Home

7.9   수능 관련

평면의 방정식

Plane

정의 · 공식과 증명

7.3이 평면(2차원)에서 직선을 대수적으로 다뤘다면, 이 절은 7.8에서 세운 좌표공간에서 평면을 다룹니다―구성도 7.3과 나란합니다(방정식의 여러 꼴 → 위치 관계 → 거리). 출발점은 법선벡터입니다. 7.3이 직선을 «방향벡터로» 서술한 것과 달리, 공간의 평면은 «그 평면에 수직인 벡터 하나»로 서술하는 것이 훨씬 간결하기 때문입니다. 그런데 6.5(내적)는 성분을 평면의 순서쌍으로 두고 서술했으므로, 먼저 6.5의 결과가 공간에서도 그대로 성립함을 확인해 두고(596번), 이를 써서 점 하나와 법선벡터 하나가 평면을 결정함을 증명합니다(597번). 이어서 방정식의 여러 꼴(598번), 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 결정하는 평면(599번), 두 평면의 평행·수직·이루는 각(600번), 점과 평면 사이의 거리(601번), 평면이 공간을 나누는 방식(602번)을 차례로 다루고, 하나의 평면 2x+3y+6z−12=0으로 596–602번 전체를 수치로 재확인합니다(603번).

이 절이 쓰는 공간도형의 기본 성질. 7.8의 588·589번이 쓴 것과 같은 계열의 성질 셋을 그대로 사용합니다―(G1) 한 점을 지나 주어진 직선에 수직인 평면은 유일하게 존재한다, (G2) 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직이다, (G3) 한 점에서 주어진 직선에 수직인 모든 직선은 (G1)의 그 평면 위에 있다. 여기에 «서로 다른 두 평면이 만나면 그 교선은 직선이다»(7.8 589번에서 이미 사용)와 «세 점은 항상 한 평면 위에 있다»를 더합니다. 이들은 좌표를 도입하기 전 단계의 성질이므로 좌표로 다시 증명하지 않고 7.8과 동일한 지위로 인용합니다―순환은 없습니다.

596정리공간벡터의 내적(6.5의 3차원 확장)u·v = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

증명법 : 경우를 나누는 방법(6.5 f534번의 논증을 성분 하나 늘려 그대로 옮김)

이 항목이 여기 있는 이유. 6.5의 532–539번은 성분을 평면의 순서쌍 (x,y)로 두고 서술·증명했습니다. 이 절부터 7장의 나머지는 공간벡터의 내적이 필요하므로, 6.5의 결과가 3차원에서도 그대로 성립함을 여기서 한 번에 확인해 둡니다―6.1 f503·f507번, 6.2 f510번, 6.3 f519번, 6.4 f523·f530번이 각 절 안에서 «공간의 경우»를 함께 명시해 둔 것과 같은 방식입니다. 의존 관계는 6.5 → 596번 → 597번 이후의 한 방향뿐입니다.

정리(공간벡터의 내적). 공간의 두 벡터 u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂)에 대해 6.5의 533번(내적의 정의 u·v:=|u||v|cosθ)을 그대로 적용하면 다음이 모두 성립합니다 :

(1)   u·v = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

(2)   u·v=v·u,    u·u=|u|²,    u·(v+w)=u·v+u·w,    (ku)·v=k(u·v)

(3)   u ⊥ v  ⇔  u·v=0   (u, v가 둘 다 영벡터가 아닐 때)

(4)   comp_vu = u·v|v|   (v ≠ 0)

(1)의 증명. 먼저 6.5의 532·533번(각과 내적의 정의) 자체는 차원과 무관합니다―공통의 시점 O에서 OA=u, OB=v로 그리면 세 점 O, A, B는 항상 한 평면 위에 있고, θ와 |u||v|cosθ는 그 평면 안에서 정해지는 값이기 때문입니다. 따라서 남은 것은 이 값이 공간의 성분으로 어떻게 계산되는지뿐입니다.

경우 1―u, v가 평행하지 않은 경우. O, A, B가 (한 평면 위의) 진짜 삼각형을 이룹니다.

AB² = OA²+OB²−2·OA·OB·cosθ	3.4 f185번(코사인법칙)을 평면 OAB 위의 삼각형 OAB에 적용
|u−v|² = |u|²+|v|²−2|u||v|cosθ = |u|²+|v|²−2(u·v)	OA=|u|, OB=|v|, AB=|u−v|(6.3 f519·f520번) 대입, 6.5 533번(내적의 정의)
|u−v|² = (x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²+(z₁−z₂)²	6.3 f519번(성분별 뺄셈―공간), 6.1 f507번(공간의 크기 공식)
|u|²+|v|² = (x₁²+y₁²+z₁²)+(x₂²+y₂²+z₂²)	6.1 f507번
∴ −2(u·v) = |u−v|²−(|u|²+|v|²) = −2(x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)	위 세 줄의 결합―같은 양을 두 가지로 표현한 뒤 전개
∴ u·v = x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂	양변을 −2로 나눔

경우 2―u, v가 평행한 경우. 6.4 f525번에 의해 u=cv인 실수 c≠0가 존재하고(x₁=cx₂, y₁=cy₂, z₁=cz₂), c>0이면 θ=0, c<0이면 θ=π입니다. x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ = c(x₂²+y₂²+z₂²) = c|v|²이고(6.1 f507번), 다른 한편 6.5 533번·6.4 f524번(|u|=|c||v|)로 u·v=|c||v|²cosθ =c|v|²입니다(c>0이면 cos0=1이고 |c|=c, c<0이면 cosπ=−1이고 |c|=−c). 두 값이 일치합니다― 항이 하나 늘었을 뿐 6.5 f534번 경우 2와 같은 계산입니다.

경우 3―어느 한쪽이 영벡터인 경우. 6.5 533번의 약속에 의해 u·v:=0인데, 영벡터의 성분이 (0,0,0)이므로 x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂도 자동으로 0입니다―세 경우 모두 결론이 일치합니다.

(2)–(4)의 증명. 나머지 셋은 6.5의 해당 증명이 성분 공식과 내적의 정의만을 쓰므로, (1)을 얻은 지금 문장을 고칠 곳이 없습니다 :

(2) 네 성질 : 6.5 f535번의 성분 계산에 z항 하나를 더한 것	(1)·6.2 f510번(성분별 덧셈―공간)·6.4 f523번(실수배―공간)·실수의 교환·결합·분배법칙
(3) 수직 조건 : 6.5 f536번의 증명은 «u⊥v ⇔ θ=π/2 ⇔ cosθ=0 ⇔ u·v=0»이고, 마지막 단계의 성분 조건만 (1)로 바뀜	6.5 f536번·(1)
(4) 정사영 : 6.5 f539번의 증명은 6.4 f525번(직선의 매개변수 표현)과 위 (2)·(3)만 사용	6.5 f539번·(2)·(3)

수치 검산. u=(2,3,6), v=(0,0,1)이면 u·v=2·0+3·0+6·1=6이고, |u|=2²+3²+6²=49=7, |v|=1이므로 cosθ=67입니다― 이 값은 603번 5단계에서 평면 2x+3y+6z=12와 xy평면이 이루는 각으로 다시 나타납니다.

대학 : 선형대수학에서는 순서를 뒤집어, ℝⁿ에서 내적을 아예 u·v := x₁y₁+···+x_ny_n으로 정의하고, 코시–슈바르츠 부등식(6.5 f538번)으로 |u·v|≤|u||v|을 먼저 증명한 뒤 cosθ를 그 몫으로 정의합니다―그러면 «각»이라는 기하학적 개념 없이도 4차원 이상에서 수직·정사영을 말할 수 있습니다. 이 관점에서는 위 (1)이 정리가 아니라 정의가 되고, 거꾸로 6.5 533번이 정리가 됩니다. 수능 범위에서는 3차원까지의 위 결과만으로 충분합니다.

사용 : 6.5 532·533번(각·내적의 정의) · 6.5 f534·f535·f536·f539번 · 6.1 f507번 · 6.2 f510번 · 6.3 f519·f520번 · 6.4 f523·f524·f525번 · 3.4 f185번(코사인법칙)

증명 끝

597정의 · 정리평면의 법선벡터와 평면의 방정식(점―법선꼴)a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0

증명법 : 동치(필요충분조건)의 증명 · 존재의 증명―실제 예를 구성

정의(법선벡터, normal vector). 직선 ℓ이 평면 α와 수직일 때, ℓ의 방향을 나타내는 영벡터가 아닌 벡터를 α의 법선벡터라 하고 n으로 씁니다.

정리(점―법선꼴, point–normal form). 점 P₀(x₀,y₀,z₀)과 영벡터가 아닌 벡터 n=(a,b,c)가 주어지면, P₀를 지나고 n을 법선벡터로 하는 평면 α가 유일하게 존재하고, 임의의 점 P(x,y,z)에 대해 다음이 성립합니다 :

P ∈ α  ⇔  n·P₀P = 0  ⇔  a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀) = 0

1단계―α의 존재와 유일성.

n ≠ 0이므로 점 P₀와 점 P₀+n(P₀에서 n만큼 평행이동한 점)은 서로 다른 점 ⇒ 이 두 점을 지나는 직선 ℓ이 정해짐	6.1 f501·f505번(벡터·영벡터의 정의) · 서로 다른 두 점은 한 직선을 결정
P₀를 지나고 ℓ에 수직인 평면 α가 유일하게 존재	(G1) 한 점을 지나 한 직선에 수직인 평면의 존재와 유일성(공간도형)

2단계―(⇒) P ∈ α이면 n·P₀P=0.

P=P₀인 경우 : P₀P=0이고 6.5 533번의 약속에 의해 n·0=0	6.1 f505번(영벡터) · 6.5 533번(영벡터를 포함하는 내적의 약속)
P≠P₀인 경우 : 직선 P₀P는 α 위의 직선이고 ℓ ⊥ α ⇒ ℓ ⊥ 직선 P₀P	(G2) 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직
⇒ n ⊥ P₀P ⇒ n·P₀P=0	n은 ℓ의 방향, P₀P는 직선 P₀P의 방향 · 596번 (3)(수직 조건)

3단계―(⇐) n·P₀P=0이면 P ∈ α.

P=P₀이면 P₀ ∈ α이므로 자명	α의 정의(P₀를 지남)
P≠P₀이면 n·P₀P=0 ⇒ n ⊥ P₀P ⇒ 직선 P₀P ⊥ ℓ	596번 (3)(수직 조건)―두 벡터가 모두 영벡터가 아니므로 적용 가능
직선 P₀P는 P₀를 지나고 ℓ에 수직 ⇒ 직선 P₀P ⊂ α ⇒ P ∈ α	(G3) 한 점에서 한 직선에 수직인 모든 직선은 (G1)의 그 평면 위에 있음

4단계―좌표로 옮기기.

P₀P = (x−x₀,   y−y₀,   z−z₀)	6.1 f503번(두 점으로 정해지는 벡터의 성분―공간)
n·P₀P = a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)	596번 (1)(공간의 성분 공식)

덧붙임―법선벡터는 실수배만큼의 자유도를 갖습니다. k≠0이면 kn도 같은 직선 ℓ의 방향을 나타내므로 α의 법선벡터이고(6.4 f525번), 실제로 596번 (2)에 의해 (kn)·P₀P=k(n·P₀P)이므로 방정식이 나타내는 도형도 바뀌지 않습니다. 거꾸로 α의 법선벡터는 모두 n의 실수배입니다―P₀를 지나 α에 수직인 직선은 (G1)의 유일성에 의해 ℓ 하나뿐이므로, 법선벡터는 모두 ℓ의 방향, 즉 n의 0이 아닌 실수배입니다.

대학 : «P₀를 지나 ℓ에 수직인 평면이 존재한다»는 (G1)을 무정의 용어와 공리로부터 빠짐없이 세우는 일은 7.8 588번의 «대학» 각주에서 말한 공리적 기하학(힐베르트의 공리계)의 몫이고, 각 좌표축 위의 일대일대응에는 실수의 완비성이 필요합니다. 한편 선형대수학에서는 순서를 뒤집어, ℝⁿ에서 영벡터가 아닌 n에 대해 집합 { P : n·P₀P=0 } 자체를 초평면(hyperplane)이라 정의합니다―그러면 597번은 정리가 아니라 정의가 되고, 3차원에서 이 집합이 우리가 아는 «평면»과 일치한다는 것이 (위 증명이 보인) 별도의 사실이 됩니다. 수능 범위에서는 (G1)–(G3)을 직관적으로 받아들이는 것으로 충분합니다.

사용 : 596번 (1)(3) · 6.1 f501·f503·f505번 · 6.4 f525번 · 6.5 533번 · 공간도형의 기본 성질 (G1)·(G2)·(G3)

증명 끝

597번―평면 α : 2x+3y+6z=12와 그 법선벡터 n=(2,3,6). 평면은 세 좌표평면이 잘라내는 삼각형 ABC 부분만 그렸고, P(2,43,23)와 Q(3,0,1)은 모두 α 위의 점입니다―실제로 n·PQ=(2,3,6)·(1,−43,13)=2−4+2=0입니다. 모든 좌표는 이 절의 공식값을 오블리크 투영(x축을 30° 방향으로 0.6배 축소, 7.8·6.1의 3D 참고 도형과 같은 규약)에 그대로 대입해 계산했습니다. 오블리크 투영은 각을 보존하지 않으므로 3D 그림에는 직각 표시를 넣지 않았습니다―직각은 아래의 정확한 2D 단면 그림에만 표시합니다.

598정리평면의 방정식의 여러 형태ax+by+cz+d=0

증명법 : 직접증명법 · 경우를 나누는 방법 · 동치의 증명

정리. 다음이 성립합니다.

① 일반형(general form). 모든 평면은 a, b, c가 동시에 0이 아닌 실수 a, b, c, d에 대해 ax+by+cz+d=0 꼴로 나타나고, 거꾸로 이런 꼴의 방정식의 해집합은 언제나 평면이며 그 법선벡터는 n=(a,b,c)입니다.

② 절편형(intercept form). a, b, c, d가 모두 0이 아니면, 위 평면은 세 좌표축과 각각 (p,0,0), (0,q,0), (0,0,r)에서 만나고 다음과 같이 쓸 수 있습니다 :

xp + yq + zr = 1,    p=−da,   q=−db,   r=−dc

③ 특수한 위치의 평면. 계수가 0이 되는 경우는 아래 표와 같습니다.

①의 증명(앞쪽―평면 ⇒ 방정식). 597번의 점―법선꼴을 전개하면 됩니다 :

a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀) = ax+by+cz−(ax₀+by₀+cz₀)	전개(실수의 분배법칙)
∴ ax+by+cz+d = 0,   d := −(ax₀+by₀+cz₀)	597번(점―법선꼴)
n=(a,b,c)≠0이므로 a, b, c는 동시에 0이 아님	597번(n은 법선벡터이므로 영벡터가 아님)

①의 증명(뒤쪽―방정식 ⇒ 평면). a, b, c가 동시에 0이 아니므로 셋 중 적어도 하나는 0이 아닙니다. a≠0인 경우로 증명하고(b≠0, c≠0인 경우는 문자만 바꾼 같은 논증), P₀(−da, 0, 0)으로 둡니다.

a·(−da)+b·0+c·0+d = −d+d = 0 ⇒ P₀는 이 방정식의 해	a≠0이므로 da가 정의됨
ax+by+cz+d = a(x−(−da))+b(y−0)+c(z−0)	위 줄(d = −a·(−da))을 대입해 다시 묶음
∴ 해집합 = «P₀를 지나고 n=(a,b,c)를 법선벡터로 하는 평면»	597번(점―법선꼴의 동치)

②의 증명. a, b, c, d가 모두 0이 아니라 하고, x축과의 교점을 구합니다.

x축 위의 점 ⇔ y=0, z=0 ⇒ ax+d=0 ⇒ x=−da=p	7.8 589번 ③(좌표축의 특징) · a≠0
같은 방식으로 y절편 q=−db,   z절편 r=−dc	문자만 바꾼 같은 계산
ax+by+cz+d=0 ⇔ ax−d+by−d+cz−d=1 ⇔ xp+yq+zr=1	양변을 −d(≠0)로 나눔 · a−d=1p 등(위 줄)

p, q, r이 모두 0이 아니므로 이 평면은 어느 좌표축과도 원점이 아닌 점에서 만나며, 세 절편과 원점이 만드는 사면체를 제1팔분공간(p, q, r>0인 경우)에서 잘라냅니다―아래 그림과 603번 2단계에서 이 사면체의 부피를 실제로 계산합니다.

③의 증명. 계수가 0인 것은 법선벡터가 그 좌표축에 수직이라는 뜻입니다. 6.1 f502번의 표준기저벡터 i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)을 쓰면 596번 (1)에 의해 n·k=c이므로 :

c=0 ⇔ n ⊥ k ⇔ P ∈ α인 모든 P에 대해 P+k ∈ α	596번 (1)(3) · 597번(n·P(P+k)=n·k=c)
⇒ α는 z축 방향을 포함―즉 α는 z축에 평행하거나 z축을 포함(d=0일 때)	위 줄 · 597번
a=b=0 (c≠0) ⇔ n=(0,0,c) ⇒ 방정식은 z=−dc ⇒ xy평면에 평행(d≠0) 또는 xy평면 자신(d=0)	①의 뒤쪽 · 7.8 589번 ②(xy평면 ⇔ z=0)
d=0 ⇔ 원점 O(0,0,0)이 방정식을 만족 ⇔ α가 원점을 지남	방정식에 (0,0,0)을 대입

표로 정리하면 다음과 같습니다(a, b, c 중 남은 것은 0이 아니라고 가정) :

c=0  (ax+by+d=0)	z축에 평행 · 예 : 3x−2y=0(z축을 포함)
b=c=0  (ax+d=0)	yz평면에 평행 · x=−da
a=b=0  (cz+d=0)	xy평면에 평행 · z=−dc
d=0	원점을 지남
a=b=d=0  (cz=0)	xy평면 자신 · z=0

수치 예. 597번의 예 n=(2,3,6), P₀(6,0,0)이면 d=−(2·6+0+0)=−12이므로 2x+3y+6z−12=0이고, 절편형은 x6+y4+z2=1―x절편 6, y절편 4, z절편 2입니다.

사용 : 597번(점―법선꼴) · 596번 (1)(3) · 6.1 f502번(표준기저벡터) · 7.8 589번(좌표평면·좌표축의 특징)

증명 끝

598번 ②―3D 원근 참고 도형. 절편형 x6+y4+z2=1의 세 절편 6, 4, 2를 그대로 픽셀에 대입해 그린 사면체 OABC로, 관찰자 쪽을 향한 면 ABC의 모서리는 실선, 그 뒤에 가려지는 모서리 OA·OB·OC는 점선으로 그려 입체감을 주었습니다(세 면에 서로 다른 옅은 채움을 넣은 것도 같은 목적입니다). 603번 2단계에서 이 사면체의 부피가 8임을 계산합니다.

599정리한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면n·AB=n·AC=0

증명법 : 존재의 증명―실제 예를 구성 · 대우증명법 · 경우를 나누는 방법 · 직접증명법

보조정리(두 벡터에 동시에 수직인 벡터). p=(p₁,p₂,p₃), q=(q₁,q₂,q₃)가 서로 평행하지 않은(둘 다 영벡터가 아니고 어느 쪽도 다른 쪽의 실수배가 아닌) 두 벡터라 하고,

m = (p₂q₃−p₃q₂,   p₃q₁−p₁q₃,   p₁q₂−p₂q₁)

으로 두면 다음이 성립합니다 :

① m·p=0,   m·q=0     ② m ≠ 0     ③ { w : w·p=0, w·q=0 } = { tm : t ∈ ℝ }

또 세 벡터 p, q, r에 대해 다음 항등식이 성립합니다(②③과 달리 평행하지 않다는 가정 없이 항상 성립) :

④   m(p,q) · m(p,r) = (p·p)(q·r) − (p·r)(p·q)

(여기서 m(p,q)는 위 식의 m을, m(p,r)은 q 자리에 r를 넣은 것을 뜻합니다. r=q로 두면 |m|²=|p|²|q|²−(p·q)²입니다.)

①의 증명. 596번 (1)로 전개하면 여섯 항이 두 개씩 상쇄됩니다 :

m·p = (p₂q₃−p₃q₂)p₁ + (p₃q₁−p₁q₃)p₂ + (p₁q₂−p₂q₁)p₃	596번 (1)(공간의 성분 공식)
= p₁p₂q₃−p₁p₃q₂ + p₂p₃q₁−p₁p₂q₃ + p₁p₃q₂−p₂p₃q₁ = 0	전개 후 같은 항이 부호만 반대로 두 번씩 나타나 모두 상쇄
m·q = 0	q₁, q₂, q₃에 대해 문자만 바꾼 같은 계산

②의 증명(대우). m=0, 즉 p₂q₃=p₃q₂, p₃q₁=p₁q₃, p₁q₂=p₂q₁이라 가정하고 p, q가 평행함을 보입니다. p≠0이므로 p₁, p₂, p₃ 중 적어도 하나는 0이 아닙니다― p₁≠0인 경우로 쓰고(나머지 둘은 문자만 바꾼 같은 논증), t := q₁p₁로 둡니다.

p₁q₂=p₂q₁ ⇒ q₂ = p₂q₁p₁ = tp₂	p₁≠0이므로 양변을 p₁로 나눔
p₃q₁=p₁q₃ ⇒ q₃ = p₃q₁p₁ = tp₃	같은 방식
q₁ = tp₁	t의 정의
∴ q = tp ⇒ p, q는 평행	6.4 f523·f525번(실수배·방향)―대우 «m=0 ⇒ 평행»이 증명됨

③의 증명. (⊇) ①과 596번 (2)에 의해 (tm)·p=t(m·p)=0이고 q에 대해서도 같으므로, m의 모든 실수배가 해입니다. (⊆) 거꾸로 w=(a,b,c)가 두 식을 모두 만족한다고 하겠습니다. ②에 의해 m₁, m₂, m₃ 중 적어도 하나는 0이 아니고, m₃=p₁q₂−p₂q₁≠0인 경우로 씁니다(나머지 둘은 문자만 바꾼 같은 논증).

ap₁+bp₂+cp₃=0  ···(Ⓐ),    aq₁+bq₂+cq₃=0  ···(Ⓑ)	596번 (1)로 두 식을 성분으로 씀
(Ⓐ)×q₂ − (Ⓑ)×p₂ :   a(p₁q₂−p₂q₁) + c(p₃q₂−p₂q₃) = 0	b의 계수가 p₂q₂−p₂q₂=0으로 소거됨
⇒ a·m₃ − c·m₁ = 0 ⇒ a = c·m₁m₃	m₁=p₂q₃−p₃q₂이므로 p₃q₂−p₂q₃=−m₁ · m₃≠0
(Ⓐ)×q₁ − (Ⓑ)×p₁ :   b(p₂q₁−p₁q₂) + c(p₃q₁−p₁q₃) = 0	a의 계수가 소거됨
⇒ −b·m₃ + c·m₂ = 0 ⇒ b = c·m₂m₃	m₂=p₃q₁−p₁q₃ · m₃≠0
∴ t := cm₃로 두면 a=tm₁, b=tm₂, c=tm₃, 즉 w=tm	위 두 결과와 c=t·m₃의 결합

④의 증명. 양변을 596번 (1)로 전개해 비교합니다. 오른변은

(p·p)(q·r) − (p·r)(p·q) = Σ_i,j p_i²q_jr_j − Σ_i,j p_ir_ip_jq_j

인데(i, j는 각각 1, 2, 3을 훑음), i=j인 항끼리는 p_i²q_ir_i로 같아 상쇄되므로, 남는 것은 i≠j인 항뿐입니다. 짝 (i,j)와 (j,i)를 함께 묶으면 그 합은

p_i²q_jr_j + p_j²q_ir_i − p_ip_jq_jr_i − p_ip_jq_ir_j = (p_iq_j−p_jq_i)(p_ir_j−p_jr_i)

이고, 이는 정확히 왼변의 세 항 가운데 하나입니다(예 : (i,j)=(2,3)이면 (p₂q₃−p₃q₂)(p₂r₃−p₃r₂)―m(p,q)와 m(p,r)의 첫 성분끼리의 곱). 세 짝 (2,3), (3,1), (1,2)를 모두 더하면 양변이 일치합니다.

정리(세 점을 지나는 평면). 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C를 지나는 평면은 유일하게 존재하고, 그 법선벡터는 m(AB, AC)의 0이 아닌 실수배 전체입니다.

A, B, C가 한 직선 위에 있지 않음 ⇒ AB, AC는 서로 평행하지 않음	6.4 f525번―평행하면 AC=tAB가 되어 C가 직선 AB 위에 놓임
n := m(AB, AC) ≠ 0,   n·AB=n·AC=0	보조정리 ①②
A를 지나고 n을 법선벡터로 하는 평면 α가 유일하게 존재하고 B, C ∈ α	597번(존재·유일성과 점―법선꼴의 동치)
(유일성) A, B, C를 모두 지나는 평면 β의 법선벡터 n′은 n′·AB=n′·AC=0을 만족	597번(A, B ∈ β이므로 n′·AB=0, C도 마찬가지)
⇒ n′=tn (t≠0) ⇒ β는 A를 지나고 n을 법선벡터로 하는 평면 = α	보조정리 ③ · 597번의 유일성

수치 예(603번에서 계속 쓰는 평면). A(6,0,0), B(0,4,0), C(0,0,2)에 대해 6.1 f503번으로 AB=(−6,4,0), AC=(−6,0,2)이므로

n = (4·2−0·0,   0·(−6)−(−6)·2,   (−6)·0−4·(−6)) = (8, 12, 24) = 4(2,3,6)	보조정리의 m
n·AB = 8·(−6)+12·4+24·0 = −48+48 = 0,   n·AC = −48+0+48 = 0	①의 직접 확인
∴ (2,3,6)을 법선벡터로 A(6,0,0)을 지나는 평면 : 2(x−6)+3y+6z=0, 즉 2x+3y+6z−12=0	597번 · 598번 ①

B, C를 대입하면 0+12+0−12=0, 0+0+12−12=0으로 실제로 두 점 모두 이 평면 위에 있습니다.

대학 : 위 m(p,q)는 대학 과정(그리고 이 사이트의 6.6절)에서 외적(벡터곱) p×q라 부르는 연산과 같은 것이고, ④는 라그랑주 항등식 (a×b)·(c×d)=(a·c)(b·d)−(a·d)(b·c)의 특수한 경우입니다. 다만 이 절은 외적을 전혀 전제하지 않습니다―위 m은 «두 개의 일차방정식을 소거법으로 푼 결과»로 얻어진 것일 뿐이고(③의 증명이 바로 그 소거 과정입니다), ④도 성분을 전개해 확인한 항등식입니다. 수능 범위에서는 «두 벡터에 동시에 수직인 벡터는 연립방정식을 풀어 구한다»는 것으로 충분합니다.

사용 : 596번 (1)(2) · 597번(점―법선꼴과 유일성) · 598번 ① · 6.1 f503번 · 6.4 f523·f525번

증명 끝

599번―세 점 A(6,0,0), B(0,4,0), C(0,0,2)와 두 벡터 AB=(−6,4,0), AC=(−6,0,2). n=(2,3,6)은 두 벡터와 동시에 수직인 벡터―연립방정식 n·AB=0, n·AC=0을 소거법으로 푼 결과(보조정리 ③)이며, 그림의 삼각형은 597번 그림과 같은 축척·투영으로 그려 두 그림의 비율이 서로 일치합니다.

600정리두 평면의 위치 관계―평행 · 수직 · 이루는 각cosθ = |n₁·n₂||n₁||n₂|

증명법 : 동치의 증명 · 경우를 나누는 방법 · 직접증명법

정리. 두 평면 α : a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0, β : a₂x+b₂y+c₂z+d₂=0의 법선벡터를 각각 n₁=(a₁,b₁,c₁), n₂=(a₂,b₂,c₂)라 하면 :

①(평행·일치) α와 β가 평행하거나 일치 ⇔ n₁과 n₂가 평행(n₂=kn₁인 k≠0가 존재). 이때 d₂=kd₁이면 일치, 아니면 (만나지 않는) 평행입니다.

②(만남) n₁, n₂가 평행하지 않으면 두 평면은 만나고, 교선 ℓ은 직선이며 그 방향벡터는 m(n₁,n₂)의 0이 아닌 실수배입니다(599번 보조정리의 m).

③(이루는 각) α, β가 만날 때, 교선 ℓ 위의 한 점에서 각 평면 위에 ℓ에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각(이면각) 가운데 크지 않은 쪽을 θ(0≤θ≤π2)라 하면

cosθ = |n₁·n₂||n₁||n₂| = |a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂|a₁²+b₁²+c₁²a₂²+b₂²+c₂²

④(수직) α ⊥ β  ⇔  n₁·n₂=0 ⇔ a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂=0.

②의 증명(먼저 증명합니다―①이 이것을 씁니다). n₁, n₂가 평행하지 않으므로 599번 보조정리 ②에 의해 m(n₁,n₂)의 세 성분 가운데 적어도 하나는 0이 아닙니다. 셋째 성분 a₁b₂−b₁a₂≠0인 경우로 씁니다(나머지는 문자만 바꾼 같은 논증).

z=0으로 고정하면 a₁x+b₁y=−d₁,   a₂x+b₂y=−d₂	두 방정식에 z=0 대입
첫 식×b₂−둘째 식×b₁ : (a₁b₂−a₂b₁)x = b₁d₂−b₂d₁	y의 소거(실수의 분배법칙)
⇒ x, y가 (유일하게) 정해짐 ⇒ 두 평면의 공통점이 존재	a₁b₂−a₂b₁≠0이므로 나눌 수 있음
α ≠ β(법선벡터가 평행하지 않으므로 서로 다른 평면) ⇒ 교선 ℓ은 직선	서로 다른 두 평면이 만나면 교선은 직선(공간도형―7.8 589번에서 이미 사용) · 597번(법선벡터의 유일성)
ℓ 위의 서로 다른 두 점 P, Q에 대해 PQ·n₁=0, PQ·n₂=0	P, Q ∈ α이고 P, Q ∈ β · 597번
∴ PQ = t·m(n₁,n₂) (t≠0)	599번 보조정리 ③

①의 증명. (⇐) n₂=kn₁(k≠0)이면 β의 방정식은 양변을 k로 나누어 a₁x+b₁y+c₁z+d₂k=0로 쓸 수 있습니다―d₂k=d₁이면 α와 글자 그대로 같은 방정식이므로 두 평면이 일치하고, 그렇지 않으면 같은 (x,y,z)가 두 방정식을 동시에 만족할 수 없으므로(좌변의 차가 d₂k−d₁≠0인 상수) 공통점이 없습니다―즉 평행합니다. (⇒) 대우로 보입니다. n₁, n₂가 평행하지 않으면 ②에 의해 두 평면은 만나고, 또 교선이 직선이므로 일치하지도 않습니다―따라서 «평행하거나 일치»가 성립하지 않습니다.

③의 증명. ②의 교선 ℓ과 그 방향벡터 d(d≠0, d·n₁=d·n₂=0)을 잡고, ℓ 위의 한 점 P를 고정합니다.

d와 n₁은 평행하지 않음	평행하다면 d=kn₁에서 d·n₁=k|n₁|²≠0이 되어 모순 · 596번 (2)
u := m(d,n₁) ≠ 0,   u·d=0,   u·n₁=0	599번 보조정리 ①②
u·n₁=0 ⇒ P+u ∈ α,    u·d=0 ⇒ 반직선 P(P+u) ⊥ ℓ	597번(P ∈ α이므로) · 596번 (3)
같은 방식으로 v := m(d,n₂)는 β 위에서 ℓ에 수직인 반직선의 방향	위 세 줄에서 n₁을 n₂로 바꾼 같은 논증
u·v = (d·d)(n₁·n₂) − (d·n₂)(d·n₁) = |d|²(n₁·n₂)	599번 보조정리 ④ · d·n₁=d·n₂=0 · 596번 (2)(d·d=|d|²)
|u|² = |d|²|n₁|²−(d·n₁)² = |d|²|n₁|² ⇒ |u|=|d||n₁|	599번 보조정리 ④에서 r=q인 경우 · 크기는 0 이상
같은 방식으로 |v|=|d||n₂|	문자만 바꾼 같은 계산
∴ cos∠(u,v) = u·v|u||v| = |d|²(n₁·n₂)|d|²|n₁||n₂| = n₁·n₂|n₁||n₂| = cos∠(n₁,n₂)	6.5 f537번(각의 코사인 공식―596번 (1)(2)에 의해 공간에서도 성립)

즉 «ℓ에 수직인 두 반직선이 이루는 각» 가운데 한 쌍은 두 법선벡터가 이루는 각과 정확히 같습니다. u 대신 반대쪽 반직선(−u)을 택하면 그 보각이 되므로, 이면각으로 얻어지는 각은 ∠(n₁,n₂)이거나 그 보각이고, 둘 중 크지 않은 쪽 θ에 대해 cosθ=|cos∠(n₁,n₂)|입니다―여기에 위 결과를 대입하면 ③의 공식을 얻습니다.

④의 증명. α ⊥ β는 θ=π2, 즉 cosθ=0을 뜻하고, ③의 분모가 0이 아니므로 이는 n₁·n₂=0과 동치입니다(596번 (3)의 수직 조건이 두 법선벡터에 그대로 적용됩니다).

수치 예(603번 4·5·6단계). α : 2x+3y+6z−12=0에 대해 :

β : 2x+3y+6z+9=0 ― n₂=n₁(k=1)이고 9≠−12	① : 평행(일치하지 않음)
γ : 3x−2y=0 ― n₁·n₂=2·3+3·(−2)+6·0=0	④ : 수직
xy평면 z=0 ― n₂=(0,0,1), n₁·n₂=6, |n₁|=7, |n₂|=1 ⇒ cosθ=67	③ : θ≈31.0°

사용 : 596번 (1)(2)(3) · 597번 · 599번 보조정리 ①②③④ · 6.5 f537번(각의 코사인 공식) · 7.8 589번(두 평면의 교선―공간도형)

증명 끝

600번 ③―α와 xy평면의 교선은 직선 AB입니다(z=0이면서 2x+3y=12인 점 전체). F(2413,3613,0)은 O에서 AB에 내린 수선의 발이고, OF ⊥ AB, FC ⊥ AB이므로 ∠OFC가 두 평면의 이면각입니다―603번 5단계에서 좌표로 확인합니다.

600번 ③의 정확한 2D 단면―위 3D 그림을 교선 AB에 수직인 평면(삼각형 OFC를 포함하는 평면)으로 자른 것입니다. OC는 z축 위의 선분이고 OF는 xy평면 위의 선분이므로 ∠FOC=90°(직각 표시)이고, OF=1213≈3.328, OC=2, FC=1413≈3.883을 같은 축척으로 픽셀에 대입했습니다―cosθ=OFFC=67로 600번 ③의 법선벡터 계산과 정확히 일치합니다(θ≈31.0°).

601정리점과 평면 사이의 거리 · 평행한 두 평면 사이의 거리d(P₀,α) = |ax₀+by₀+cz₀+d|a²+b²+c²

증명법 : 직접증명법(수선의 발을 명시적으로 구성한 뒤 최솟값임을 확인―7.3 f558번의 공간판)

정리(점과 평면 사이의 거리). 평면 α : ax+by+cz+d=0(a, b, c는 동시에 0이 아님)과 점 P₀(x₀,y₀,z₀)에 대해, P₀에서 α에 내린 수선의 발 H는

H = P₀ − tn,    t := ax₀+by₀+cz₀+da²+b²+c²,    n=(a,b,c)

이고, P₀에서 α까지의 거리 d(P₀,α)(=α 위의 점까지의 거리의 최솟값)는 다음과 같습니다 :

d(P₀,α) = |ax₀+by₀+cz₀+d|a²+b²+c²

1단계―H가 α 위의 점임을 확인합니다. H의 좌표는 (x₀−ta, y₀−tb, z₀−tc)입니다.

a(x₀−ta)+b(y₀−tb)+c(z₀−tc)+d = (ax₀+by₀+cz₀+d) − t(a²+b²+c²)	전개 후 t로 묶음
= (ax₀+by₀+cz₀+d) − (ax₀+by₀+cz₀+d) = 0	t의 정의를 대입
∴ H ∈ α	598번 ①(방정식의 해집합이 α)

2단계―HP₀가 법선 방향임을 확인합니다. 6.1 f503번에 의해 HP₀ = (ta, tb, tc) = tn입니다(6.4 f523번). 따라서 t≠0이면 직선 HP₀는 n을 방향으로 하는 직선, 즉 α에 수직인 직선이고 H는 수선의 발입니다. t=0이면 H=P₀∈α입니다.

3단계―H까지의 거리가 최솟값입니다. α 위의 임의의 점 X에 대해 :

HX·n = 0	H, X ∈ α · 597번
HP₀·HX = (tn)·HX = t(n·HX) = 0	2단계 · 596번 (2)(실수배와의 결합)
P₀X² = |HX−HP₀|² = |HX|²−2(HX·HP₀)+|HP₀|² = HX²+HP₀²	6.3 f520번(뺄셈의 기하학적 의미) · 596번 (2)를 전개에 적용 · 위 줄
∴ P₀X ≥ HP₀이고, 등호는 HX=0, 즉 X=H일 때만 성립	6.1 f505번(크기가 0인 벡터는 영벡터뿐)

이 3단계는 «수선의 발까지의 거리가 최단거리»라는 사실을 좌표로 다시 확인한 것으로, 7.8 591번이 좌표평면·좌표축에 대해 한 것과 같은 형태의 논증입니다(내용은 3.1 f163번 피타고라스 정리와 같습니다).

4단계―거리의 값.

d(P₀,α) = HP₀ = |tn| = |t||n|	2단계 · 6.4 f524번(실수배의 크기)
|n| = a²+b²+c²	6.1 f507번(공간의 크기 공식)
∴ d(P₀,α) = |ax₀+by₀+cz₀+d|a²+b²+c²·a²+b²+c² = |ax₀+by₀+cz₀+d|a²+b²+c²	t의 정의 대입 후 약분

따름정리(평행한 두 평면 사이의 거리). 600번 ①에 의해 평행한 두 평면은 법선벡터를 같게 맞출 수 있으므로 α : ax+by+cz+d₁=0, β : ax+by+cz+d₂=0(d₁≠d₂)으로 둘 수 있습니다. β 위의 임의의 점 P₁(x₁,y₁,z₁)에 대해 ax₁+by₁+cz₁=−d₂이므로

d(α,β) = d(P₁,α) = |−d₂+d₁|a²+b²+c² = |d₁−d₂|a²+b²+c²

이고, 이 값이 P₁의 선택과 무관하므로(식에 x₁, y₁, z₁이 남지 않음) 두 평면 사이의 거리로 잘 정의됩니다― 7.3 f558번에서 Q의 선택과 무관했던 것과 같은 구조입니다.

수치 예(603번 3·4단계). α : 2x+3y+6z−12=0, P₀(1,2,3)이면 a²+b²+c²=4+9+36=49이고 ax₀+by₀+cz₀+d=2+6+18−12=14이므로 t=1449=27, d(P₀,α)=147=2, H=(1,2,3)−27(2,3,6)=(37,87,97)입니다. β : 2x+3y+6z+9=0과의 거리는 |−12−9|7=217=3입니다.

사용 : 596번 (2) · 597번 · 598번 ① · 600번 ① · 6.1 f503·f505·f507번 · 6.3 f520번 · 6.4 f523·f524번 · 7.8 591번 · 7.3 f558번(평면판)

증명 끝

601번―정확한 2D 단면. 점 P(1,2,3), 수선의 발 H(37,87,97), α 위의 점 Q=A(6,0,0)―이 세 점을 지나는 평면으로 자른 단면이며, 가로 직선은 그 평면과 α의 교선입니다. HP=2, QH=34≈5.831, QP=38≈6.164를 같은 축척으로 대입했고, 2²+34=38이므로 ∠PHQ가 실제로 직각입니다(직각 표시).

602정리점과 평면의 위치 관계―부호와 반공간f(P) = ax+by+cz+d의 부호

증명법 : 직접증명법 · 경우를 나누는 방법

정리. 평면 α : ax+by+cz+d=0에 대해 f(P) := ax+by+cz+d (P(x,y,z))로 두면 :

① f(P)=0 ⇔ P ∈ α이고, f(P)≠0인 점 P에 대해 f(P)a²+b²+c²는 P가 어느 쪽에 있는지까지 나타내는 부호 있는 거리입니다(절댓값이 601번의 거리).

② α 위에 있지 않은 두 점 P, Q에 대해 : 선분 PQ가 α와 만난다 ⇔ f(P)f(Q)<0.

③ 따라서 α는 공간의 나머지 점들을 f>0인 부분과 f<0인 부분―두 반공간으로 나누고, 두 점이 같은 반공간에 있을 필요충분조건은 f(P)f(Q)>0입니다.

①의 증명. 앞부분은 598번 ①(방정식의 해집합이 α) 그대로이고, 뒷부분은 601번의 t=f(P)a²+b²+c²에 대해 HP=tn이었으므로― P는 t>0이면 H에서 n과 같은 방향, t<0이면 반대 방향에 있습니다(6.4 f525번). t의 부호는 f(P)의 부호와 같고(분모 a²+b²+c²>0), 크기는 601번에 의해 |f(P)|/a²+b²+c²입니다.

②의 증명. 선분 PQ 위의 점은 7.8 592번(내분점)에 의해 X(s) = P + sPQ (0≤s≤1)로 모두 나타납니다(s=mm+n).

X(s)의 좌표 = ((1−s)x₁+sx₂,   (1−s)y₁+sy₂,   (1−s)z₁+sz₂)	7.8 592번 · P(x₁,y₁,z₁), Q(x₂,y₂,z₂)
f(X(s)) = (1−s)(ax₁+by₁+cz₁) + s(ax₂+by₂+cz₂) + d	f의 정의에 대입 후 전개(실수의 분배법칙)
= (1−s)(ax₁+by₁+cz₁+d) + s(ax₂+by₂+cz₂+d) = (1−s)f(P) + s·f(Q)	d=(1−s)d+sd로 쪼개어 각 괄호에 나눠 넣음
(⇐) f(P)f(Q)<0이면 s* := f(P)f(P)−f(Q) ∈ (0,1)이고 f(X(s*))=0	f(P), f(Q)의 부호가 반대이므로 f(P)−f(Q)≠0이고 0<s*<1 · 대입해 확인
(⇒) 어떤 s ∈ [0,1]에 대해 f(X(s))=0이면 (1−s)f(P)=−s·f(Q)	위 셋째 줄
⇒ s≠0, s≠1이고(f(P), f(Q)≠0) 양변의 부호 비교로 f(P), f(Q)의 부호가 반대 ⇒ f(P)f(Q)<0	1−s>0, s>0이므로 f(P)와 f(Q)는 반대 부호

③의 증명. f(P)≠0인 점 전체는 f>0인 집합과 f<0인 집합으로 (실수의 삼분법에 의해) 빠짐없이 겹침없이 나뉘고, ②에 의해 두 점을 잇는 선분이 α와 만나지 않을 필요충분조건이 f(P)f(Q)>0입니다― 이것이 «같은 쪽»의 정의입니다.

수치 예(603번 7단계). α : 2x+3y+6z−12=0에 대해 f(P)=f(1,2,3)=14>0, f(O)=f(0,0,0)=−12<0이므로 P와 원점은 α의 서로 다른 쪽에 있고, 선분 OP는 s*=−12−12−14=613에서 α와 만납니다―교점은 (613,1213,1813)이고, 대입하면 1213+3613+10813=15613=12로 실제로 α 위의 점입니다.

사용 : 598번 ① · 601번(수선의 발과 거리) · 6.4 f525번 · 7.8 592번(내분점) · 실수의 삼분법

증명 끝

601·602번―P(1,2,3)에서 내린 수선의 발 H와, 선분 OP가 α와 만나는 점 S(613,1213,1813). f(P)=14>0, f(O)=−12<0이므로 P와 O는 α의 서로 다른 반공간에 있고, 그래서 선분 OP가 α를 가로지릅니다. H와 S는 모두 삼각형 ABC의 내부에 있습니다(절편형에 대입하면 세 항이 모두 양수이고 합이 1).

603정리—활용활용―세 점 · 절편 · 거리 · 각 · 위치 관계 종합 예제A(6,0,0), B(0,4,0), C(0,0,2)

예제. 세 점 A(6,0,0), B(0,4,0), C(0,0,2)로 정해지는 평면 α를 가지고 596–602번 전체를 수치로 확인합니다.

1단계―세 점으로 평면 구하기(599번). A, B, C는 한 직선 위에 있지 않습니다(예컨대 A, B는 z=0을 만족하지만 C는 만족하지 않으므로 직선 AB 위에 C가 있을 수 없습니다).

AB=(−6,4,0),   AC=(−6,0,2)	6.1 f503번
n = (4·2−0·0,   0·(−6)−(−6)·2,   (−6)·0−4·(−6)) = (8,12,24)	599번 보조정리
n과 평행한 가장 간단한 벡터 (2,3,6)을 택함 ⇒ 2(x−6)+3(y−0)+6(z−0)=0	597번(법선벡터의 실수배 자유도) · 597번(점―법선꼴)
∴ α : 2x+3y+6z−12=0,   |n|=2²+3²+6²=49=7	598번 ① · 6.1 f507번

검산 : B(0,4,0) ⇒ 0+12+0−12=0,   C(0,0,2) ⇒ 0+0+12−12=0―세 점이 모두 α 위에 있습니다.

2단계―절편형과 잘라낸 사면체(598번 ②).

p=−−122=6,   q=−−123=4,   r=−−126=2 ⇒ x6+y4+z2=1	598번 ②
세 절편이 각각 A, B, C 자신 ⇒ α는 제1팔분공간에서 사면체 OABC를 잘라냄	1단계의 A, B, C와 일치
삼각형 OAB는 ∠AOB=90°인 직각삼각형, 넓이 = 12·6·4 = 12	7.8 588번(x축 ⊥ y축) · 3.1 f171번(직각삼각형의 넓이)
C에서 xy평면까지의 거리 = |2| = 2 ⇒ V = 13·12·2 = 8	7.8 591번(좌표평면에 내린 수선의 발) · 3.25 f304번(각뿔의 부피)

3단계―점 P(1,2,3)에서 α까지의 거리와 수선의 발(601번).

f(P) = 2·1+3·2+6·3−12 = 2+6+18−12 = 14	601번의 분자 · 602번의 f
d(P,α) = |14|2²+3²+6² = 147 = 2	601번(거리 공식)
t = 1449 = 27 ⇒ H = (1,2,3)−27(2,3,6) = (37, 87, 97)	601번(수선의 발)
검산 : 2·37+3·87+6·97 = 6+24+547 = 847 = 12	H ∈ α 확인
검산 : HP = |(47,67,127)| = 1716+36+144 = 17196 = 147 = 2	6.1 f507번―위 거리와 일치

교차 검산(그림의 정확한 2D 단면). α 위의 점 Q=A(6,0,0)을 잡으면 QP=(−5,2,3), QH=(37−6, 87, 97) =(−397, 87, 97)이므로 QP=25+4+9=38, QH=171521+64+81=171666=34입니다. 실제로

HP² + QH² = 2² + 34 = 38 = QP²

이므로 ∠PHQ=90°―3.1 f163번(피타고라스 정리)과 정확히 맞아떨어집니다.

4단계―평행한 평면 β : 2x+3y+6z+9=0(600번 ①, 601번 따름정리).

nβ=(2,3,6)=nα이고 9≠−12 ⇒ 평행(일치하지 않음)	600번 ①
d(α,β) = |−12−9|7 = 217 = 3	601번 따름정리
검산 : β 위의 점 (0,−3,0)에서 α까지 = |0−9+0−12|7 = 217 = 3	601번(점과 평면 사이의 거리)―점의 선택과 무관

5단계―xy평면과 이루는 각(600번 ③).

xy평면 : z=0 ⇒ n₂=(0,0,1),   n₁·n₂=2·0+3·0+6·1=6	598번 ③ · 596번 (1)
cosθ = |6|7·1 = 67 ⇒ θ = arccos67 ≈ 31.0°	600번 ③

이면각으로의 교차 검산. 두 평면의 교선은 z=0이면서 2x+3y=12인 점들―즉 직선 AB입니다. 원점 O에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 F라 하면 7.3 f558번(평면에서 점과 직선 사이의 거리)에 의해 OF=|2·0+3·0−12|2²+3²=1213이고, F의 좌표는 (2413,3613,0)입니다(대입하면 4813+10813=15613=12). F는 α 위의 점이기도 하므로 삼각형 OFC를 만들 수 있고 :

FO·AB = (−2413,−3613,0)·(−6,4,0) = 14413−14413 = 0	596번 (3)―OF ⊥ AB
FC·AB = (−2413,−3613,2)·(−6,4,0) = 0	596번 (3)―FC ⊥ AB
∴ ∠OFC가 두 평면의 이면각이고,   FO = |(−2413,−3613,0)| = 1213,   FC = |(−2413,−3613,2)| = 1413	600번 ③(이면각의 정의) · 7.8 590번(공간의 거리 공식)―576+1296169=14413, 576+1296+676169=19613
FO·FC = 576169+1296169+0 = 14413 ⇒ cos∠OFC = 144131213·1413 = 144168 = 67	596번 (1) · 6.5 f537번(각의 코사인 공식)―600번 ③의 값과 일치

6단계―α에 수직인 평면(600번 ④). γ : 3x−2y=0으로 두면 n_γ=(3,−2,0)이고 (2,3,6)·(3,−2,0)=6−6+0=0이므로 γ ⊥ α입니다. 또 γ는 c=0, d=0이므로 598번 ③에 의해 z축을 포함하는 평면입니다―실제로 z축 위의 점 (0,0,z)는 모두 3·0−2·0=0을 만족합니다.

7단계―점의 위치 관계와 선분과의 교점(602번).

f(P)=14>0,   f(O)=−12<0 ⇒ f(P)f(O)<0 ⇒ P와 O는 α의 서로 다른 쪽	602번 ②③
s* = f(O)f(O)−f(P) = −12−26 = 613 ∈ (0,1)	602번 ②
교점 S = O + 613OP = (613, 1213, 1813)	7.8 592번(내분점―6:7로 내분)
검산 : 1213+3613+10813−12 = 15613−12 = 0	S ∈ α

8단계―전체 교차 검산. 이 절의 결과들이 서로 어긋나지 않음을 한 표로 모읍니다.

세 점 A, B, C ⇒ α : 2x+3y+6z−12=0	599번 ― B, C 대입으로 확인
절편 6, 4, 2  /  사면체 부피 8	598번 ② ― 절편이 A, B, C와 일치
d(P,α)=2,   H=(37,87,97)	601번 ― 2²+34=38로 피타고라스 확인
d(α,β)=3	601번 따름정리 ― 두 가지 점으로 확인
xy평면과의 각 cosθ=67	600번 ③ ― 이면각 ∠OFC로 확인
γ : 3x−2y=0이 α와 수직	600번 ④ ― 내적 0
P와 O는 반대쪽, 교점 S=(613,1213,1813)	602번 ― 대입으로 확인

사용 : 596번 · 597번 · 598번 · 599번 · 600번 · 601번 · 602번 · 6.1 f503·f507번 · 3.1 f163·f164·f171번 · 3.25 f304번 · 7.3 f558번 · 7.8 f588·f589·f591·f592번

증명 끝