4.9 수능 핵심
덧셈정리
Addition and Subtraction Formulas
정의 · 공식과 증명
4.6(화각공식)에서는 하나의 각 θ를 고정된 상수 φ(0, π2, π 등)만큼 이동시킨 θ+φ 꼴의 값을 θ 하나의 삼각함수로 표현했습니다. 이 절은 그 φ를 상수가 아니라 θ와 독립적인 또 하나의 변수로 놓아, θ±φ의 값을 θ와 φ 각각의 삼각함수들로 표현합니다. 딱 하나의 새로운 기하학적 사실(449번, 두 삼각형의 SAS 합동)과 딱 하나의 대수적 계산 (450번, 좌표 사이의 거리를 두 가지 방법으로 표현해 비교)에서 출발해, 나머지 여섯 개는 모두 이미 나온 공식에 φ→−φ를 대입하거나(4.6 f432번의 음각공식 활용), 여각공식(4.6 f434번)으로 사인을 코사인으로 바꾸거나, 두 식을 나누거나 정리하는(탄젠트·코탄젠트) 순수한 대수적 조작만으로 얻습니다—4.5가 425번(피타고라스 항등식) 하나로 426−428번을 끌어냈던 전략과 같은 구조입니다.
448정의덧셈정리가 다루는 범위cos(θ∓φ), sin(θ∓φ), tan(θ∓φ), cot(θ∓φ)
정의(이 절에서 증명할 여덟 공식). 임의의 실수 θ, φ에 대해, 다음 여덟 개의 등식—코사인·사인·탄젠트·코탄젠트 각각의 덧셈정리와 뺄셈정리—을 이 절에서 차례로 증명합니다(정의역 제한은 각 항목에서 개별적으로 명시) :
| 450번 | cos(θ−φ) = cosθcosφ + sinθsinφ |
| 451번 | cos(θ+φ) = cosθcosφ − sinθsinφ |
| 452번 | sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ |
| 453번 | sin(θ−φ) = sinθcosφ − cosθsinφ |
| 454번 | tan(θ+φ) = tanθ+tanφ1−tanθtanφ |
| 455번 | tan(θ−φ) = tanθ−tanφ1+tanθtanφ |
| 456번 | cot(θ+φ) = cotθcotφ − 1cotθ + cotφ |
| 457번 | cot(θ−φ) = cotθcotφ + 1cotφ − cotθ |
449번은 이 여덟 공식의 증명이 공통으로 딛고 서는 순수 기하학적 보조정리(코사인의 뺄셈정리를 얻기 위한 준비 단계)이며, 그 자체로는 θ∓φ에 대한 공식이 아니므로 위 목록에 포함하지 않았습니다.
이 절이 해소하는 선행 인용. 1.4의 f57번(극형식의 곱셈)이 z₁z₂=r₁r₂[cos(φ₁+φ₂)+i sin(φ₁+φ₂)]을 증명하면서 "[선행 인용] 4장 삼각함수의 덧셈정리"라고 미리 가져다 쓴 cos(φ₁+φ₂)·sin(φ₁+φ₂) 전개를 451번·452번이 정확히 갚습니다.
사용 : 4.6의 f430−f435번(화각공식, φ가 상수인 특수한 경우)
449정리회전 합동 보조정리|P(θ)P(φ)| = |P(θ−φ)P(0)|
증명법 : 임의의 원소를 택하는 방법 + SAS 합동 조건
주장. 모든 실수 θ, φ에 대해, 점 P(0)=A(=단위원과 x축의 양의 방향이 만나는 점)를 기준으로 삼으면 다음이 성립합니다.
|P(θ)P(φ)| = |P(θ−φ)P(0)|
경우 1 — θ≡φ (mod 2π)인 경우. 4.2의 f409번(P(θ₁)=P(θ₂)⇔θ₁−θ₂=2kπ)에 의해 P(θ)=P(φ)이므로 좌변은 0입니다. 이때 θ−φ≡0 (mod 2π)이므로 같은 f409번에 의해 P(θ−φ)=P(0)이고 우변도 0입니다. 양변이 모두 0으로 같습니다.
경우 2 — θ≢φ (mod 2π)인 경우. 이때 P(θ)≠P(φ)이고 P(θ−φ)≠P(0)이므로, O, P(θ), P(φ)가 삼각형을 이루고 O, P(θ−φ), P(0) 역시 삼각형을 이룹니다.
1단계 — 두 변의 길이. 4.2 f409번(단위원의 정의)에 의해 OP(θ)=OP(φ)=OP(θ−φ)=OP(0)=1입니다(넷 모두 단위원 위의 점이므로).
2단계 — 끼인각. 4.1의 f404번(호도법—반시계 방향으로 잰 각의 크기)과 4.2 f409번(P(θ)는 x축의 양의 방향에서 반시계로 θ만큼 회전한 위치)의 정의 자체로부터, 반직선 OP(φ)에서 반직선 OP(θ)까지 반시계 방향으로 잰 부호 있는 각은 정확히 θ−φ입니다—P(φ)의 위치에서 P(θ)의 위치까지 더 회전해야 하는 양이 두 각의 차이이기 때문입니다. 그런데 P(0)은 정의상 바로 그 x축의 양의 방향의 점이므로, 반직선 OP(0)에서 반직선 OP(θ−φ)까지 반시계 방향으로 잰 부호 있는 각도 (θ−φ)−0=θ−φ로 완전히 같은 값입니다. 두 부호 있는 각이 같으므로, 방향을 무시한 기하학적 끼인각의 크기도 같습니다 : ∠P(φ)OP(θ) = ∠P(0)OP(θ−φ).
3단계 — SAS 합동. 1단계(두 변의 길이가 각각 1로 같음)와 2단계(그 끼인각이 같음)에 의해, 두 변의 길이와 그 끼인각이 각각 같으면 두 삼각형이 합동이라는 SAS 합동 조건(중학교 도형의 합동 단원)에 의해 △OP(φ)P(θ) ≡ △OP(0)P(θ−φ)입니다. 합동인 도형의 대응변의 길이는 같으므로, 변 P(φ)P(θ)와 변 P(0)P(θ−φ)의 길이가 같습니다 : |P(θ)P(φ)| = |P(θ−φ)P(0)|.
θ=125°, φ=40°인 구체적인 예 — 왼쪽 P(φ)P(θ) 사이의 현과 오른쪽 AP(θ−φ) 사이의 현이 모두 같은 끼인각 θ−φ=85°에서 나온 것이므로 길이가 정확히 같습니다(좌표는 실제 값으로 계산해 픽셀에 대입 — 두 현의 픽셀 길이가 소수점 이하까지 정확히 일치함을 확인).
사용 : 4.1의 f404번(호도법) · 4.2의 f409번(단위원 정의) · SAS 합동 조건(중학교 도형의 합동)
증명 끝
450정리코사인의 뺄셈정리cos(θ−φ) = cosθcosφ + sinθsinφ
증명법 : 직접증명법(좌표 사이의 거리를 두 가지 방법으로 표현해 비교)
주장. 모든 실수 θ, φ에 대해 다음이 성립합니다.
cos(θ−φ) = cosθcosφ + sinθsinφ
P(θ)=(cosθ, sinθ), P(φ)=(cosφ, sinφ)의 좌표 사이의 거리의 제곱을 좌표 그대로 전개해서 구합니다 :
| |P(θ)P(φ)|² = (cosθ−cosφ)² + (sinθ−sinφ)² | 두 점 사이의 거리 공식 |
| = (cos²θ+sin²θ) + (cos²φ+sin²φ) − 2(cosθcosφ+sinθsinφ) | 전개 후 항 재배열 |
| = 1 + 1 − 2(cosθcosφ+sinθsinφ) | 4.5 f425번(피타고라스 항등식)을 θ, φ 각각에 적용 |
| = 2 − 2(cosθcosφ+sinθsinφ) | 계산 |
한편 같은 방식으로 P(θ−φ)=(cos(θ−φ), sin(θ−φ))와 P(0)=(1,0) 사이의 거리의 제곱도 구합니다 :
| |P(θ−φ)P(0)|² = (cos(θ−φ)−1)² + (sin(θ−φ)−0)² | 두 점 사이의 거리 공식 |
| = cos²(θ−φ) − 2cos(θ−φ) + 1 + sin²(θ−φ) | 전개 |
| = 1 − 2cos(θ−φ) + 1 | 4.5 f425번을 (θ−φ)에 적용 |
| = 2 − 2cos(θ−φ) | 계산 |
449번(회전 합동 보조정리)에 의해 |P(θ)P(φ)| = |P(θ−φ)P(0)|이므로, 두 값의 제곱도 같습니다 :
| 2 − 2(cosθcosφ+sinθsinφ) = 2 − 2cos(θ−φ) | 449번(두 거리가 같음) + 위 두 계산 |
| cosθcosφ+sinθsinφ = cos(θ−φ) | 양변에서 2를 빼고 −2로 나눔 |
따라서 cos(θ−φ) = cosθcosφ+sinθsinφ이며, θ, φ에 어떤 제한도 필요하지 않습니다(4.2 f411번에 의해 사인·코사인은 모든 실수에서 정의됨).
사용 : 449번(회전 합동 보조정리) · 4.5의 f425번(피타고라스 항등식) · 두 점 사이의 거리 공식(중학교 좌표평면)
증명 끝
451정리코사인의 덧셈정리cos(θ+φ) = cosθcosφ − sinθsinφ
증명법 : 직접증명법(450번에 φ→−φ 대입)
주장. 모든 실수 θ, φ에 대해 다음이 성립합니다.
cos(θ+φ) = cosθcosφ − sinθsinφ
θ+φ = θ−(−φ)이므로, 450번(코사인의 뺄셈정리)의 φ 자리에 −φ를 대입합니다 :
| cos(θ+φ) = cos(θ−(−φ)) = cosθcos(−φ) + sinθsin(−φ) | 450번(θ는 그대로, φ→−φ) |
| = cosθ·cosφ + sinθ·(−sinφ) | 4.6의 f432번(음각공식, cos(−φ)=cosφ, sin(−φ)=−sinφ) |
| = cosθcosφ − sinθsinφ | 계산 |
450번과 마찬가지로 θ, φ에 제한이 없습니다.
사용 : 450번(코사인의 뺄셈정리) · 4.6의 f432번(음각공식) — 1.4의 f57번(극형식의 곱셈)의 선행 인용 중 cos(φ₁+φ₂) 전개 부분을 해소
증명 끝
452정리사인의 덧셈정리sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ
증명법 : 직접증명법(여각공식으로 코사인의 뺄셈정리로 환원)
주장. 모든 실수 θ, φ에 대해 다음이 성립합니다.
sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ
4.6의 f434번(여각공식, sinX = cos(π2−X))을 X=θ+φ에 적용한 뒤, 괄호를 (π2−θ)−φ 꼴로 묶어 450번(코사인의 뺄셈정리)을 적용합니다 :
| sin(θ+φ) = cos(π2−(θ+φ)) | 4.6 f434번(sinX=cos(π2−X), X=θ+φ) |
| = cos((π2−θ)−φ) | 괄호 재정리 |
| = cos(π2−θ)cosφ + sin(π2−θ)sinφ | 450번(코사인의 뺄셈정리, 첫 번째 자리에 π2−θ 대입) |
| = sinθ·cosφ + cosθ·sinφ | 4.6 f434번을 다시 적용 — cos(π2−θ)=sinθ, sin(π2−θ)=cosθ |
여기서 마지막 줄의 근거는 f434번의 두 형태(sinX=cos(π2−X)와 cosX=sin(π2−X))를 X=θ에 적용한 것입니다. 모든 실수 θ, φ에 대해 제한 없이 성립합니다.
사용 : 450번(코사인의 뺄셈정리) · 4.6의 f434번(여각공식) — 1.4의 f57번(극형식의 곱셈)의 선행 인용 중 sin(φ₁+φ₂) 전개 부분을 해소
증명 끝
453정리사인의 뺄셈정리sin(θ−φ) = sinθcosφ − cosθsinφ
증명법 : 직접증명법(452번에 φ→−φ 대입)
주장. 모든 실수 θ, φ에 대해 다음이 성립합니다.
sin(θ−φ) = sinθcosφ − cosθsinφ
θ−φ = θ+(−φ)이므로, 452번(사인의 덧셈정리)의 φ 자리에 −φ를 대입합니다 :
| sin(θ−φ) = sin(θ+(−φ)) = sinθcos(−φ) + cosθsin(−φ) | 452번(φ→−φ) |
| = sinθ·cosφ + cosθ·(−sinφ) | 4.6 f432번(음각공식) |
| = sinθcosφ − cosθsinφ | 계산 |
모든 실수 θ, φ에 대해 제한 없이 성립합니다.
사용 : 452번(사인의 덧셈정리) · 4.6의 f432번(음각공식)
증명 끝
454정리탄젠트의 덧셈정리tan(θ+φ) = tanθ+tanφ1−tanθtanφ
증명법 : 직접증명법(452·451번을 나눈 뒤 분자·분모를 cosθcosφ로 나눔)
주장. θ, φ, θ+φ 모두 π2+kπ(k는 정수) 꼴이 아닐 때 다음이 성립합니다.
tan(θ+φ) = tanθ+tanφ1−tanθtanφ
4.2의 f410번(tanX=sinXcosX)과 452·451번을 결합합니다. θ+φ≠π2+kπ(4.2 f411번에 의해 cos(θ+φ)≠0과 동치)이므로 분모가 0이 아닙니다 :
| tan(θ+φ) = sin(θ+φ)cos(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφcosθcosφ − sinθsinφ | f410번(tan 정의) + 452번(sin 덧셈) + 451번(cos 덧셈) |
θ≠π2+kπ, φ≠π2+kπ(f411번에 의해 각각 cosθ≠0, cosφ≠0과 동치)이므로 cosθcosφ≠0이고, 분자·분모를 cosθcosφ로 나눌 수 있습니다 :
| = sinθcosφcosθcosφ + cosθsinφcosθcosφcosθcosφcosθcosφ − sinθsinφcosθcosφ | 분자·분모를 cosθcosφ로 나눔 |
| = tanθ + tanφ1 − tanθtanφ | 약분 후 f410번(tanX=sinXcosX)으로 재정리 |
사용 : 451번(코사인의 덧셈정리) · 452번(사인의 덧셈정리) · 4.2의 f410번(tan 정의) · f411번(정의역)
증명 끝
455정리탄젠트의 뺄셈정리tan(θ−φ) = tanθ−tanφ1+tanθtanφ
증명법 : 직접증명법(454번에 φ→−φ 대입)
주장. θ, φ, θ−φ 모두 π2+kπ 꼴이 아닐 때 다음이 성립합니다.
tan(θ−φ) = tanθ−tanφ1+tanθtanφ
θ−φ = θ+(−φ)이므로 454번(탄젠트의 덧셈정리)의 φ 자리에 −φ를 대입합니다. 4.6 f432번(음각공식)에 의해 tan(−φ)=−tanφ이고, φ≠π2+kπ이면 −φ도 π2+kπ 꼴이 아니므로(부호만 반대인 정수 k로 대응) 454번의 조건이 그대로 유지됩니다 :
| tan(θ−φ) = tan(θ+(−φ)) = tanθ + tan(−φ)1 − tanθtan(−φ) | 454번(φ→−φ) |
| = tanθ − tanφ1 + tanθtanφ | 4.6 f432번(tan(−φ)=−tanφ) 대입 후 정리 |
사용 : 454번(탄젠트의 덧셈정리) · 4.6의 f432번(음각공식)
증명 끝
456정리코탄젠트의 덧셈정리cot(θ+φ) = cotθcotφ − 1cotθ + cotφ
증명법 : 직접증명법(451·452번을 4.2 f410번의 cot 정의에 대입한 뒤 분자·분모를 sinθsinφ로 나눔)
주장. θ, φ 모두 kπ(k는 정수) 꼴이 아니고 θ+φ도 kπ 꼴이 아닐 때 다음이 성립합니다.
cot(θ+φ) = cotθcotφ − 1cotθ + cotφ
4.2의 f410번(cotX=cosXsinX, sinX≠0)을 그대로 사용합니다. θ+φ≠kπ(f411번에 의해 sin(θ+φ)≠0과 동치)이므로 분모가 0이 아닙니다 :
| cot(θ+φ) = cos(θ+φ)sin(θ+φ) = cosθcosφ − sinθsinφsinθcosφ + cosθsinφ | f410번(cot 정의) + 451번(cos 덧셈) + 452번(sin 덧셈) |
θ≠kπ, φ≠kπ(f411번에 의해 각각 sinθ≠0, sinφ≠0과 동치)이므로 sinθsinφ≠0이고, 분자·분모를 sinθsinφ로 나눌 수 있습니다(탄젠트 경로처럼 tan(θ+φ)를 거치지 않으므로 θ+φ= π2+kπ인 경우—즉 cot(θ+φ)=0인 경우—도 별도 예외 없이 그대로 포함됩니다) :
| = cosθcosφsinθsinφ − 1cosφsinφ + cosθsinθ | 분자·분모를 sinθsinφ로 나눔 |
| = cotθcotφ − 1cotφ + cotθ | 약분 후 f410번(cotX=cosXsinX)으로 재정리 |
454번(탄젠트의 덧셈정리)이 θ+φ≠π2+kπ까지 요구했던 것과 달리, 이 유도는 sinθsinφ로 나누었을 뿐 cos(θ+φ)=0 여부와는 무관하므로, cot(θ+φ)가 정의되는 가장 넓은 범위(θ, φ, θ+φ 모두 kπ가 아님)에서 그대로 성립합니다—결론의 정의역이 유도 과정의 조건과 정확히 일치하는지 확인한 결과입니다.
사용 : 451번(코사인의 덧셈정리) · 452번(사인의 덧셈정리) · 4.2의 f410번(cot 정의) · f411번(정의역)
증명 끝
457정리코탄젠트의 뺄셈정리cot(θ−φ) = cotθcotφ + 1cotφ − cotθ
증명법 : 직접증명법(456번에 φ→−φ 대입)
주장. θ, φ 모두 kπ 꼴이 아니고 θ−φ도 kπ 꼴이 아닐 때 다음이 성립합니다.
cot(θ−φ) = cotθcotφ + 1cotφ − cotθ
θ−φ = θ+(−φ)이므로 456번(코탄젠트의 덧셈정리)의 φ 자리에 −φ를 대입합니다. 4.2 f410번(cotX=cosXsinX)과 4.6 f432번(cos(−φ)=cosφ, sin(−φ)=−sinφ)에 의해 cot(−φ)=cos(−φ)sin(−φ)=cosφ−sinφ=−cotφ입니다 :
| cot(θ−φ) = cot(θ+(−φ)) = cotθcot(−φ) − 1cot(−φ) + cotθ | 456번(φ→−φ) |
| = cotθ(−cotφ) − 1−cotφ + cotθ = −cotθcotφ − 1cotθ − cotφ | cot(−φ)=−cotφ 대입 후 정리 |
| = cotθcotφ + 1cotφ − cotθ | 분자·분모에 −1을 곱함 |
사용 : 456번(코탄젠트의 덧셈정리) · 4.2의 f410번(cot 정의) · 4.6의 f432번(음각공식)
증명 끝