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8.9   대학 과정

미분연산자

Differential Operators

정의 · 공식과 증명

이 절은 8.8이 세운 다변수함수의 극한·연속(8.8 f903·f906) 위에 미분 개념을 얹습니다. 먼저 한 변수만 남기고 나머지를 상수로 고정해 8.3의 일변수 미분계수(642번)를 그대로 적용하는 편도함수(908−909번)를 정의한 뒤, 편미분가능성만으로는 부족하다는 사실(911번의 반례―8.8 f905·f906의 함수를 재사용)을 확인하면서 8.7의 선형근사(686번)를 엄밀하게 이변수로 일반화한 전미분가능성(910−911번)을 세웁니다. 이 전미분가능성 위에서 다변수 연쇄법칙(912번)을 증명하고, 이를 이용해 그레이디언트 벡터(913번)·방향도함수(914번)의 관계(915번)와, 그레이디언트가 등고선(8.8 f902)에 수직이며 함수가 가장 빨리 증가하는 방향을 가리킨다는 기하학적 의미(916번)로 이 절―그리고 챕터 8 미분법 전체―를 마무리합니다.

908정의편도함수(편미분계수)∂f∂x(x₀,y₀) := limh→0 f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀)h

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. f : D→ℝ(D⊆ℝ², 8.8 f900)이고 (x₀,y₀)가 D의 내점―즉 어떤 r>0에 대해 8.8 f903의 근방 B_r(x₀,y₀)⊆D―라고 합시다. 변수 y=y₀를 고정하고 x만 움직이는 일변수함수 g(x):=f(x,y₀)를 생각하면, g는 x₀를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의됩니다. 이 g가 x=x₀에서 미분가능(8.3 f642)하면, 그 미분계수 g'(x₀)를 f의 (x₀,y₀)에서의 x에 대한 편미분계수(partial derivative)라 하고

∂f∂x(x₀,y₀) := g'(x₀) = limh→0 f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀)h

로 정의합니다(f_x(x₀,y₀)로도 씀). y에 대해서도 마찬가지로―이번에는 x=x₀를 고정하고 y만 움직이는 h(y):=f(x₀,y)가 y=y₀에서 미분가능하면

∂f∂y(x₀,y₀) := h'(y₀) = limk→0 f(x₀,y₀+k)−f(x₀,y₀)k

로 정의합니다(f_y(x₀,y₀)). f_x, f_y가 D의 각 점에서 존재하면, 이를 D 위의 편도함수 f_x, f_y : D→ℝ로 볼 수 있습니다―8.3 f643이 f'(x)를 함수로 본 것과 같은 방식입니다.

사용 : 8.8의 900번 · 8.8의 903번 · 8.3의 642번 · 8.3의 643번

909정리—활용편도함수의 계산과 예y를 상수로 취급해 x에 대해 미분(8.4) =  f_x

증명법 : 직접증명법(908번의 정의가 문자 그대로 g(x):=f(x,y₀)의 642번 미분계수이므로, g에 8.4의 모든 도함수 공식·8.3의 648–651번 대수적 성질을 그대로 적용)

908번의 정의에서 g(x):=f(x,y₀)는 y₀를 어떤 고정된 상수로 취급하는 순간 그 자체로 8.1이 다루는 평범한 일변수함수이고, ∂f∂x(x₀,y₀)는 정확히 g'(x₀)입니다. 따라서 ∂f∂x를 계산하는 것은 y를 상수로 취급하고 x에 대해 8.4의 도함수 공식표를 그대로 적용하는 것과 완전히 같은 일입니다―8.4의 공식들(거듭제곱함수의 도함수, 8.3의 648–651번의 선형성·곱·몫·연쇄법칙)이 특정한 값이 아니라 임의의 상수 c에 대해 성립하기 때문에, y₀라는 구체적인 값을 고정하고 미분한 결과에 다시 일반적인 y를 대입해도 똑같은 식을 얻습니다. y에 대한 편도함수도 마찬가지로 x를 상수로 취급하면 됩니다.

예 1. f(x,y) = x²y³+sin(xy)라 합시다. y를 상수로 취급하고 x에 대해 미분하면(거듭제곱함수의 도함수, sin의 연쇄법칙에서 (xy)에 대한 x의 계수는 y)

f_x = 2xy³ + y·cos(xy)

이고, x를 상수로 취급하고 y에 대해 미분하면

f_y = 3x²y² + x·cos(xy)

예 2. f(x,y) = xy(y≠0)이라 합시다. y를 상수로 취급하면 f_x = 1y이고, x를 상수로 취급하면 g(y):=xy에 몫의 미분법(8.3 f650, 분자 x는 y에 대해 상수이므로 도함수 0)을 적용해

f_y = 0·y−x·1y² = −xy²

를 얻습니다.

908−909번―z=f(x,y)=x²+y²의 그래프를 y=1 평면으로 자른 단면 g(x)=f(x,1)=x²+1(굵은 선)과, 그 단면 곡선의 x=1에서의 접선. 이 접선의 기울기가 바로 f_x(1,1)=2x|_x=1=2―편도함수 f_x는 이처럼 «y를 고정한 단면 곡선의 기울기»라는 기하학적 의미를 갖습니다.

사용 : 908번 · 8.4(도함수 공식표) · 8.3의 648–651번

증명 끝

910정의전미분가능성f(x₀+h,y₀+k)−f(x₀,y₀) = Ah+Bk+o(h²+k²)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. f : D→ℝ(D⊆ℝ²)이고 (x₀,y₀)가 D의 내점이라고 합시다. f가 (x₀,y₀)에서 전미분가능(differentiable)하다는 것은, 어떤 상수 A,B∈ℝ가 존재해―(x₀+h,y₀+k)가 D에 속하는 충분히 작은 모든 (h,k)에 대해―

f(x₀+h,y₀+k) − f(x₀,y₀) = Ah+Bk+ε(h,k)

로 쓸 수 있고, 오차항 ε(h,k)가

lim(h,k)→(0,0) ε(h,k)h²+k² = 0

을 만족하는 것을 말합니다―8.7 f685에서 도입한 소문자 o 표기를 그대로 빌리면 ε(h,k)=o(h²+k²)로 간결하게 씁니다. 직관적으로: f(x₀+h,y₀+k)를 h,k에 대한 1차식 Ah+Bk로 근사했을 때, 그 오차가 (h,k)와 원점 사이의 거리(8.8 f903에서 쓴 유클리드 거리 d((h,k),(0,0))=h²+k²)보다 한 단계 더 빨리 0으로 줄어든다는 뜻이며, 8.7이 일변수에서 세운 선형근사(686번)를 이변수로 그대로 확장한 것입니다.

사용 : 8.7의 685번(little−o 표기) · 8.7의 686번 · 8.8의 903번

911정리전미분가능성과 연속성·편미분가능성의 관계전미분가능 ⇒ 연속 & 편미분가능(A=f_x,B=f_y), 역은 불성립

증명법 : 직접증명법(910번의 정의를 극한의 성질로 직접 재구성)

f가 (x₀,y₀)에서 전미분가능(910번, 상수 A,B)하면 다음 두 가지가 성립합니다 :

① f는 (x₀,y₀)에서 연속(8.8 f906)이다.
② f는 (x₀,y₀)에서 편미분가능(908번)하고, A=f_x(x₀,y₀), B=f_y(x₀,y₀)이다.

단, 역은 성립하지 않습니다―편미분가능하지만 전미분가능(사실은 연속조차) 하지 않은 함수가 존재합니다.

①의 증명. 910번의 등식 f(x₀+h,y₀+k)−f(x₀,y₀) = Ah+Bk+ε(h,k)에서, (h,k)→(0,0)이면 8.8 f904(다변수 극한의 선형성)에 의해 Ah→0, Bk→0이고, ε(h,k) = [ε(h,k)h²+k²]·h²+k²에서 앞 인수는 910번 정의에 의해 0으로, 뒤 인수 h²+k²도 0으로 수렴하므로(8.8 f904의 곱의 극한) ε(h,k)→0·0=0입니다. 따라서 f(x₀+h,y₀+k)−f(x₀,y₀)→0, 즉 lim_{(h,k)→(0,0)} f(x₀+h,y₀+k) = f(x₀,y₀)이므로, 8.8 906번에 의해 f는 (x₀,y₀)에서 연속입니다.

②의 증명. 910번의 식에서 k=0으로 고정하고 h≠0만 움직이면

f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀) = Ah+ε(h,0)

이고, 910번 정의의 극한을 (h,0) 방향으로 제한한 부분극한도 여전히 0이므로(8.8 f905의 경로판정법과 같은 논리―전체 극한이 0이면 특정 경로를 따른 부분극한도 0)

limh→0 ε(h,0)|h| = 0,  즉  limh→0 ε(h,0)h = 0

입니다(분모의 절댓값을 부호로 바꾸어도 0 수렴 자체는 바뀌지 않음). 위 식의 양변을 h≠0으로 나누면

f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀)h − A = ε(h,0)h → 0  (h→0)

이므로 [f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀)]/h → A입니다. 908번의 정의에 의해 f_x(x₀,y₀)가 존재하고 A와 같습니다. h=0, k≠0으로 두면 같은 방법으로 B=f_y(x₀,y₀)를 얻습니다.

역이 성립하지 않음(반례). 8.8 f905·f906에서 다룬 f(x,y)=xy/(x²+y²)((x,y)≠(0,0)), f(0,0):=0을 다시 씁니다. 908번의 정의에서

f_x(0,0) = limh→0 f(h,0)−f(0,0)h = limh→0 0−0h = 0

이고 같은 방법으로 f_y(0,0)=0이므로 f는 원점에서 편미분가능(둘 다 0)합니다. 그러나 8.8 906번의 예 2에서 이미 f가 원점에서 불연속임을 보였으므로, 위 ①의 대우(«불연속이면 전미분가능이 아니다»)에 의해 f는 원점에서 전미분가능일 수 없습니다―편미분가능성이 전미분가능성보다 진짜로 더 약한 조건임을 보여주는 표준적인 예입니다.

사용 : 910번 · 8.8의 904번 · 8.8의 905번 · 8.8의 906번 · 908번

증명 끝

912정리다변수 연쇄법칙(합성함수의 미분법)z'(t₀) = f_xx'(t₀)+f_yy'(t₀)

증명법 : 직접증명법(910번의 정의를 8.7 f685와 같은 오차 추정 방법으로 직접 재구성)

x=x(t), y=y(t)가 t=t₀에서 미분가능(8.3 f642)하고, f가 (x(t₀),y(t₀))에서 전미분가능(910번)하면, 합성함수 z(t):=f(x(t),y(t))는 t=t₀에서 미분가능하고

z'(t₀) = f_x(x(t₀),y(t₀))·x'(t₀) + f_y(x(t₀),y(t₀))·y'(t₀)

가 성립합니다.

x₀:=x(t₀), y₀:=y(t₀)라 하고, Δt≠0에 대해 Δx:=x(t₀+Δt)−x(t₀), Δy:=y(t₀+Δt)−y(t₀)라 하자.	x,y가 t₀에서 미분가능하므로 8.3 f646(미분가능⇒연속)에 의해 Δt→0이면 Δx→0, Δy→0
Δz := z(t₀+Δt)−z(t₀) = f(x₀+Δx,y₀+Δy)−f(x₀,y₀) = fxΔx+fyΔy+ε(Δx,Δy)	910번을 (h,k)=(Δx,Δy)에 적용(A=fx(x₀,y₀), B=fy(x₀,y₀)임은 911번), lim(Δx,Δy)→(0,0)εΔx²+Δy²=0
ΔzΔt = fxΔxΔt + fyΔyΔt + ε(Δx,Δy)Δx²+Δy²·Δx²+Δy²Δt	양변을 Δt≠0으로 나눔
ΔxΔt → x'(t₀),  ΔyΔt → y'(t₀)  (Δt→0)	642번(미분계수의 정의) 자체
|Δx²+Δy²Δt| = ΔxΔt²+ΔyΔt² → x'(t₀)²+y'(t₀)²	위 줄에 의해, Δt→0 근방에서 어떤 상수로 유계
∴ ε(Δx,Δy)Δx²+Δy²·Δx²+Δy²Δt → 0·x'(t₀)²+y'(t₀)² = 0	0으로 가는 인수(Δt→0이면 (Δx,Δy)→(0,0)이므로)와 유계인 인수의 곱
∴ ΔzΔt → fx(x₀,y₀)x'(t₀) + fy(x₀,y₀)y'(t₀) + 0	세 극한을 합침

좌변 ΔzΔt는 정의에 의해 z'(t₀)이므로, 원하는 등식을 얻습니다.

사용 : 910번 · 911번 · 8.3의 642번 · 8.3의 646번

증명 끝

913정의그레이디언트 벡터∇f(x₀,y₀) := (f_x(x₀,y₀), f_y(x₀,y₀))

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. f : D→ℝ(D⊆ℝ²)의 (x₀,y₀)에서의 두 편도함수 f_x(x₀,y₀), f_y(x₀,y₀)(908번)가 모두 존재하면, f의 (x₀,y₀)에서의 그레이디언트(gradient) 벡터를

∇f(x₀,y₀) := (f_x(x₀,y₀), f_y(x₀,y₀))

로 정의합니다―6.1 f502의 성분 표기를 그대로 씁니다. 기호 ∇(«나블라», nabla)는 이 절에서 함수 f에 작용해 그 그레이디언트 벡터를 만들어내는 연산자로만 씁니다―이처럼 함수에 작용해 새로운 함수(또는 벡터)를 만드는 ∂∂x, ∇ 따위의 기호를 미분연산자(differential operator)라 부르는데, 이것이 이 절의 제목의 유래입니다.

사용 : 908번 · 6.1의 502번

914정의방향도함수D_uf(x₀,y₀) := limt→0 f(x₀+tu₁,y₀+tu₂)−f(x₀,y₀)t

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. u=(u₁,u₂)가 단위벡터(|u|=1, 6.1 f505)이고 f : D→ℝ, (x₀,y₀)가 D의 내점이라고 합시다. 극한

D_uf(x₀,y₀) := limt→0 f(x₀+tu₁,y₀+tu₂)−f(x₀,y₀)t

가 존재하면 이를 f의 (x₀,y₀)에서 u방향 방향도함수(directional derivative)라 합니다. 특히 u=i=(1,0)(6.1 f502)이면 위 극한은 908번의 정의에서 h를 t로 바꿔 쓴 것과 문자 그대로 같은 식이므로 D_if(x₀,y₀)=f_x(x₀,y₀)이고, 마찬가지로 u=j=(0,1)이면 D_jf(x₀,y₀)=f_y(x₀,y₀)입니다. 즉 방향도함수는 편도함수(좌표축 방향으로만 움직이는 변화율)를 임의의 방향으로 일반화한 것입니다.

사용 : 6.1의 502번 · 6.1의 505번 · 908번

915정리방향도함수와 그레이디언트의 관계D_uf(x₀,y₀) = ∇f(x₀,y₀)⋅u

증명법 : 직접증명법(912번 연쇄법칙을 직선 경로에 적용)

f가 (x₀,y₀)에서 전미분가능(910번)하고 u=(u₁,u₂)가 단위벡터이면

D_uf(x₀,y₀) = ∇f(x₀,y₀)⋅u  (6.5 f533의 내적)

이고, ∇f(x₀,y₀)≠0일 때 이 값은 u=∇f(x₀,y₀)/|∇f(x₀,y₀)|일 때 최댓값 |∇f(x₀,y₀)|를 갖습니다―즉 f가 (x₀,y₀)에서 가장 빨리 증가하는 방향은 그레이디언트 방향이고, 그 증가율이 |∇f(x₀,y₀)|입니다.

등식의 증명. x(t):=x₀+tu₁, y(t):=y₀+tu₂로 두면 x'(t)=u₁, y'(t)=u₂(상수함수의 도함수, 8.4)이고 z(t):=f(x(t),y(t))=f(x₀+tu₁,y₀+tu₂)입니다. 912번(연쇄법칙)을 t=0에서 적용하면

z'(0) = f_x(x₀,y₀)u₁ + f_y(x₀,y₀)u₂ = ∇f(x₀,y₀)⋅(u₁,u₂)  (6.5 f534―내적의 성분 공식)

이고, 한편 z(t)의 정의를 그대로 914번의 정의에 대입하면

z'(0) = limt→0 z(t)−z(0)t = limt→0 f(x₀+tu₁,y₀+tu₂)−f(x₀,y₀)t = D_uf(x₀,y₀)

이므로 두 식을 합쳐 D_uf(x₀,y₀) = ∇f(x₀,y₀)⋅u를 얻습니다.

최댓값의 증명. ∇f(x₀,y₀)≠0이라 하고 θ를 ∇f(x₀,y₀)와 u 사이의 각(6.5 f532)이라 하면, 6.5 f533(내적의 정의)에 의해

D_uf(x₀,y₀) = ∇f(x₀,y₀)⋅u = |∇f(x₀,y₀)||u|cosθ = |∇f(x₀,y₀)|cosθ

입니다(|u|=1이므로). −1≤cosθ≤1이므로 D_uf(x₀,y₀)는 항상 |∇f(x₀,y₀)| 이하이고, cosθ=1(즉 θ=0, u가 ∇f(x₀,y₀)와 같은 방향의 단위벡터―u=∇f(x₀,y₀)/|∇f(x₀,y₀)|)일 때 정확히 |∇f(x₀,y₀)|와 같아지므로, 이때가 최댓값입니다.

사용 : 912번 · 914번 · 8.4(상수함수의 도함수) · 6.5의 532번 · 6.5의 533번 · 6.5의 534번

증명 끝

916정리—활용그레이디언트와 등고선의 수직관계(최대증가방향)∇f(x₀,y₀) ⊥ σ'(t₀)

증명법 : 직접증명법(912번 연쇄법칙을 등고선 위의 곡선에 적용)

f가 (x₀,y₀)의 한 근방에서 전미분가능(910번)하고 ∇f(x₀,y₀)≠0이며 k:=f(x₀,y₀)라 합시다. σ(t)=(x(t),y(t))가 t₀ 근방에서 미분가능하고 σ(t₀)=(x₀,y₀), σ'(t₀)=(x'(t₀),y'(t₀))≠(0,0)이며 등고선(8.8 f902) L_k 위에 있으면(즉 모든 t에 대해 f(σ(t))=k) 다음이 성립합니다 :

∇f(x₀,y₀) ⊥ σ'(t₀)

즉 그레이디언트는 등고선의 접선 방향에 수직입니다.

대학 실제로 ∇f(x₀,y₀)≠0인 점 근처에서 등고선 L_k가 위와 같은 미분가능한 곡선 σ(t)(σ'(t₀)≠0)로 국소적으로 매개변수화될 수 있다는 존재성 자체는 음함수정리(implicit function theorem)가 보장하는 것으로, 다변수 실해석학의 표준 결과입니다. 8.2의 640·641번(사잇값·최대최소 정리)을 결과만 인용해 썼던 것과 같은 방식으로, 여기서도 이 존재성을 표준 결과로 인용해서 쓰고, σ(t)가 주어졌다는 가정 아래 그 뒤의 수직 관계만 아래에서 직접 증명합니다.

h(t):=f(σ(t)) = f(x(t),y(t))는 t₀ 근방에서 항등적으로 k	가정(σ(t)가 등고선 Lk 위에 있음)
∴ h'(t₀) = 0	상수함수의 도함수는 0(8.4)
h'(t₀) = fx(x₀,y₀)x'(t₀)+fy(x₀,y₀)y'(t₀) = ∇f(x₀,y₀)⋅σ'(t₀)	912번(연쇄법칙)을 h(t)=f(x(t),y(t))에 적용, 6.5 f534(내적의 성분 공식)
∴ ∇f(x₀,y₀)⋅σ'(t₀) = 0	위 두 줄을 합침
σ'(t₀)≠(0,0)이므로 ∇f(x₀,y₀) ⊥ σ'(t₀)	6.5 f536(수직 조건 u⊥v ⇔ u⋅v=0)

σ'(t₀)는 곡선 σ(등고선 L_k 위의 곡선)의 t₀에서의 접선 방향이므로, ∇f(x₀,y₀)는 등고선 L_k의 (x₀,y₀)에서의 접선에 수직입니다.

기하학적 종합. 915번(방향도함수의 최댓값)과 결합하면: 그레이디언트는 등고선에 수직인 방향들(f가 순간적으로 변하지 않는 방향과 직각을 이루는 방향들) 중에서도 특히 f가 가장 빨리 증가하는 방향을 가리키고, 그 크기 |∇f(x₀,y₀)|가 그 증가율입니다―지형도의 등고선에 수직인 방향이 가장 가파른 오르막 방향인 것과 같은 원리입니다.

913−916번―f(x,y)=x²+2y²의 등고선(k=3,6,9인 타원)과, 등고선 k=6 위의 점 P(2,1)에서의 그레이디언트 벡터 ∇f(2,1)=(2x,4y)|_(2,1)=(4,4)(크기 |∇f(2,1)|=4²+4²=42). 접선(파선)에 수직임을 그림에서 확인할 수 있습니다(그림의 벡터 길이는 가독성을 위해 조정한 것으로, 방향만 정확합니다).

사용 : 8.8의 902번 · 8.2의 640·641번(음함수정리 존재성의 인용 근거와 같은 방식) · 910번 · 912번 · 915번 · 6.5의 534번 · 6.5의 536번

증명 끝