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4.16   심화·배경

삼각함수의 거듭제곱

Powers of Trigonometric Functions

정의 · 공식과 증명

4.10(배각공식)의 f460번(cos2θ의 세 가지 표현)과 4.11(배수각공식)의 f464·f465번(사인·코사인의 세배각공식)은 모두 낮은 차수의 삼각함수를 배수각의 삼각함수로 표현하는 등식입니다. 이 절은 그 등식들을 거꾸로 풀어—즉 배수각 쪽을 이미 아는 값으로 보고 원래의 거듭제곱 항을 그 식으로 표현하여—sin²θ, cos²θ(489·490번), sin³θ, cos³θ(491·492번), sin⁴θ, cos⁴θ(493·494번) 여섯 개의 차수를 낮추는 공식(power-reduction formulas)을 얻습니다. 4.12(반각공식)의 f470·f471번(sin²(θ2)= 1−cosθ2, cos²(θ2)=1+cosθ2)과 같은 항등식을 다른 변수 이름으로 읽은 것—4.12는 θ를 절반(θ2)으로 나눈 각의 삼각비를 원래 각 θ의 함수로 표현했고, 이 절(489·490번)은 정확히 같은 관계를 θ를 기준으로 놓고 그 두 배(2θ)의 함숫값으로 표현합니다. 새로운 기하학적 사실이나 새로운 증명법은 필요 없으며, 4.10·4.11에서 이미 증명된 등식을 미지항에 대해 대수적으로 정리하는 것이 이 절 전체의 방법입니다(493·494번만 예외적으로 489·490번 자신을 제곱한 뒤 490·489번을 θ→2θ로 다시 적용하는 재귀적 조합을 씁니다).

488정의삼각함수의 거듭제곱이 다루는 범위sin²θ, cos²θ, sin³θ, cos³θ, sin⁴θ, cos⁴θ의 차수를 낮추는 공식

정의(이 절에서 증명할 여섯 공식). 임의의 실수 θ에 대해(정의역 제한 없음—아래 각 항목에서 확인), 다음 여섯 개의 등식—sinθ, cosθ의 거듭제곱을 2θ, 3θ, 4θ의 삼각함수로 표현하는 공식—을 이 절에서 차례로 증명합니다 :

489번	sin²θ = 1−cos2θ2
490번	cos²θ = 1+cos2θ2
491번	sin3θ = 3sinθ − sin3θ4
492번	cos3θ = cos3θ + 3cosθ4
493번	sin4θ = 3 − 4cos2θ + cos4θ8
494번	cos4θ = 3 + 4cos2θ + cos4θ8

왜 "차수를 낮춘다"고 부르는가. 좌변은 θ 하나의 거듭제곱(2·3·4제곱)이지만, 우변은 모두 1제곱(즉 지수가 없는) 삼각함수들의 합·차—다만 인수가 θ의 배수(2θ, 3θ, 4θ)로 바뀐 것—로만 이루어집니다. 거듭제곱(대수적으로 다루기 번거로운 형태)을 배각·세배각·네배각(선형적으로 다루기 쉬운 형태)으로 맞바꾸는 것이 이 절의 핵심 효용이며, 이는 뒤에 나올 챕터 9(적분)에서 sin²θ, cos⁴θ 등의 거듭제곱을 적분할 때(거듭제곱 형태로는 바로 적분할 수 없지만, 이 절의 공식으로 바꾸면 cosθ, cos2θ, cos4θ의 선형결합이 되어 항별로 쉽게 적분됨) 직접 사용됩니다.

이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 재확인 완료) — 4.16을 needs_section으로 지정한 항목은 없습니다.

사용 : 4.10의 f460번(코사인의 배각공식) · 4.11의 f464번· f465번(사인·코사인의 세배각공식)

489정리사인의 제곱을 배각으로sin²θ = 1−cos2θ2

증명법 : 직접증명법(4.10 f460번을 sin²θ에 대해 정리)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

sin²θ = 1−cos2θ2

4.10 f460번이 준 세 가지 표현 중 cos2θ=1−2sin²θ 하나만 사용합니다 :

cos2θ = 1 − 2sin²θ	4.10 f460번(코사인의 배각공식, 세 표현 중 sin²θ만 포함한 형태)
2sin²θ = 1 − cos2θ	양변에서 cos2θ를 이항하고 −2sin²θ를 이항
sin²θ = 1−cos2θ2	양변을 2로 나눔

정의역. f460번 자체가 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립하고, 위 유도는 항의 이항과 2로 나누는 것(0으로 나누는 일이 없음—2≠0)만 거치므로, 이 등식도 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(θ=35°). 좌변 : sin²35°≈0.573576²≈0.328990. 우변 : (1−cos70°)/2≈(1−0.342020)/2≈0.328990—오차 없이 일치합니다.

단위원 위에 P(θ)=P(35°)와 P(2θ)=P(70°)를 함께 표시했습니다. P(θ)에서 x축에 내린 수선의 발이 A′이고 그 길이 A′P(θ)=sinθ≈0.5736(굵은 초록 선)입니다. P(2θ)에서 x축에 내린 수선의 발 Q의 x좌표(=OQ의 길이)가 바로 cos2θ≈0.3420(굵은 갈색 선)이고, 원 위의 점 A=(1,0)까지 남은 구간 QA=1−cos2θ≈0.6580(자주색 파선)의 중점이 M입니다—즉 OM 방향으로 QA를 반으로 나눈 QM(=MA)의 길이가 정확히 1−cos2θ2≈0.3290입니다. 이 그림은 sinθ, cos2θ가 실제로 단위원 위의 어떤 길이인지를 보여주는 시각화이며(좌표는 math.cos/sin으로 계산해 픽셀에 대입— 임의로 어림잡은 값이 아닙니다), 위 대수적 증명을 대체하지는 않습니다—sinθ≈0.5736 자체와 1−cos2θ2≈0.3290은 서로 다른 두 수이며(sin²θ=0.5736²≈0.3290이 되어야 비로소 두 값이 같아짐), 그림은 이 등식에 등장하는 각 항이 단위원에서 무엇을 뜻하는지 확인해 줄 뿐 sinθ를 제곱하는 과정 자체를 길이로 직접 보여주지는 않습니다.

사용 : 4.10의 f460번(코사인의 배각공식)

증명 끝

490정리코사인의 제곱을 배각으로cos²θ = 1+cos2θ2

증명법 : 직접증명법(4.10 f460번을 cos²θ에 대해 정리)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

cos²θ = 1+cos2θ2

489번과 같은 f460번에서, 이번에는 cos²θ만 포함한 다른 표현(cos2θ=2cos²θ−1)을 사용합니다 :

cos2θ = 2cos²θ − 1	4.10 f460번(코사인의 배각공식, 세 표현 중 cos²θ만 포함한 형태)
2cos²θ = 1 + cos2θ	양변에 1을 더하고 −1을 이항
cos²θ = 1+cos2θ2	양변을 2로 나눔

정의역. 489번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(θ=35°). 좌변 : cos²35°≈0.819152²≈0.671010. 우변 : (1+cos70°)/2≈(1+0.342020)/2≈0.671010—오차 없이 일치합니다.

489번과의 관계(전제와의 정합성). 489·490번을 변끼리 더하면 sin²θ+cos²θ= (1−cos2θ)+(1+cos2θ)2= 22=1—이는 정확히 4.5 f425번(피타고라스 항등식)이며, cos2θ 항이 정확히 상쇄되어 사라집니다. 이는 489·490번이 f425번과 모순 없이 들어맞음을 확인해 주는 교차 검산입니다 (품질 기준 ⑤).

4.12 f470·f471번과의 정합성(같은 항등식, 다른 변수 이름). 489·490번에서 θ→ θ2로 치환하면(2θ는 θ가 됨) sin²(θ2)= 1−cosθ2, cos² (θ2)= 1+cosθ2—이는 정확히 4.12의 f470번· f471번입니다. 즉 4.12는 이 절의 489·490번을 절반각 θ2에 적용한 특수한 경우이며(반대로 489·490번은 4.12의 관계를 배(倍)각 방향으로 다시 읽은 것), 두 절이 서로 다른 증명(4.12는 f460번에 θ→θ2를 직접 대입, 이 절은 f460번을 그대로 씀)을 거쳤음에도 같은 항등식족으로 귀결됨을 확인합니다—이는 새로운 논증이 아니라 이미 있는 두 결과의 일관성 재확인입니다.

사용 : 4.10의 f460번(코사인의 배각공식)

증명 끝

491정리사인의 세제곱을 세배각으로sin³θ = 3sinθ − sin3θ4

증명법 : 직접증명법(4.11 f464번을 sin³θ에 대해 정리)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

sin³θ = 3sinθ − sin3θ4

4.11 f464번(사인의 세배각공식)을 sin³θ에 대해 정리합니다 :

sin3θ = 3sinθ − 4sin3θ	4.11 f464번(사인의 세배각공식)
4sin3θ = 3sinθ − sin3θ	sin3θ와 −4sin3θ를 양변에서 서로 이항
sin3θ = 3sinθ − sin3θ4	양변을 4로 나눔

정의역. f464번 자체가 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립하고, 위 유도는 항의 이항과 4로 나누는 것(4≠0)만 거치므로, 이 등식도 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(θ=35°). 좌변 : sin³35°≈0.573576³≈0.188701. 우변 : (3sin35°−sin105°)/4≈(3×0.573576−0.965926)/4≈(1.720728−0.965926)/4 ≈0.754802/4≈0.188701—오차 없이 일치합니다.

사용 : 4.11의 f464번(사인의 세배각공식)

증명 끝

492정리코사인의 세제곱을 세배각으로cos³θ = cos3θ + 3cosθ4

증명법 : 직접증명법(4.11 f465번을 cos³θ에 대해 정리)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

cos³θ = cos3θ + 3cosθ4

4.11 f465번(코사인의 세배각공식)을 cos³θ에 대해 정리합니다 :

cos3θ = 4cos3θ − 3cosθ	4.11 f465번(코사인의 세배각공식)
4cos3θ = cos3θ + 3cosθ	−3cosθ를 우변으로 이항
cos3θ = cos3θ + 3cosθ4	양변을 4로 나눔

정의역. 491번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(θ=35°). 좌변 : cos³35°≈0.819152³≈0.549659. 우변 : (cos105°+3cos35°)/4≈(−0.258819+3×0.819152)/4≈(−0.258819+2.457456)/4 ≈2.198637/4≈0.549659—오차 없이 일치합니다.

491번과의 대조—부호 배치. 491번(사인)은 우변이 3sinθ−sin3θ(뺄셈, 낮은 배각이 먼저)인 반면, 492번(코사인)은 우변이 cos3θ+3cosθ(덧셈, 높은 배각이 먼저)입니다. 이는 원래 f464·f465번 자체의 부호 배치(sin3θ=3sinθ−4sin³θ는 뺄셈, cos3θ=4cos³θ−3cosθ도 뺄셈이지만 이항 후 사인 쪽은 3sinθ가 남아 뺄셈 형태를 유지하고 코사인 쪽은 −3cosθ가 우변으로 넘어가며 덧셈으로 바뀜)에서 그대로 물려받은 비대칭이며, 이 절에서 새로 생긴 비대칭이 아닙니다.

사용 : 4.11의 f465번(코사인의 세배각공식)

증명 끝

493정리사인의 네제곱을 배각으로sin⁴θ = 3 − 4cos2θ + cos4θ8

증명법 : 직접증명법(489번을 제곱한 뒤 490번을 θ→2θ로 재적용)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

sin⁴θ = 3 − 4cos2θ + cos4θ8

sin⁴θ=(sin²θ)²이므로, 489번을 제곱한 뒤 그 안에 나타나는 cos²2θ에 490번을 θ→2θ로 다시 적용합니다(490번은 모든 실수에서 성립하므로 θ 자리에 2θ를 대입하는 것도 정당합니다) :

sin4θ = (sin²θ)²	거듭제곱의 정의(sin4θ=sin²θ·sin²θ)
= (1−cos2θ2)²	489번(sin²θ=(1−cos2θ)/2) 대입
= 1 − 2cos2θ + cos²2θ4	분자 전개, (1−cos2θ)²=1−2cos2θ+cos²2θ
cos²2θ = 1+cos4θ2	490번(cos²θ=(1+cos2θ)/2)에 θ→2θ를 대입(cos2(2θ)=cos4θ)
sin4θ = 1 − 2cos2θ + 1+cos4θ24	위 두 줄을 결합
= 2 − 4cos2θ + 1 + cos4θ8	분자·분모에 2를 곱해 이중분수 정리(분자 전체를 2배, 분모 4×2=8)
sin4θ = 3 − 4cos2θ + cos4θ8	동류항 정리(2+1=3)

정의역. 489·490번이 각각 모든 실수에서 성립하고, 이 유도는 제곱·대입·통분만 거치므로(0으로 나누는 단계 없음), 이 등식도 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(θ=35°). 좌변 : sin⁴35°≈0.573576⁴≈0.108234. 우변 : (3−4cos70°+cos140°)/8≈(3−4×0.342020+(−0.766044))/8 ≈(3−1.368080−0.766044)/8≈0.865876/8≈0.108234—오차 없이 일치합니다.

재귀적 재사용에 대한 참고(품질 기준 ③ 순환논법 점검). 이 증명은 490번을 θ 자신이 아니라 2θ라는 다른 입력값에 적용한 것이며, 490번이 이미 모든 실수(2θ를 포함해)에서 독립적으로 증명되어 있으므로 순환논법이 아닙니다—493번을 증명하는 데 493번 자신이나 493번에 의존하는 결과를 쓰지 않았습니다(490번은 493번보다 먼저, 490번 자신의 증명 안에서 완결됨).

사용 : 489번(사인의 제곱을 배각으로) · 490번(코사인의 제곱을 배각으로, θ→2θ)

증명 끝

494정리코사인의 네제곱을 배각으로cos⁴θ = 3 + 4cos2θ + cos4θ8

증명법 : 직접증명법(490번을 제곱한 뒤 490번을 θ→2θ로 재적용)

주장. 모든 실수 θ에 대해 다음이 성립합니다.

cos⁴θ = 3 + 4cos2θ + cos4θ8

493번과 같은 구조로, 이번에는 490번을 제곱합니다 :

cos4θ = (cos²θ)²	거듭제곱의 정의
= (1+cos2θ2)²	490번(cos²θ=(1+cos2θ)/2) 대입
= 1 + 2cos2θ + cos²2θ4	분자 전개, (1+cos2θ)²=1+2cos2θ+cos²2θ
cos²2θ = 1+cos4θ2	493번과 같은 대입—490번에 θ→2θ
cos4θ = 1 + 2cos2θ + 1+cos4θ24	위 두 줄을 결합
= 2 + 4cos2θ + 1 + cos4θ8	분자·분모에 2를 곱해 이중분수 정리
cos4θ = 3 + 4cos2θ + cos4θ8	동류항 정리(2+1=3)

정의역. 493번과 같은 이유로, 이 등식도 모든 실수 θ에서 무제한으로 성립합니다.

수치 검산(θ=35°). 좌변 : cos⁴35°≈0.819152⁴≈0.450255. 우변 : (3+4cos70°+cos140°)/8≈(3+4×0.342020+(−0.766044))/8 ≈(3+1.368080−0.766044)/8≈3.602036/8≈0.450255—오차 없이 일치합니다.

493번과의 대조—부호만 다름. 493·494번은 오직 가운데 항의 부호(−4cos2θ 대 +4cos2θ)만 다르고 나머지(상수항 3, cos4θ 항, 분모 8)는 완전히 같습니다—이는 489·490번 자신이 오직 cos2θ의 부호만 다른 것과 같은 패턴이 한 단계 더 높은 차수에서도 그대로 유지됨을 보여줍니다(품질 기준 ⑤, 493번과의 정합성). 493·494번을 변끼리 더하면 sin⁴θ+cos⁴θ= 6+2cos4θ8= 3+cos4θ4—이는 이 절 범위를 넘어서는 추가 항등식이라 별도로 증명하지 않지만, θ=35°로 수치 검산하면 0.108234+0.450255≈0.558489와 (3+cos140°)/4≈(3−0.766044)/4≈0.558489가 일치해 493·494번이 서로 정합적임을 한 번 더 확인해 줍니다.

사용 : 490번(코사인의 제곱을 배각으로, θ 및 2θ)

증명 끝