7.10
공간에서의 직선
Straight Line in Space
정의 · 공식과 증명
7.3이 평면 위의 직선을 대수화했다면, 이 절은 7.8·7.9의 좌표공간에서 직선을 다룹니다. 555번(7.3)의 방향벡터·매개변수방정식 정의는 차원에 무관하므로 그대로 공간으로 옮기고, 여기에 성분이 하나 늘어난 만큼 새로 생기는 대칭방정식(비례식 꼴)을 더합니다(604번). 두 직선의 위치 관계는 평면과 달리 꼬인 위치 (skew)라는 새 경우가 생기는데, 이를 판별하고 분류하는 데 599번 보조정리의 m(두 벡터에 동시에 수직인 벡터)을 그대로 재사용합니다(605번). 점과 직선 사이의 거리(606번)는 558번(평면)의 법선벡터 나눗셈 대신 정사영과 피타고라스로 구하고, 두 꼬인 직선 사이의 거리(607번)는 599번의 m을 공통수직 방향으로 재해석해 601번(점과 평면 사이의 거리)과 같은 형태의 공식을 얻습니다. 마지막으로 직선과 평면의 위치 관계·이루는 각(608번)을 다루고, 하나의 표준 예로 604–608번 전체를 수치로 재확인합니다(609번).
이 절 전체가 공유하는 표준 예. 기준 직선 ℓ₁ : A₁(1,0,−1)을 지나고 방향벡터 d₁=(2,1,−1)인 직선. 여기에 ℓ₁과 평행한 ℓ₂(B₂(3,4,0), d₂=(4,2,−2)), ℓ₁과 만나는 ℓ₄(A₄(2,3,1), d₄=(1,−2,−3)), ℓ₁과 꼬인 위치인 ℓ₅(A₅=원점, d₅=(1,1,1)), 점 P₀(4,3,2), 그리고 7.9의 평면 α : 2x+3y+6z−12=0을 함께 씁니다―609번에서 전부 한 번에 재확인합니다.
604정의 · 정리공간에서 직선의 방향벡터·매개변수방정식·대칭방정식d=(p,q,r), x−x₀p=y−y₀q=z−z₀r
증명법 : 존재성·유일성 논증
정의(방향벡터, 공간의 경우). 7.3 f555번의 정의―직선 ℓ 위의 서로 다른 두 점 A, B에 대해 AB(또는 그 0이 아닌 실수배)를 ℓ의 방향벡터라 함―은 좌표의 개수에 의존하지 않으므로 공간에서도 그대로 적용됩니다.
정리(공간에서 직선의 매개변수방정식). A(x₀,y₀,z₀)를 지나고 방향벡터 d=(p,q,r) (d≠0)를 갖는 직선 ℓ 위의 임의의 점 P(x,y,z)에 대해, P=A+td인 실수 t가 유일하게 존재합니다― 성분으로 쓰면 다음과 같습니다 :
x=x₀+pt, y=y₀+qt, z=z₀+rt (t∈ℝ)
| P, A가 모두 ℓ 위에 있으므로 AP는 ℓ 방향의 벡터―즉 AP와 d는 같은 직선 위의 벡터이므로 서로 평행 | 동일 직선 위의 두 벡터는 평행(기본 성질) · 6.4 f525번(같은·반대 방향의 정의) |
| ⇒ AP=td인 실수 t가 존재 ⇒ P=A+td ⇒ (x−x₀,y−y₀,z−z₀)=(tp,tq,tr) | 6.4 f525번(평행벡터는 스칼라배 관계) · 6.1 f503번(공간에서 두 점으로 정해지는 벡터의 성분―7.8에서 이미 재사용됨) |
| 유일성 : d≠0이므로 td=t′d ⇒ t=t′ | 6.4 f523번(실수배), 영벡터가 아닌 벡터의 스칼라배 표현은 유일 |
정리(대칭방정식, symmetric equation―비례식 꼴). p, q, r이 모두 0이 아니면, 매개변수 t를 소거해 다음과 같은 비례식 하나로 ℓ을 나타낼 수 있습니다 :
x−x₀p = y−y₀q = z−z₀r (=t)
| 위 매개변수방정식의 세 식을 각각 p, q, r로 나누면 셋 다 t와 같음 | p,q,r≠0이므로 나눗셈이 가능 |
성분이 0인 경우(퇴화형). p=0이면(ℓ이 yz평면에 평행한 방향―x가 t에 무관) x=x₀는 상수이고, q, r이 0이 아니면 남은 두 성분끼리만 비례식 y−y₀q=z−z₀r로 씁니다(같은 방식으로 q=0 또는 r=0인 경우도 처리). 두 성분이 동시에 0이면(예 : p=q=0, r≠0) x=x₀, y=y₀가 각각 상수이고 z만 자유로운 경우―ℓ이 z축에 평행한(z축과 같은 방향인) 직선입니다.
활용 예(이 절의 표준 직선 ℓ₁). A₁(1,0,−1)을 지나고 d₁=(2,1,−1)인 직선 :
매개변수방정식 : x=1+2t, y=t, z=−1−t 대칭방정식 : x−12 = y1 = z+1−1
사용 : 7.3 f555번(방향벡터의 정의) · 6.1 f503번 · 6.4 f523·f525번
증명 끝
604번―직선 ℓ₁ : A₁(1,0,−1)+t(2,1,−1). t=−1, 0, 1에서의 점을 표시했고, 방향벡터 d₁를 화살표로 함께 그렸습니다. 좌표는 매개변수방정식에 그대로 대입해 계산했습니다.
605정리두 직선의 위치 관계―평행·일치·교차·꼬인 위치n·A₁A₂=0 ⇔ 교차
증명법 : 경우를 나누는 방법 · 동치의 증명 · 직접증명법
정리. 공간의 두 직선 ℓ₁(점 A₁, 방향벡터 d₁), ℓ₂(점 A₂, 방향벡터 d₂)의 위치 관계는 다음 네 가지 가운데 정확히 하나입니다 :
①(평행이면서 일치) d₁ ∥ d₂이고 A₁A₂ ∥ d₁ ⇔ ℓ₁=ℓ₂.
②(평행이지만 일치하지 않음) d₁ ∥ d₂이지만 A₁A₂ ∦ d₁ ⇔ ℓ₁, ℓ₂는 서로 다르고 평행(만나지 않음).
d₁, d₂가 평행하지 않을 때, n := 599번 보조정리의 m(d₁,d₂)로 두면 (n≠0, n⊥d₁, n⊥d₂) :
③(한 점에서 만남―교차) n·A₁A₂=0 ⇔ ℓ₁, ℓ₂는 정확히 한 점에서 만남.
④(꼬인 위치, skew) n·A₁A₂≠0 ⇔ ℓ₁, ℓ₂는 평행하지도 만나지도 않음(한 평면 위에 놓일 수 없음).
①②의 증명. d₁ ∥ d₂이므로 ℓ₁, ℓ₂는 방향이 같습니다. 두 직선이 만나는 점 X가 있다면 A₁X ∥ d₁이고 A₂X ∥ d₂ ∥ d₁이므로 A₁A₂=A₁X−A₂X도 d₁의 실수배―즉 A₁A₂ ∥ d₁이 필요조건입니다. A₁A₂ ∥ d₁이면 A₂=A₁+kd₁인 k가 존재하고, ℓ₂=A₂+sd₂=A₂+(s·d₂/d₁ 비)·d₁ 꼴로 A₁을 지나며 d₁ 방향인 점 전체와 일치하므로 ℓ₁=ℓ₂. 역(ℓ₁=ℓ₂ ⇒ A₁A₂ ∥ d₁)은 A₂∈ℓ₁에서 즉시 나옵니다. A₁A₂ ∦ d₁인 경우는 위 필요조건이 깨지므로 두 직선은 만나지 않고―방향은 같으므로 평행입니다.
③④의 증명. d₁, d₂가 평행하지 않으므로 599번 보조정리 ②에 의해 n≠0이고, n의 세 성분 가운데 적어도 하나는 0이 아닙니다. d₁=(a₁,a₂,a₃), d₂=(b₁,b₂,b₃)로 쓰고, 셋째 성분 a₁b₂−a₂b₁≠0인 경우로 씁니다(나머지는 성분을 순환시킨 같은 논증). A₁A₂=(Δx,Δy,Δz)라 하면, ℓ₁, ℓ₂가 만난다는 것은 A₁+td₁=A₂+sd₂인 실수 t, s가 존재한다는 것―성분으로 세 방정식 :
a₁t−b₁s=Δx, a₂t−b₂s=Δy, a₃t−b₃s=Δz
가 동시에 성립한다는 것입니다.
| 앞 두 식(a₁b₂−a₂b₁≠0이므로 t, s가 유일하게 정해짐) : t=Δx·b₂−Δy·b₁a₁b₂−a₂b₁, s=Δx·a₂−Δy·a₁a₁b₂−a₂b₁ | 연립일차방정식의 소거법(2×2, 행렬식 a₁b₂−a₂b₁≠0) |
| 이 t, s를 셋째 식에 대입해 정리하면(양변에 (a₁b₂−a₂b₁)을 곱한 형태로) : (a₃t−b₃s−Δz)(a₁b₂−a₂b₁) = −(Δx·n₁+Δy·n₂+Δz·n₃) = −n·A₁A₂ | 전개(양쪽을 완전히 펼치면 항이 정확히 상쇄되어 일치―대수적 항등식, 부록에서 재검산) |
| ∴ 셋째 식이 성립 ⇔ n·A₁A₂=0(a₁b₂−a₂b₁≠0이므로 양변을 나눌 수 있음) | 위 항등식에서 좌변=0 ⇔ 우변=0 |
즉 n·A₁A₂=0이면 (유일하게 정해진) t, s가 세 식을 모두 만족―두 직선이 만나고, n·A₁A₂≠0이면 어떤 t, s를 잡아도 세 식을 동시에 만족시킬 수 없어(앞 두 식을 만족하는 t, s는 유일한데 그것이 셋째 식을 어기므로) 두 직선은 평행하지도(방향벡터가 다름) 만나지도 않습니다―이 경우를 꼬인 위치라 부릅니다.
사용 : 604번(매개변수방정식) · 599번 보조정리 ②(전 항목)
증명 끝
605번―ℓ₁과 평행한 ℓ₂(점선, B₂(3,4,0)―방향벡터가 ℓ₁의 실수배이지만 ℓ₁ 위에 있지 않으므로 만나지 않음), ℓ₁과 정확히 한 점 Q(3,1,−2)에서 만나는 ℓ₄(A₄(2,3,1))를 함께 보여줍니다.
606정리점과 직선 사이의 거리(공간)d(P₀,ℓ) = AP₀·AP₀−(AP₀·d)²d·d
증명법 : 직접증명법(정사영과 피타고라스 정리)
정리. 직선 ℓ(점 A, 방향벡터 d)과 점 P₀에 대해, P₀에서 ℓ까지의 거리 d(수선의 발까지의 거리)는 다음과 같습니다 :
t₀ = AP₀·dd·d, H = A+t₀d d(P₀,ℓ) = |HP₀| = AP₀·AP₀−(AP₀·d)²d·d
| ℓ 위의 점 X=A+td에 대해 |XP₀|² = |AP₀−td|² = |AP₀|²−2t(AP₀·d)+t²|d|² | 6.5 f534번(내적의 성분 공식―공간, 7.9 596번에서 이미 재확인됨) · 6.5 f536번(u·u=|u|²) |
| 이 값을 t에 대한 이차함수로 보면(계수 |d|²>0) t=AP₀·dd·d=t₀에서 최소 | 이차함수의 꼭짓점(축의 위치 t=−b2a) ― 완전제곱 : |AP₀|²−(AP₀·d)²|d|² + |d|²(t−t₀)² |
| ∴ |XP₀|²의 최솟값(H=A+t₀d에서 달성) = |AP₀|²−(AP₀·d)²d·d | 위 완전제곱식에 t=t₀ 대입(제곱항이 0) |
| ℓ 위 임의의 점 중 P₀에 가장 가까운 것이 H ⇒ d(P₀,ℓ)=|HP₀|=위 최솟값의 제곱근 | 거리는 최단거리로 정의(정의 자체) |
검산(피타고라스). AH=t₀d는 d 방향, HP₀=AP₀−t₀d는 d에 수직(HP₀·d=AP₀·d−t₀|d|²=0, t₀의 정의에서)―즉 삼각형 AHP₀는 H에서 직각이므로 3.1 f163번(피타고라스 정리)에 의해 |AP₀|²=|AH|²+|HP₀|²―위 결과와 같은 식입니다.
활용 예(ℓ₁과 P₀(4,3,2)). AP₀=(3,3,3), d₁·d₁=4+1+1=6, AP₀·d₁=6+3−3=6 :
t₀=66=1 ⇒ H=A₁+1·d₁=(3,1,−2) ⇒ d(P₀,ℓ₁) = 27−6²6 = 27−6 = 21
검산 : HP₀=(1,2,4), |HP₀|²=1+4+16=21―위와 일치합니다.
사용 : 604번 · 6.5 f534·f536번 · 3.1 f163번(피타고라스)
증명 끝
606번―점 P₀(4,3,2)에서 ℓ₁에 내린 수선의 발 H(=Q(3,1,−2))를 보여줍니다. HP₀⊥ℓ₁(직각 표시)이고, d(P₀,ℓ₁)=|HP₀|입니다.
606번의 정확한 2D 단면―A₁, H, P₀를 지나는 평면으로 자른 것입니다. AH=6≈2.449, HP₀=21≈4.583, AP₀=27=33≈5.196을 같은 축척으로 픽셀에 대입했고, ∠AHP₀=90°(직각 표시)이므로 AH²+HP₀²=6+21=27=AP₀²―606번의 피타고라스 검산과 정확히 일치합니다.
607정리두 꼬인 직선 사이의 거리d(ℓ₁,ℓ₂) = |n·A₁A₂||n|
증명법 : 직접증명법(공통수직선의 방향을 599번 보조정리에서 얻어 정사영)
정리. ℓ₁(점 A₁, 방향벡터 d₁), ℓ₂(점 A₂, 방향벡터 d₂)가 605번의 뜻에서 꼬인 위치(또는 서로 만나지 않는 임의의 위치―평행인 경우도 포함하도록 일반화할 수 있으나, 이 절에서는 d₁ ∦ d₂인 경우만 다룹니다)에 있을 때, n := 599번 보조정리의 m(d₁,d₂)로 두면 두 직선 사이의 거리(두 직선 위의 점 사이 거리의 최솟값)는 다음과 같습니다 :
d(ℓ₁,ℓ₂) = |n·A₁A₂||n|
«공통수직선»의 존재. d₁ ∦ d₂이므로 599번 보조정리 ②에 의해 n≠0이고 n⊥d₁, n⊥d₂입니다. ℓ₁ 위의 점 P, ℓ₂ 위의 점 Q를 PQ⊥d₁이고 PQ⊥d₂가 되도록(즉 두 직선에 동시에 수직인 선분이 되도록) 잡을 수 있다고 하면―599번 보조정리 ③에 의해 PQ=n의 실수배입니다.
| A₁A₂ = A₁P + PQ + QA₂ | 벡터의 삼각형 법칙(6.2 덧셈)의 반복 |
| A₁P ∥ d₁(P∈ℓ₁) ⇒ A₁P·n=0 QA₂ ∥ d₂(Q∈ℓ₂) ⇒ QA₂·n=0 | 6.4 f525번(평행벡터는 실수배) · n⊥d₁, n⊥d₂ |
| ∴ A₁A₂·n = PQ·n (앞뒤 두 항이 0) | 6.5 f536번(내적의 분배법칙) |
| PQ=sn(어떤 실수 s)이므로 A₁A₂·n = s|n|² ⇒ s = A₁A₂·n|n|² | 599번 보조정리 ③ · 6.5 f536번(u·u=|u|²) |
| d(ℓ₁,ℓ₂) = |PQ| = |s||n| = |A₁A₂·n||n| | PQ가 두 직선에 동시에 수직 ⇒ 두 직선 사이의 최단거리는 공통수직선분의 길이(기하학적 사실) |
최단거리임을 보이는 보충 논증. ℓ₁, ℓ₂ 위의 임의의 두 점 X=A₁+td₁, Y=A₂+sd₂에 대해 XY=A₁A₂+(sd₂−td₁)이고, 뒤 괄호 항은 d₁, d₂의 일차결합―즉 n과 수직(n·d₁=n·d₂=0이므로)이므로, XY를 n 방향으로 정사영한 성분은 t, s에 무관하게 항상 A₁A₂·n/|n|로 일정합니다―이 일정한 정사영 성분의 절댓값이 바로 |XY|의 하한(피타고라스, 606번과 같은 방식)이고, X=P, Y=Q일 때 XY=PQ=n의 실수배라 정사영 성분과 실제 길이가 일치하므로 그 하한이 실제로 달성됩니다.
활용 예(ℓ₁과 ℓ₅). d₁=(2,1,−1), d₅=(1,1,1)―평행하지 않음. 599번 보조정리로 n=(1·1−(−1)·1, (−1)·1−2·1, 2·1−1·1)=(2,−3,1). A₁A₅=(−1,0,1)― n·A₁A₅=−2+0+1=−1≠0이므로(605번) 두 직선은 꼬인 위치입니다.
d(ℓ₁,ℓ₅) = |−1|2²+3²+1² = 114 = 1414
사용 : 605번(꼬인 위치의 판별) · 599번 보조정리 ①②③ · 6.5 f536번
증명 끝
607번―ℓ₁과 ℓ₅(꼬인 위치)의 공통수직선분 PQ′(teal 화살표)―방향은 599번 보조정리의 n=(2,−3,1)과 같습니다. |PQ′|≈0.267(=114)로 607번 공식의 값과 일치합니다.
608정리직선과 평면의 위치 관계·이루는 각sinθ = |v·n||v||n|
증명법 : 경우를 나누는 방법 · 직접증명법
정리. 평면 α : ax+by+cz+d=0(법선벡터 n=(a,b,c), 7.9 597번)과 직선 ℓ(점 A₀, 방향벡터 v)에 대해 :
① v·n=0이고 A₀∈α ⇔ ℓ⊆α(직선이 평면에 포함).
② v·n=0이지만 A₀∉α ⇔ ℓ와 α는 평행이지만 포함되지 않음(만나지 않음).
③ v·n≠0 ⇔ ℓ와 α는 정확히 한 점에서 만남.
④(이루는 각) ③의 경우, ℓ과 ℓ을 α 위로 정사영한 직선이 이루는 각 θ(0≤θ≤π2)는
sinθ = |v·n||v||n|
①②의 증명. ℓ 위의 점은 X(t)=A₀+tv(t∈ℝ)이고,
| f(X(t)) := a(x₀+tv₁)+b(y₀+tv₂)+c(z₀+tv₃)+d = (ax₀+by₀+cz₀+d) + t({V("v")}·{V("n")}) | 6.5 f534번(내적의 성분 공식) · 전개 및 재배열 |
| {V("v")}·{V("n")}=0이면 f(X(t)) = ax₀+by₀+cz₀+d(t에 무관한 상수) | 위 식에서 t의 계수가 0 |
| A₀∈α(ax₀+by₀+cz₀+d=0)이면 모든 t에 대해 f(X(t))=0 ⇒ 모든 X(t)∈α ⇒ ℓ⊆α | 위 결과에 대입 |
| A₀∉α(ax₀+by₀+cz₀+d=:k≠0)이면 모든 t에 대해 f(X(t))=k≠0 ⇒ 어떤 X(t)도 α 위에 있지 않음 | 위 결과에서 상수가 0이 아님 |
역방향(ℓ⊆α ⇒ v·n=0이고 A₀∈α)은 정의에서 바로 나오고, 평행이지만 포함 안 됨 ⇒ v·n=0(그렇지 않다면 ③에 의해 만나야 하므로)이고 A₀∉α(포함되지 않으므로)도 마찬가지입니다.
③의 증명. v·n≠0이면 위 f(X(t))=(ax₀+by₀+cz₀+d)+t(v·n)은 t의 일차식(계수≠0)이므로 f(X(t))=0인 t가 유일하게 존재―ℓ과 α는 정확히 한 점에서 만납니다.
④의 증명. v를 n 방향 성분과 그에 수직인(α에 평행한) 성분으로 분해합니다 :
| v = v⊥ + v∥, v⊥ := v·n|n|²n( n 방향 성분 ), v∥ := v−v⊥ | 6.5 f539번(스칼라·벡터 정사영의 정의―공간 성분 공식으로 그대로 확장) |
| v∥·n = v·n − v·n|n|²(n·n) = 0 ⇒ v∥⊥n ⇒ v∥는 α에 평행한 방향 | 6.5 f534·f536번 · 597번(법선벡터의 정의) |
| v⊥·v∥ = v⊥·v − |v⊥|² = (v·n)²|n|² − (v·n)²|n|² = 0 ⇒ v⊥⊥v∥ | 6.5 f536번 · 위 정사영 성분의 정의 |
| θ는 ℓ(방향 v)과 그 정사영(방향 v∥) 사이의 각 ⇒ 직각삼각형 v, v⊥, v∥에서 sinθ = |v⊥||v| | 각의 정의(직선과 평면이 이루는 각) · v⊥⊥v∥(위 결과)이므로 v⊥가 빗변 v에 대한 대변 |
| |v⊥| = |v·n||n| ⇒ sinθ = |v·n||v||n| | v⊥가 n의 실수배이므로 |v⊥|=(계수의 절댓값)×|n| |
활용 예(7.9의 평면 α : 2x+3y+6z−12=0, n=(2,3,6), |n|=7, A(6,0,0)).
| ℓ포함 : A(6,0,0) 지나고 d=(−6,4,0)=AB(7.9 f599번) ― d·n=−12+12+0=0, A∈α ⇒ ①에 의해 ℓ포함⊆α | ① |
| ℓ평행 : 원점 O 지나고 같은 d=(−6,4,0) ― d·n=0이지만 f(O)=−12≠0(O∉α) ⇒ ②에 의해 평행(만나지 않음) | ② |
| ℓ교차 : A(6,0,0) 지나고 d=(1,1,1) ― d·n=2+3+6=11≠0 ⇒ ③에 의해 한 점에서 만남 | ③ |
| 실제로 f(A+t(1,1,1)) = 0+11t=0 ⇒ t=0 ⇒ 만나는 점은 A 자신(직선이 A에서 α를 가로지름) | 직접 대입 검산 |
| sinθ = 113·7 = 1173 = 11321 ≈ 0.907 (θ≈65.0°) | ④(ℓ교차과 α가 이루는 각) |
사용 : 7.9 f597·f598번(법선벡터·평면의 방정식) · 6.5 f534·f536·f539번
증명 끝
608번―평면 α : 2x+3y+6z−12=0(7.9의 그 평면)과 세 직선. A를 지나고 방향벡터가 AB(=(−6,4,0))인 직선(teal 실선)은 α에 완전히 포함되고, 같은 방향으로 원점 O를 지나는 직선(점선)은 평행하지만 포함되지 않으며, A를 지나고 방향벡터 (1,1,1)인 직선(보라)은 A에서만 α를 가로지릅니다.
609정리—활용활용―방향벡터·위치 관계·거리·평면과의 관계 종합 예제A₁(1,0,−1), d₁=(2,1,−1)
예제. 이 절의 표준 예 전체―ℓ₁(A₁(1,0,−1), d₁=(2,1,−1)), ℓ₂(B₂(3,4,0), d₂=(4,2,−2)), ℓ₄(A₄(2,3,1), d₄=(1,−2,−3)), ℓ₅(원점, d₅=(1,1,1)), 점 P₀(4,3,2), 평면 α : 2x+3y+6z−12=0―을 가지고 604–608번을 전부 수치로 재확인합니다.
1단계―ℓ₁의 매개변수·대칭방정식(604번).
x=1+2t, y=t, z=−1−t ⇔ x−12 = y1 = z+1−1
2단계―ℓ₁과 ℓ₂―평행(605번 ①②).
| d₂=(4,2,−2)=2d₁ ⇒ d₁ ∥ d₂ | 실수배 확인 |
| B₂(3,4,0)이 ℓ₁ 위에 있으려면 (3−1)/2=1, (4−0)/1=4, (0−(−1))/(−1)=−1―세 값이 다름 ⇒ B₂∉ℓ₁ | 604번(대칭방정식)으로 대입 검사 |
| ∴ ②에 의해 ℓ₁, ℓ₂는 평행이지만 서로 다름(만나지 않음) | 605번 ② |
3단계―ℓ₁과 ℓ₄―교차(605번 ③). d₄=(1,−2,−3)은 d₁=(2,1,−1)의 실수배가 아니므로(비 1:2 vs −2:1이 다름) 평행하지 않습니다.
| n₁₄ = 599번의 m(d₁,d₄) = (1·(−3)−(−1)·(−2), (−1)·1−2·(−3), 2·(−2)−1·1) = (−5,5,−5) | 599번 보조정리 |
| A₁A₄ = (1,3,2) ⇒ n₁₄·A₁A₄ = −5+15−10 = 0 | 605번 ③의 조건 |
| ∴ ℓ₁과 ℓ₄는 정확히 한 점에서 만남 | 605번 ③ |
| 직접 풀면(대입) : 1+2t=2+s, t=3−2s, −1−t=1−3s를 연립 ⇒ t=1, s=1 | 605번 증명의 소거법을 그대로 실행 |
| 만나는 점 : ℓ₁에서 A₁+1·d₁=(3,1,−2), ℓ₄에서 A₄+1·d₄=(3,1,−2)―일치 | 두 매개변수식 모두에서 같은 점 |
4단계―ℓ₁과 ℓ₅―꼬인 위치, 그 사이의 거리(605번 ④, 607번).
| n₁₅ = (1·1−(−1)·1, (−1)·1−2·1, 2·1−1·1) = (2,−3,1) | 599번 보조정리 |
| A₁A₅ = (−1,0,1) ⇒ n₁₅·A₁A₅ = −2+0+1 = −1 ≠ 0 | 605번 ④의 조건 ⇒ 꼬인 위치 |
| d(ℓ₁,ℓ₅) = |−1|2²+3²+1² = 114 = 1414 ≈ 0.267 | 607번 |
5단계―P₀(4,3,2)에서 ℓ₁까지의 거리(606번).
t₀=66=1, H=(3,1,−2), d(P₀,ℓ₁)=21≈4.583
이 H는 3단계에서 구한 ℓ₁∩ℓ₄의 교점과 같은 점입니다―표준 예를 절 전체에서 재사용한 결과 우연히 일치했을 뿐, 일반적으로 성립하는 사실은 아닙니다.
6단계―ℓ₁과 평면 α : 2x+3y+6z−12=0의 관계(608번).
| d₁·nα = 2·2+1·3+(−1)·6 = 4+3−6 = 1 ≠ 0 | 608번 ③의 조건 ⇒ 한 점에서 만남 |
| 2(1+2t)+3t+6(−1−t)−12=0 ⇒ t−16=0 ⇒ t=16 | 604번의 매개변수방정식을 α의 방정식에 대입 |
| 만나는 점 : (1+32, 16, −1−16) = (33,16,−17) | t=16 대입 |
| 검산 : 2·33+3·16+6·(−17)−12 = 66+48−102−12 = 0 | α의 방정식에 대입 |
| sinθ = |1|6·7 = 176 = 642 ≈ 0.058 (θ≈3.3°) | 608번 ④(|d₁|=4+1+1=6 사용) |
사용 : 604–608번 전체
증명 끝