12.2 수능 핵심
확률 공식
Probability Formulas
정의 · 공식과 증명
이 절은 12.1에서 확립한 경우의 수(순열·조합)를 이용해 확률을 엄밀하게 정의하고, 확률에 관한 기본 정리들을 유도합니다. 787번에서 표본공간과 사건을 1.1의 집합론 용어(합집합 5번, 교집합 8번, 여집합 16번 등)로 정의하고, 788번에서 수학적 확률 (고전적 확률)을 12.1의 776번(유한집합의 원소의 개수)과 781번(조합의 수)을 이용해 정의합니다. 789–791번은 확률의 기본 성질·여사건·덧셈정리(포함−배제)를 차례로 증명하고, 792–794번은 조건부확률·곱셈정리·독립을 다룹니다. 마지막 795번은 12.1의 조합의 수를 다시 사용해 독립시행(베르누이 시행)의 확률 공식을 유도합니다.
- 합사건 A∪B(«A 또는 B가 일어난다») ― 1.1 5번(합집합)
- 곱사건(교사건) A∩B(«A와 B가 동시에 일어난다») ― 1.1 8번(교집합)
- 여사건 Ac(«A가 일어나지 않는다», 표본공간 S에서의 여집합) ― 1.1 16번(여집합, 전체집합을 S로 둔 경우)
- 배반사건(mutually exclusive events) : A∩B=∅일 때 A와 B는 서로 배반이라 합니다(집합으로는 «서로소» ― A와 B가 동시에 일어날 수 없음). 여러 사건이 어느 두 개를 뽑아도 배반이면 서로 배반이라 합니다.
787정의표본공간과 사건(Sample Space and Events)S : 모든 결과의 집합, A⊆S : 사건
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 어떤 실험(시행)에서 나올 수 있는 모든 결과를 원소로 하는 집합을 표본공간(sample space)이라 하고 S로 쓰며, S의 부분집합을 사건 (event)이라 합니다. 표본공간 S 자체도 (반드시 일어나는) 사건이고, 원소를 하나만 가진 부분집합을 근원사건(elementary event)이라 합니다.
사건은 집합이므로, 1.1에서 이미 증명된 집합의 연산과 성질을 그대로 사건에 적용합니다 :
이 절에서 표본공간 S는 늘 원소가 1개 이상인 유한집합이라 합니다. 그러면 사건(S의 부분집합)과 그 여사건·합사건·곱사건도 모두 유한집합입니다(12.1 보조정리(유한집합의 기본 성질) 따름, 777번 따름 ③).
사용 : 1.1의 5번·8번·16번 · 12.1의 보조정리(유한집합의 기본 성질)
788정의수학적 확률(Classical Probability)P(A) := n(A)n(S)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 이 절은 표본공간 S(원소가 1개 이상인 유한집합, 787번)의 근원사건들이 똑같이 일어날 수 있다(equally likely)고 볼 수 있는 시행만 다룹니다(어떤 시행을 이렇게 보는 것은 모형의 선택입니다). 그 아래에서 사건 A⊆S의 (수학적) 확률을
P(A) := n(A)n(S)
로 정의합니다(n(S)≥1이라 분모는 0이 아님). 여기서 n(A), n(S)는 12.1 776번의 의미에서 각 집합의 원소의 개수이고, n(A)를 구할 때 12.1에서 증명한 순열(780번)·조합(781번)의 수 공식이 실제 계산의 도구로 쓰입니다.
활용 예. 서로 다른 주사위 1개를 던질 때 짝수의 눈이 나올 확률 : S={1,2,3,4,5,6}이므로 n(S)=6, A={2,4,6}이므로 n(A)=3, 따라서 P(A)=36=1/2.
789정리확률의 기본 성질(Basic Properties of Probability)0≤P(A)≤1, P(S)=1, P(∅)=0, A⊆B ⇒ P(A)≤P(B)
증명법 : 788번의 정의를 집합의 포함관계에 직접 적용(사건은 모두 유한집합, 787번)
⑴ P(S)=1. 788번에서 A=S로 두면 P(S)=n(S)/n(S)=1입니다.
⑵ P(∅)=0. n(∅)=0(776번의 의미에서, 공집합은 {1,…,0}=∅과 이미 일대일대응)이므로 P(∅)=0/n(S)=0입니다.
⑶ A⊆B ⇒ P(A)≤P(B). A⊆B라 합시다. A와 B−A(1.1 19번의 차집합)는 서로소이고(x가 둘 다에 속한다면 x∈B−A에서 x∉A인데 x∈A라는 것과 모순), A∪(B−A)=B입니다(x∈B이면 A⊆B 가정 아래 x∈A이거나 x∉A인데 x∉A이면 x∈B−A이므로 어느 쪽이든 A∪(B−A)에 속함, 역포함은 정의에서 바로 나옴). 12.1 777번(합의 법칙)에 의해(B−A는 B의 부분집합이라 유한, 12.1 보조정리 ④) n(B)=n(A)+n(B−A)≥n(A)(개수는 0 이상의 정수, 776번)입니다. 788번의 정의에서 분모 n(S)>0은 공통이므로, 분자의 대소관계가 그대로 확률의 대소관계가 되어
P(A) = n(A)n(S) ≤ n(B)n(S) = P(B)
를 얻습니다.
⑷ 0≤P(A)≤1. ∅⊆A⊆S(모든 사건은 공집합을 포함하고 표본공간에 포함됨)이므로, ⑶을 두 번 적용하면 P(∅)≤P(A)≤P(S), 즉 ⑴·⑵에 의해 0≤P(A)≤1입니다.
사용 : 787번(사건은 유한집합) · 788번(수학적 확률의 정의) · 12.1의 776번·777번 · 1.1의 19번
증명 끝
790정리여사건의 확률(Complement Rule)P(Ac) = 1−P(A)
증명법 : S=A∪Ac(서로소)에 776·777번 적용
1.1 17번(여집합의 성질)에 의해 A∪Ac=S이고 A∩Ac=∅(서로소)입니다. 12.1 777번(합의 법칙)에 의해
n(S) = n(A) + n(Ac)
이고, 양변을 n(S)(>0)로 나누면
| 1 = n(A)n(S) + n(Ac)n(S) = P(A) + P(Ac) | 788번(수학적 확률의 정의) |
| ⇒ P(Ac) = 1−P(A) | 이항 |
를 얻습니다.
활용. «적어도 하나» 유형의 확률은 대개 여사건(«하나도 없다»)의 확률을 구해 1에서 빼는 것이 더 간단합니다 ― 이후 795번(독립시행의 확률)의 활용 예에서도 같은 전략이 등장합니다.
사용 : 787번(사건은 유한집합) · 788번(수학적 확률의 정의) · 1.1의 17번 · 12.1의 777번
증명 끝
791정리확률의 덧셈정리(Addition Rule)P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
증명법 : A∪B를 세 조각(A만, A∩B, B만)의 서로소 분할로 나눠 777번 적용
1.1 19번(차집합)의 표기로 A−B(«A만», A에는 속하고 B에는 속하지 않는 부분)를 씁시다. 다음 두 분할이 모두 서로소인 두 조각으로의 분할임을 원소를 직접 따져 확인합니다 :
A∪B = (A−B) ∪ B (서로소), A = (A−B) ∪ (A∩B) (서로소)
먼저 두 조각이 겹치지 않음은 1.1 20번(B−A=B∩Ac)에 의해 A−B=A∩Bc이므로, (A∩Bc)∩B=A∩(Bc∩B)=A∩∅=∅이고 마찬가지로 (A∩Bc)∩(A∩B)=A∩(Bc∩B)=∅에서 바로 나옵니다. 합쳐서 전체를 이룬다는 것은 : x∈A∪B이면 x∈B이거나(둘째 조각), 아니면 x∈A이고 x∉B, 즉 x∈A−B(첫째 조각)이므로 A∪B=(A−B)∪B이고, x∈A이면 x∈B이거나 (그러면 x∈A∩B), 아니면 x∉B(그러면 x∈A−B)이므로 A=(A−B)∪(A∩B)입니다.
A∪B는 «A만»·«A∩B»·«B만» 세 조각으로 서로소 분할됩니다. A와 B 각각을 셀 때 가운데 조각(A∩B)이 한 번씩, 합쳐서 두 번 중복으로 계산되므로 한 번을 다시 빼 줍니다.
12.1 777번(합의 법칙)을 각각의 서로소 분할에 적용하면
| n(A∪B) = n(A−B) + n(B) | 777번(첫 번째 분할) |
| n(A) = n(A−B) + n(A∩B) ⇒ n(A−B) = n(A)−n(A∩B) | 777번(두 번째 분할), 이항 |
두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면
n(A∪B) = n(A) − n(A∩B) + n(B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)
를 얻습니다. 양변을 n(S)(>0)로 나누고 788번(수학적 확률의 정의)을 적용하면
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
입니다.
따름정리(배반사건의 덧셈정리). A∩B=∅(배반사건, 787번)이면 789번⑵에 의해 P(A∩B)=P(∅)=0이므로
P(A∪B) = P(A) + P(B) (A, B가 배반사건일 때)
입니다 ― 이는 사실 12.1 777번(합의 법칙)을 확률에 그대로 옮긴 특수한 경우입니다.
사용 : 787번(사건은 유한집합) · 788번(수학적 확률) · 789번(기본 성질) · 12.1의 777번(합의 법칙) · 1.1의 19번·20번
증명 끝
792정의조건부확률(Conditional Probability)P(B|A) := P(A∩B)P(A) (P(A)>0)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 사건 A가 일어났다는 것을 알고 있을 때(단 P(A)>0), 그 조건 아래에서 사건 B가 일어날 확률을 조건부확률이라 하고 P(B|A)로 쓰며
P(B|A) := P(A∩B)P(A)
로 정의합니다.
동기(수학적 확률로 이해하기). 788번의 수학적 확률 아래에서는 이 정의가 자연스러운 이유를 직접 셈으로 확인할 수 있습니다 ― A가 일어난 것을 알고 있다는 것은, 표본공간을 원래의 S에서 A로 좁혀서 다시 생각한다는 뜻입니다. 이 좁아진 표본공간 A 안에서 B가 일어나는 경우는 정확히 A∩B이므로, 그 안에서의 (상대적인) 비율은
n(A∩B)n(A) = n(A∩B)/n(S)n(A)/n(S) = P(A∩B)P(A) (분모·분자를 n(S)로 나눔, 788번)
이고, 이것이 정확히 조건부확률의 정의와 일치합니다 ― 즉 P(B|A)는 «A 안에서 다시 잰 B의 수학적 확률»입니다.
사용 : 788번(수학적 확률의 정의)
793정리확률의 곱셈정리(Multiplication Rule)P(A∩B) = P(A)×P(B|A) (P(A)>0), = P(B)×P(A|B) (P(B)>0)
증명법 : 792번의 정의를 그대로 정리(양변에 P(A)를 곱함)
P(A)>0이라 합시다. 792번(조건부확률의 정의) P(B|A)=P(A∩B)/P(A)의 양변에 P(A)를 곱하면
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
를 얻습니다. 대칭적으로 P(B)>0이면 792번을 A와 B의 역할을 바꿔 적용해서(A∩B=B∩A이므로)
P(A∩B) = P(B∩A) = P(B) × P(A|B)
도 얻습니다.
확률나무(tree diagram) ― 뿌리에서 잎으로 가지를 따라 내려가면서 각 가지에 적힌 (조건부)확률을 곱하면, 그 잎에 도달하는 사건의 확률이 됩니다. 예를 들어 «A 그다음 B»에 도달하는 확률은 P(A)×P(B|A)=P(A∩B)입니다.
세 사건으로 확장. P(A∩B)>0이면(그러면 A∩B⊆A이므로 789번 ⑶으로 P(A)≥P(A∩B)>0)
P(A∩B∩C) = P(A) × P(B|A) × P(C|A∩B)
입니다 ― 위 등식을 A∩B와 C에 쓰면 P((A∩B)∩C)=P(A∩B)×P(C|A∩B)이고(1.1 10번 결합법칙), 여기에 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)를 대입하면 됩니다. 이렇게 확장됩니다 ― 확률나무에서 가지를 세 단계까지 따라 내려가며 곱하는 것과 같습니다.
사용 : 792번(조건부확률의 정의) · 789번 ⑶ · 1.1의 10번
증명 끝
794정의사건의 독립(Independent Events)A, B 독립 :⇔ P(A∩B) = P(A)×P(B)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 두 사건 A, B가
P(A∩B) = P(A) × P(B)
를 만족할 때, A와 B는 서로 독립(independent)이라 하고, 그렇지 않으면 종속(dependent)이라 합니다.
조건부확률과의 관계. P(A)>0이라 합시다. 793번(곱셈정리)에 의해 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)이므로, 이를 정의의 식과 비교하면
| A, B가 독립 ⇔ P(A)×P(B|A) = P(A)×P(B) | 793번(곱셈정리)을 정의의 좌변에 대입 |
| ⇔ P(B|A) = P(B) (P(A)>0이므로 양변을 P(A)로 나눔) | 등식의 성질 |
를 얻습니다 ― 즉 독립이라는 것은, A가 일어났다는 정보가 B가 일어날 확률을 전혀 바꾸지 않는다는 뜻입니다(직관과 정확히 일치합니다). P(A)=0인 경우까지 포함해 정의를 P(A∩B)=P(A)P(B)로 (조건부확률 없이) 써 두면, P(A)=0이나 P(B)=0인 경계의 경우도 예외 없이 다룰 수 있습니다(789번⑵–⑷에 의해 ∅⊆A∩B⊆A이므로 P(A)=0이면 0≤P(A∩B)≤P(A)=0에서 P(A∩B)=0=P(A)P(B)가 자동으로 성립).
주의 : 독립과 배반은 다른 개념입니다. A, B가 배반사건(787번, A∩B=∅)이고 둘 다 P(A)>0, P(B)>0이면, P(A∩B)=P(∅)=0≠P(A)P(B)(둘 다 양수의 곱은 양수)이므로 오히려 독립이 아닙니다(배반사건은 한쪽이 일어나면 다른 쪽은 절대 일어날 수 없으므로, A가 일어났다는 정보가 B의 확률을 0으로 바꿔버리는 것 ― 정보가 전혀 없는 것과는 정반대).
795정리독립시행의 확률(Probability of Independent Repeated Trials)P(정확히 r번) = nCr pr(1−p)n−r (p=a/b)
증명법 : 788번의 수학적 확률로 직접 셈 ― 성공 자리를 12.1의 조합(nCr)으로 고르고, 자리마다의 선택을 단계별 선택의 곱의 법칙으로 셈
상황(모형). 한 번의 시행은 b가지(b≥2) 결과 중 하나가 똑같이 일어날 수 있는 시행이고, 그중 a가지(1≤a≤b−1)를 «성공»(사건 A), 나머지 b−a가지를 «실패»로 봅니다(예 : 흰 공 a개·검은 공 b−a개가 든 주머니에서 공 하나를 꺼내 보고 다시 넣기). 한 번의 성공확률은 p=a/b(0<p<1)입니다. 이 시행을 n번(n≥1) 되풀이한 결과는 길이 n인 나열 (x1,…,xn)(각 xi는 b가지 결과 중 하나)이고, 이 나열 전체를 표본공간 S로 하며 나열 하나하나가 똑같이 일어날 수 있다고 봅니다(788번의 모형 ― 앞의 결과가 뒤의 결과에 영향을 주지 않는 «독립시행»을 이렇게 나타냄). 이때 A가 정확히 r번(0≤r≤n) 일어날 확률을 구합니다.
⑴ n(S). b가지에서 중복을 허용해 n개를 늘어놓는 중복순열이므로 12.1 785번에 의해 n(S)=bn입니다.
⑵ 성공 자리를 정한 경우. {1,…,n}의 r개짜리 부분집합 J를 하나 정하고, «J의 자리에서는 성공, 나머지 자리에서는 실패»인 나열의 집합을 EJ라 합시다 (예 : n=5, J={1,3}이면 1·3번째가 성공, 나머지는 실패). 자리 i의 후보는 앞의 선택과 상관없이 i∈J이면 성공 a가지, i∉J이면 실패 b−a가지이므로 12.1 보조정리(단계별 선택의 곱의 법칙)에 의해
n(EJ) = ar(b−a)n−r
이고, 이 값은 J가 어느 r자리이든 같습니다.
n=5, r=2인 예 ― 성공이 들어갈 2개의 자리를 정하는 방법은 5C2=10가지이고, 그 각각의 확률은 항상 p2(1−p)3으로 같습니다.
⑶ 모으기. «A가 정확히 r번 일어난다»는 사건 E는 EJ들의 합사건이고, J는 nCr가지 (12.1 781번)입니다. J가 다르면 성공 자리가 달라 EJ끼리 서로소이므로, 12.1 777번 따름 ②(같은 크기 조각)에 의해 n(E)=nCr ar(b−a)n−r입니다. 788번으로
| P(E) = nCr ar(b−a)n−rbn | 788번(수학적 확률), ⑴ |
| = nCr arbr×(b−a)n−rbn−r = nCr pr(1−p)n−r | bn=brbn−r(지수법칙), 1−p=(b−a)/b |
를 얻습니다.
참고(독립). 이 모형에서 «i번째 시행이 성공»인 사건은 같은 셈으로 확률 a·bn−1/bn=p이고, i≠j일 때 «i번째와 j번째가 모두 성공»은 a2bn−2/bn=p2입니다. 곧 서로 다른 두 시행의 성공은 794번의 뜻으로 독립입니다 ― «독립시행»이라는 이름이 이 모형과 맞습니다. p가 무리수인 경우(결과의 가능성이 같은 유한 모형으로 나타낼 수 없음)는 788번의 범위 밖이며, 대학의 공리적 확률론에서 같은 공식이 성립합니다. 고교에서 다루는 동전·주사위·공 꺼내기는 모두 p가 유리수입니다.
활용 예. 동전을 4번 던져 앞면이 정확히 3번 나올 확률(p=12, n=4, r=3) : 4C3(12)3(12)1=4×(116)=1/4. 또한 «앞면이 적어도 1번»처럼 «적어도» 유형은 790번(여사건)을 함께 써서 1−P(0번)=1−4C0(12)0(12)4=1−116=15/16으로 구하는 것이 더 간단합니다.
사용 : 788번(수학적 확률) · 12.1의 785번(중복순열)·보조정리(단계별 선택의 곱의 법칙)·781번(조합의 수)·777번(따름 ②) · 790번(활용 예) · 794번(참고)
증명 끝