하는 내부)에 놓여 곡선을 가로질러 지나갑니다. 그래서 다음과 같이 정합니다.
정의. 포물선 위의 점 P₁을 지나고 축에 평행하지 않은 직선 중, 포물선과 P₁ 한 점에서만 만나는 직선을 P₁에서의 접선이라 한다.
정리. 포물선 y²=4px 위의 각 점 P₁(x₁,y₁)에서의 접선은 정확히 하나 있고, 그 방정식은 다음과 같습니다 :
y₁y = 2p(x+x₁)
| P₁을 지나고 축(x축)에 평행하지 않은 직선은 방향벡터 (u,v)의 v가 0이 아니므로 (λ,1) (λ=u/v)을 방향벡터로 가져, 그 점은 (x₁+λs, y₁+s)(s는 실수) ― 즉 방정식 x−x₁=λ(y−y₁). 거꾸로 실수 λ마다 이런 직선이 하나씩 있음 | 7.3 f555번(매개변수 표현, 방향벡터의 0이 아닌 실수배도 방향벡터) |
| 이 직선 위의 점은 y좌표 하나로 정해지므로(x=x₁+λ(y−y₁)), 교점의 개수는 y에 대한 방정식 y²=4p(x₁+λ(y−y₁))의 실수해의 개수와 같음 | 582번(표준방정식) |
| ⇔ y²−4pλy+4pλy₁−4px₁=0 ⇔ y²−4pλy+4pλy₁−y₁²=0 | 이항 · P₁이 포물선 위에 있으므로 4px₁=y₁²(582번) |
| ⇔ (y−y₁)(y+y₁−4pλ)=0 ⇔ y=y₁ 또는 y=4pλ−y₁ | 인수분해(전개하면 앞 줄과 같음) |
| 포물선과 P₁ 한 점에서만 만남 ⇔ 4pλ−y₁=y₁ ⇔ λ=y₁2p ― 이런 λ는 하나뿐 | 두 해가 같아야 교점이 P₁ 하나 |
| 그 직선 : x−x₁=y₁2p(y−y₁) ⇔ 2px−2px₁=y₁y−y₁²=y₁y−4px₁ ⇔ y₁y=2p(x+x₁) | 양변에 2p를 곱함 · y₁²=4px₁ |
따라서 P₁에서의 접선은 정확히 하나이고 위 방정식으로 주어집니다. 꼭짓점(y₁=0, 이때 x₁=0)에서는 λ=0이라 접선은 x=0, 즉 y축이며, 583번에서 확인한 «y축과 포물선은 원점 한 점에서만 만남»과 맞습니다.
참고 1(중근). 접선일 때 위 방정식은 (y−y₁)²=0, 즉 y₁이 중근입니다. 그래서 «직선의 방정식을 대입한 이차방정식이 중근을 가지면 접선» (판별식 D=0)이라는 계산법을 쓸 수 있습니다. 축에 평행한 직선 y=c는 대입하면 c²=4px로 x에 대한 일차방정식이 되어 중근이 생길 수 없으므로, 이 계산법과 위 정의는 정확히 같은 직선을 접선이라 부릅니다.
참고 2(접선은 바깥에 놓임). 접선 위의 점 (x,y)에서 2px=y₁y−2px₁이므로 y²−4px=y²−2y₁y+4px₁=y²−2y₁y+y₁²=(y−y₁)²≥0 ― 586번에 의해 접선은 P₁을 빼면 모두 포물선의 외부에 있습니다. 축에 평행한 직선이 안팎을 가로지르는 것과 대비됩니다.
사용 : 582번(표준방정식) · 583번(꼭짓점) · 7.3 f555번(직선의 매개변수 표현) · 3.19 f265번(원의 접선의 정의와 비교) · 586번(참고에서, 안쪽·바깥쪽)
증명 끝
586정리점과 포물선의 위치 관계y₀²−4px₀ <,=,> 0
증명법 : 경우 나누기(같은 x좌표에서 곡선의 y값과 직접 비교)
정의(내부·외부). 포물선 위에 있지 않은 점 P₀(x₀,y₀)를 생각합니다. x₀≥0이면 같은 x=x₀에서 포물선 위의 두 점 (x₀, ±4px₀)이 있습니다. P₀가 이 두 점 사이(축 쪽, |y₀|<4px₀)에 있으면 포물선의 내부, 그렇지 않으면(x₀<0이거나 |y₀|>4px₀) 외부라 합니다. 내부는 포물선이 감싸는 오목한 쪽입니다.
정리. 포물선 y²=4px와 점 P₀(x₀,y₀)에 대해, k:=y₀²−4px₀라 하면 :
| k<0 | P₀는 포물선 내부(오목한 쪽, 초점을 포함하는 영역)에 있음 |
| k=0 | P₀는 포물선 위에 있음 |
| k>0 | P₀는 포물선 외부에 있음 |
x₀<0인 경우. −4px₀>0(p>0, x₀<0)이고 y₀²≥0이므로 k=y₀²−4px₀>0― 583번에서 확인했듯 포물선의 정의역은 x≥0이므로(y²=4px≥0⇒x≥0), 이 범위의 점은 비교할 곡선 위의 점이 같은 x에 아예 없고, 항상 외부에 속합니다.
x₀≥0인 경우. 같은 x=x₀에서 포물선 위의 두 점(y=±yc, yc:=4px₀≥0, 582번의 표준방정식에서 직접 계산)과 P₀를 비교합니다 :
| k<0 ⇔ y₀²<4px₀=yc² ⇔ |y₀|<yc | k의 정의를 부등식으로 변형(yc의 정의 대입, 양변≥0이므로 제곱근은 동치) |
| 같은 방식으로 : k=0 ⇔ |y₀|=yc, k>0 ⇔ |y₀|>yc | 위와 동일한 변형(부등호 방향만 반전) |
즉 k<0은 P₀가 같은 x좌표의 곡선 위 두 점보다 x축에 더 가까운(|y₀|가 더 작은) 경우―포물선이 오목하게 감싸는 안쪽 영역이며, 실제로 583번의 초점 F(p,0)에서 y₀=0<yc(x₀=p이면 yc=2p>0)이므로 k<0―초점이 이 영역에 있음이 직접 확인됩니다. 반대로 k>0은 P₀가 곡선보다 x축에서 더 먼 경우로, 포물선 바깥(볼록한 쪽) 영역입니다.
사용 : 582번(표준방정식) · 583번(정의역 x≥0, 초점)
증명 끝
587정리—활용활용―표준방정식·요소·초점현·접선·위치 관계 종합 예제y²=8x
예제. p=2인 포물선 y²=8x에 대해 581–586번을 모두 수치로 확인합니다.
1단계―기본 요소(583번).
꼭짓점 O(0,0), 초점 F(2,0), 준선 x=−2, 축 = x축. 점 P(4.5,6)이 포물선 위에 있는지 확인 : y²=36, 8x=8·4.5=36 ⇒ 일치. 정의(581번)를 직접 검산 : PF=(4.5−2)²+6²=42.25=6.5, d(P,ℓ)=4.5−(−2)=6.5―정확히 일치(582번의 초점거리 공식 PF=x+p=4.5+2=6.5로도 같은 값).
2단계―초점현·통경(584번).
| 통경(축에 수직인 초점현) : x=2에서 y²=16 ⇒ y=±4 ⇒ 끝점 (2,4), (2,−4), 길이 8=4p | 584번 |
일반 초점현 검산(축과 비스듬한 경우) : 초점 F(2,0)를 지나는 직선이 P₁′(8,8)·P₂′(0.5,−2)에서 포물선과 만난다고 하면(각 점을 표준방정식에 대입 : 8²=64=8·8 ✓, (−2)²=4=8·0.5 ✓, 기울기 검산 : 8−08−2=43=−2−00.5−2이므로 F, P₁′, P₂′은 실제로 한 직선 위✓) :
| P₁′P₂′ = (8−0.5)²+(8−(−2))² = 156.25 = 12.5 | 7.2 f549번(거리 공식, 직접 계산) |
| x₁+x₂+2p = 8+0.5+4 = 12.5 | 584번(초점현의 길이 공식) |
두 값이 정확히 일치―584번의 공식이 통경 같은 특수한 경우뿐 아니라 일반적인(축에 수직이 아닌) 초점현에서도 성립함을 확인합니다.
3단계―접선(585번).
점 (2,4)에서의 접선 : y₁y=2p(x+x₁) ⇒ 4y=4(x+2) ⇒ y=x+2, 즉 x−y+2=0. 검산(대입) : y=x+2를 y²=8x에 넣으면 (x+2)²=8x ⇒ x²−4x+4=0 ⇒ (x−2)²=0―x=2 중근, y=4―접점이 정확히 (2,4)와 일치(585번의 결론과 부합, 3단계에서 확인한 통경의 끝점이기도 함).
4단계―점과 포물선의 위치 관계(586번).
| (1,2) : k=2²−8·1=4−8=−4<0 ⇒ 내부(초점과 같은 쪽) | 586번 |
| (0,5) : k=5²−0=25>0 ⇒ 외부 | 586번 |
| (−2,3) : x₀=−2<0이므로 정의역 밖―자동으로 k=3²−8·(−2)=9+16=25>0 ⇒ 외부 | 586번(x₀<0 경우) |
사용 : 581–586번 전체
증명 끝
참조 그림
(1) 581번―초점 F와 준선 ℓ(x=−2)에 대해, 포물선 위의 점 P(4.5,6)에서 PF와 준선까지의 수직거리 PQ(Q는 준선 위의 수선의 발)가 둘 다 6.5로 같습니다(P의 위치와 무관하게 항상 성립).
(2) 582·583번―꼭짓점 O는 초점 F와 준선 ℓ에서 똑같이 p만큼 떨어진 점―F에서 ℓ로 내린 수선의 중점이 곧 꼭짓점이라는 좌표 설정 자체를 보여줍니다.
(3) 584번(p=2 예제)―초점 F(2,0)를 지나고 축에 수직인 초점현(통경) P₁(2,4)P₂(2,−4)― 길이 8=4p로, 모든 초점현 중 가장 짧습니다.
(4) 585번(p=2 예제)―포물선 위의 점 P₁(2,4)에서의 접선 x−y+2=0을 보여줍니다.
(5) 586번(p=2 예제)―내부(초록, k<0)의 점 (1,2)와 외부(주황, k>0)의 점 (0,5)·(−2,3)을 포물선·초점·준선과 함께 보여줍니다.