1.3 심화·배경
기본 항등식
Basic Identities
정의 · 공식과 증명
실수 a, b, c에 대한 사칙연산의 기본 규칙 12개(34~45번)를 정리합니다. 이 중 대부분은 실수 체계를 정의하는 공리(더 근본적인 것으로부터 증명할 수 없고, 다른 모든 정리의 출발 전제로 삼는 문장)이고, 일부는 그 공리들의 표기를 약속하는 정의이며, 41번(0을 곱하면 0)은 사실 다른 공리들로부터 정리로 유도할 수 있는데도 계산 편의상 이 목록에 포함되어 있어, 실제로 증명해 보입니다. 실수를 이렇게 "공리(체의 공리)에서 출발해 쌓아올리는" 접근 자체는 대학 해석학·추상대수학의 내용입니다. 수능 준비생은 이 12개 규칙을 늘 쓰는 당연한 계산 법칙으로 사용할 줄만 알면 충분하고, 공리 체계까지 공부할 필요는 없습니다.
34공리덧셈의 항등원a + 0 = a
공리이므로 증명 대상이 아닙니다. "0을 더해도 변하지 않는다"는 사실을 실수 체계의 출발 전제로 받아들입니다.
수직선에서 a에 0을 더해도 같은 자리에 그대로 머무름
35공리덧셈의 역원a + (−a) = 0
공리이므로 증명 대상이 아닙니다. 모든 실수 a에 대해 더해서 0이 되는 짝 −a가 존재함을 전제합니다.
a와 -a는 0을 기준으로 정확히 대칭 — 둘을 더하면 0으로 상쇄
36공리덧셈의 교환법칙a + b = b + a
공리이므로 증명 대상이 아닙니다.
a+b와 b+a — 순서만 바꿔도 도착 지점(값)은 동일
37공리덧셈의 결합법칙(a+b)+c = a+(b+c)
공리이므로 증명 대상이 아닙니다.
a, b, c를 어느 둘씩 먼저 묶어 더해도 최종 도착점은 동일
38정의뺄셈의 정의a − b := a + (−b)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. "빼기"라는 새 기호를, 이미 있는 "더하기 + 역원"(35번)의 조합으로 약속하는 것입니다.
a-b는 곧 a에서 -b만큼(왼쪽으로 b만큼) 이동한 자리
39공리곱셈의 항등원a · 1 = a
공리이므로 증명 대상이 아닙니다.
가로 a, 세로 1인 직사각형의 넓이는 그대로 a
40공리곱셈의 역원a · 1a = 1 (a≠0)
공리이므로 증명 대상이 아닙니다. 0이 아닌 모든 실수 a에 대해 곱해서 1이 되는 짝 1a가 존재함을 전제합니다.
1a는 a를 곱해서 다시 1로 되돌리는 배율(스케일)
41정리0의 곱셈a · 0 = 0
이 항목은 책의 목록에는 있지만, 사실 아래처럼 34·35·37번과 44번(분배법칙, 아래에서 다룸)만으로 증명되는 정리입니다.
| a·0 = a·(0+0) | 34번(덧셈의 항등원)에 의해 0=0+0 |
| = a·0 + a·0 | 44번(분배법칙, 아래에서 다룸) |
양변에 (−(a·0))을 더하면(35번, 덧셈의 역원) :
| a·0 + (−(a·0)) = (a·0+a·0) + (−(a·0)) | 양변에 같은 수를 더함 |
| 0 = a·0 + (a·0+(−(a·0))) | 35번 · 37번(결합법칙) |
| 0 = a·0 + 0 = a·0 | 35번 · 34번 |
사용 : 34번(덧셈의 항등원) · 35번(덧셈의 역원) · 37번(덧셈의 결합법칙) · 44번(분배법칙, 아래 항목)
가로 길이가 0인 직사각형은 세로가 얼마든 넓이가 0
증명 끝
42공리곱셈의 교환법칙a · b = b · a
공리이므로 증명 대상이 아닙니다.
가로a·세로b 직사각형을 90° 돌리면 가로b·세로a — 넓이(값)는 그대로
43공리곱셈의 결합법칙(a·b)·c = a·(b·c)
공리이므로 증명 대상이 아닙니다.
가로a·세로b·높이c인 직육면체의 부피 — 어느 두 변을 먼저 곱해도 결과는 같음
44공리분배법칙a(b+c) = ab + ac
공리이므로 증명 대상이 아닙니다. 덧셈과 곱셈이 서로 어떻게 얽히는지를 정하는, 체(field)의 공리 중 가장 중요한 항목입니다. (41번 증명에서 실제로 사용됨)
세로 a, 가로 (b+c)인 직사각형을 둘로 나누면 ab와 ac로 쪼개짐
45정의나눗셈의 정의ab := a · 1b (b≠0)
정의이므로 증명 대상이 아닙니다. "나누기"라는 새 기호를, 이미 있는 "곱하기 + 역원"(40번)의 조합으로 약속하는 것입니다.
0에서 a까지를 b등분한 한 칸의 길이가 ab(=a×1b)