7.11 대학 과정
이차곡면
Quadric Surfaces
정의 · 공식과 증명
이 절은 좌표공간에서 x,y,z에 대한 이차방정식의 그래프인 이차곡면(quadric surface)을 다룹니다―7.4−7.7이 평면 위에서 원·타원·쌍곡선·포물선을(2차원 이차곡선), 3.39와 7.12가 각각 타원체·구를(3차원 이차곡면의 특수한 두 예) 이미 확립해 두었으므로, 이 절은 그 나머지 표준적인 이차곡면들―쌍곡면 2종, 포물면 2종, 원뿔면, 기둥면 3종―을 채워 넣습니다. 891번에서 먼저 일반적인 이차방정식이 축과 나란한(교차항이 없는) 경우 완전제곱(7.12 f611번의 기법을 좌표축마다 반복)에 의해 세 가지 대수적 골격 중 하나로 축소됨을 보이고, 892−898번은 그 골격의 구체적인 부호 조합마다 이름 붙은 곡면을 다룹니다―증명은 대부분 한 좌표를 상수로 고정한 단면(trace)이 7.5−7.7에서 이미 확립한 2차원 이차곡선(때로는 그 퇴화형인 점·직선쌍·공집합)과 정확히 같은 꼴임을 확인하는 방식입니다.
891정의 · 정리이차곡면의 일반형과 완전제곱에 의한 표준형Ax²+By²+Cz²+Gx+Hy+Iz+J=0 (D=E=F=0인 경우)
증명법 : 경우 나누기(완전제곱)
정의. A, B, C, D, E, F, G, H, I, J가 실수이고 A, B, C, D, E, F 중 적어도 하나가 0이 아닐 때, 다음 방정식의 그래프(해집합)를 이차곡면(quadric surface)이라 합니다 :
Ax²+By²+Cz²+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0
교차항 D, E, F가 0이 아니면 이 곡면의 대칭축이 좌표축에서 회전된 위치에 있다는 뜻입니다(7.4−7.6에서 이미 원·타원·쌍곡선의 «일반형»을 다룰 때 xy항이 회전을 나타냈던 것과 같은 구조). 회전을 소거해 표준형으로 되돌리려면 계수 행렬을 대각화해야 하는데, 이는 그 행렬의 고유값(eigenvalue)·고유벡터와 주축정리(principal axis theorem)가 필요한 계산으로, 챕터 5(행렬·행렬식)에서 다룬 결과(연산·행렬식·역행렬·크래머 공식)만으로는 아직 다룰 수 없습니다. 따라서 이 절은 7.4−7.7, 3.39, 7.12와 같은 관례를 그대로 따라 D=E=F=0인 경우(좌표축과 나란한 «표준형»)만 다룹니다.
정리. D=E=F=0이라 하면, 방정식 Ax²+By²+Cz²+Gx+Hy+Iz+J=0은 (A,B,C에 대한 아래 세 가지 경우에 따라) 평행이동만으로 다음 세 골격 중 하나로 옮겨집니다(회전은 필요 없음) :
| 골격 (A) | A′x′²+B′y′²+C′z′²=K′ (A′,B′,C′ 모두 0이 아님)―«중심이 있는 이차곡면» |
| 골격 (B) | A′x′²+B′y′²=z′ (A′,B′ 중 적어도 하나는 0이 아님, 나머지 한 변수는 순수하게 일차)―«포물면류» |
| 골격 (C) | 세 변수 중 하나가 원래 방정식에 전혀 등장하지 않음(그 변수의 이차·일차 계수가 모두 0)―«기둥면류» |
| 경우 1―A,B,C 모두 0이 아닌 경우. 7.12 f611번의 완전제곱(각 변수의 계수로 묶고 (계수/2)²을 더하고 뺌)을 x,y,z 각각에 독립적으로 적용 : A(x+G2A)²−G²4A + B(y+H2B)²−H²4B + C(z+I2C)²−I²4C + J = 0 | A,B,C≠0이므로 세 항 모두 완전제곱 가능 |
| ∴ A(x−h)²+B(y−k)²+C(z−l)²=K (h,k,l,K는 A,⋯,J로 정해지는 상수) | 이항 정리, h:=−G/2A, k:=−H/2B, l:=−I/2C, K:=−J+G²/4A+H²/4B+I²/4C |
| x′:=x−h, y′:=y−k, z′:=z−l로 치환(원점을 (h,k,l)로 옮기는 평행이동)하면 골격 (A) | 치환(평행이동은 회전을 포함하지 않음) |
| 경우 2―정확히 하나(예 : C)가 0이고 그 변수의 일차계수(I)는 0이 아닌 경우. x,y에 대해서만(경우 1과 같은 방식으로) 완전제곱 : A(x−h)²+B(y−k)²+Iz+J′=0 (J′:=J−Ah²−Bk²) | C=0이므로 z²항이 원래 없음; x,y만 완전제곱 |
| ∴ A(x−h)²+B(y−k)² = −I(z+J′I) ⇒ z′:=−(z+J′/I)로 두면 A(x−h)²+B(y−k)²=Iz′ | I≠0이므로 z에 대해 풀 수 있음(나눗셈 가능); x′:=x−h, y′:=y−k로 두면 골격 (B) |
| 경우 3―정확히 하나(예 : C)가 0이고 그 변수의 일차계수(I)도 0인 경우. 방정식이 애초에 Ax²+By²+Gx+Hy+J=0으로, z가 전혀 등장하지 않음 | C=I=0(가정) |
| ∴ 이 방정식은 xy평면 위의 이차곡선이며, 그 곡선을 만족하는 (x₀,y₀)에 대해 z값에 관계없이 (x₀,y₀,z) 전체가 원래 방정식을 만족―골격 (C) | z가 방정식에 없으므로 z는 자유변수 |
(A,B 중 하나도 0인 경우처럼 A,B,C 중 둘 이상이 0인 완전히 퇴화한 경우―예를 들어 방정식이 실질적으로 한 변수만의 이차식이 되어 z축에 평행한 평행한 두 평면·한 평면·공집합 등을 나타내는 경우―는 이 절에서 다루는 «표준적인 이차곡면»의 범위를 벗어나므로 별도로 다루지 않습니다.) 892−898번은 이 세 골격에 구체적인 부호 조합을 대입해 이름 붙은 곡면들을 다룹니다―골격 (A)는 A′,B′,C′,K′의 부호 조합에 따라 892(타원면)·893(일엽쌍곡면)·894(이엽쌍곡면)·897(원뿔면, K′=0인 경계)로, 골격 (B)는 A′,B′의 부호 조합에 따라 895(타원포물면)·896(쌍곡포물면)으로, 골격 (C)는 남은 2변수 이차식이 어떤 2차원 이차곡선이냐에 따라 898(세 종류의 기둥면)로 나뉩니다. 아래부터는 이미 표준 위치(원점이 중심 또는 꼭짓점)에 놓인 것으로 보고―위 정리가 일반적인 경우를 항상 그 위치로 옮길 수 있음을 보장하므로―각 곡면을 표준형 그 자체로 정의합니다.
사용 : 7.12 f611번(완전제곱에 의한 표준형 축소 기법)
증명 끝
892정리타원면―세 좌표평면 방향 단면x²a²+y²b²+z²c²=1
증명법 : 직접증명법(대입, 3.39 f399의 대칭적 확장)
표준형 x²a²+y²b²+z²c²=1(a,b,c>0)은 891번 골격 (A)에서 A′,B′,C′,K′가 모두 같은 부호(양수로 정규화)인 경우입니다―3.39 f398번에서 이미 타원면(타원체, ellipsoid)으로 정의하고, f399번에서 z=z₀(−c<z₀<c) 단면이 항상 타원임을 증명했습니다(7.5 f568번 인용). 방정식이 x,y,z에 대해 완전히 대칭이므로―세 변수의 이름을 서로 바꿔도 방정식의 꼴이 그대로―같은 논증이 x=x₀, y=y₀ 단면에도 그대로 적용됨을 이 절에서 확인합니다.
| 398번의 등식에 x=x₀(−a<x₀<a)를 대입 : y²b²+z²c² = 1−x₀²a² =: k² (k>0) | 398번(타원면의 정의), x=x₀ 대입 · f399번과 완전히 같은 대수적 형태(변수 x↔z만 서로 바꾼 것) |
| ∴ y²(bk)²+z²(ck)²=1―yz평면 위에서 원점이 중심이고 반지름 bk, ck인 타원 | 양변을 k²으로 나눔; 7.5 f568번(타원의 표준형)과 정확히 같은 꼴 |
| 같은 방식으로 y=y₀(−b<y₀<b) 대입 : x²a²+z²c²=1−y₀²b² ∴ x²(aℓ)²+z²(cℓ)²=1 (ℓ:=1−y₀²b² >0) | 398번, y=y₀ 대입 · xz평면 위에서 원점이 중심인 타원(7.5 f568번) |
따라서 타원면을 세 좌표평면과 나란한 어느 평면으로 잘라도(극점을 지나는 경계 평면 제외) 언제나 타원이 됩니다―399번이 z방향만 보였던 것을 x,y방향까지 완전히 대칭적으로 확장한 것입니다. (경계 x₀=±a, y₀=±b, z₀=±c에서는 399번과 같은 이유로 각각 한 점(꼭짓점)으로 퇴화합니다.) 넓이·부피 등 나머지 결과는 3.39(f398−f400)를 그대로 사용하며 이 절에서 다시 증명하지 않습니다.
사용 : 3.39 f398번(타원면의 정의) · 3.39 f399번(z방향 단면, 대수 구조가 동일) · 7.5 f568번(타원의 표준형)
증명 끝
893정의 · 정리일엽쌍곡면x²a²+y²b²−z²c²=1
증명법 : 경우 나누기(단면의 부호 판정)
정의. a,b,c>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 일엽쌍곡면(hyperboloid of one sheet)이라 합니다―891번 골격 (A)에서 부호가 섞이고(A′,B′는 양, C′는 음), K′가 그 양의 두 항과 같은 부호(양수로 정규화)인 경우입니다 :
x²a²+y²b²−z²c²=1
정리(단면). 이 곡면을 좌표평면과 나란한 평면으로 자른 단면은 다음과 같습니다.
| z=z₀ 대입 : x²a²+y²b² = 1+z₀²c² (우변은 z₀값에 관계없이 항상 1보다 큰 양수) | 직접 대입 |
| ∴ x²(aℓ)²+y²(bℓ)²=1 (ℓ:=1+z₀²c² > 1) ―모든 z₀에서 존재하는 타원 | 양변을 ℓ²으로 나눔; 7.5 f568번(타원의 표준형) |
어느 높이 z₀를 잡아도 단면이 항상(공집합이 되는 일 없이) 존재한다는 것―그리고 ℓ>1이므로 반지름이 항상 a,b 이상이라는 것―은 이 곡면이 894번(이엽쌍곡면)처럼 두 조각으로 끊어지지 않고 하나로 이어진 «관(허리가 있는 통) 모양»임을 보여줍니다. 다음은 x=x₀ 단면입니다 :
| x=x₀ 대입 : y²b²−z²c² = 1−x₀²a² =: m | 직접 대입 |
| |x₀|<a (m>0) | y²(bm)²−z²(cm)²=1 ―쌍곡선(가로축 y, 7.6 f575번의 변수를 x→y, y→z로 relabel한 것과 정확히 같은 꼴) |
| |x₀|=a (m=0) | y²b²=z²c² ⇔ (yb−zc)(yb+zc)=0 ⇒ yb=zc 또는 yb=−zc ―원점을 지나는 두 직선(교차) |
| |x₀|>a (m<0) | z²(c|m|)²−y²(b|m|)²=1 ―쌍곡선(가로축이 z로 바뀜, 마찬가지로 7.6 f575번의 꼴) |
인수분해 y²b²−z²c²=(yb−zc)(yb+zc)는 차의 곱 공식 A²−B²=(A−B)(A+B)의 직접 적용입니다. y=y₀ 단면도 (x,y의 역할만 바꾸어) 완전히 대칭적인 세 경우로 나뉩니다―따라서 원점을 지나고 좌표평면과 나란한 두 평면(x=±a, y=±b 방향 각각의 경계)에서만 단면이 직선쌍으로 퇴화하고, 그 외에는 항상 쌍곡선입니다.
사용 : 891번(골격 (A)) · 7.5 f568번(타원 표준형) · 7.6 f575번(쌍곡선 표준형) · 차의 곱 공식
증명 끝
894정의 · 정리이엽쌍곡면z²c²−x²a²−y²b²=1
증명법 : 경우 나누기(단면의 존재 여부 판정)
정의. a,b,c>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 이엽쌍곡면(hyperboloid of two sheets)이라 합니다―891번 골격 (A)에서 893번과 부호가 섞인 것은 같지만(A′,B′는 양, C′는 음), K′의 부호가 반대(음의 두 항과 같은 부호)인 경우입니다―893번의 등식에서 우변을 −1로 바꾼 것과 같습니다 :
x²a²+y²b²−z²c²=−1 ⇔ z²c²−x²a²−y²b²=1
| z=z₀ 대입 : x²a²+y²b² = z₀²c²−1 =: n | 직접 대입 |
| |z₀|<c (n<0) | 좌변(두 제곱의 합)은 항상 0 이상인데 우변이 음수이므로 만족하는 실수 x,y가 없음―공집합(−c<z₀<c 범위에는 곡면이 전혀 없음) |
| |z₀|=c (n=0) | x²a²+y²b²=0 ⇔ x=y=0(두 제곱의 합이 0이려면 각 항이 0) ―한 점 (0,0,±c) ―두 조각(엽)의 꼭짓점 |
| |z₀|>c (n>0) | x²(an)²+y²(bn)²=1 ―타원(7.5 f568번) |
따라서 −c<z₀<c 범위(꼭짓점 사이)에는 곡면이 전혀 존재하지 않는 빈틈이 있고, z₀=±c인 두 점에서 비로소 시작해 |z₀|가 커질수록 점점 커지는 타원 단면을 갖는 두 개의 서로 떨어진 «그릇(bowl)» 모양 조각이 됩니다―893번(항상 이어짐)과 정반대의 구조입니다. x=x₀ 단면은 :
| x=x₀ 대입 : z²c²−y²b² = 1+x₀²a² =: p (x₀값에 관계없이 항상 p≥1>0) | 직접 대입(893번과 달리 우변이 항상 양수―세 가지로 나뉘지 않음) |
| ∴ z²(cp)²−y²(bp)²=1 ―쌍곡선(가로축 z, 7.6 f575번의 변수를 x→z, y→y로 relabel) |
893번의 x=x₀ 단면은 |x₀|와 a의 대소에 따라 직선쌍으로 퇴화하는 경계가 있었지만, 이엽쌍곡면은 p=1+x₀²a²가 항상 1 이상(결코 0이 될 수 없음)이므로 x=x₀ 단면은 어떤 x₀에서도 예외 없이 쌍곡선입니다(퇴화하는 경우가 없음). y=y₀ 단면도 마찬가지로 항상 쌍곡선(가로축 z)입니다.
사용 : 891번(골격 (A)) · 7.5 f568번(타원 표준형) · 7.6 f575번(쌍곡선 표준형)
증명 끝
895정의 · 정리타원포물면z=x²a²+y²b²
증명법 : 경우 나누기
정의. a,b>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 타원포물면(elliptic paraboloid)이라 합니다―891번 골격 (B)에서 A′,B′가 같은 부호(양수로 정규화)인 경우입니다 :
z=x²a²+y²b²
| z=z₀ 대입 : x²a²+y²b²=z₀ | 직접 대입 |
| z₀<0 | 좌변≥0인데 우변이 음수―공집합 |
| z₀=0 | x²a²+y²b²=0 ⇔ x=y=0―한 점 (0,0,0), 이 곡면의 꼭짓점 |
| z₀>0 | x²(az₀)²+y²(bz₀)²=1―타원(7.5 f568번) |
따라서 이 곡면은 꼭짓점 O에서 시작해 z₀>0쪽으로만 열려 있고(z₀<0쪽은 전혀 존재하지 않음), 높이가 커질수록 단면 타원이 점점 커지는 «그릇(bowl)» 모양입니다. 다음은 x=x₀ 단면입니다 :
| x=x₀ 대입 : z−x₀²a²=y²b² ⇔ y²=b²(z−x₀²a²) | 직접 대입, y²에 대해 정리 |
이는 7.7 f582번의 표준형 y²=4pz 꼴에서 4p:=b²로 두고 z축 방향으로 x₀²a²만큼 평행이동한 것과 정확히 같습니다(f582번은 원래 «x» 방향으로 열리는 포물선이지만, 그 증명은 좌표 이름 자체가 아니라 y²=4p×(가로축 좌표)라는 대수적 구조만 사용했으므로, 가로축 역할을 z가 맡도록 변수를 relabel해도 그대로 유효합니다―892번에서 이미 같은 방식으로 x,y,z의 역할을 바꿔 재사용했습니다). 즉 yz평면과 나란한 각 단면은 포물선이며, x₀가 0에서 멀어질수록(|x₀|가 커질수록) 포물선의 꼭짓점이 위로(z=x₀²a²) 밀려 올라갑니다. y=y₀ 단면도 대칭적으로 x²=a²(z−y₀²b²)인 포물선입니다.
사용 : 891번(골격 (B)) · 7.5 f568번(타원 표준형) · 7.7 f582번(포물선 표준형)
증명 끝
896정의 · 정리쌍곡포물면(안장면)z=x²a²−y²b²
증명법 : 경우 나누기
정의. a,b>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 쌍곡포물면(hyperbolic paraboloid, 안장면)이라 합니다―891번 골격 (B)에서 A′,B′가 다른 부호인 경우입니다 :
z=x²a²−y²b²
| z=z₀ 대입 : x²a²−y²b²=z₀ | 직접 대입 |
| z₀>0 | x²(az₀)²−y²(bz₀)²=1―쌍곡선(가로축 x, 7.6 f575번) |
| z₀=0 | x²a²−y²b²=0 ⇔ (xa−yb)(xa+yb)=0 ⇒ xa=±yb―원점을 지나는 두 직선(7.6 f577번의 점근선 방정식과 대수적으로 같은 꼴―다만 여기서는 극한이 아니라 z=0에서 실제로 나타나는 정확한 단면) |
| z₀<0 | y²(b|z₀|)²−x²(a|z₀|)²=1―쌍곡선(가로축이 y로 바뀜, 7.6 f575번) |
z₀의 부호가 바뀌면 쌍곡선의 가로축 방향(x↔y)이 정확히 뒤바뀌고, 그 경계인 z₀=0에서 직선쌍으로 퇴화합니다. 다음은 좌표평면과 나란한 나머지 두 방향의 단면입니다 :
| x=x₀ 대입 : z−x₀²a²=−y²b² ⇔ y²=−b²(z−x₀²a²) | 직접 대입 · 7.7 f582번의 «y²=4p×(가로축 좌표)»에서 4p=−b²<0인 경우―아래로 볼록한(오목한) 포물선 |
| y=y₀ 대입 : z+y₀²b²=x²a² ⇔ x²=a²(z+y₀²b²) | 직접 대입 · 4p=a²>0인 경우―위로 볼록한(오목한) 포물선 |
x=x₀ 단면(yz평면 방향)은 아래로 볼록한 포물선인데 y=y₀ 단면(xz평면 방향)은 위로 볼록한 포물선입니다―한 방향으로는 볼록, 다른 방향으로는 오목이 되는 이 성질이 원점 O를 안장점(saddle point)이라 부르는 이유이자, 이 곡면을 895번(모든 방향이 같은 쪽으로 볼록한 «그릇»)과 구별짓는 핵심입니다.
사용 : 891번(골격 (B)) · 7.6 f575번(쌍곡선 표준형)·f577번(점근선) · 7.7 f582번(포물선 표준형) · 차의 곱 공식
증명 끝
897정의 · 정리이차원뿔면x²a²+y²b²=z²c²
증명법 : 경우 나누기
정의. a,b,c>0에 대해 다음 방정식의 그래프를 이차원뿔면(elliptic cone, 원뿔면의 이차곡면판)이라 합니다―891번 골격 (A)에서 893·894번과 같은 부호 조합(A′,B′는 양, C′는 음)이지만, K′=0인 경계 경우입니다 :
x²a²+y²b²=z²c²
893번(K=1)과 894번(K=−1)은 정확히 이 방정식의 우변 상수를 각각 +1, −1로 바꾼 것이므로, 이 곡면은 893·894번을 잇는 경계 곡면에 해당합니다(893번의 «허리»가 K→0에 따라 한 점으로 좁아지는 극한 위치, 또는 894번의 두 꼭짓점이 서로 만나 빈틈이 사라지는 위치로 이해할 수 있습니다).
| z=z₀≠0 대입 : x²a²+y²b²=z₀²c² ⇔ x²(a·|z₀|/c)²+y²(b·|z₀|/c)²=1 | 직접 대입, 양변을 z₀²/c²으로 나눔(z₀≠0이므로 나눗셈 가능) |
| z=0 대입 : x²a²+y²b²=0 ⇔ x=y=0 | 직접 대입, 두 제곱의 합이 0 |
따라서 z₀≠0인 모든 단면은 반지름 a|z₀|/c, b|z₀|/c인 타원(7.5 f568번)이고, z₀=0인 단면은 원점 하나(꼭짓점)입니다. 892−894번의 단면 반지름은 항상 1±z₀²/c² 꼴로 z₀에 대해 제곱근으로 증가했지만, 여기서는 반지름이 |z₀|에 정확히 선형으로 비례합니다―이 선형 비례가 원뿔의 특징(밑면에서 꼭짓점까지 모든 단면이 서로 닮음)이며, 893·894번과 구별되는 대수적 차이입니다.
| x=0 대입 : y²b²=z²c² ⇔ yb=±zc ―원점을 지나는 두 직선 | 직접 대입, 차의 곱 공식(893번 x=±a 단면과 같은 형태) |
| x=x₀≠0 대입 : z²c²−y²b²=x₀²a²>0 ∴ z²(cx₀²/a²)²−y²(bx₀²/a²)²=1 ―쌍곡선(7.6 f575번) | 직접 대입 · x₀≠0이므로 우변이 항상 양수(893번처럼 세 경우로 나뉘지 않음) |
따라서 x=0(또는 대칭적으로 y=0) 평면에서만 직선쌍으로 퇴화하고, 그 외의 x=x₀≠0 단면은 항상 쌍곡선입니다―이 «x=0에서만 퇴화»하는 성질은 894번(항상 쌍곡선, 결코 퇴화하지 않음)과 893번(|x₀|=a에서 퇴화) 사이의 중간적 성격을 보여줍니다.
3.32 f356번(원뿔)과의 관계. a=b인 경우 z₀>0인 부분만 떼어 보면 이는 밑면 반지름 a|z₀|/c, 꼭짓점이 원점인 3.32 f356번의 원뿔(한쪽 방향만)과 정확히 일치합니다―이 절의 «이차원뿔면»은 그 원뿔을 꼭짓점 기준으로 양쪽(z>0, z<0) 모두로 펼친 것(쌍대원뿔, double cone)이며, a≠b이면 밑면이 원이 아니라 타원인 경우로 일반화한 것입니다.
사용 : 891번(골격 (A), K′=0인 경계) · 7.5 f568번 · 7.6 f575번 · 3.32 f356번(원뿔의 정의) · 차의 곱 공식
증명 끝
898정의 · 정리이차원기둥―타원기둥·쌍곡기둥·포물기둥x²a²+y²b²=1, x²a²−y²b²=1, y²=4px
증명법 : 직접증명법
정의·정리. 891번 골격 (C)―세 변수 중 하나(z라 하자)가 방정식에 전혀 등장하지 않는 경우―는 남은 두 변수 x,y만의 2차원 이차곡선 방정식이며, 이때 그 방정식을 만족하는 xy평면 위의 곡선 위 임의의 점 (x₀,y₀)에 대해 z값에 무관하게 (x₀,y₀,z) 전체가 원래 방정식을 만족합니다(z가 자유변수이므로). 즉 이 곡면은 그 2차원 곡선을 z축과 나란한 방향으로 평행이동시켜 쓸어나간 자취―기둥면(cylinder)―입니다. 남은 이차식이 어떤 2차원 이차곡선이냐에 따라 세 가지로 나뉩니다 :
| 타원기둥 (elliptic cylinder) | x²a²+y²b²=1 ―7.5 f568번의 타원(a=b이면 7.4 f560번의 원, 원기둥)을 z축 방향으로 평행이동 |
| 쌍곡기둥 (hyperbolic cylinder) | x²a²−y²b²=1 ―7.6 f575번의 쌍곡선을 z축 방향으로 평행이동 |
| 포물기둥 (parabolic cylinder) | y²=4px ―7.7 f582번의 포물선을 z축 방향으로 평행이동 |
| (x₀,y₀)가 위 2차원 방정식(예 : 타원기둥의 x²a²+y²b²=1)을 만족한다고 하자. 임의의 z에 대해 점 (x₀,y₀,z)를 이차곡면의 일반형 Ax²+By²+Gx+Hy+J=0(z 계수가 전부 0인 891번 경우 3)에 대입하면, z항이 아예 없으므로 좌변의 값은 z에 관계없이 (x₀,y₀)만으로 결정됨 | 891번 경우 3(C=I=0)의 방정식 형태 자체 |
| ∴ (x₀,y₀)가 2차원 방정식을 만족 ⇔ 모든 z에 대해 (x₀,y₀,z)가 이차곡면의 방정식을 만족 | 위 줄의 값이 z에 무관하므로, 0이 되는지 여부도 z에 무관 |
따라서 이 곡면은 정확히 «xy평면 위 2차원 곡선 × z∈ℝ»(직선들의 합집합)이며, z=z₀ 평면으로 잘라도 언제나 z₀와 무관하게 합동인 같은 모양의 단면이 나옵니다―892−897번(단면의 크기가 자르는 위치에 따라 달라짐)과 대비되는 이 기둥면류의 고유한 특징입니다. (a=b가 아닌 타원기둥이 원기둥의 일반화이듯, 7.4−7.7이 이미 확립한 4가지 2차원 이차곡선 중 원·퇴화한 경우(점·직선·공집합)에 대응하는 기둥면은 각각 원기둥과 더 퇴화한 평면류이므로 별도로 이름 붙이지 않습니다.)
사용 : 891번(골격 (C)) · 7.4 f560번(원) · 7.5 f568번(타원) · 7.6 f575번(쌍곡선) · 7.7 f582번(포물선)
증명 끝
899정리—활용활용―일반형→표준형 축소와 9종 분류표36x²+16y²−9z²−72x+32y+36z−128=0
예제 1(골격 (A), 891번 경우 1). 36x²+16y²−9z²−72x+32y+36z−128=0으로 주어진 이차곡면을 표준형으로 축소하고 분류합니다.
| 36(x²−2x)+16(y²+2y)−9(z²−4z)=128 | 계수별로 묶음(891번 경우 1의 절차) |
| 36(x−1)²−36+16(y+1)²−16−9(z−2)²+36=128 | 완전제곱(7.12 f611번과 같은 기법을 세 변수에 반복) |
| 36(x−1)²+16(y+1)²−9(z−2)²=128+36+16−36=144 | 이항 정리 |
| ∴ (x−1)²4+(y+1)²9−(z−2)²16=1 (양변을 144로 나눔) | a²=144/36=4, b²=144/16=9, c²=144/9=16 |
부호 조합(두 양항 + 한 음항, 우변이 양의 항과 같은 부호인 +1)이 893번(일엽쌍곡면)과 정확히 일치합니다―중심 (1,−1,2), a=2, b=3, c=4인 일엽쌍곡면입니다. 검산 : 표준형에서 x′=a=2(즉 x=3), y′=z′=0(즉 y=−1, z=2)인 점 (3,−1,2)를 원래 일반형에 대입하면 36·9+16·1−9·4−72·3+32·(−1)+36·2−128 = 324+16−36−216−32+72−128 = 0으로 정확히 일치합니다.
예제 2(골격 (B), 891번 경우 2). 9x²+4y²−36x+8y−36z+76=0을 표준형으로 축소합니다.
| 9(x²−4x)+4(y²+2y)=36z−76 | 계수별로 묶음(z는 일차항 −36z뿐이므로 완전제곱 대상에서 제외―891번 경우 2) |
| 9(x−2)²−36+4(y+1)²−4=36z−76 | 완전제곱(x,y만) |
| 9(x−2)²+4(y+1)²=36z−76+36+4=36z−36=36(z−1) | 이항 정리 |
| ∴ (x−2)²4+(y+1)²9=z−1 | 양변을 36으로 나눔(a²=36/9=4, b²=36/4=9) |
부호 조합(A′,B′ 모두 양)이 895번(타원포물면)과 일치합니다―꼭짓점 (2,−1,1), a=2, b=3인 타원포물면입니다. 검산 : 꼭짓점 (2,−1,1)과 (x,y)=(4,−1)(∴ (x−2)²4=1)에서 z=2가 되어야 하는 점 (4,−1,2)를 각각 원래 일반형에 대입하면 9·4+4·1−36·2+8·(−1)−36+76=36+4−72−8−36+76=0, 9·16+4·1−36·4+8·(−1)−72+76=144+4−144−8−72+76=0으로 둘 다 정확히 일치합니다.
892−898번 분류표. 891번의 세 골격을 기준으로 정리하면 :
| 골격 | 명칭 | 표준형 |
| (A) (중심형) | 892 타원면 | x²a²+y²b²+z²c²=1 (세 부호 모두 동일) |
| 893 일엽쌍곡면 | x²a²+y²b²−z²c²=1 (혼합 부호, K는 양항과 동일 부호) | |
| 894 이엽쌍곡면 | x²a²+y²b²−z²c²=−1 (혼합 부호, K는 음항과 동일 부호) | |
| 897 이차원뿔면 | x²a²+y²b²=z²c² (혼합 부호, K=0인 경계) | |
| (B) (포물면형) | 895 타원포물면 | z=x²a²+y²b² (A′,B′ 동일 부호) |
| 896 쌍곡포물면 | z=x²a²−y²b² (A′,B′ 다른 부호) | |
| (C) (기둥형) | 898 타원기둥 | x²a²+y²b²=1 |
| 898 쌍곡기둥 | x²a²−y²b²=1 | |
| 898 포물기둥 | y²=4px |
사용 : 891−898번 전체
증명 끝
참조 그림
(1) 893번―일엽쌍곡면의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=2, c=3인 회전대칭의 경우로 예시). 파란 원은 허리 단면(z=0), 빨간 곡선들은 자오선(x=x₀ 또는 y=y₀ 단면에 나타나는 쌍곡선)입니다―모든 수평 단면이 항상 존재해(892번처럼 이어짐) 관 모양을 이룹니다. 증명 자체는 이 참고 그림이 아니라 본문의 대수적 단면 분석에 근거합니다.
(2) 894번―이엽쌍곡면의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=2, c=2.4인 회전대칭의 경우로 예시). 두 꼭짓점(초록 점) 사이(|z|<c)에는 곡면이 전혀 없는 빈틈이 있어, 893번과 달리 서로 떨어진 두 조각(그릇 모양)입니다.
(3) 895번―타원포물면의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=1.6인 회전대칭의 경우로 예시). 꼭짓점 O에서 시작해 z>0쪽으로만 열리는 그릇 모양입니다.
(4) 896번―쌍곡포물면(안장면)의 3D 참고 도형(오블리크 투영, a=b=2). 빨간 곡선은 y=y₀ 단면(위로 볼록한 포물선), 파란 곡선은 x=x₀ 단면(아래로 볼록한 포물선), 검은 두 직선은 z=0 단면(원점을 지나는 점근선 x/a=±y/b)입니다―한 방향은 볼록, 다른 방향은 오목이 되는 안장 구조가 그대로 드러납니다.