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4.8   수능 핵심

삼각함수 사이의 관계

Relations between Trigonometric Functions

정의 · 공식과 증명

4.5에서는 사인·코사인·탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트 사이에 성립하는 네 가지 핵심 항등식(f425번 sin²θ+cos²θ=1, f426번 1+tan²θ=sec²θ, f427번 1+cot²θ=csc²θ, f428번 tanθ·cotθ=1)을 증명하고, f429번에서 "한 함숫값과 사분면을 알 때 나머지 다섯 값을 구체적인 숫자로 계산하는" 실전 절차를 정리했습니다. 이 절은 그 네 항등식을 다시 대수적으로 조합해, 여섯 삼각함수 중 어느 하나를 다른 어느 하나만으로 표현하는 일반적인(문자 θ 그대로인) 관계식을 모두 얻는 것이 목표입니다 — 429번이 "숫자 하나 계산하기"였다면, 이 절은 "그 계산을 가능하게 하는 공식 자체"를 정리하는 셈입니다. 사인·코사인 사이의 관계(442번)를 먼저 얻은 뒤, 이를 4.2 f410번(비·역수 정의)에 대입해 나머지 함수들의 관계(443·444번)를 차례로 끌어내고, 426·427번 자체를 변수에 대해 직접 푸는 관계(446번)와 새로운 정확한 곱셈 관계(445번)를 더한 뒤, 마지막으로 전체를 한 표로 종합합니다(447번).

441정의삼각함수 상호 관계식의 부호 결정 규칙±√의 부호는 θ의 사분면으로 결정

정의(이 절에서 ±를 읽는 방법). 4.5의 f425번−f427번은 모두 두 함숫값의 제곱 사이의 관계식입니다(sin²θ+cos²θ=1 등). 이런 항등식에서 한 함수의 값을 다른 함수의 값으로 표현하려면 양변에 제곱근을 취해야 하는데, 제곱근은 그 자체로 부호를 결정하지 못합니다 — x²=a²(a≠0)를 만족하는 x는 x=a와 x=−a 두 개이듯, 이 절에서 유도할 모든 관계식은 부호가 두 가지로 갈리는 ±√ 형태로 나올 수밖에 없습니다. 이것은 유도 과정의 결함이 아니라, "제곱을 아는 것"과 "원래 부호를 아는 것"이 서로 다른 정보라는 대수적으로 불가피한 사실입니다.

부호를 정하는 방법. θ가 축 위의 경계각이 아니라고 합시다. 이 절의 모든 ±√ 공식에서, 실제 부호는 θ가 어느 사분면에 속하는지로 결정됩니다 — 4.3의 f416번(사분면의 정의), f417번(사인·코사인의 부호), f418번(나머지 네 함수의 부호, ASTC)이 그 근거입니다. 중요한 점은, 주어진 한 함숫값의 부호만으로는 대상 함수의 부호가 정해지지 않는 경우가 대부분이라는 것입니다 — 예를 들어 tanθ>0은 제1사분면과 제3사분면 모두에서 성립하는데, 이 두 사분면에서 sinθ의 부호는 서로 반대(제1 : +, 제3 : −)입니다. 따라서 tanθ의 부호만 보고는 sinθ의 부호를 알 수 없고, θ가 속한 사분면을 (또는 동치로, sinθ·cosθ 중 하나 이상의 실제 부호를) 별도로 알아야 합니다. 442−446번의 증명에서는 유도 과정 자체가 ±를 특정한 한 함수의 부호와 정확히 동일시할 수 있는 경우에 한해 그 사실을 명시하고(예 : 443번에서 tanθ를 sinθ로 표현할 때의 ±는 정확히 cosθ의 부호와 같습니다), 그렇지 않은 일반적인 경우(447번의 종합표)에는 "θ의 사분면으로 결정"이라고만 명시합니다.

경계각 제외. θ가 0, π2, π, 3π2 등 축 위의 각이면 "사분면"이라는 개념 자체가 없으므로(4.3 f416번) 이 절의 ±√ 공식들은 적용되지 않습니다 — 이 경우는 4.2 f409번·f411번이나 4.4의 f423번처럼 직접 계산해야 합니다(4.5 f429번과 동일한 예외 처리).

사용 : 4.5의 f425번−f428번 · 4.3의 f416번−f418번

442정리사인함수·코사인함수의 상호 표현sinθ=±1−cos²θ, cosθ=±1−sin²θ

증명법 : 직접증명법(425번을 sin²θ 또는 cos²θ에 대해 풀고 제곱근을 취함)

주장. θ가 축 위의 경계각이 아닐 때, 441번의 부호 규칙 아래 다음이 성립합니다.

sinθ = ±1−cos²θ     cosθ = ±1−sin²θ

4.5의 f425번(sin²θ+cos²θ=1)에서 sin²θ=1−cos²θ입니다. 4.2의 f412번(치역, cosθ∈[−1,1])에 의해 cos²θ≤1이므로 1−cos²θ≥0이 항상 성립해, 이 값의 제곱근이 실수 범위에서 항상 정의됩니다. 제곱근의 정의(음이 아닌 값)에 의해 :

sin²θ = 1−cos²θ	4.5 f425번을 sin²θ에 대해 정리
|sinθ| = 1−cos²θ	양변이 음이 아니므로 제곱근을 취함(√x²=|x|)
sinθ = ±1−cos²θ	|sinθ|=±sinθ 중 실제 부호에 해당하는 것을 택함(441번, 4.3 f417번으로 결정)

완전히 같은 방식으로 f425번을 cos²θ=1−sin²θ로 정리하면(4.2 f412번에 의해 sinθ∈[−1,1]이므로 1−sin²θ≥0도 항상 성립) cosθ=±1−sin²θ을 얻습니다.

cosθ=−35, sinθ=−45인 제3사분면의 예(좌표는 실제 값으로 계산) — 직각삼각형 O-A′-P(θ)의 두 직각변의 길이가 각각 |cosθ|, |sinθ|이고, 442번의 ±√은 이 직각삼각형의 변의 길이(항상 양수)에 부호(사분면)를 곱해 원래 값을 복원하는 과정입니다.

사용 : 4.5의 f425번(피타고라스 항등식) · 4.2의 f412번(sin·cos의 치역) · 441번(부호 규칙)

증명 끝

443정리탄젠트함수·코탄젠트함수를 사인 또는 코사인 하나로 표현tanθ=±sinθ1−sin²θ, cotθ=±1−sin²θsinθ

증명법 : 직접증명법(4.2 f410번의 정의에 442번을 대입)

주장. θ가 축 위의 경계각이 아닐 때 다음이 성립합니다(각 줄의 두 식에서 ±는 서로 같은 부호이며, 정확히 cosθ의 부호와 같습니다).

tanθ = ±sinθ1−sin²θ = ±1−cos²θcosθ

cotθ = ±1−sin²θsinθ = ±cosθ1−cos²θ

탄젠트, sinθ 단독. 4.2 f410번의 정의 tanθ:=sinθcosθ(cosθ≠0)에, 442번의 cosθ=±1−sin²θ(±=cosθ의 부호)를 그대로 대입합니다 :

tanθ = sinθcosθ = sinθ±1−sin²θ	4.2 f410번(tan θ 정의) + 442번(cosθ에 대입)
= ±sinθ1−sin²θ	A±B=±AB(0이 아닌 실수 B로 나눌 때 부호는 분모 쪽 부호를 그대로 밖으로 뺄 수 있음)

여기서 밖으로 뺀 ±는 대입한 cosθ=±1−sin²θ의 그 ±와 정확히 같은 것이므로, tanθ를 sinθ로 표현한 식의 부호는 곧 cosθ의 부호입니다(441번의 일반 규칙과 달리, 여기서는 어떤 특정한 함수의 부호와 정확히 일치한다는 것이 대입 과정에서 직접 확인됩니다).

탄젠트, cosθ 단독. 완전히 같은 방식으로, 442번의 sinθ=±1−cos²θ(±=sinθ의 부호)를 tanθ:=sinθcosθ의 분자에 대입하면 :

tanθ = ±1−cos²θcosθ = ±1−cos²θcosθ

4.2 f410번 + 442번(sinθ에 대입), 부호는 sinθ의 부호

코탄젠트. 4.2 f410번의 cotθ:=cosθsinθ(sinθ≠0)에 같은 방식을 적용합니다. sinθ 단독으로는 cotθ=±1−sin²θsinθ=±1−sin²θsinθ(±=cosθ의 부호, 442번의 cosθ 대입에서), cosθ 단독으로는 cotθ=cosθ±1−cos²θ=±cosθ1−cos²θ(±=sinθ의 부호, 442번의 sinθ 대입에서)입니다.

사용 : 4.2의 f410번(tan·cot의 정의) · 442번(sin·cos 상호 표현) · 441번(부호 규칙)

증명 끝

444정리시컨트함수·코시컨트함수를 사인 또는 코사인 하나로 표현secθ=±11−sin²θ, cscθ=±11−cos²θ

증명법 : 직접증명법(4.2 f410번의 정의에 442번을 대입, 443번과 같은 방식)

주장. θ가 축 위의 경계각이 아닐 때 다음이 성립합니다.

secθ = ±11−sin²θ  (±=cosθ의 부호)     cscθ = ±11−cos²θ  (±=sinθ의 부호)

4.2 f410번의 정의 secθ:=1cosθ에 442번의 cosθ=±1−sin²θ를 대입하면 :

secθ = 1cosθ = 1±1−sin²θ = ±11−sin²θ

4.2 f410번 + 442번(cosθ에 대입), 443번과 같은 나눗셈 규칙

마찬가지로 cscθ:=1sinθ에 442번의 sinθ=±1−cos²θ를 대입하면 cscθ=±11−cos²θ(±=sinθ의 부호)를 얻습니다. (secθ를 cosθ만으로, cscθ를 sinθ만으로 표현하는 것은 이미 4.2 f410번의 정의 그 자체 — secθ=1cosθ, cscθ=1sinθ — 이므로 새로 증명할 것이 없고, 부호의 모호함도 전혀 없습니다.)

사용 : 4.2의 f410번(sec·csc의 정의) · 442번(sin·cos 상호 표현) · 441번(부호 규칙)

증명 끝

445정리시컨트·코시컨트와 탄젠트·코탄젠트의 곱셈 관계(부호 모호성 없음)secθ=cscθ·tanθ, cscθ=secθ·cotθ

증명법 : 직접증명법(4.2 f410번의 정의를 그대로 곱함, 제곱근이 전혀 등장하지 않아 441번의 부호 문제 자체가 발생하지 않음)

주장. θ가 축 위의 경계각이 아닐 때(즉 sinθ≠0이고 cosθ≠0일 때) 다음이 정확히(부호 모호성 없이) 성립합니다.

secθ = cscθ·tanθ     cscθ = secθ·cotθ

442−444번의 관계식들은 모두 425−427번(제곱 항등식)에서 제곱근을 거쳐 나왔기 때문에 부호가 ±로 갈렸습니다. 반면 이 정리는 4.2 f410번의 정의들을 제곱 없이 곱하기만 하므로 부호 문제 자체가 생기지 않습니다 :

cscθ·tanθ = 1sinθ·sinθcosθ	4.2 f410번(cscθ, tanθ의 정의를 그대로 대입)
= sinθsinθ·cosθ = 1cosθ	분수의 곱셈, sinθ≠0이므로 약분 가능
= secθ	4.2 f410번(secθ의 정의)

완전히 같은 방식으로 secθ·cotθ=1cosθ·cosθsinθ=cosθcosθ·sinθ=1sinθ=cscθ를 얻습니다.

주의(참고). 이 두 식은 secθ, cscθ, tanθ, cotθ 네 함수 모두를 실제로 알고 있을 때는 서로 자유롭게 바꿔 쓸 수 있는 정확한 등식이지만, 만약 tanθ 하나의 값만 주어지고 secθ를 구하고 싶다면 여전히 cscθ를 별도로 알아야 하므로(또는 446번의 ±√를 거쳐야 하므로) 441번의 부호 문제가 재등장합니다 — 이 정리 자체가 ±를 없애 주는 것이지, "값 하나로 나머지 전부"를 대신해 주는 것은 아닙니다.

사용 : 4.2의 f410번(sec·csc·tan·cot의 정의)

증명 끝

446정리탄젠트·코탄젠트와 시컨트·코시컨트 사이의 제곱근 관계tanθ=±sec²θ−1, cotθ=±csc²θ−1

증명법 : 직접증명법(4.5 f426·f427번을 변수에 대해 직접 풂, 442번과 같은 구조)

주장. θ가 축 위의 경계각이 아닐 때(tanθ, cotθ가 정의될 때) 441번의 부호 규칙 아래 다음이 성립합니다.

tanθ = ±sec²θ−1  (±=tanθ의 부호)     secθ = ±1+tan²θ  (±=secθ의 부호)

cotθ = ±csc²θ−1  (±=cotθ의 부호)     cscθ = ±1+cot²θ  (±=cscθ의 부호)

4.5의 f426번(1+tan²θ=sec²θ)을 tan²θ에 대해 정리하면 tan²θ=sec²θ−1입니다. secθ가 정의되는 θ에서 sec²θ−1=tan²θ≥0(실수의 제곱은 항상 음이 아니므로)이 자동으로 보장되어 제곱근이 항상 실수 범위에서 정의됩니다 :

tan²θ = sec²θ−1	4.5 f426번을 tan²θ에 대해 정리
|tanθ| = sec²θ−1	양변이 음이 아니므로 제곱근(√x²=|x|)
tanθ = ±sec²θ−1	실제 부호는 441번(4.3 f418번)으로 결정

같은 항등식을 sec²θ=1+tan²θ로 정리하면(우변이 1보다 작을 수 없으므로 √은 항상 정의됨) secθ=±1+tan²θ를 얻습니다. 코탄젠트·코시컨트 쌍도 4.5의 f427번(1+cot²θ=csc²θ)에 완전히 같은 방식을 적용해 cotθ=±csc²θ−1, cscθ=±1+cot²θ를 얻습니다(사인·코사인 쌍이 f425 하나에서 442번 두 식을 낳은 것과 같은 구조로, f426이 tan·sec 두 식을, f427이 cot·csc 두 식을 낳습니다).

이 네 식의 ±는 442번과 같은 "같은 피타고라스 쌍 안에서의 상호 표현"이므로, 어느 특정한 다른 함수의 부호와 대입으로 정확히 동일시되지 않고(443·444번과 달리 대입 과정이 아니라 f426·f427 자체를 직접 풀었으므로), 441번의 일반 규칙대로 θ의 사분면(4.3 f417·f418번)으로 결정됩니다.

사용 : 4.5의 f426번·f427번 · 441번(부호 규칙)

증명 끝

447정리여섯 삼각함수 사이의 관계 종합표442−446번의 대수적 조합, 6×5 = 30개 관계식

증명법 : 직접증명법(이미 증명한 442−446번과 4.2 f410번, 4.5 f428번을 대수적으로 조합 — 이 절에서 새로 증명해야 할 기하학적 사실은 없음)

주장. θ가 축 위의 경계각이 아닐 때, 여섯 삼각함수 중 임의의 한 함수는 나머지 다섯 함수 중 어느 것으로도 아래 표와 같이 표현됩니다(표의 각 칸은 "이 행의 함수 = 이 열의 함수로 나타낸 식"). 442−446번에서 직접 증명한 칸(±를 특정 함수의 부호와 동일시할 수 있음을 밝힌 442·443·444·446번, 그리고 부호가 전혀 없는 445번)을 제외한 나머지 칸은, 이미 확보한 항등식들을 서로 대입해 얻습니다(아래 유도 참고). 모든 ±는 441번의 규칙대로 θ가 속한 사분면(4.3 f417·f418번)으로 결정됩니다.

표시 대상	주어진 함수 : 표현식
sinθ	cos : ±1−cos²θ  /  tan : ±tanθ1+tan²θ  /  cot : ±11+cot²θ  /  sec : ±sec²θ−1secθ  /  csc : 1cscθ
cosθ	sin : ±1−sin²θ  /  tan : ±11+tan²θ  /  cot : ±cotθ1+cot²θ  /  sec : 1secθ  /  csc : ±csc²θ−1cscθ
tanθ	sin : ±sinθ1−sin²θ  /  cos : ±1−cos²θcosθ  /  cot : 1cotθ  /  sec : ±sec²θ−1  /  csc : ±1csc²θ−1
cotθ	sin : ±1−sin²θsinθ  /  cos : ±cosθ1−cos²θ  /  tan : 1tanθ  /  sec : ±1sec²θ−1  /  csc : ±csc²θ−1
secθ	sin : ±11−sin²θ  /  cos : 1cosθ  /  tan : ±1+tan²θ  /  cot : ±1+cot²θcotθ  /  csc : ±cscθcsc²θ−1
cscθ	sin : 1sinθ  /  cos : ±11−cos²θ  /  tan : ±1+tan²θtanθ  /  cot : ±1+cot²θ  /  sec : ±secθsec²θ−1

유도 방법(대표 예). 표의 칸들은 다음 세 방식 중 하나로 얻습니다.

① 같은 행 안에서 442·446번이 이미 직접 준 칸	예 : sinθ열의 cos·secθ열의 tan·secθ열의 cot 등 — 442·446번 자체
② 443·444번처럼 f410번의 비·역수 정의에 442·446번을 대입	예 : tanθ의 sinθ·cosθ 표현(443), sinθ의 tanθ 표현(아래 계산)
③ 445번(부호 없는 곱셈 관계)과 f428번(tanθ·cotθ=1)을 연쇄적으로 사용	예 : secθ의 cotθ 표현, cscθ의 tanθ 표현(아래 계산)

예를 들어 sinθ를 tanθ만으로 표현하는 칸은, sinθ=tanθ·cosθ(f410번 tanθ의 정의를 cosθ에 대해 정리)에 446번의 secθ=±1+tan²θ와 f410번의 cosθ=1secθ를 결합한 cosθ=1±1+tan²θ=±11+tan²θ(±=secθ의 부호)를 대입해 얻습니다 :

sinθ = tanθ·cosθ = tanθ·(±11+tan²θ)	f410번(tanθ=sinθ/cosθ를 sinθ=tanθcosθ로 재배열) + 446번(secθ) + f410번(cosθ=1/secθ)
= ±tanθ1+tan²θ	상수 tanθ를 그대로 곱함

또 secθ를 cotθ만으로 표현하는 칸은, 445번(secθ=cscθ·tanθ)과 f428번(tanθ=1cotθ)을 결합한 뒤 446번의 cscθ=±1+cot²θ(±=cscθ의 부호)를 대입해 얻습니다 :

secθ = cscθ·tanθ = cscθ·1cotθ = cscθcotθ	445번(secθ=cscθ·tanθ) + 4.5 f428번(tanθ=1/cotθ)
= ±1+cot²θcotθ = ±1+cot²θcotθ	446번(cscθ에 대입)

표의 나머지 26개 칸도 모두 위 세 방식 중 하나를 그대로 반복해 얻어지며, 어느 것도 425−427번(피타고라스 항등식) 이외의 새로운 기하학적 사실을 필요로 하지 않습니다 — 이 절 전체가 4.5의 네 항등식과 4.2의 정의만으로 완결되는 순수한 대수적 재조합이라는 뜻입니다.

사용 : 442번−446번(이 절 전체) · 4.2의 f410번(여섯 함수의 정의) · 4.5의 f428번(tanθ·cotθ=1) · 441번(부호 규칙)

증명 끝