7.12
구의 방정식
Sphere
정의 · 공식과 증명
이 절은 구를 좌표공간 위에서 정의하고 대수적으로(방정식으로) 다룹니다―7.4(원의 방정식)가 평면에서 한 구성을 그대로 공간으로 옮깁니다. 먼저 구를 정의하고 7.8의 거리 공식(f590번)으로 구의 표준방정식을 얻고(610번), 이를 전개·완전제곱으로 일반형과 서로 오갈 수 있음을 보입니다(611번). 이어서 접평면을 «구와 한 점에서만 만나는 평면»으로 정의하고, 7.9의 점과 평면 사이의 거리(f601)로 평면과 구의 위치 관계를 판정한 뒤 구 위의 점에서의 접평면이 하나뿐임과 그 방정식을 유도하고(612번), 점과 구의 위치 관계를 거리와 실수의 삼분법으로 판정합니다(613번). 마지막으로 하나의 구 x²+y²+z²−4x+2y−6z+5=0으로 610–613번 전체를 수치로 재확인합니다(614번). 구의 겉넓이·부피는 이 절에서 다루지 않고(3.34), 좌표 대수화(표준방정식·일반형·접평면·위치 관계)에만 집중합니다.
610정의 · 정리구의 표준방정식(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²
증명법 : 직접증명법(거리 공식 이용)
정의(구, sphere). 공간에서 한 점 C로부터의 거리가 일정한 양수 r인 점 전체를 중심 C, 반지름 r인 구라 합니다. 좌표공간에서 C(a,b,c)라 하면, 임의의 점 P(x,y,z)에 대해 다음이 성립합니다 :
P가 구 위에 있음 ⇔ (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²
| P가 구 위 ⇔ CP=r | 위 구의 정의 |
| CP = (x−a)²+(y−b)²+(z−c)² | 7.8 f590번(공간의 거리 공식) |
| ∴ (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r ⇔ (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r² | 양변이 모두 0 이상이므로 제곱은 동치(r>0, 거리≥0) |
이 방정식을 구의 표준방정식(standard equation)이라 합니다. 특히 중심이 원점(a=b=c=0)이면 x²+y²+z²=r²로 간단해집니다. 7.8 f590번이 3차원 거리 공식 자체에서 이미 «xy평면과 평행한 방향으로 한 번, 그와 수직인 방향으로 또 한 번» 피타고라스 정리를 두 번 적용하는 부연을 직접 포함하고 있으므로(f590번의 부연 참고), 이 절에서는 별도로 반복하지 않습니다.
사용 : 구의 정의 · 7.8 f590번(공간의 거리 공식)
증명 끝
611정리구의 방정식의 일반형x²+y²+z²+Dx+Ey+Fz+G=0
증명법 : 동치인 식의 열(완전제곱)
정리. D, E, F, G가 실수일 때, 방정식 x²+y²+z²+Dx+Ey+Fz+G=0의 그래프는 D²+E²+F²−4G>0일 때 정확히 중심 (−D2, −E2, −F2), 반지름 r=12D²+E²+F²−4G인 구입니다. D²+E²+F²−4G=0이면 그래프는 점 (−D2, −E2, −F2) 하나뿐인 점구이고, D²+E²+F²−4G<0이면 이 방정식을 만족하는 실수 (x,y,z)가 존재하지 않아 그래프는 공집합입니다.
| x²+y²+z²+Dx+Ey+Fz+G=0 ⇔ (x²+Dx)+(y²+Ey)+(z²+Fz)=−G | 항을 x, y, z별로 묶음 |
| ⇔ (x+D2)²−D²4+(y+E2)²−E²4+(z+F2)²−F²4=−G | 완전제곱식 만들기(각 괄호에 (계수/2)²를 더하고 뺌) |
| ⇔ (x+D2)²+(y+E2)²+(z+F2)²=D²+E²+F²−4G4 | 이항 정리 |
610번(표준방정식)의 형태 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²과 비교하면 a=−D2, b=−E2, c=−F2이고, 우변 D²+E²+F²−4G4이 r²에 대응됩니다―이 값이 구의 반지름의 제곱이 되려면(r²>0이 되려면) 양수여야 하므로 D²+E²+F²−4G>0이 필요충분조건이고, 이때 r=D²+E²+F²−4G4=12D²+E²+F²−4G입니다(분모 4의 제곱근이 2이므로 밖으로 빠짐).
경계의 두 경우도 위 완전제곱식에서 바로 읽힙니다―D²+E²+F²−4G=0이면 세 제곱의 합이 0인데 세 제곱의 합이 0이려면 각 항이 모두 0이어야 하므로 x=−D2, y=−E2, z=−F2인 단 하나의 해(점구)만 존재합니다. D²+E²+F²−4G<0이면 우변이 음수인데 좌변(세 제곱의 합)은 항상 0 이상이므로 어떤 실수 x,y,z에 대해서도 등식이 성립할 수 없어 해집합은 공집합입니다.
역방향(표준형→일반형). 610번의 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²을 전개하면 x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+(a²+b²+c²−r²)=0으로, D=−2a, E=−2b, F=−2c, G=a²+b²+c²−r²로 두면 항상 일반형이 되고(반지름 r>0이므로 이때 D²+E²+F²−4G=4a²+4b²+4c²−4(a²+b²+c²−r²)=4r²>0이 자동으로 성립), 위 순방향과 정확히 서로 역과정임이 확인됩니다.
사용 : 610번(표준방정식) · 완전제곱(대수)
증명 끝
612정리구 위의 점에서의 접평면의 방정식(x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c)=r²
증명법 : 직접증명법(점과 평면 사이의 거리·공간 내적·대수) · 경우를 나누는 방법
정의(접평면, tangent plane). 구와 오직 한 점에서 만나는 평면을 그 점에서의 구의 접평면이라 하고, 그 점을 접점이라 합니다.
보조정리(평면과 구의 위치 관계). 중심 C, 반지름 r인 구와 평면 π(법선벡터 n)에 대해 d:=d(C,π)라 하고, H를 C에서 π에 내린 수선의 발이라 하면(7.9 f601번) : d>r이면 π와 구는 만나지 않고, d=r이면 H 한 점에서만 만나며, d<r이면 두 점 이상에서 만납니다. 따라서 π가 구의 접평면 ⇔ d(C,π)=r이고, 이때 접점은 H입니다.
| π 위의 모든 점 X에 대해 CX² = d² + HX² | 7.9 f601번 3단계(P₀X²=HX²+HP₀², P₀ 자리에 C) |
| ⇒ X가 구 위의 점 ⇔ HX² = r²−d² | 구의 정의(610번) · 거리는 0 이상 |
| d>r : 우변이 음수 ⇒ 만나는 점 없음. d=r : HX=0 ⇔ X=H ⇒ H 한 점뿐 | 제곱은 0 이상 · 7.9 f596번 (2)(크기 0인 벡터는 영벡터) |
| d<r : n과 평행하지 않은 표준기저벡터 e를 골라 w:=m(n,e)로 두면 w≠0, w·n=0. ρ:=r²−d²>0에 대해 X=H±ρ|w|w는 π 위의 서로 다른 두 점이고 HX=ρ | 7.9 599번 보조정리 ①② · 7.9 597번(점―법선꼴) · n≠0이라 i, j, k가 모두 n과 평행할 수는 없음 |
정리. 구 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²(중심 C(a,b,c), 반지름 r) 위의 한 점 P₁(x₁,y₁,z₁)에서 이 구에 접하는 평면(접평면)의 방정식은 다음과 같습니다 :
(x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c) = r²
| (유일) π가 P₁에서의 접평면이면 보조정리에 의해 d(C,π)=r이고 접점 P₁이 곧 수선의 발 H ⇒ P₁C는 π의 법선벡터의 실수배이고 영벡터가 아님(|CP₁|=r>0) ⇒ CP₁는 π의 법선벡터 ⇒ π는 «P₁을 지나고 CP₁를 법선벡터로 하는 평면» π₁ | 보조정리 · 7.9 f601번 2단계(HP₀=tn) · 7.9 597번(유일성) |
| (존재) 거꾸로 π₁에 대해 d(C,π₁)=|CP₁·P₁C||CP₁|=r²r=r ⇒ 보조정리에 의해 π₁은 구와 한 점에서만 만나고(그 점은 P₁) ⇒ π₁이 P₁에서의 접평면. 즉 접평면은 π₁ 하나뿐 | 7.9 f601번(거리 공식을 점―법선꼴에 적용) · 보조정리 |
| P(x,y,z) ∈ π₁ ⇔ CP₁⋅P₁P=0 | 7.9 597번(점―법선꼴의 동치) |
| ⇔ (x₁−a)(x−x₁)+(y₁−b)(y−y₁)+(z₁−c)(z−z₁)=0 | 7.9 f596번(1)(공간벡터 내적의 성분 공식―6.5 f534번의 3차원 확장) |
| 이 식의 좌변에 (x₁−a)²+(y₁−b)²+(z₁−c)²(=r², P₁이 구 위의 점이므로 610번)을 더하면 : (x₁−a)[(x−x₁)+(x₁−a)]+(y₁−b)[(y−y₁)+(y₁−b)]+(z₁−c)[(z−z₁)+(z₁−c)] = (x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c) | 대수적 재배열([(x−x₁)+(x₁−a)]=(x−a)를 이용) |
| ∴ (x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c) = 0 + r² = r² | 위 두 줄을 연결(좌변에 더한 값과 우변에 더한 값이 같음) |
특히 중심이 원점(a=b=c=0)인 구 x²+y²+z²=r² 위의 점 P₁(x₁,y₁,z₁)에서의 접평면은 x₁x+y₁y+z₁z=r²로 간단해집니다.
사용 : 610번(표준방정식) · 7.9 f596·f597·f599·f601번(공간 내적·점―법선꼴·보조정리·점과 평면 사이의 거리)
증명 끝
613정리점과 구의 위치 관계(x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)² <,=,> r²
증명법 : 경우 나누기(거리와 실수의 삼분법)
정의(구의 내부·외부). 중심 C, 반지름 r인 구에 대해 CP₀<r인 점 P₀를 구의 내부의 점, CP₀>r인 점을 구의 외부의 점이라 합니다(CP₀=r이면 구 위의 점, 610번).
정리. 구 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²(중심 C(a,b,c), 반지름 r)과 점 P₀(x₀,y₀,z₀)에 대해, d:=CP₀라 하면 :
| d<r ⇔ (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²<r² | P₀는 구의 내부에 있음 |
| d=r ⇔ (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²=r² | P₀는 구 위에 있음 |
| d>r ⇔ (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²>r² | P₀는 구의 외부에 있음 |
| d = CP₀ = (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)² (≥0) | 7.8 f590번(공간의 거리 공식) |
| d, r 모두 0 이상이므로 d<r, d=r, d>r 중 정확히 하나가 성립(실수의 삼분법)하고, 각 부등식은 제곱해도(양변≥0) 방향이 바뀌지 않음―d²=(x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²이므로 d와 r의 대소 관계는 (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²과 r²의 대소 관계와 정확히 일치 | 실수의 삼분법 · 0 이상인 두 수의 제곱은 순서를 보존 |
| 위 정의에 의해 d<r, d=r, d>r이 각각 내부·구 위·외부와 정확히 대응 | 내부·외부의 정의 · 610번 |
사용 : 7.8 f590번(공간의 거리 공식) · 610번(구의 정의) · 실수의 삼분법
증명 끝
614정리—활용활용―표준방정식·접평면·위치 관계 종합 예제x²+y²+z²−4x+2y−6z+5=0
예제. 일반형 방정식 x²+y²+z²−4x+2y−6z+5=0으로 주어진 구에 대해 610−613번을 모두 수치로 확인합니다.
1단계―표준방정식으로 변환(611번).
| D=−4, E=2, F=−6, G=5 ⇒ D²+E²+F²−4G=16+4+36−20=36>0(구임을 확인) 중심 : (−D2, −E2, −F2) = (2,−1,3), 반지름 : r=1236=12·6=3 | 611번 |
따라서 표준방정식은 (x−2)²+(y+1)²+(z−3)²=9입니다(직접 전개해도 x²+y²+z²−4x+2y−6z+(5)=0으로 원래 일반형과 정확히 일치―검산 완료).
2단계―표준방정식 만족 확인(610번).
점 P₁(3,1,5)가 구 위에 있는지 확인 : (3−2)²+(1+1)²+(5−3)²=1+4+4=9 ⇒ 구 위에 있음(610번, 오프셋 (1,2,2)가 3−4−5과 같은 유형의 피타고라스 네 수 조 1−2−2−3을 이룸).
3단계―접평면의 방정식(612번).
| (3−2)(x−2)+(1+1)(y+1)+(5−3)(z−3)=9 ⇒ (x−2)+2(y+1)+2(z−3)=9 ⇒ x−2+2y+2+2z−6=9 ⇒ x+2y+2z−15=0 | 612번 |
검산(7.9 f601번, 점과 평면 사이의 거리) : 중심 C(2,−1,3)에서 이 평면까지의 거리는
| d(C,π) = |1·2+2·(−1)+2·3−15|1²+2²+2² = |2−2+6−15|3 = 93 = 3 = r | 7.9 f601번(점과 평면 사이의 거리) |
d(C,π)=r이므로 612번의 보조정리(d=r이면 접평면)에 의해 π가 실제로 이 구에 접함이 다시 확인되며, 이는 3단계의 결과(612번)와 독립적으로 일치합니다.
4단계―점과 구의 위치 관계(613번).
| (1,−1,3) : (1−2)²+(−1+1)²+(3−3)²=1+0+0=1<9 ⇒ 내부 | 613번 |
| (2,−1,6) : (2−2)²+(−1+1)²+(6−3)²=0+0+9=9 ⇒ 구 위 | 613번 |
| (7,−1,3) : (7−2)²+(−1+1)²+(3−3)²=25+0+0=25>9 ⇒ 외부 | 613번 |
사용 : 610−613번 전체 · 7.9 f601번(교차 검산)
증명 끝
참조 그림
(1) 610번―정확한 2D 단면. 중심 C(2,−1,3)에서 구 위의 점 P₁(3,1,5)까지의 거리를 발 M(3,1,3)을 거치는 직각삼각형 C-M-P₁(직각은 M)로 분해해 보입니다―CM=5, MP=2, CP₁=3(=r)이 실제 공식값그대로입니다.
(2) 610번―참고 도형(원근). 같은 C, P₁을 마주보는 직육면체(가로·세로·높이 1, 2, 2―x₁−a, y₁−b, z₁−c의 실제 값)를 오블리크 투영(6.1의 3D 참고 도형과 같은 규약)으로 그린 것으로, 대각선이 공식값그대로 3(=r)입니다(숨은 모서리 3개는 점선). 증명 자체는 이 참고 그림이 아니라 바로 위의 정확한 2D 단면에 근거합니다.
(3) 612번―3D 참고 도형(오블리크 투영). 구 (x−2)²+(y+1)²+(z−3)²=9 위의 점 P₁(3,1,5)에서의 접평면 π : x+2y+2z−15=0을 보여줍니다. CP₁과 π가 실제로는 수직이지만, 오블리크 투영은 각을 보존하지 않으므로 이 3D 그림에는 직각 표시를 넣지 않았습니다(7.9 597번에서 세운 관례).
(4) 613번―정확한 2D 단면(평면 y=−1, 중심 C를 지나는 대원). 서쪽 점 (1,−1,3)은 구의 내부(거리 1<3), 북쪽 점 (2,−1,6)은 구 위(거리 3=3), 동쪽 점 (7,−1,3)은 구의 외부(거리 5>3)입니다.
(5) 613번—3D 참고 도형(오블리크 투영). 절단면 y=−1(대원이 놓인 평면)의 3D 위치만 보여줍니다―이 오블리크 투영은 x축 방향을 0.6배, z축 방향을 1배로 서로 다르게 압축하므로(6.1의 규약, x↔z 스케일이 다름), 세 예시점을 이 그림에 직접 찍으면 실제 거리비가 깨집니다(예 : 외부점 (7,−1,3)이 경계점 (2,−1,6)과 같은 겉보기 반지름으로 투영됨)―내부·구 위·외부의 정확한 판정은 반드시 (4)의(왜곡 없는) 2D 단면으로 합니다.