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이론/ 삼각함수/ 4.13 반각 탄젠트 항등식

4.13   심화·배경

반각 탄젠트 항등식

Half Angle Tangent Identities

정의 · 공식과 증명

4.12(반각공식)의 473번은 sin(θ/2)·cos(θ/2)·tan(θ/2) 자신을 얻었지만, 세 식 모두 제곱근(±)을 포함해 실제로 쓰려면 θ2가 어느 사분면에 있는지부터 먼저 판정해야 했습니다. 이 절은 그중 tan(θ/2) 하나만을 따로 떼어—제곱근도, 부호 판정도 전혀 없이—θ 자신의 sinθ, cosθ만으로 곧바로 표현하는 두 개의 유리식 항등식을 다룹니다(475·476번). 두 형태는 모두 tan(θ/2)=sin(θ/2)/cos(θ/2)의 분자·분모에 각각 2cos(θ/2) 또는 2sin(θ/2)를 곱해서 얻어지는데, 이 두 가지 곱셈 경로가 요구하는 조건(cos(θ/2)≠0 또는 sin(θ/2)≠0)이 최종 식의 정의역과 정확히 같은 크기로 남는지는 두 형태마다 다릅니다—475번은 tan(θ/2) 자신의 정의역과 한 치의 어긋남도 없이 일치하지만, 476번은 그보다 더 좁은 정의역을 갖습니다. 이 차이를 477번에서 대수적으로 정확히 확인합니다.

    474정의반각 탄젠트 항등식이 다루는 범위tan(θ/2)—제곱근·부호 판정 없는 유리식 표현

    정의(이 절에서 증명할 공식). 임의의 실수 θ에 대해, 다음 두 개의 등식—둘 다 tan(θ/2)를 오직 sinθ, cosθ의 유리식(사칙연산만)으로 표현하며, 제곱근이나 부호 판정을 전혀 필요로 하지 않는 표현들—을 이 절에서 차례로 증명합니다 :

    475번tan(θ/2) = sinθ1+cosθ  (θ≠π+2kπ)
    476번tan(θ/2) = 1−cosθsinθ  (θ≠kπ)
    477번475·476번의 동치성 확인과 정의역 비교 (476번의 정의역은 475번의 진부분집합)

    이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료) — 4.13을 needs_section으로 지정한 항목은 없습니다. 다만 4.12의 f473번 본문이 이 절에서 다룰 공식의 형태(tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ))를 예고해 두었으며, 475번이 이를 실제로 증명합니다.

    사용 : 4.2의 f410번(탄젠트의 정의) — 4.10의 f459번(사인의 배각공식) — 4.12의 f470번·f471번(반각공식, 제곱)

    475정리반각 탄젠트 항등식(형태 I)tan(θ/2) = sinθ1+cosθ

    증명법 : 직접증명법(sin(θ/2)/cos(θ/2)의 분자·분모에 2cos(θ/2)를 곱함)

    주장. θ≠π+2kπ(k는 정수)일 때 다음이 성립합니다.

    tan(θ2) = sinθ1+cosθ

    4.2의 f410번(탄젠트의 정의)에 φ=θ2를 대입한 뒤, 분자·분모에 똑같이 2cos(θ/2)를 곱합니다 :

    tan(θ2) = sin(θ/2)cos(θ/2)4.2 f410번(φ=θ/2 대입), cos(θ/2)≠0
    = 2sin(θ/2)cos(θ/2)2cos²(θ/2)분자·분모에 2cos(θ/2) 곱함(cos(θ/2)≠0이므로 유효)
    = sinθ1+cosθ분자 : 4.10 f459번(θ→θ/2 대입, sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)) — 분모 : 4.12 f471번(양변×2, 2cos²(θ/2)=1+cosθ)

    정의역—좌변과 우변이 정확히 일치. 이 유도가 요구하는 조건은 두 번째 줄에서 분자·분모에 곱하는 2cos(θ/2)가 0이 아니어야 한다는 것, 즉 cos(θ/2)≠0 하나뿐입니다—이는 정확히 tan(θ/2) 자신의 정의역 조건과 같습니다. 4.2의 f411번 (cosφ=0⇔φ=π/2+kπ)에 φ=θ2를 대입하면 cos(θ2)=0⇔ θ2=π2+kπ⇔θ=π+2kπ. 한편 우변의 분모(1+cosθ)도 cosθ=−1⇔θ=π+2kπ(4.2 f409번, 단위원 위의 점 P(θ)=(−1,0)이 되는 각)에서 정확히 0이 됩니다—방금 구한 조건과 한 치의 어긋남도 없이 일치합니다. 즉 좌변(tan(θ/2) 자신)과 우변(sinθ/(1+cosθ))의 정의역이 θ≠π+2kπ로 완전히 같으며, 이 등식은 새로 생기는 정의역 제한도, 잃어버리는 정의역도 없이 성립합니다(다음 476번과 대조됩니다).

    수치 검산(θ=120°). sin120°≈0.86603, cos120°=−0.5이므로 우변 = 0.86603/(1−0.5) = 0.86603/0.5 ≈ 1.73205. 좌변 tan(θ2)=tan60°≈1.73205—오차 없이 일치합니다.

    O A A′ P(θ) θ θ/2 cosθ sinθ θ=120°, A(1,0), A′(−1,0)

    θ=120°인 예 — 현 A′P(θ)의 기울기는 좌표로 직접 (sinθ−0)/(cosθ−(−1)) = sinθ/(1+cosθ)—바로 475번의 우변입니다. 한편 3.19의 f267번(원주각의 정리, 원주각=(1/2)×중심각)을 호 AP(중심각 ∠AOP=θ)와 그 반대쪽 호 위의 점 A′에 적용하면 ∠AA′P=θ/2—즉 현 A′P가 가로축(직선 A′A)과 이루는 각이 정확히 θ/2이므로, 이 현의 기울기는 곧 tan(θ/2)이기도 합니다. 두 계산(좌표로 직접 구한 기울기, 원주각 정리로 구한 각의 탄젠트)이 같은 값(≈1.73205)으로 일치하는 것이 475번의 기하학적 의미입니다—단, 이 그림은 위 대수적 증명을 보완하는 시각화이며, 이 그림 자체가 475번의 대체 증명은 아닙니다(원주각 정리가 요구하는 호의 위치 조건은 θ∈(0°,180°) 범위의 특정 예에서만 직접 확인했습니다—일반적인 모든 실수 θ에 대한 증명은 위 대수적 증명이 담당합니다).

    사용 : 4.2의 f410번(탄젠트의 정의) · f411번(코사인의 정의역) — 4.10의 f459번(사인의 배각공식) — 4.12의 f471번(코사인 반각공식, 제곱) — 3.19의 f267번(원주각의 정리, 그림 설명에만 사용)

    증명 끝

    476정리반각 탄젠트 항등식(형태 II)tan(θ/2) = 1−cosθsinθ

    증명법 : 직접증명법(sin(θ/2)/cos(θ/2)의 분자·분모에 2sin(θ/2)를 곱함)

    주장. θ≠kπ(k는 정수)일 때 다음이 성립합니다.

    tan(θ2) = 1−cosθsinθ

    475번과 같은 정의에서 출발하되, 이번에는 분자·분모에 2sin(θ/2)를 곱합니다 :

    tan(θ2) = sin(θ/2)cos(θ/2)4.2 f410번(φ=θ/2 대입), sin(θ/2)≠0
    = 2sin²(θ/2)2sin(θ/2)cos(θ/2)분자·분모에 2sin(θ/2) 곱함(sin(θ/2)≠0이므로 유효)
    = 1−cosθsinθ분자 : 4.12 f470번(양변×2, 2sin²(θ/2)=1−cosθ) — 분모 : 4.10 f459번(θ→θ/2 대입, sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2))

    정의역—유도 과정의 조건과 최종 식의 조건이 서로 다름(475번과 대조). 이 유도가 요구하는 조건은 둘째 줄에서 곱하는 2sin(θ/2)가 0이 아니어야 한다는 것, 즉 sin(θ/2)≠0입니다. 4.2 f411번 (sinφ=0⇔φ=kπ)에 φ=θ2를 대입하면 sin(θ2)=0⇔ θ2=kπ⇔θ=2kπ—즉 유도 자체는 θ≠2kπ만 요구합니다. 그러나 결론식 우변 (1−cosθ)/sinθ는 그 자체로도 분모 sinθ≠0을 요구하며, 같은 f411번에서 φ=θ로 바로 대입하면 sinθ=0⇔θ=kπ— 즉 짝수배(2kπ)뿐 아니라 홀수배((2k+1)π=π+2kπ)에서도 우변이 정의되지 않습니다. θ=π+2kπ에서는 문제가 없습니다—그 값에서는 475번의 논의대로 θ2=π2+kπ이므로 cos(θ/2)=0, 즉 tan(θ/2) 자신도 그 값에서 정의되지 않아 좌변·우변이 함께 정의를 잃을 뿐입니다(불일치가 아님). 문제는 θ=2kπ에서 생깁니다—이 값에서 tan(θ2)=tan(kπ)=0으로 좌변은 멀쩡히 정의되지만, 우변은 (1−cos2kπ)/sin2kπ=(1−1)/0=0/0꼴의 제거 가능한 특이점이 되어 대수식 자체로는 정의되지 않습니다. 즉 476번의(우변이 실제로 정의되는) 정의역 θ≠kπ는 tan(θ/2) 자신의 정의역 θ≠π+2kπ의 진부분집합입니다—정확히 θ=2kπ에서만 좁아집니다(477번에서 이 관계를 다시 확인합니다).

    수치 검산(θ=120°). cos120°=−0.5, sin120°≈0.86603이므로 우변 = (1−(−0.5))/0.86603 = 1.5/0.86603 ≈ 1.73205—475번에서 구한 값(≈1.73205), 그리고 tan60°≈1.73205와 오차 없이 일치합니다.

    사용 : 4.2의 f410번(탄젠트의 정의) · f411번(사인의 정의역) — 4.10의 f459번(사인의 배각공식) — 4.12의 f470번(사인 반각공식, 제곱)

    증명 끝

    477정리475·476번의 동치성과 정의역 비교sinθ1+cosθ = 1−cosθsinθ

    증명법 : 직접증명법(교차 곱셈 + 피타고라스 항등식)

    주장. θ≠kπ(k는 정수, 476번의 정의역 전체)일 때 다음이 성립하며, 476번의 정의역은 475번(=tan(θ/2) 자신)의 정의역의 진부분집합입니다.

    sinθ1+cosθ = 1−cosθsinθ

    두 분수가 같음을 교차 곱셈으로 확인합니다 :

    sinθ·sinθ =? (1−cosθ)(1+cosθ)교차 곱셈(양변 모두 정의되는 θ≠kπ에서)
    sin²θ =? 1−cos²θ우변 전개(합·차의 곱)
    sin²θ = sin²θ4.5 f425번(피타고라스 항등식, sin²θ+cos²θ=1 ⇒ 1−cos²θ=sin²θ) — 항상 참

    교차 곱셈으로 얻은 등식(sin²θ=1−cos²θ)이 4.5 f425번(모든 실수 θ에서 무제한 성립) 그 자체이므로, 원래의 분수 등식도 두 변이 모두 정의되는 곳(즉 476번의 정의역 θ≠kπ) 전체에서 참입니다 — 새로 생기는 제한은 없습니다.

    정의역의 포함 관계. {kπ : k∈ℤ} = {2kπ} ∪ {π+2kπ}이므로, 476번이 배제하는 θ=kπ는 정확히 475번이 배제하는 θ=π+2kπ(홀수배)와, 475번은 배제하지 않는 θ=2kπ (짝수배)의 합집합입니다. 따라서 :

    {θ≠kπ} (476번 정의역)⊊ {θ≠π+2kπ} (475번 = tan(θ/2) 자신의 정의역)

    즉 475번이 tan(θ/2)를 정의역 손실 없이 완전히 표현하는 유리식이고, 476번은 그보다 좁은 정의역 (짝수배 2kπ를 제외한 나머지)에서 475번과 완전히 동치인 대안적 표현입니다—476번 자체가 틀린 것이 아니라, θ=2kπ에서만 0/0꼴의 제거 가능한 특이점을 갖는다는 뜻입니다(위 476번 정의역 문단 참고).

    활용—수치 계산에서의 상호 보완. 475번은 cosθ가 −1에 가까워질수록 분모(1+cosθ)가 0에 가까워져 부동소수점 계산에서 소거 오차가 커지고, 반대로 476번은 sinθ가 0에 가까워질수록 같은 문제가 생깁니다—둘은 서로 다른 값 근처에서 수치적으로 불안정해지므로, 실제 계산에서는 θ의 위치에 따라 둘 중 분모가 0에서 먼 쪽을 골라 쓰는 것이 안정적입니다(어느 쪽을 쓰든 정의되는 곳에서는 정확히 같은 값을 줍니다).

    사용 : 475·476번(반각 탄젠트 항등식, 두 형태) — 4.5의 f425번(피타고라스 항등식) — 4.2의 f411번(사인·코사인의 정의역)

    증명 끝

chapter:04-trigonometry section:4.13