4.7 수능 핵심
삼각함수의 주기성
Periodicity of Trigonometric Functions
정의 · 공식과 증명
1.4의 f63번(복소수의 n제곱근)은 증명 중간에 "cos(φ+2πk)+isin(φ+2πk)=cosφ+isinφ"라는 계산에서 "삼각함수의 주기성(주기 2π)"을 미리 예고하고 빌려 썼습니다. 이 절은 이 약속을 갚는 것을 포함해, 주기함수라는 개념 자체를 일반적으로 정의한 뒤(436번), 사인·코사인이 2π를 주기로 가진다는 것(437번)과 그중에서도 2π가 가장 작은 양의 주기(기본주기)임을(438번), 이어서 탄젠트·코탄젠트는 그 절반인 π를 주기로 가지며 그것이 기본주기임을(439·440번) 차례로 증명합니다. 사인·코사인이 이미 4.2 f409번의 정의에서 "P(θ₁)=P(θ₂) ⇔ θ₁−θ₂=2kπ"라는 성질을 이미 갖추고 있었으므로, 이 절의 대부분은 그 성질에 구체적인 값을 대입하고 4.6 f433번(반바퀴공식) 같은 이미 증명된 공식을 재사용하는 것으로 완결됩니다 — 이 절에서 새로 증명해야 하는 기하학적 사실은 사실상 없습니다.
436정의주기함수·주기·기본주기f(θ+T)=f(θ) (모든 θ∈D)
정의. 함수 f의 정의역을 D⊆ℝ이라 합시다. 0이 아닌 실수 T가 다음 두 조건을 만족시키면 T를 f의 주기(period)라 하고, f를 주기함수(periodic function)라 부릅니다.
(i) θ∈D ⇒ θ+T∈D (ii) 모든 θ∈D에 대해 f(θ+T) = f(θ)
조건 (i)는 정의역이 T만큼의 평행이동에 대해 닫혀 있어야 한다는 뜻으로, 정의역 제한이 있는 함수(예 : 탄젠트·코탄젠트)에서만 실제로 확인이 필요합니다. f의 양의 주기들 중 최솟값이 존재하면 그 값을 f의 기본주기(fundamental period, 최소양의주기)라 부릅니다. 모든 주기함수가 기본주기를 갖는 것은 아닙니다 — 예를 들어 상수함수 f(θ)=c는 0이 아닌 모든 실수가 주기이므로, 양의 주기의 집합이 (0,∞) 전체이고 최솟값이 존재하지 않습니다(양의 주기가 있으면 그보다 더 작은 양의 주기가 항상 존재하므로).
이 절에서 다룰 대상. 4.2의 f409번·f410번에서 정의한 여섯 삼각함수 sinθ, cosθ, tanθ, cotθ, secθ, cscθ가 각각 주기함수임을 보이고 그 기본주기를 구하는 것이 이 절의 목표입니다. sinθ, cosθ의 정의역은 ℝ 전체(4.2 f412번)이므로 조건 (i)는 임의의 T에서 자동으로 성립합니다. 반면 tanθ, secθ의 정의역 ℝ∖{π2+kπ : k∈ℤ}과 cotθ, cscθ의 정의역 ℝ∖{kπ : k∈ℤ}(4.2 f411번)은 모두 π의 정수배만큼의 평행이동에 대해 닫혀 있습니다 — 예를 들어 θ≠π2+kπ이면 θ+mπ≠π2+(k+m)π도 같은 꼴이므로 여전히 정의역 밖의 값이 아닙니다(m∈ℤ). 따라서 439·440번에서 T=π에 대해 조건 (i)를 별도로 검증할 필요 없이 곧바로 성립합니다.
사용 : 4.2의 f409번·f410번(여섯 삼각함수의 정의) · f411번·f412번(정의역·치역, 이 절에서 정의역의 평행이동 닫힘성을 확인하는 데 재사용)
437정리사인함수·코사인함수의 주기성sin(θ+2kπ)=sinθ, cos(θ+2kπ)=cosθ (k∈ℤ)
증명법 : 임의의 원소를 택하는 방법
주장. 모든 실수 θ와 모든 정수 k에 대해 다음이 성립합니다. 특히 k=1일 때 2π는 sinθ, cosθ 각각의 주기입니다(436번의 정의).
sin(θ+2kπ) = sinθ cos(θ+2kπ) = cosθ
θ, k를 임의로 고정합니다. θ₁:=θ+2kπ, θ₂:=θ로 두면 θ₁−θ₂=2kπ이므로, 4.2 f409번의 성질(P(θ₁)=P(θ₂) ⇔ θ₁−θ₂=2kπ인 어떤 정수 k가 존재)의 (⇐) 방향에 의해 곧바로 :
| P(θ+2kπ) = P(θ) | 4.2 f409번((⇐) 방향, θ₁−θ₂=2kπ) |
| (cos(θ+2kπ), sin(θ+2kπ)) = (cosθ, sinθ) | f409번(P(θ)=(cosθ, sinθ)의 정의를 양변에 적용) |
두 좌표를 각각 비교하면 원하는 두 식을 얻습니다. θ, k가 임의였으므로 모든 실수 θ와 모든 정수 k에서 성립합니다. 436번의 조건 (i)(정의역이 ℝ 전체라 자동으로 성립)와 (ii)(방금 보인 식)가 모두 확인되었으므로, 2kπ(k≠0인 정수)는 sinθ, cosθ 각각의 주기입니다.
선행 인용 해소. 1.4의 f63번(복소수의 n제곱근)이 "cos(φ+2πk)+isin(φ+2πk)=cosφ+isinφ"라는 계산에서 미리 예고하고 빌려 썼던 "삼각함수의 주기성(주기 2π)"이 바로 이 정리입니다(φ, k가 그쪽의 표기와 그대로 대응).
사용 : 4.2의 f409번(정의 및 점의 상등 조건) · 436번(주기함수의 정의)
증명 끝
438정리사인함수·코사인함수의 기본주기2π가 sinθ, cosθ의 기본주기(최소양의주기)
증명법 : 귀류법 (437번이 이미 보인 "2π가 주기임"에, "2π보다 작은 양의 주기는 없음"을 추가로 보여 완성)
주장. 2π는 sinθ, cosθ 각각의 기본주기입니다. 즉 0<T<2π인 어떤 실수 T도 sinθ의 주기가 될 수 없고, cosθ의 주기도 될 수 없습니다.
[코사인] 0<T<2π는 cosθ의 주기가 아님. 귀류법으로, 그런 T가 cosθ의 주기라고 가정합니다 — 즉 모든 실수 θ에서 cos(θ+T)=cosθ. 특히 θ=0에서 :
| cos T = cos(0+T) = cos 0 = 1 | 가정(θ=0) + P(0)=(1,0)(f409) |
4.5의 f425번(피타고라스 항등식) sin²T+cos²T=1과 cos T=1을 결합하면 sin²T=0, 즉 sin T=0입니다. 따라서 P(T)=(cos T, sin T)=(1,0)=P(0)입니다. 4.2 f409번의 성질(P(θ₁)=P(θ₂) ⇔ θ₁−θ₂=2kπ)의 (⇒) 방향을 θ₁=T, θ₂=0에 적용하면, T−0=2kπ인 정수 k가 존재합니다. 즉 T=2kπ.
그런데 0<T<2π이므로 0<2kπ<2π, 정리하면 0<k<1인 정수 k가 필요한데, 그런 정수는 존재하지 않습니다. 이것은 모순입니다. 따라서 귀류법에 의해 0<T<2π인 T는 cosθ의 주기가 될 수 없습니다.
T=5π6(=150°)인 구체적인 예 — P(T)가 A=P(0)=(1,0)과 다른 점(4.4의 π6 값과 4.6 f433번의 보각공식을 조합하면 cos T=−32≠1)이므로, 위 논증대로 T가 실제로 cosθ의 주기가 아님을 확인할 수 있습니다 — 0<T<2π인 임의의 T가 일반적으로 같은 이유로 배제됩니다.
[사인] 0<T<2π는 sinθ의 주기가 아님. 같은 논증을 θ=π2에서 반복합니다. 귀류법으로, 그런 T가 sinθ의 주기라고 가정합니다 — 모든 θ에서 sin(θ+T)=sinθ. θ=π2에서 :
| sin(π2+T) = sinπ2 = 1 | 가정 + 4.2 f413번의 표(sinπ2=1) |
f425번(sin²+cos²=1)과 sin(π2+T)=1을 결합하면 cos²(π2+T)=0, 즉 cos(π2+T)=0입니다. 따라서 P(π2+T)=(0,1)=P(π2)입니다(4.2 f413번의 표에서 cosπ2=0, sinπ2=1이므로 P(π2)=(0,1)). f409번의 (⇒) 방향을 θ₁=π2+T, θ₂=π2에 적용하면 (π2+T)−π2=2kπ인 정수 k가 존재, 즉 T=2kπ입니다. 0<T<2π이므로 코사인 경우와 똑같이 0<k<1인 정수가 필요한데 없습니다 — 모순. 따라서 0<T<2π인 T는 sinθ의 주기가 될 수 없습니다.
결론. 437번에서 2π 자신은 실제로 sinθ, cosθ 각각의 주기임을 보였고, 방금 0보다 크고 2π보다 작은 어떤 값도 주기가 될 수 없음을 보였으므로, 2π는 sinθ, cosθ 각각의 기본주기(양의 주기 중 최솟값)입니다.
시컨트·코시컨트 비고. secθ:=1cosθ, cscθ:=1sinθ(4.2 f410번)이므로, 0이 아닌 두 실수가 같다는 것과 그 역수가 같다는 것은 동치라는 사실로부터 cos(θ+T)=cosθ(cosθ≠0인 θ에서)와 sec(θ+T)=secθ는 정확히 같은 뜻이고, 정의역도 cosθ≠0(4.2 f411번)으로 정확히 일치합니다. 따라서 위에서 cosθ에 대해 보인 논증(2π는 주기, 0<T<2π는 주기 아님)이 그대로 secθ에 옮겨져 2π는 secθ의 기본주기이기도 합니다. cscθ도 sinθ와 함께 마찬가지로 기본주기 2π를 가집니다.
사용 : 437번(2π가 주기임, 충분성) · 4.2의 f409번(정의 및 점의 상등 조건) · f410번(sec·csc의 정의) · f411번(정의역) · f413번(θ=π2에서의 표값) · 4.5의 f425번(피타고라스 항등식)
증명 끝
439정리탄젠트함수·코탄젠트함수의 주기성tan(θ+π)=tanθ, cot(θ+π)=cotθ
증명법 : 직접증명법 (4.6 f433번의 대수적 재사용)
주장. tanθ가 정의되는 모든 θ(θ≠π2+kπ)에서 tan(θ+π)=tanθ이고, cotθ가 정의되는 모든 θ(θ≠kπ)에서 cot(θ+π)=cotθ입니다. 즉 π는 tanθ, cotθ 각각의 주기입니다(436번에서 확인했듯 정의역의 π-평행이동 닫힘성은 이미 보장됨).
4.6 f433번(반바퀴공식) sin(π+θ)=−sinθ, cos(π+θ)=−cosθ를 4.2 f410번(tanθ:=sinθcosθ, cotθ:=cosθsinθ)에 대입합니다 :
| tan(θ+π) = sin(θ+π)cos(θ+π) = −sinθ−cosθ = sinθcosθ = tanθ | 4.6 f433번 + f410번(tan 정의) |
| cot(θ+π) = cos(θ+π)sin(θ+π) = −cosθ−sinθ = cosθsinθ = cotθ | 4.6 f433번 + f410번(cot 정의) |
(첫 줄은 이미 4.6 f433번의 "탄젠트" 문단에서 확인된 식을 그대로 옮긴 것이고, 둘째 줄은 같은 방식을 cot에 적용해 이 절에서 새로 얻은 것입니다.)
기하학적으로 보면 — 왜 절반인가. 4.2 f410번의 탄젠트선 해석에 의해 tanθ는 동경 OP(θ)(필요하면 연장)가 접선 x=1과 만나는 점 Q의 y좌표입니다. 그런데 P(θ+π)=−P(θ)(4.6 f433번의 반바퀴공식에서 이미 확인한 점의 좌표)이므로 P(θ)와 P(θ+π)는 원점 O에 대해 서로 대척점(원점이 중점인 지름의 양 끝)입니다. 두 대척점과 O는 언제나 한 직선 위에 있으므로, 그 직선(필요한 방향으로 연장)이 접선 x=1과 만나는 점은 P(θ) 쪽에서 접근하든 P(θ+π) 쪽에서 접근하든 정확히 같은 점 Q입니다 — 이것이 바로 tan(θ+π)=tanθ가 성립하는 기하학적 이유이고, 사인·코사인의 기본주기가 2π인 데 비해 탄젠트·코탄젠트의 기본주기가 그 절반인 π인 이유이기도 합니다.
θ=50°인 예(반지름·좌표는 실제 삼각비 값으로 계산) — P(θ)와 P(θ+π)=P(230°)가 원점에 대해 대칭인 대척점이고, O를 지나는 이 직선의 연장선이 접선 위에서 만나는 점 Q가 두 경우 모두 동일합니다(tanθ=tan(θ+π)≈1.19).
사용 : 4.6의 f433번(반바퀴공식) · 4.2의 f410번(tan·cot의 정의, 탄젠트선 해석) · 436번(주기함수의 정의)
증명 끝
440정리탄젠트함수·코탄젠트함수의 기본주기π가 tanθ, cotθ의 기본주기(최소양의주기)
증명법 : 귀류법 (439번이 이미 보인 "π가 주기임"에, "π보다 작은 양의 주기는 없음"을 추가로 보여 완성 — 438번과 완전히 같은 구조)
주장. π는 tanθ, cotθ 각각의 기본주기입니다. 즉 0<T<π인 어떤 실수 T도 tanθ의 주기가 될 수 없고, cotθ의 주기도 될 수 없습니다.
[탄젠트] 0<T<π는 tanθ의 주기가 아님. 귀류법으로, 그런 T가 tanθ의 주기라고 가정합니다. θ=0은 tan의 정의역(cos 0=1≠0)이므로 :
| tan T = tan(0+T) = tan 0 = 0 | 가정(θ=0) + tan 0=sin 0cos 0=01=0 |
4.2 f410번(tanθ:=sinθcosθ, cosθ≠0인 θ에서만)의 정의상 tan T=0은 sin T=0(이면서 cos T≠0)과 같은 뜻입니다. 4.2 f411번(sinθ=0 ⇔ θ=kπ)에 의해 T=kπ인 정수 k가 존재합니다. (이때 cos(kπ)≠0인지는 4.5 f425번(sin²+cos²=1)으로 바로 확인됩니다 : sin(kπ)=0이므로 cos²(kπ)=1, cos(kπ)=±1≠0 — 따라서 T=kπ는 실제로 tan의 정의역 안에 있어 앞의 계산과 모순 없이 유효한 값입니다.)
그런데 0<T<π이므로 0<kπ<π, 즉 0<k<1인 정수 k가 필요한데, 그런 정수는 존재하지 않습니다. 모순입니다. 따라서 0<T<π인 T는 tanθ의 주기가 될 수 없습니다. 439번에서 π 자신은 실제로 tanθ의 주기임을 보였으므로, tanθ의 기본주기는 정확히 π입니다.
[코탄젠트] 0<T<π는 cotθ의 주기가 아님. 같은 논증을 θ=π2에서 반복합니다. 귀류법으로, 그런 T가 cotθ의 주기라고 가정합니다. θ=π2은 cot의 정의역(sinπ2=1≠0, 4.2 f413번)이므로 :
| cot(π2+T) = cotπ2 = cosπ2sinπ2 = 01 = 0 | 가정(θ=π2) + f410번(cot 정의) + f413번의 표(cosπ2=0, sinπ2=1) |
4.2 f410번(cotθ:=cosθsinθ, sinθ≠0인 θ에서만)의 정의상 cot(π2+T)=0은 cos(π2+T)=0(이면서 sin(π2+T)≠0)과 같은 뜻입니다. 4.2 f411번(cosθ=0 ⇔ θ=π2+kπ)에 의해 π2+T=π2+kπ인 정수 k가 존재, 즉 T=kπ입니다. 0<T<π이므로 탄젠트 경우와 똑같이 0<k<1인 정수가 필요한데 없습니다 — 모순. 따라서 0<T<π인 T는 cotθ의 주기가 될 수 없고, 439번에서 π 자신은 실제로 cotθ의 주기임을 보였으므로, cotθ의 기본주기도 정확히 π입니다.
정리. 이 절 전체를 종합하면, sinθ, cosθ, secθ, cscθ의 기본주기는 2π이고 tanθ, cotθ의 기본주기는 그 절반인 π입니다 — 4.2 f413번·f414번에서 그린 그래프들이 각각 2π, π 폭으로 반복되는 모양이었던 것이 이 절에서 엄밀하게 정당화되었습니다.
사용 : 439번(π가 주기임, 충분성) · 4.2의 f410번(tan·cot의 정의) · f411번(사인·코사인의 영점) · f413번(θ=π2에서의 표값) · 4.5의 f425번(피타고라스 항등식)
증명 끝