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4.14   심화·배경

합을 곱으로 변형

Transforming of Trigonometric Expressions to Product

정의 · 공식과 증명

4.9(덧셈정리)의 452·453번은 하나의 변수 φ를 θ에 더하거나 뺀 값의 사인을 θ, φ 각각의 삼각함수로 전개했고, 450·451번은 같은 일을 코사인에 대해 했습니다. 이 절은 그 방향을 거꾸로 뒤집습니다— 임의의 두 실수 A, B를 각각 θ+φ, θ−φ로 놓고(478번에서 θ=(A+B)/2, φ=(A−B)/2로 유일하게 풀림을 확인), 452±453번과 450±451번을 두 개씩 더하거나 빼는 순수한 대수 조작만으로 sinA±sinB, cosA±cosB를 A, B의 절반 합과 절반 차의 삼각함수의 곱으로 표현합니다(479−482번). 새로운 기하학적 사실이나 새로운 증명법은 필요 없으며, 4.9에서 이미 증명된 네 공식(450−453번)을 조합하는 것이 전부입니다—4.6이 431번 하나로, 4.9가 449·450번으로 나머지를 끌어냈던 것과 같은 절약형 구조입니다.

478정의합을 곱으로 변형이 다루는 범위sinA±sinB, cosA±cosB → (A±B)/2의 곱

정의(이 절에서 증명할 네 공식). 임의의 실수 A, B에 대해, 다음 네 개의 등식—사인·코사인의 합·차를 절반 합 (A+B)/2와 절반 차 (A−B)/2의 삼각함수의 곱으로 표현하는 공식—을 이 절에서 차례로 증명합니다 (넷 모두 정의역 제한이 없습니다—아래 설명) :

479번	sinA + sinB = 2 sin(A+B2) cos(A−B2)
480번	sinA − sinB = 2 cos(A+B2) sin(A−B2)
481번	cosA + cosB = 2 cos(A+B2) cos(A−B2)
482번	cosA − cosB = −2 sin(A+B2) sin(A−B2)

공통 치환(479−482번이 모두 사용). 임의의 실수 A, B가 주어지면, θ=A+B2, φ=A−B2로 놓습니다. 그러면 두 식을 변끼리 더하고 빼는 것만으로 θ+φ=A, θ−φ=B가 곧바로 확인되는 순수한 대수적 사실이며, 역으로 임의의 실수 θ, φ에 대해서도 A=θ+φ, B=θ−φ로 두면 위 θ, φ의 식이 그대로 복원됩니다—즉 (A,B)↔(θ,φ)는 모든 실수 순서쌍 사이의 전단사(일대일 대응)이며, 어떤 A, B를 골라도 예외 없이 θ, φ가 유일하게 정해집니다(연립일차방정식, 중학교 수준의 대수— 나눗셈이나 부호 판정을 전혀 거치지 않습니다). 4.12·4.13의 반각공식들이 cos(θ/2)≠0, sin(θ/2)≠0 같은 조건을 유도 과정에서 요구했던 것과 대조적으로, 이 치환 자체에는 어떠한 제외 조건도 없으므로 479−482번은 정의역 제한 없이 모든 실수 A, B에서 성립합니다.

이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료) — 4.14를 needs_section으로 지정한 항목은 없습니다.

사용 : 4.9의 f450번· f451번(코사인의 뺄셈·덧셈정리) · f452번· f453번(사인의 덧셈·뺄셈정리)

479정리사인의 합을 곱으로sinA + sinB = 2 sin(A+B2) cos(A−B2)

증명법 : 직접증명법(4.9 f452·f453번을 변끼리 더한 뒤 478번 치환)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

sinA + sinB = 2 sin(A+B2) cos(A−B2)

4.9의 f452·f453번을 나란히 적고 변끼리 더합니다 :

sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ	4.9 f452번(사인의 덧셈정리)
sin(θ−φ) = sinθcosφ − cosθsinφ	4.9 f453번(사인의 뺄셈정리)
sin(θ+φ) + sin(θ−φ) = 2 sinθcosφ	두 식을 변끼리 더함(우변의 cosθsinφ 항이 서로 상쇄)
sinA + sinB = 2 sin(A+B2) cos(A−B2)	478번 치환(θ+φ=A, θ−φ=B이므로 좌변은 sinA+sinB — θ=(A+B)/2, φ=(A−B)/2를 우변에 대입)

정의역. 478번에서 확인했듯 이 치환은 모든 실수 A, B에 대해 예외 없이 정의되며, 위 유도의 어느 단계도 나눗셈이나 추가 조건을 요구하지 않습니다—따라서 이 등식은 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=140°, B=60°). sinA=sin140°≈0.64279, sinB=sin60°≈0.86603이므로 좌변 ≈ 1.50881. 우변 : (A+B)/2=100°, (A−B)/2=40°이므로 2sin100°cos40° ≈ 2×0.98481×0.76604 ≈ 1.50881—오차 없이 일치합니다.

기하학적 의미(481번의 그림 참고). 단위원 위의 두 점 P(A), P(B)의 중점 M=((cosA+cosB)/2, (sinA+sinB)/2)을 생각하면, 이 정리는 M의 y좌표가 sin((A+B)/2)·cos((A−B)/2)임을 말합니다—이 사실을 481번(코사인의 합을 곱으로, M의 x좌표에 해당)과 함께 그림으로 확인합니다.

사용 : 4.9의 f452번· f453번(사인의 덧셈·뺄셈정리) — 478번(공통 치환)

증명 끝

480정리사인의 차를 곱으로sinA − sinB = 2 cos(A+B2) sin(A−B2)

증명법 : 직접증명법(4.9 f452·f453번을 변끼리 뺀 뒤 478번 치환)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

sinA − sinB = 2 cos(A+B2) sin(A−B2)

479번과 같은 두 식(4.9 f452·f453번)에서 이번에는 변끼리 뺍니다 :

sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ	4.9 f452번(사인의 덧셈정리)
sin(θ−φ) = sinθcosφ − cosθsinφ	4.9 f453번(사인의 뺄셈정리)
sin(θ+φ) − sin(θ−φ) = 2 cosθsinφ	첫째 식에서 둘째 식을 뺌(우변의 sinθcosφ 항이 서로 상쇄)
sinA − sinB = 2 cos(A+B2) sin(A−B2)	478번 치환(θ+φ=A, θ−φ=B이므로 좌변은 sinA−sinB — θ=(A+B)/2, φ=(A−B)/2를 우변에 대입)

정의역. 479번과 같은 이유(478번 치환 자체가 모든 실수 A, B에서 예외 없이 정의됨)로, 이 등식도 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=140°, B=60°). 좌변 = sin140°−sin60° ≈ 0.64279−0.86603 = −0.22324. 우변 : 2cos100°sin40° ≈ 2×(−0.17365)×0.64279 ≈ −0.22324 —오차 없이 일치합니다.

사용 : 4.9의 f452번· f453번(사인의 덧셈·뺄셈정리) — 478번(공통 치환)

증명 끝

481정리코사인의 합을 곱으로cosA + cosB = 2 cos(A+B2) cos(A−B2)

증명법 : 직접증명법(4.9 f450·f451번을 변끼리 더한 뒤 478번 치환)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

cosA + cosB = 2 cos(A+B2) cos(A−B2)

4.9의 f450·f451번을 나란히 적고 변끼리 더합니다 :

cos(θ−φ) = cosθcosφ + sinθsinφ	4.9 f450번(코사인의 뺄셈정리)
cos(θ+φ) = cosθcosφ − sinθsinφ	4.9 f451번(코사인의 덧셈정리)
cos(θ−φ) + cos(θ+φ) = 2 cosθcosφ	두 식을 변끼리 더함(우변의 sinθsinφ 항이 서로 상쇄)
cosA + cosB = 2 cos(A+B2) cos(A−B2)	478번 치환(θ+φ=A, θ−φ=B이므로 좌변은 cosB+cosA=cosA+cosB — θ=(A+B)/2, φ=(A−B)/2를 우변에 대입)

정의역. 479·480번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=140°, B=60°). 좌변 = cos140°+cos60° ≈ −0.76604+0.5 = −0.26604. 우변 : 2cos100°cos40° ≈ 2×(−0.17365)×0.76604 ≈ −0.26604—오차 없이 일치합니다.

단위원 위의 두 점 P(A)=P(140°), P(B)=P(60°)와 그 중점 M을 표시했습니다. O에서 P((A+B)/2)=P(100°) 방향으로 그은 반직선(각 ψ=(A−B)/2=40°가 P(A), P(B) 양쪽에 대칭으로 나뉘어 있음—도형으로 보면 삼각형 OP(A)P(B)가 이등변삼각형(OP(A)=OP(B)=1)이므로 이 반직선이 꼭지각의 이등분선이자 밑변 P(A)P(B)의 수직이등분선이기도 합니다)을 따라가면, M은 정확히 이 반직선 위에서 원점으로부터 거리 cosψ=cos40°≈0.766에 있습니다(그림의 굵은 구간 OM 대 가는 점선 구간 M−P(100°)의 비가 바로 이 값—좌표는 실제 삼각함수 값을 계산해 픽셀에 대입했습니다). 이는 M=((cosA+cosB)/2, (sinA+sinB)/2)이고 동시에 M=cosψ·P((A+B)/2)이기 때문— x좌표를 비교하면 이 정리(481번, cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cosψ)가, y좌표를 비교하면 479번 (sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cosψ)이 각각 나옵니다. 다만 이 그림은 위 대수적 증명을 보완하는 시각화이며, 이 그림 자체가 481·479번의 대체 증명은 아닙니다(여기서는 A, B가 특수각이 아닌 하나의 구체적인 예로만 확인했습니다— 일반적인 모든 실수 A, B에 대한 증명은 위 대수적 유도가 담당합니다).

사용 : 4.9의 f450번· f451번(코사인의 뺄셈·덧셈정리) — 478번(공통 치환)

증명 끝

482정리코사인의 차를 곱으로cosA − cosB = −2 sin(A+B2) sin(A−B2)

증명법 : 직접증명법(4.9 f450·f451번을 변끼리 뺀 뒤 478번 치환)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

cosA − cosB = −2 sin(A+B2) sin(A−B2)

481번과 같은 두 식(4.9 f450·f451번)에서 이번에는 변끼리 뺍니다—부호에 특히 주의합니다 :

cos(θ−φ) = cosθcosφ + sinθsinφ	4.9 f450번(코사인의 뺄셈정리)
cos(θ+φ) = cosθcosφ − sinθsinφ	4.9 f451번(코사인의 덧셈정리)
cos(θ−φ) − cos(θ+φ) = 2 sinθsinφ	첫째 식에서 둘째 식을 뺌(우변의 cosθcosφ 항이 서로 상쇄)
cosB − cosA = 2 sin(A+B2) sin(A−B2)	478번 치환(θ+φ=A, θ−φ=B이므로 좌변은 cosB−cosA — θ=(A+B)/2, φ=(A−B)/2를 우변에 대입)
cosA − cosB = −2 sin(A+B2) sin(A−B2)	바로 위 등식의 양변에 −1을 곱함

정의역. 479−481번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=140°, B=60°). 좌변 = cos140°−cos60° ≈ −0.76604−0.5 = −1.26604. 우변 : −2sin100°sin40° ≈ −2×0.98481×0.64279 ≈ −1.26604—오차 없이 일치합니다.

부호에 대한 주의—479−481번과의 대조. 다른 세 공식(479·480·481번)은 모두 우변에 − 부호가 없거나(479·481번) 뺄셈이 그대로 남는(480번) 형태인 반면, 482번만 우변 앞에 추가로 − 부호가 붙습니다. 그 이유는 위 유도에서 확인했듯 f450−f451번을 빼면 곧바로 cosB−cosA(원하는 cosA−cosB의 부호가 뒤집힌 것)가 나오기 때문—코사인의 뺄셈정리(450번)가 먼저 오고 덧셈정리(451번)가 나중에 오는 이 절 전체의 관례적 순서를 그대로 따르면 자연히 생기는 부호이며, 계산 실수가 아닙니다.

479 sinA+sinB	= 2 sin((A+B)/2) cos((A−B)/2) — 부호 없음
480 sinA−sinB	= 2 cos((A+B)/2) sin((A−B)/2) — 부호 없음
481 cosA+cosB	= 2 cos((A+B)/2) cos((A−B)/2) — 부호 없음
482 cosA−cosB	= −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2) — 코사인의 차만 유일하게 우변에 − 부호

사용 : 4.9의 f450번· f451번(코사인의 뺄셈·덧셈정리) — 478번(공통 치환)

증명 끝