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4.15   심화·배경

곱을 합으로 변형

Transforming of Trigonometric Expressions to Sum

정의 · 공식과 증명

4.14는 4.9(덧셈정리)의 450–453번을 두 개씩 더하거나 빼서 합·차를 곱으로 바꾸었습니다— 그 과정에서 478번의 치환(θ=A+B2, φ=A−B2)이 반드시 필요했습니다. 이 절은 정반대 방향을 다룹니다—임의의 두 실수 A, B를 그대로 4.9 f450−f453번의 θ, φ에 대입해(치환 없이), 네 공식을 두 개씩 더하거나 빼는 것만으로 2sinAcosB, 2cosAsinB, 2cosAcosB, 2sinAsinB 같은 곱을 sin(A±B), cos(A±B) 같은 합·차로 표현합니다(484−487번). 4.14가 치환을 거쳐야 했던 것과 달리 이 절은 θ=A, φ=B로 곧바로 대입하기만 하면 되므로 오히려 더 직접적입니다—여전히 4.9에서 이미 증명된 네 공식 (450−453번)을 조합하는 것이 전부이며, 새로운 기하학적 사실이나 새로운 증명법은 필요 없습니다.

483정의곱을 합으로 변형이 다루는 범위2sinAcosB, 2cosAsinB, 2cosAcosB, 2sinAsinB → sin(A±B), cos(A±B)의 합·차

정의(이 절에서 증명할 네 공식). 임의의 실수 A, B에 대해, 다음 네 개의 등식—사인·코사인의 곱을 A±B의 삼각함수의 합·차로 표현하는 공식—을 이 절에서 차례로 증명합니다(넷 모두 정의역 제한이 없습니다—아래 설명) :

484번	2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A−B)
485번	2 cosA sinB = sin(A+B) − sin(A−B)
486번	2 cosA cosB = cos(A−B) + cos(A+B)
487번	2 sinA sinB = cos(A−B) − cos(A+B)

4.14와의 관계(치환이 필요 없는 이유). 4.9의 f452·f453번(사인의 덧셈·뺄셈정리)과 f450· f451번(코사인의 뺄셈·덧셈정리)은 모든 실수 θ, φ에 대해 이미 증명되어 있습니다. 4.14는 "주어진 합·차 A, B로부터 θ=A+B2, φ=A−B2를 역으로 구성"해야 했지만, 이 절은 그럴 필요가 없습니다—애초에 θ, φ 자신이 임의의 실수이므로, 이름만 A, B로 바꿔 θ=A, φ=B로 곧바로 대입하면 됩니다. 즉 478번의 전단사 치환이 이 절에는 아예 등장하지 않습니다—이 절 전체가 치환 없는 순수한 이름 바꾸기(renaming)와 덧셈·뺄셈만으로 끝난다는 점이 4.14와의 핵심적인 차이입니다.

이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료) — 4.15를 needs_section으로 지정한 항목은 없습니다.

사용 : 4.9의 f450번· f451번(코사인의 뺄셈·덧셈정리) · f452번· f453번(사인의 덧셈·뺄셈정리)

484정리사인과 코사인의 곱을 사인의 합으로2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A−B)

증명법 : 직접증명법(4.9 f452·f453번에 θ=A, φ=B를 대입한 뒤 변끼리 더함)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A−B)

4.9의 f452·f453번에 θ=A, φ=B를 그대로 대입하고 변끼리 더합니다 :

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB	4.9 f452번(사인의 덧셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
sin(A−B) = sinAcosB − cosAsinB	4.9 f453번(사인의 뺄셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
sin(A+B) + sin(A−B) = 2 sinAcosB	두 식을 변끼리 더함(우변의 cosAsinB 항이 서로 상쇄)

정의역. f452·f453번 자체가 모든 실수 θ, φ에서 무제한으로 성립하고, 이 증명은 θ=A, φ=B로 이름을 바꾸는 것과 두 식을 더하는 것 외에 어떤 나눗셈이나 추가 조건도 거치지 않으므로, 이 등식은 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=100°, B=40°). sinA=sin100°≈0.98481, cosB=cos40°≈0.76604이므로 좌변 ≈ 1.50881. 우변 : A+B=140°, A−B=60°이므로 sin140°+sin60° ≈ 0.64279+0.86603 ≈ 1.50881—오차 없이 일치합니다.

4.14 f479번과의 정합성(서로 정확히 역방향). 484번에서 X=A+B, Y=A−B로 이름을 바꾸면 A=X+Y2, B=X−Y2가 되어, 좌변은 2sin(X+Y2)cos(X−Y2), 우변은 sinX+sinY—이는 정확히 4.14의 f479번입니다. 즉 484번과 f479번은 같은 항등식을 반대 방향에서 읽은 것일 뿐이며, 어느 한쪽에 새로운 논증을 추가하지 않고도 서로를 재현합니다(수치로도 재확인 — X=140, Y=60일 때 X+Y2=100=A, X−Y2=40=B로 위 수치 검산과 정확히 같은 값이 나옵니다).

사용 : 4.9의 f452번· f453번(사인의 덧셈·뺄셈정리)

증명 끝

485정리코사인과 사인의 곱을 사인의 차로2 cosA sinB = sin(A+B) − sin(A−B)

증명법 : 직접증명법(4.9 f452·f453번에 θ=A, φ=B를 대입한 뒤 변끼리 뺌)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

2 cosA sinB = sin(A+B) − sin(A−B)

484번과 같은 두 식(4.9 f452·f453번에 θ=A, φ=B 대입)에서 이번에는 변끼리 뺍니다 :

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB	4.9 f452번(사인의 덧셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
sin(A−B) = sinAcosB − cosAsinB	4.9 f453번(사인의 뺄셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
sin(A+B) − sin(A−B) = 2 cosAsinB	첫째 식에서 둘째 식을 뺌(우변의 sinAcosB 항이 서로 상쇄)

정의역. 484번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=100°, B=40°). 좌변 : 2cos100°sin40° ≈ 2×(−0.17365)×0.64279 ≈ −0.22324. 우변 : sin140°−sin60° ≈ 0.64279−0.86603 ≈ −0.22324—오차 없이 일치합니다.

4.14 f480번과의 정합성. 484번의 경우와 같은 방식으로 X=A+B, Y=A−B 치환을 적용하면 좌변 2cos(X+Y2)sin(X−Y2), 우변 sinX−sinY—이는 정확히 4.14의 f480번입니다. 484↔f479, 485↔f480의 대응 관계가 대칭적으로 성립함을 확인합니다.

사용 : 4.9의 f452번· f453번(사인의 덧셈·뺄셈정리)

증명 끝

486정리코사인의 곱을 코사인의 합으로2 cosA cosB = cos(A−B) + cos(A+B)

증명법 : 직접증명법(4.9 f450·f451번에 θ=A, φ=B를 대입한 뒤 변끼리 더함)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

2 cosA cosB = cos(A−B) + cos(A+B)

4.9의 f450·f451번에 θ=A, φ=B를 그대로 대입하고 변끼리 더합니다 :

cos(A−B) = cosAcosB + sinAsinB	4.9 f450번(코사인의 뺄셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
cos(A+B) = cosAcosB − sinAsinB	4.9 f451번(코사인의 덧셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
cos(A−B) + cos(A+B) = 2 cosAcosB	두 식을 변끼리 더함(우변의 sinAsinB 항이 서로 상쇄)

정의역. 484·485번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=100°, B=40°). 좌변 : 2cos100°cos40° ≈ 2×(−0.17365)×0.76604 ≈ −0.26604. 우변 : cos60°+cos140° ≈ 0.5+(−0.76604) ≈ −0.26604—오차 없이 일치합니다.

단위원 위에 P(A+B)=P(140°), P(A−B)=P(60°)와 그 중점 M을 표시했습니다. O에서 P(A)=P(100°) 방향으로 그은 반직선(각 B=40°가 P(A+B), P(A−B) 양쪽에 대칭으로 나뉘어 있음—삼각형 O-P(A+B)-P(A−B)가 이등변삼각형(반지름이 모두 1)이므로 이 반직선이 꼭지각의 이등분선이자 밑변의 수직이등분선이기도 합니다)을 따라가면, M은 정확히 이 반직선 위에서 원점으로부터 거리 cosB=cos40°≈0.766에 있습니다(굵은 점선 구간 OM 대 가는 점선 구간 M−P(A)의 비가 이 값—좌표는 실제 삼각함수 값을 계산해 픽셀에 대입했습니다). 이는 M=(cos(A+B)+cos(A−B)2, sin(A+B)+sin(A−B)2)이고 동시에 M=cosB·P(A)이기 때문— x좌표를 비교하면 이 정리(486번, 2cosAcosB=cos(A−B)+cos(A+B))가, y좌표를 비교하면 484번 (2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A−B))이 각각 나옵니다. 이 그림은 4.14 f481번 그림과 정확히 같은 작도이며, 다만 무엇을 주어진 데이터(그때는 A, B)로 보고 무엇을 유도된 결론(그때는 A+B2, A−B2)으로 보는지가 서로 뒤바뀐 것뿐입니다(이 그림에서는 A+B=140°, A−B=60°가 주어진 데이터, A=100°가 유도된 방향입니다 — 4.14 f481 그림에서는 반대로 A=140°, B=60°가 데이터였습니다). 다만 이 그림은 위 대수적 증명을 보완하는 시각화이며, 이 그림 자체가 484·486번의 대체 증명은 아닙니다(여기서는 A, B가 특수각이 아닌 하나의 구체적인 예로만 확인했습니다—일반적인 모든 실수 A, B에 대한 증명은 위 대수적 유도가 담당합니다).

사용 : 4.9의 f450번· f451번(코사인의 뺄셈·덧셈정리)

증명 끝

487정리사인의 곱을 코사인의 차로2 sinA sinB = cos(A−B) − cos(A+B)

증명법 : 직접증명법(4.9 f450·f451번에 θ=A, φ=B를 대입한 뒤 변끼리 뺌)

주장. 임의의 실수 A, B에 대해(정의역 제한 없음) 다음이 성립합니다.

2 sinA sinB = cos(A−B) − cos(A+B)

486번과 같은 두 식(4.9 f450·f451번에 θ=A, φ=B 대입)에서 이번에는 변끼리 뺍니다 :

cos(A−B) = cosAcosB + sinAsinB	4.9 f450번(코사인의 뺄셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
cos(A+B) = cosAcosB − sinAsinB	4.9 f451번(코사인의 덧셈정리)에 θ=A, φ=B 대입
cos(A−B) − cos(A+B) = 2 sinAsinB	첫째 식에서 둘째 식을 뺌(우변의 cosAcosB 항이 서로 상쇄)

정의역. 484−486번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 A, B에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(A=100°, B=40°). 좌변 : 2sin100°sin40° ≈ 2×0.98481×0.64279 ≈ 1.26604. 우변 : cos60°−cos140° ≈ 0.5−(−0.76604) ≈ 1.26604—오차 없이 일치합니다.

부호에 대한 주의—484−486번과의 대조. 다른 세 공식(484·485·486번)은 모두 두 항의 뺄셈이 sin(A±B) 또는 cos(A−B)+cos(A+B) 형태로 자연스럽게 남는 반면, 487번만 부호가 뒤집혀 좌변 2sinAsinB가 우변에서 cos(A−B)−cos(A+B)(먼저 온 것에서 나중 것을 뺀 형태)로 나타납니다. 이는 486번과 정확히 같은 두 식(f450, f451)에서 출발해 뺄셈의 순서(코사인의 뺄셈정리가 먼저, 덧셈정리가 나중)를 그대로 따랐기 때문—4.14 f482번이 우변에 추가로 − 부호가 붙었던 것과 서로 대응하는 비대칭성입니다 (4.14에서는 정의된 방향(cosA−cosB)에 맞추기 위해 마지막에 −1을 곱하는 단계가 필요했지만, 이 절에서는 애초에 우변의 순서 자체(cos(A−B)−cos(A+B))가 결과이므로 그런 보정이 필요 없습니다).

484 2sinAcosB	= sin(A+B) + sin(A−B) — 부호 없음
485 2cosAsinB	= sin(A+B) − sin(A−B) — 부호 없음
486 2cosAcosB	= cos(A−B) + cos(A+B) — 부호 없음
487 2sinAsinB	= cos(A−B) − cos(A+B) — 사인의 곱만 유일하게 뺄셈(코사인의 차)

4.14 f482번과의 정합성. 487번에 X=A+B, Y=A−B 치환(A=X+Y2, B=X−Y2)을 적용하면 좌변 2sin(X+Y2)sin(X−Y2), 우변 cosY−cosX—이는 4.14의 f482번(cosX−cosY= −2sin(X+Y2)sin(X−Y2))의 양변에 −1을 곱한 것과 정확히 일치합니다—487·f482 두 공식 모두 "사인의 곱↔코사인의 차" 관계에서 부호가 갈리는 유일한 항목이라는 점이 우연이 아니라 같은 항등식의 양면임을 확인합니다.

사용 : 4.9의 f450번· f451번(코사인의 뺄셈·덧셈정리)

증명 끝