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7.12   수능 관련

구의 방정식

Sphere

정의 · 공식과 증명

이 절은 3.34의 구의 정의(f373)를 좌표공간 위에서 대수적으로(방정식으로) 다룹니다―7.4(원의 방정식)가 3.19(원의 정의)를 평면에서 대수화했던 구성을 그대로 공간으로 옮깁니다. 먼저 7.8의 거리 공식(f590번)을 이용해 구의 표준방정식을 얻고(610번), 이를 전개·완전제곱으로 일반형과 서로 오갈 수 있음을 보입니다(611번). 3.34의 평면과 구의 교선(f374)이 이미 확립해 둔 «접평면은 접점을 지나는 반지름에 수직인 평면과 정확히 같다»는 사실을 7.9의 공간벡터의 내적(f596)과 결합해 구 위의 점에서의 접평면의 방정식을 유도하고(612번), 점과 구의 위치 관계를 거리와 실수의 삼분법으로 판정합니다(613번). 마지막으로 하나의 구 x²+y²+z²−4x+2y−6z+5=0으로 610–613번 전체를 수치로 재확인합니다(614번). 구의 겉넓이·부피(3.34 f376·f377)는 이미 3.34에서 종합기하적으로 확립된 결과이므로(7.4가 3.19의 결과를 재증명하지 않고 인용만 했던 것과 같은 이유로), 이 절에서는 새로 증명하지 않고 좌표 대수화(표준방정식·일반형·접평면·위치 관계)에만 집중합니다.

610정의 · 정리구의 표준방정식(x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²

증명법 : 직접증명법(거리 공식 이용)

공간좌표계 위에서 중심 C(a,b,c), 반지름 r(>0)인 구(3.34 f373번의 정의―중심으로부터 거리 r인 점들의 자취)를 생각합니다. 임의의 점 P(x,y,z)에 대해 다음이 성립합니다 :

P가 구 위에 있음  ⇔  (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²

P가 구 위 ⇔ CP=r	3.34 f373번(구의 정의)
CP = (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²	7.8 f590번(공간의 거리 공식)
∴ (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r  ⇔  (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²	양변이 모두 0 이상이므로 제곱은 동치(r>0, 거리≥0)

이 방정식을 구의 표준방정식(standard equation)이라 합니다. 특히 중심이 원점(a=b=c=0)이면 x²+y²+z²=r²로 간단해집니다. 7.8 f590번이 3차원 거리 공식 자체에서 이미 «xy평면과 평행한 방향으로 한 번, 그와 수직인 방향으로 또 한 번» 피타고라스 정리를 두 번 적용하는 부연을 직접 포함하고 있으므로(f590번의 부연 참고), 이 절에서는 별도로 반복하지 않습니다.

사용 : 3.34 f373번(구의 정의) · 7.8 f590번(공간의 거리 공식)

증명 끝

611정리구의 방정식의 일반형x²+y²+z²+Dx+Ey+Fz+G=0

증명법 : 동치인 식의 열(완전제곱)

정리. D, E, F, G가 실수일 때, 방정식 x²+y²+z²+Dx+Ey+Fz+G=0의 그래프는 D²+E²+F²−4G>0일 때 정확히 중심 (−D2, −E2, −F2), 반지름 r=12D²+E²+F²−4G인 구입니다. D²+E²+F²−4G=0이면 그래프는 점 (−D2, −E2, −F2) 하나뿐인 점구이고, D²+E²+F²−4G<0이면 이 방정식을 만족하는 실수 (x,y,z)가 존재하지 않아 그래프는 공집합입니다.

x²+y²+z²+Dx+Ey+Fz+G=0  ⇔  (x²+Dx)+(y²+Ey)+(z²+Fz)=−G	항을 x, y, z별로 묶음
⇔ (x+D2)²−D²4+(y+E2)²−E²4+(z+F2)²−F²4=−G	완전제곱식 만들기(각 괄호에 (계수/2)²를 더하고 뺌)
⇔ (x+D2)²+(y+E2)²+(z+F2)²=D²+E²+F²−4G4	이항 정리

610번(표준방정식)의 형태 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²과 비교하면 a=−D2, b=−E2, c=−F2이고, 우변 D²+E²+F²−4G4이 r²에 대응됩니다―이 값이 구의 반지름의 제곱이 되려면(r²>0이 되려면) 양수여야 하므로 D²+E²+F²−4G>0이 필요충분조건이고, 이때 r=D²+E²+F²−4G4=12D²+E²+F²−4G입니다(분모 4의 제곱근이 2이므로 밖으로 빠짐).

경계의 두 경우도 위 완전제곱식에서 바로 읽힙니다―D²+E²+F²−4G=0이면 세 제곱의 합이 0인데 세 제곱의 합이 0이려면 각 항이 모두 0이어야 하므로 x=−D2, y=−E2, z=−F2인 단 하나의 해(점구)만 존재합니다. D²+E²+F²−4G<0이면 우변이 음수인데 좌변(세 제곱의 합)은 항상 0 이상이므로 어떤 실수 x,y,z에 대해서도 등식이 성립할 수 없어 해집합은 공집합입니다.

역방향(표준형→일반형). 610번의 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²을 전개하면 x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+(a²+b²+c²−r²)=0으로, D=−2a, E=−2b, F=−2c, G=a²+b²+c²−r²로 두면 항상 일반형이 되고(반지름 r>0이므로 이때 D²+E²+F²−4G=4a²+4b²+4c²−4(a²+b²+c²−r²)=4r²>0이 자동으로 성립), 위 순방향과 정확히 서로 역과정임이 확인됩니다.

사용 : 610번(표준방정식) · 완전제곱(대수)

증명 끝

612정리구 위의 점에서의 접평면의 방정식(x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c)=r²

증명법 : 직접증명법(공간 내적·대수)

정리. 구 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²(중심 C(a,b,c), 반지름 r) 위의 한 점 P₁(x₁,y₁,z₁)에서 이 구에 접하는 평면(접평면)의 방정식은 다음과 같습니다 :

(x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c) = r²

접평면 π는 접점 P₁을 지나며, 반지름 CP₁=(x₁−a, y₁−b, z₁−c)에 수직	3.34 f374번(평면과 구의 교선―접평면은 접점을 지나는 반지름에 수직인 평면과 정확히 같다는 역방향 서술 포함)―이 구는 f373번의 정의를 만족하는 바로 그 구이므로 f374번이 그대로 적용됨
π 위의 임의의 점 P(x,y,z)에 대해 벡터 P₁P=(x−x₁, y−y₁, z−z₁)는 π 방향―CP₁⊥π이므로 CP₁⊥P₁P, 즉 CP₁⋅P₁P=0	7.9 f596번(3)(공간벡터 내적의 수직 조건―6.5 f536번의 3차원 확장)
⇔ (x₁−a)(x−x₁)+(y₁−b)(y−y₁)+(z₁−c)(z−z₁)=0	7.9 f596번(1)(공간벡터 내적의 성분 공식―6.5 f534번의 3차원 확장)
이 식의 좌변에 (x₁−a)²+(y₁−b)²+(z₁−c)²(=r², P₁이 구 위의 점이므로 610번)을 더하면 : (x₁−a)[(x−x₁)+(x₁−a)]+(y₁−b)[(y−y₁)+(y₁−b)]+(z₁−c)[(z−z₁)+(z₁−c)] = (x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c)	대수적 재배열([(x−x₁)+(x₁−a)]=(x−a)를 이용)
∴ (x₁−a)(x−a)+(y₁−b)(y−b)+(z₁−c)(z−c) = 0 + r² = r²	위 두 줄을 연결(좌변에 더한 값과 우변에 더한 값이 같음)

특히 중심이 원점(a=b=c=0)인 구 x²+y²+z²=r² 위의 점 P₁(x₁,y₁,z₁)에서의 접평면은 x₁x+y₁y+z₁z=r²로 간단해집니다.

사용 : 610번(표준방정식) · 3.34 f374번(접평면⊥반지름) · 7.9 f596번(공간 내적의 성분 공식·수직 조건)

증명 끝

613정리점과 구의 위치 관계(x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²  <,=,>  r²

증명법 : 경우 나누기(거리와 실수의 삼분법)

정리. 구 (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=r²(중심 C(a,b,c), 반지름 r)과 점 P₀(x₀,y₀,z₀)에 대해, d:=CP₀라 하면 :

d<r  ⇔  (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²<r²	P₀는 구의 내부에 있음
d=r  ⇔  (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²=r²	P₀는 구 위에 있음
d>r  ⇔  (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²>r²	P₀는 구의 외부에 있음

d = CP₀ = (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²  (≥0)	7.8 f590번(공간의 거리 공식)
d, r 모두 0 이상이므로 d<r, d=r, d>r 중 정확히 하나가 성립(실수의 삼분법)하고, 각 부등식은 제곱해도(양변≥0) 방향이 바뀌지 않음―d²=(x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²이므로 d와 r의 대소 관계는 (x₀−a)²+(y₀−b)²+(z₀−c)²과 r²의 대소 관계와 정확히 일치	실수의 삼분법 · 0 이상인 두 수의 제곱은 순서를 보존
내부·위·외부의 정의(3.34 f373번의 «공(ball)» 서술을 확장―내부:=중심까지 거리가 r보다 작은 점들의 집합)가 각각 d<r, d=r, d>r과 정확히 대응	내부·외부의 정의(구와 상호 배타적으로 정의되는 표준적인 용어)

사용 : 7.8 f590번(공간의 거리 공식) · 3.34 f373번(구의 정의) · 실수의 삼분법

증명 끝

614정리—활용활용―표준방정식·접평면·위치 관계 종합 예제x²+y²+z²−4x+2y−6z+5=0

예제. 일반형 방정식 x²+y²+z²−4x+2y−6z+5=0으로 주어진 구에 대해 610−613번을 모두 수치로 확인합니다.

1단계―표준방정식으로 변환(611번).

D=−4, E=2, F=−6, G=5 ⇒ D²+E²+F²−4G=16+4+36−20=36>0(구임을 확인) 중심 : (−D2, −E2, −F2) = (2,−1,3),   반지름 : r=1236=12·6=3

611번

따라서 표준방정식은 (x−2)²+(y+1)²+(z−3)²=9입니다(직접 전개해도 x²+y²+z²−4x+2y−6z+(5)=0으로 원래 일반형과 정확히 일치―검산 완료).

2단계―표준방정식 만족 확인(610번).

점 P₁(3,1,5)가 구 위에 있는지 확인 : (3−2)²+(1+1)²+(5−3)²=1+4+4=9 ⇒ 구 위에 있음(610번, 오프셋 (1,2,2)가 3−4−5과 같은 유형의 피타고라스 네 수 조 1−2−2−3을 이룸).

3단계―접평면의 방정식(612번).

(3−2)(x−2)+(1+1)(y+1)+(5−3)(z−3)=9 ⇒ (x−2)+2(y+1)+2(z−3)=9 ⇒ x−2+2y+2+2z−6=9 ⇒ x+2y+2z−15=0

612번

검산(7.9 f601번, 점과 평면 사이의 거리) : 중심 C(2,−1,3)에서 이 평면까지의 거리는

d(C,π) = |1·2+2·(−1)+2·3−15|1²+2²+2² = |2−2+6−15|3 = 93 = 3 = r

7.9 f601번(점과 평면 사이의 거리)

d(C,π)=r이므로 3.34 f374번(d=R이면 접평면)에 의해 π가 실제로 이 구에 접함이 다시 확인되며, 이는 3단계의 결과(612번)와 독립적으로 일치합니다.

4단계―점과 구의 위치 관계(613번).

(1,−1,3) : (1−2)²+(−1+1)²+(3−3)²=1+0+0=1<9  ⇒  내부	613번
(2,−1,6) : (2−2)²+(−1+1)²+(6−3)²=0+0+9=9  ⇒  구 위	613번
(7,−1,3) : (7−2)²+(−1+1)²+(3−3)²=25+0+0=25>9  ⇒  외부	613번

사용 : 610−613번 전체 · 7.9 f601번(교차 검산)

증명 끝

참조 그림

(1) 610번―정확한 2D 단면. 중심 C(2,−1,3)에서 구 위의 점 P₁(3,1,5)까지의 거리를 발 M(3,1,3)을 거치는 직각삼각형 C-M-P₁(직각은 M)로 분해해 보입니다―CM=5, MP=2, CP₁=3(=r)이 실제 공식값그대로입니다.

(2) 610번―참고 도형(원근). 같은 C, P₁을 마주보는 직육면체(가로·세로·높이 1, 2, 2―x₁−a, y₁−b, z₁−c의 실제 값)를 오블리크 투영(6.1의 3D 참고 도형과 같은 규약)으로 그린 것으로, 대각선이 공식값그대로 3(=r)입니다(숨은 모서리 3개는 점선). 증명 자체는 이 참고 그림이 아니라 바로 위의 정확한 2D 단면에 근거합니다.

(3) 612번―3D 참고 도형(오블리크 투영). 구 (x−2)²+(y+1)²+(z−3)²=9 위의 점 P₁(3,1,5)에서의 접평면 π : x+2y+2z−15=0을 보여줍니다. CP₁과 π가 실제로는 수직이지만, 오블리크 투영은 각을 보존하지 않으므로 이 3D 그림에는 직각 표시를 넣지 않았습니다(7.9 597번에서 세운 관례).

(4) 613번―정확한 2D 단면(평면 y=−1, 중심 C를 지나는 대원). 서쪽 점 (1,−1,3)은 구의 내부(거리 1<3), 북쪽 점 (2,−1,6)은 구 위(거리 3=3), 동쪽 점 (7,−1,3)은 구의 외부(거리 5>3)입니다.

(5) 613번—3D 참고 도형(오블리크 투영). 절단면 y=−1(대원이 놓인 평면)의 3D 위치만 보여줍니다―이 오블리크 투영은 x축 방향을 0.6배, z축 방향을 1배로 서로 다르게 압축하므로(6.1의 규약, x↔z 스케일이 다름), 세 예시점을 이 그림에 직접 찍으면 실제 거리비가 깨집니다(예 : 외부점 (7,−1,3)이 경계점 (2,−1,6)과 같은 겉보기 반지름으로 투영됨)―내부·구 위·외부의 정확한 판정은 반드시 (4)의(왜곡 없는) 2D 단면으로 합니다.