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4.3   수능 핵심

삼각함수의 부호

Signs of Trigonometric Functions

정의 · 공식과 증명

단위원 위의 점 P(θ)=(cos θ, sin θ)(4.2의 f409번)가 좌표평면의 어느 사분면에 놓이는가에 따라 여섯 삼각함수의 부호가 완전히 결정됩니다. 이 절에서는 먼저 사분면을 정의하고(416번), 사분면과 사인·코사인의 부호 사이의 관계를 엄밀하게 증명한 뒤(417번), 나머지 네 함수(탄젠트· 코탄젠트·시컨트·코시컨트)의 부호를 정의(4.2의 f410번)로부터 곧바로 얻습니다(418번). 마지막으로 이 부호가 2π의 정수배만큼 차이 나는 각(코터미널각)에 대해서는 변하지 않는다는 사실을 확인합니다(419번).

(cos θ, sin θ)의 부호로 나눈 네 사분면 — 이 절에서 증명할 결과를 미리 보여주는 개관도이며, 엄밀한 근거는 417·418번에서 제시합니다.

416정의사분면과 "제k사분면의 각"평면을 네 영역으로, 일반각을 네 부류로

좌표평면은 원점 O를 지나는 x축과 y축에 의해 네 개의 열린 영역으로 나뉩니다. 이 네 영역을 다음과 같이 부릅니다 :

영역	정의
제1사분면	x>0, y>0인 점 (x,y) 전체
제2사분면	x<0, y>0인 점 (x,y) 전체
제3사분면	x<0, y<0인 점 (x,y) 전체
제4사분면	x>0, y<0인 점 (x,y) 전체

두 좌표축 위의 점(x=0 또는 y=0인 점)은 이 네 부등호 조건을 하나도 만족하지 않으므로 어느 사분면에도 속하지 않습니다.

4.2의 f409번에 의해 일반각 θ마다 단위원 위의 점 P(θ)=(cos θ, sin θ)가 정확히 하나 정해집니다. 이를 이용해 각 θ 자체를 다음과 같이 분류합니다 :

θ가 제k사분면의 각이다  :=  P(θ)가 제k사분면에 속한다  (k=1,2,3,4)

P(θ)가 두 좌표축 중 하나 위에 있는 경우(즉 cos θ=0이거나 sin θ=0인 경우 — 4.2의 f411번에 의해 이는 정확히 θ가 π2의 정수배인 경우입니다)에는 θ가 어느 사분면에도 속하지 않으며, 이런 θ를 사분면의 경계각이라 부릅니다. 417번에서 사분면의 각을 실제로 θ의 범위(0 이상 2π 미만인 θ mod 2π 기준)로 특징짓고, 그때의 sin θ, cos θ의 부호를 증명합니다.

417정리사분면에 따른 사인·코사인의 부호제1:(+,+) 제2:(+,−) 제3:(−,−) 제4:(−,+)  [sin θ, cos θ 순]

증명법 : 경우를 나누는 방법 + 귀류법(핵심 보조 논증)

준비(보조 논증). 임의의 열린 구간 (a,b)에서 cos θ가 한 번도 0이 되지 않는다면, cos θ는 (a,b) 전체에서 부호가 일정합니다(sin θ에 대해서도 마찬가지입니다). 귀류법으로 보입니다 — 그렇지 않다고 가정하면 (a,b) 안에 cos θ₁>0, cos θ₂<0인 두 값 θ₁, θ₂가 존재합니다. 4.2의 f409번에서 이미 말했듯이 동경의 회전은 연속적으로 진행되므로 cos θ는 θ에 대한 연속함수이고, 따라서 θ₁과 θ₂ 사이의 닫힌 구간에 사이값의 정리를 적용하면 cos c=0인 c가 θ₁과 θ₂ 사이(따라서 (a,b) 안)에 존재합니다. 이는 (a,b)에서 cos θ가 0이 되지 않는다는 가정에 모순되므로, cos θ는 (a,b) 전체에서 부호가 일정합니다.

대학 위 논증은 "연속함수가 부호를 바꾸려면 반드시 0을 지나야 한다"는 사이값의 정리(중간값의 정리)에 의존하며, 사이값의 정리 자체는 실수의 완비성에 근거를 둔 대학 과정(해석학)의 결과입니다. 4.2의 f412번(치역)에서도 같은 정리를 같은 방식(university 배지)으로 사용했습니다. 이 절에서는 이 사실을 위 문단의 형태로만 사용합니다.

이제 이 보조 논증과 4.2의 f411번(정의역 — cos θ=0 ⟺ θ=π2+kπ, sin θ=0 ⟺ θ=kπ), 그리고 4.2의 f409번의 회전 성질로 이미 확정되어 있는 경계값들

P(0)=(1,0)  ,  P(π2)=(0,1)  ,  P(π)=(−1,0)  ,  P(3π2)=(0,−1)

(즉 cos 0=1, sin π2=1, cos π=−1, sin 3π2=−1 — 4.2의 f411번 증명에서 이미 확인된 값입니다)을 이용해 네 사분면 각각에서 부호를 확정합니다. 0 이상 2π 미만인 θ만 다루어도 충분합니다 — 그 밖의 θ는 419번에서 보이듯 2π의 정수배 차이인 어떤 θ₁∈[0,2π)와 부호가 완전히 같기 때문입니다.

① 제1사분면, θ∈(0,π2). f411번에 의해 cos θ=0이 되는 θ는 π2+kπ 꼴뿐인데, 이 중 (0,π2)에 속하는 것은 없습니다(k=0이면 경계점 π2 자신이라 열린 구간에서 제외, 다른 k는 범위 밖). 그러므로 cos θ는 (0,π2)에서 한 번도 0이 되지 않고, 왼쪽 끝점 θ=0에서도 cos 0=1≠0이므로 cos θ는 [0,π2) 전체에서 0이 되지 않습니다. 위 보조 논증(닫힌 부분구간에 적용 가능)에 의해 cos θ는 [0,π2) 전체에서 부호가 일정하고, cos 0=1>0이므로

cos θ>0  (θ∈(0,π2))

같은 방식으로, sin θ=0이 되는 θ는 kπ 꼴뿐이고 (0,π2]에 속하는 것은 없으며(k=0은 왼쪽 끝점 0 자신이라 제외, 다른 k는 범위 밖), 오른쪽 끝점 θ=π2에서 sin π2=1≠0이므로 sin θ는 (0,π2] 전체에서 0이 되지 않습니다. 부호 일정 논증에 의해

sin θ>0  (θ∈(0,π2))

② 제2사분면, θ∈(π2,π). cos θ=0이 되는 θ(=π2+kπ) 중 (π2,π)에 속하는 것은 없고, 오른쪽 끝점 θ=π에서 cos π=−1≠0이므로 cos θ는 (π2,π] 전체에서 0이 되지 않습니다. 따라서 부호가 일정하고 cos π=−1<0이므로 cos θ<0 (θ∈(π2,π)). sin θ=0이 되는 θ(=kπ) 중 (π2,π)에 속하는 것은 없고, 왼쪽 끝점 θ=π2에서 sin π2=1≠0이므로 sin θ는 [π2,π) 전체에서 0이 되지 않아 부호가 일정하고 sin π2=1>0이므로

cos θ<0  ,  sin θ>0  (θ∈(π2,π))

제2사분면의 예(θ=130°) — 오른쪽 끝점 π2(sin=1)와 왼쪽 끝점 π(cos=−1)의 이미 알려진 값으로, 구간 내부에서 부호가 바뀌지 않는다는 사실을 이용해 구간 전체의 부호를 확정

③ 제3사분면, θ∈(π,3π2). cos θ=0이 되는 θ(=π2+kπ) 중 (π,3π2)에 속하는 것은 없고, 왼쪽 끝점 θ=π에서 cos π=−1≠0이므로 cos θ는 [π,3π2) 전체에서 0이 되지 않아 부호가 일정하고 cos π=−1<0이므로 cos θ<0 (θ∈(π,3π2)). sin θ=0이 되는 θ(=kπ) 중 (π,3π2)에 속하는 것은 없고, 오른쪽 끝점 θ=3π2에서 sin 3π2=−1≠0이므로 sin θ는 (π,3π2] 전체에서 0이 되지 않아 부호가 일정하고 sin 3π2=−1<0이므로

cos θ<0  ,  sin θ<0  (θ∈(π,3π2))

④ 제4사분면, θ∈(3π2,2π). cos θ=0이 되는 θ(=π2+kπ) 중 (3π2,2π)에 속하는 것은 없고, 오른쪽 끝점 θ=2π에서(4.2의 f409번 성질, 2π−0=2·1·π이므로 P(2π)=P(0)) cos 2π=cos 0=1≠0이므로 cos θ는 (3π2,2π] 전체에서 0이 되지 않아 부호가 일정하고 cos 2π=1>0이므로 cos θ>0 (θ∈(3π2,2π)). sin θ=0이 되는 θ(=kπ) 중 (3π2,2π)에 속하는 것은 없고, 왼쪽 끝점 θ=3π2에서 sin 3π2=−1≠0이므로 sin θ는 [3π2,2π) 전체에서 0이 되지 않아 부호가 일정하고 sin 3π2=−1<0이므로

cos θ>0  ,  sin θ<0  (θ∈(3π2,2π))

네 결과를 정리하면 다음과 같습니다 :

사분면	θ의 범위(mod 2π)
제1사분면 : sin θ>0, cos θ>0	(0, π2)
제2사분면 : sin θ>0, cos θ<0	(π2, π)
제3사분면 : sin θ<0, cos θ<0	(π, 3π2)
제4사분면 : sin θ<0, cos θ>0	(3π2, 2π)

사용 : 4.2의 f409번(P(θ)의 정의와 회전의 연속성) · 4.2의 f411번(정의역 — 사인·코사인의 영점) · 4.2의 f412번(사이값의 정리 사용 선례) · 416번(사분면의 정의)

증명 끝

418정리사분면에 따른 여섯 삼각함수의 부호(ASTC)제1 : 전부 +  ·  제2 : sin,csc만 +  ·  제3 : tan,cot만 +  ·  제4 : cos,sec만 +

증명법 : 경우를 나누는 방법(417번의 직접적인 따름)

4.2의 f410번의 정의(tan θ:=sin θcos θ, cot θ:=cos θsin θ, sec θ:=1cos θ, csc θ:=1sin θ)와 "같은 부호끼리의 몫(또는 곱)은 양, 다른 부호끼리의 몫(또는 곱)은 음이며, 0이 아닌 수의 역수는 그 수와 부호가 같다"는 기초 부호 연산 규칙을 417번의 결과에 곧바로 적용하면 됩니다.

제1사분면(sin θ>0, cos θ>0) : tan θ는 (+)÷(+)=+, cot θ는 (+)÷(+)=+, sec θ는 (+)의 역수=+, csc θ는 (+)의 역수=+. 여섯 함수가 모두 양입니다.

제2사분면(sin θ>0, cos θ<0) : tan θ는 (+)÷(−)=−, cot θ는 (−)÷(+)=−, sec θ는 (−)의 역수=−, csc θ는 (+)의 역수=+. sin, csc만 양입니다.

제3사분면(sin θ<0, cos θ<0) : tan θ는 (−)÷(−)=+, cot θ는 (−)÷(−)=+, sec θ는 (−)의 역수=−, csc θ는 (−)의 역수=−. tan, cot만 양입니다.

제4사분면(sin θ<0, cos θ>0) : tan θ는 (−)÷(+)=−, cot θ는 (+)÷(−)=−, sec θ는 (+)의 역수=+, csc θ는 (−)의 역수=−. cos, sec만 양입니다.

함수	제1	제2	제3	제4
sin θ, csc θ	+	+	−	−
cos θ, sec θ	+	−	−	+
tan θ, cot θ	+	−	+	−

각 사분면에서 양수인 함수들의 첫 글자를 모아 읽으면 All−Sin−Tan−Cos (제1→4사분면, 반시계 방향) — 흔히 쓰이는 암기 니모닉일 뿐, 증명의 일부는 아닙니다.

사용 : 4.2의 f410번(탄젠트·코탄젠트·시컨트·코시컨트의 정의) · 417번(사인·코사인의 부호)

증명 끝

419정리코터미널각의 부호(따름)θ와 θ+2kπ (k∈ℤ)의 여섯 삼각함수는 부호를 포함해 완전히 같은 값을 가짐

증명법 : 직접증명법(4.2의 f409번의 직접적인 따름)

4.2의 f409번에 의해 P(θ₁)=P(θ₂) ⟺ θ₁−θ₂=2kπ(어떤 정수 k)입니다. θ₂:=θ, θ₁:=θ+2kπ로 두면 θ₁−θ₂=2kπ이므로 곧바로 P(θ+2kπ)=P(θ), 즉

cos(θ+2kπ)=cos θ  ,  sin(θ+2kπ)=sin θ  (k∈ℤ)

를 얻습니다. 4.2의 f410번(비·역수로 정의)에 의해 나머지 네 함수도 sin θ, cos θ만으로 표현되므로, 같은 등식이 tan, cot, sec, csc에 대해서도 그대로 성립합니다(정의되는 θ에 대해서). 특히 417·418번의 부호는 sin θ, cos θ의 부호로만 결정되므로, θ+2kπ가 속하는 사분면(416번의 정의)은 θ가 속하는 사분면과 항상 같고, 여섯 함수의 부호 역시 θ와 θ+2kπ에서 완전히 같습니다. 이 때문에 417번의 증명에서 0 이상 2π 미만인 θ만 다루어도 일반적인 실수 θ 전체에 대한 결론을 얻기에 충분했습니다.

θ와 θ+2π(및 θ−2π, θ+4π 등)는 항상 단위원 위의 같은 점 P(θ)로 대응

사용 : 4.2의 f409번(P(θ₁)=P(θ₂) ⟺ θ₁−θ₂=2kπ) · 4.2의 f410번(비·역수 정의) · 417번 · 418번

증명 끝