4.1 수능 핵심
각의 호도법과 육십분법
Radian and Degree Measures of Angles
정의 · 공식과 증명
각을 재는 두 방법 — 육십분법(도, degree)과 호도법(라디안, radian) — 사이의 정확한 대응 관계를 정리합니다(404~408번). 라디안 자체는 이미 3.20의 f273번에서 "호의 길이 ÷ 반지름"으로 정의해 두었지만, 그때는 부채꼴의 호의 길이·넓이 공식을 유도하기 위한 도구로만 썼을 뿐, 오래전부터 써온 육십분법(도)과 정확히 어떻게 대응하는지는 다루지 않았습니다. 이 절에서 그 대응 관계를 엄밀하게 세워 두면, 4.2번부터 시작하는 삼각함수 자체의 정의·그래프·항등식은 모두 라디안을 기본 단위로 삼아 전개할 수 있습니다.
한 바퀴(온각)를 30° 간격으로 12등분한 눈금 — 실제 정의는 360등분이지만, 30° 간격 12개는 그중 30개씩 묶은 눈금에 해당합니다.
404정의육십분법(도, degree)1° = 온각의 1360
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 평면 위의 한 점 O를 중심으로 한 점이 원래 자리로 되돌아올 때까지 한 바퀴 완전히 회전한 각을 온각이라 하고, 온각을 360등분하여 얻어지는 각의 크기를 1도(1°)라 약속합니다. 즉 온각의 크기는 정확히 360°입니다. 일반적으로, 어떤 각이 온각에서 차지하는 비율을 t라 하면(0 ≤ t, 한 바퀴를 넘는 각도 허용하면 t>1일 수 있습니다), 그 각의 도수법 값은 360t 입니다 — 이것이 도수법으로 각의 크기를 재는 규칙입니다.
405정리라디안과 도의 기본 관계π rad = 180°
증명법 : 직접증명법
404번(도수법의 정의)에 의해 180°는 온각을 정확히 절반(180360 = 12)으로 나눈 각입니다 — 즉 한 직선을 사이에 둔 두 맞꼭지 반직선이 이루는 평각입니다. 원 위에서 이 각(∠AOB, AB가 지름)에 대응하는 호는 지름 AB로 원을 나눈 두 호 중 하나입니다.
원은 정의(3.19의 f260번, 중심에서 같은 거리에 있는 점들의 집합)에 의해 중심 O를 지나는 임의의 직선(여기서는 지름 AB)에 대해 선대칭입니다 — 그 직선에 대한 반사는 O를 고정시키는 등거리변환이므로, 원 위의 각 점을 원 위의 다른 점으로 옮깁니다. 이 반사는 지름 AB의 양쪽에 있는 두 호를 서로 맞바꾸므로, 두 호는 합동이고 따라서 길이도 같습니다. 두 호를 합치면 원 전체 둘레가 되므로, 각 호(반원호)의 길이는 원 둘레의 정확히 절반입니다.
| s반원 = C2 | 반원호 = 원 둘레의 절반(위 대칭 논증) |
| = 2πr2 | 3.19의 f262번 (C = 2πr) |
| = πr | 약분 |
따라서 3.20의 f273번(라디안값 = 호의 길이 ÷ 반지름)에 의해, 이 각의 라디안값은
θ = s반원r = πrr = π
이고, 한편 같은 각의 도수법 값은 404번에 의해 정확히 180°이므로, 같은 각을 두 방법으로 잰 값을 나란히 쓰면 다음을 얻습니다.
π rad = 180°
지름 AB에 대한 선대칭으로 두 반원호가 합동임을 이용 — 반원호의 길이는 πr, 대응하는 각은 180° = π rad
사용 : 3.19의 f260번(원의 정의) · 3.19의 f262번(원의 둘레) · 3.20의 f273번(호도법의 정의) · 404번(도수법의 정의)
증명 끝
406정리온각의 라디안값(따름)2π rad = 360°
증명법 : 직접증명법(405번의 직접적인 따름)
405번(π rad = 180°)의 양변을 2배 하면 곧바로 다음을 얻습니다.
2π rad = 360°
이는 온각(도수법으로 360°, 404번)의 라디안값이 정확히 2π임을 뜻합니다. 실제로 이 값은 3.20의 f273번(θ = sr)을 원 전체 둘레에 곧바로 적용해도 같은 결과를 줍니다 — 온각에 대응하는 호는 원 둘레 전체(s = C = 2πr, 3.19의 f262번)이므로, 그 라디안값은 Cr = 2πrr = 2π 입니다. 두 경로(405번의 2배 vs. 온각에 직접 적용)가 같은 값 2π로 일치하므로 상호 검산이 됩니다.
사용 : 405번(π rad = 180°) · 404번(도수법의 정의) · 3.20의 f273번(호도법의 정의) · 3.19의 f262번(원의 둘레)
증명 끝
407정리일반각의 도수법 ↔ 호도법 변환 공식θ = n·π180 , n = θ·180π
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
임의의 각을 생각하고, 그 각의 라디안값을 θ, 도수법 값을 n(즉 n°)이라 둡니다(θ, n은 모두 실수). 반지름 r인 원 위에서 이 각에 대응하는 호의 길이를 s라 하면, 3.20의 f274번(s = rθ)과 3.19의 f262번(C = 2πr, 원 둘레)에 의해 이 각이 온각(둘레 C 전체)에서 차지하는 비율은
t := sC = rθ2πr = θ2π
입니다. 그런데 이 비율 t는 404번(도수법의 정의, 도수법 값 = 360t)에 의해 도수법 값과도
t = n360
의 관계에 있습니다. 같은 t를 나타내는 두 식을 연결하면
| θ2π = n360 | 위 두 식이 모두 t와 같음 |
| θ = 2π · n360 | 양변에 2π를 곱함 |
| θ = n · 2π360 = n · π180 | 약분 |
이 식의 양변에 180π를 곱하면 역방향 공식도 곧바로 얻습니다.
n = θ · 180π
검산 : n = 180을 대입하면 θ = 180·π180 = π를 주어 405번과 정확히 일치합니다.
일반각 θ(여기서는 예시로 60°)에 대해 도수법 값 n과 라디안값의 대응
사용 : 3.20의 f274번(호의 길이 s = rθ) · 3.19의 f262번(원의 둘레) · 404번(도수법의 정의) · 405번(π rad = 180°, 검산용)
증명 끝
408정리자주 쓰는 각의 대응표(따름)407번에 n = 0, 30, 45, …, 360을 대입
증명법 : 직접증명법(407번의 대입에 의한 따름)
407번(θ = n·π180)에 자주 등장하는 도수법 값 n을 대입하면 다음 대응표를 얻습니다. 각 칸은 407번 공식을 그 n값에 그대로 적용한 결과이므로 별도의 증명이 필요 없습니다.
| 도수법(n°) | 호도법(θ = n·π180) |
| 0° | 0 |
| 30° | π6 |
| 45° | π4 |
| 60° | π3 |
| 90° | π2 |
| 120° | 2π3 |
| 135° | 3π4 |
| 150° | 5π6 |
| 180° | π |
| 270° | 3π2 |
| 360° | 2π |
제1사분면의 표준각(0°~90°) — 90°에서는 직각 표시(작은 정사각형)로 두 반직선이 수직임을 나타냄
사용 : 407번(변환 공식)
증명 끝