4.11 심화·배경
배수각공식
Multiple Angle Formulas
정의 · 공식과 증명
4.10(배각공식)이 4.9의 θ+φ 공식에서 φ=θ로 놓아 2θ를 얻었다면, 이 절은 그 아이디어를 한 단계 더 밀어붙여 3θ=2θ+θ로 보고 사인·코사인의 세배각공식을 얻습니다(463–465번). 탄젠트·코탄젠트의 세배각공식(466, 467번)은 4.10처럼 4.9의 덧셈정리에 다시 φ=θ를 대입하는 대신, 이미 증명된 사인·코사인의 세배각공식을 tan3θ=sin3θcos3θ 형태로 나누는 경로를 택합니다—그 이유는 466번 안에서 직접 확인합니다. 마지막으로 468번은 3배각을 넘어 임의의 자연수 n배각까지 일반화한 공식을 드무아브르 공식(1.4 f61-62)과 이항정리(2.2 f79)로 얻는 대학 과정 내용으로, 수능 준비생에게는 필요하지 않으므로 참고용으로만 덧붙입니다.
463정의배수각공식이 다루는 범위sin3θ, cos3θ, tan3θ, cot3θ
정의(이 절에서 증명할 공식). 임의의 실수 θ에 대해, 다음 네 개의 등식—사인·코사인의 세배각공식(정의역 제한 없음), 탄젠트·코탄젠트의 세배각공식(정의역 제한은 각 항목에서 개별적으로 명시)—을 이 절에서 차례로 증명합니다 :
| 464번 | sin3θ = 3sinθ − 4sin3θ |
| 465번 | cos3θ = 4cos3θ − 3cosθ |
| 466번 | tan3θ = 3tanθ − tan3θ1−3tan²θ |
| 467번 | cot3θ = cot3θ − 3cotθ3cot²θ−1 |
468번(대학 과정)에서는 3배각을 임의의 자연수 n배각으로 일반화한 sin(n&theta) · cos(nθ)의 공식을 별도로 다룹니다— 본문 흐름(수능 범위)과 분리해 절 마지막에 참고로만 덧붙입니다.
이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료) — 3배각공식을 미리 끌어다 쓴 이전 절이 아직 없습니다.
464정리사인의 세배각공식sin3θ = 3sinθ − 4sin3θ
증명법 : 직접증명법(3θ=2θ+θ로 보고 4.9 f452번 적용)
주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.
sin3θ = 3sinθ − 4sin3θ
3θ=2θ+θ로 보고, 4.9의 f452번(사인의 덧셈정리, sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ)에 θ→2θ, φ→θ를 대입합니다 :
| sin3θ = sin(2θ+θ) = sin2θcosθ + cos2θsinθ | 452번(2θ+θ) |
| = (2sinθcosθ)cosθ + (1−2sin²θ)sinθ | 4.10 f459번(sin2θ) · f460번(cos2θ=1−2sin²θ 형태) |
| = 2sinθcos²θ + sinθ − 2sin3θ | 전개 |
| = 2sinθ(1−sin²θ) + sinθ − 2sin3θ | 4.5 f425번(cos²θ=1−sin²θ) |
| = 2sinθ − 2sin3θ + sinθ − 2sin3θ | 전개 |
| = 3sinθ − 4sin3θ | 동류항 정리 |
위 유도의 모든 단계—452번, 459번, 460번, 425번—가 모든 실수 θ에서 제한 없이 성립했으므로, 이 공식도 모든 실수 θ에서 제한 없이 성립합니다.
θ=25°인 예 — A=P(0)에서 P(θ), P(2θ), P(3θ)까지 차례로 θ씩 회전하므로 (모두 같은 각 θ), 세 현 AP(θ), P(θ)P(2θ), P(2θ)P(3θ)의 길이가 모두 같습니다(4.9 f449번 회전 합동 보조정리를 두 번 반복 적용한 것과 같은 구조)—3θ가 θ를 세 번 더한 것임을 그림으로 확인합니다. P(3θ)에는 cos3θ·sin3θ 점선 사영도 추가했습니다. 좌표는 Python으로 정확히 계산해 픽셀에 대입했습니다.
사용 : 4.9의 f452번(사인의 덧셈정리) — 4.10의 f459번·f460번(배각공식) — 4.5의 f425번(피타고라스 항등식) — 4.9의 f449번(회전 합동 보조정리, 그림)
증명 끝
465정리코사인의 세배각공식cos3θ = 4cos3θ − 3cosθ
증명법 : 직접증명법(3θ=2θ+θ로 보고 4.9 f451번 적용)
주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.
cos3θ = 4cos3θ − 3cosθ
3θ=2θ+θ로 보고, 4.9의 f451번(코사인의 덧셈정리, cos(θ+φ)=cosθcosφ−sinθsinφ)에 θ→2θ, φ→θ를 대입합니다 :
| cos3θ = cos(2θ+θ) = cos2θcosθ − sin2θsinθ | 451번(2θ+θ) |
| = (2cos²θ−1)cosθ − (2sinθcosθ)sinθ | 4.10 f460번(cos2θ=2cos²θ−1 형태) · f459번(sin2θ) |
| = 2cos3θ − cosθ − 2sin²θcosθ | 전개 |
| = 2cos3θ − cosθ − 2(1−cos²θ)cosθ | 4.5 f425번(sin²θ=1−cos²θ) |
| = 2cos3θ − cosθ − 2cosθ + 2cos3θ | 전개 |
| = 4cos3θ − 3cosθ | 동류항 정리 |
위 유도의 모든 단계—451번, 459번, 460번, 425번—가 모든 실수 θ에서 제한 없이 성립했으므로, 이 공식도 모든 실수 θ에서 제한 없이 성립합니다.
사용 : 4.9의 f451번(코사인의 덧셈정리) — 4.10의 f459번·f460번(배각공식) — 4.5의 f425번(피타고라스 항등식)
증명 끝
466정리탄젠트의 세배각공식tan3θ = 3tanθ − tan3θ1−3tan²θ
증명법 : 직접증명법(464·465번의 몫으로 정의, tanθ로 재정리)
주장. θ가 π6+kπ3 꼴이 아닐 때(k는 정수) 다음이 성립합니다.
tan3θ = 3tanθ − tan3θ1−3tan²θ
458·461번(4.10)과 다른 경로를 택하는 이유. 4.10의 탄젠트 배각공식(461번)은 4.9 덧셈정리에 직접 φ=θ를 대입해 얻었습니다. 같은 방식을 여기서도 쓴다면 3θ=2θ+θ에 4.9 f454번(탄젠트의 덧셈정리)을 적용하면서 중간에 tan2θ(4.10 f461번)를 거쳐야 하는데, 이 경로는 θ=π4+kπ2(tan2θ가 정의되지 않는 점)에서 유도 과정 자체가 끊어집니다. 대신 이미 모든 실수 θ에서 제한 없이 성립하는 464·465번을 나누는 경로를 택하면 이 문제를 완전히 피할 수 있습니다.
| tan3θ = sin3θcos3θ = 3sinθ − 4sin3θ4cos3θ − 3cosθ | 464·465번, tanθ의 정의(4.2 f410번), cos3θ≠0 |
| = sinθ(3−4sin²θ)cosθ(4cos²θ−3) | 인수분해 |
| = tanθ·3−4sin²θ4cos²θ−3 | 4.2 f410번(나눗셈을 tanθ로 묶음), cosθ≠0 |
| = tanθ·4cos²θ−14cos²θ−3 | 4.5 f425번(sin²θ=1−cos²θ), 3−4(1−cos²θ)=4cos²θ−1 |
| = tanθ·4·11+tan²θ−14·11+tan²θ−3 | cos²θ=11+tan²θ(4.8 f444번 유도와 같은 구조, sec²θ=1+tan²θ), cosθ≠0 |
| = tanθ·3−tan²θ1−3tan²θ | 분자·분모에 (1+tan²θ) 곱함 |
| = 3tanθ−tan3θ1−3tan²θ | 분배법칙 |
정의역에 대한 주의—결론과 전제의 일치 확인. 위 유도는 겉보기에 두 가지 조건—cos3θ≠0(tan3θ가 정의되려는 조건 자체)과 cosθ≠0(중간에 tanθ로 묶기 위한 조건)—을 모두 요구하는 것처럼 보입니다. 그런데 cosθ≠0은 θ≠π2+kπ라는 뜻이고, 이 값은 항상 π6+mπ3 꼴(m=3k+1로 두면 π6+(3k+1)π3=π6+kπ+π3=π2+kπ)—즉 tan3θ 자신이 이미 정의되지 않는 점들의 특수한 경우(m=3k+1)입니다. 예를 들어 θ=π2는 cosθ=0이라 tanθ 자체가 정의되지 않지만, 같은 θ에서 3θ=3π2이므로 tan3θ 역시 그 자리에서 원래 정의되지 않습니다—즉 cosθ≠0 조건이 요구하는 제외점은 cos3θ≠0 조건이 요구하는 제외점 안에 이미 포함되어 있어 별도의 추가 제한을 만들지 않습니다. 따라서 이 공식이 성립하는 범위는 tan3θ 자신의 가장 넓은 자연스러운 정의역(θ≠π6+kπ3)과 정확히 일치합니다—4.10 f461번(tan2θ)이 중간 경로(tanθ) 때문에 결론보다 더 좁은 정의역을 가졌던 것과 달리, 이 절에서는 sin3θ·cos3θ가 처음부터 모든 실수에서 성립했기 때문에 그런 좁힘이 생기지 않습니다.
사용 : 464·465번(사인·코사인의 세배각공식) — 4.2의 f410번(탄젠트의 정의) — 4.5의 f425번(피타고라스 항등식) — 4.8의 f444번(secθ·cosθ 관계와 같은 구조)
증명 끝
467정리코탄젠트의 세배각공식cot3θ = cot3θ − 3cotθ3cot²θ−1
증명법 : 직접증명법(465·464번의 몫으로 정의, cotθ로 재정리)
주장. θ가 kπ3 꼴이 아닐 때(k는 정수) 다음이 성립합니다.
cot3θ = cot3θ − 3cotθ3cot²θ−1
466번과 같은 이유—4.9 f456번(코탄젠트의 덧셈정리)에 직접 φ=θ를 대입하면 중간에 cot2θ(4.10 f462번)를 거쳐야 하고, 이는 θ=kπ2에서 유도가 끊어집니다—로, 여기서도 465·464번을 나누는 경로를 택합니다 :
| cot3θ = cos3θsin3θ = 4cos3θ − 3cosθ3sinθ − 4sin3θ | 465·464번, cotθ의 정의(4.2 f410번), sin3θ≠0 |
| = cosθ(4cos²θ−3)sinθ(3−4sin²θ) | 인수분해 |
| = cotθ·4cos²θ−33−4sin²θ | 4.2 f410번(나눗셈을 cotθ로 묶음), sinθ≠0 |
| = cotθ·4cos²θ−34cos²θ−1 | 4.5 f425번(sin²θ=1−cos²θ), 3−4(1−cos²θ)=4cos²θ−1 |
| = cotθ·4·cot²θ1+cot²θ−34·cot²θ1+cot²θ−1 | cos²θ=cot²θ1+cot²θ(cot²θ=cos²θ/sin²θ와 4.5 f425번에서 직접 계산), sinθ≠0 |
| = cotθ·cot²θ−33cot²θ−1 | 분자·분모에 (1+cot²θ) 곱함 |
| = cot3θ−3cotθ3cot²θ−1 | 분배법칙 |
정의역에 대한 주의. 466번과 같은 방식으로 확인합니다—중간에 요구한 sinθ≠0(θ≠kπ)은 항상 kπ3 꼴의 특수한 경우(k=3m으로 두면 3mπ3=mπ)이므로, cot3θ 자신이 이미 정의되지 않는 점들 안에 포함되어 별도의 추가 제한을 만들지 않습니다. 예를 들어 θ=π2는 466번의 예와 달리 sinθ=1≠0이라 cotθ=0이 멀쩡히 정의되고, 3θ=3π2에서 cot3θ=0도 정의되어(공식 우변도 (0−0)/(0−1)=0으로 정확히 일치) 이 경우는 애초에 문제가 되지 않습니다—따라서 이 공식이 성립하는 범위는 cot3θ 자신의 가장 넓은 자연스러운 정의역(θ≠kπ3)과 정확히 일치합니다.
사용 : 464·465번(사인·코사인의 세배각공식) — 4.2의 f410번(코탄젠트의 정의) — 4.5의 f425번(피타고라스 항등식)
증명 끝
468정리대학일반 n배각공식cos(nθ), sin(nθ) — 드무아브르 공식의 이항전개
증명법 : 직접증명법(드무아브르 공식의 이항전개, 실수부·허수부 비교)
주장. 임의의 자연수 n과 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다(단, nCk = n!k!(n−k)!).
cos(nθ) = ⌊n/2⌋Σj=0 (−1)j nC2j cosn−2jθ sin2jθ
sin(nθ) = ⌊(n−1)/2⌋Σj=0 (−1)j nC2j+1 cosn−2j−1θ sin2j+1θ
⌊x⌋는 x보다 크지 않은 최대 정수(가우스 기호)—즉 cos(nθ)의 합은 짝수 지수 항(k=2j≤n)만, sin(nθ)의 합은 홀수 지수 항(k=2j+1≤n)만 모읍니다.
1.4의 f61-62번(드무아브르 공식)에 의해 모든 실수 θ와 자연수 n에 대해 (cosθ+isinθ)n = cos(nθ)+isin(nθ)가 성립합니다. 좌변을 2.2의 f79번(이항정리)로 전개합니다 :
| (cosθ+isinθ)n = nΣk=0 nCk cosn−kθ·(isinθ)k | 2.2 f79번(이항정리, a=cosθ, b=isinθ) |
| = nΣk=0 nCk ik cosn−kθ·sinkθ | (isinθ)k=iksinkθ |
1.4의 f46-48번(i의 거듭제곱 주기성, i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1이 4마다 반복)에 의해, 지수 k가 4로 나눈 나머지에 따라 ik는 오직 4가지 값(1, i, −1, −i)만을 반복해서 취합니다. k가 짝수(k=2j)이면 i2j=(i²)j=(−1)j로 항상 실수이고, k가 홀수(k=2j+1)이면 i2j+1=i·(−1)j로 항상 순허수(i의 실수배)입니다. 따라서 위 합을 k가 짝수인 항(실수부에 기여)과 k가 홀수인 항(허수부에 기여)으로 나눌 수 있습니다 :
| (cosθ+isinθ)n = [⌊n/2⌋Σj=0 (−1)j nC2j cosn−2jθsin2jθ] + i[⌊(n−1)/2⌋Σj=0 (−1)j nC2j+1 cosn−2j−1θsin2j+1θ] | i¹의 주기성(46-48번)으로 항을 짝·홀로 분리 |
이 식의 우변은 (실수)+i(실수) 꼴이고, 좌변은 드무아브르 공식에 의해 cos(nθ)+isin(nθ)와 같습니다. 복소수의 표준형 a+bi(a,b가 실수)는 실수부 a와 허수부 b가 각각 하나로 정해지므로—즉 두 복소수가 같으려면 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 같아야 하므로— 위 대괄호 안의 두 실수식이 각각 cos(nθ), sin(nθ)와 같습니다. 이것이 주장한 두 공식입니다.
다른 절과의 일치 확인(n=2, n=3). n=2를 대입하면 cos2θ=cos²θ−sin²θ(4.10 f460번의 첫 형태), sin2θ=2sinθcosθ(4.10 f459번)와 정확히 일치합니다. n=3을 대입하면 cos3θ=cos3θ−3cosθsin²θ인데, 여기에 4.5 f425번(sin²θ=1−cos²θ)을 대입해 정리하면 465번(4cos3θ−3cosθ)과 같아지고, sin3θ=3cos²θsinθ−sin3θ도 같은 방식으로 464번(3sinθ−4sin3θ)과 같아집니다—일반 공식이 이 절의 464·465번, 4.10의 459·460번을 모두 특수한 경우로 포함한다는 것을 확인했습니다.
사용 : 1.4의 f61-62번(드무아브르 공식) — 2.2의 f79번(이항정리) — 1.4의 f46-48번(i의 거듭제곱 주기성) — 복소수 표준형의 실수부·허수부 상등
증명 끝