3.13 심화·배경
연꼴(카이트)
Kite
정의 · 공식과 증명
연꼴(카이트)의 성질 3개(234~236번)를 정리합니다. 연꼴은 이웃한 두 쌍의 변의 길이가 각각 같은 사각형입니다(a,a,b,b 순서로 배열).
연꼴: 이웃변 a,a와 b,b · 대각선 d1(대칭축, ⊥이등분), d2 · 각 α, β, γ(대칭에 의해 두 γ는 서로 같음)
234정리각의 관계α + β + 2γ = 360°
증명법 : 직접증명법
위 그림처럼 AB=AD=a, CB=CD=b라 하면, 삼각형 ABC와 ADC는 AB=AD, CB=CD, AC 공통이므로 SSS 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④)입니다. 따라서 대각선 AC(그림의 d1, 대칭축)가 지나지 않는 두 꼭짓점 B, D의 각(γ)이 서로 같습니다(∠ABC=∠ADC). 사각형의 내각의 합은 360°(3.16의 246번)이므로 다음이 성립합니다.
α + β + γ + γ = 360°
사용 : 3.16의 246번(사각형의 내각의 합) · SSS 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④)
증명 끝
235정리둘레L = 2(a+b)
236정리넓이S = d1d22
증명법 : 직접증명법
A는 B, D에서 같은 거리(AB=AD), C도 B, D에서 같은 거리(CB=CD)이므로 A와 C는 모두 선분 BD의 수직이등분선 위에 있습니다 (3.4의 단원 서두의 약속 ⑧의 역). 즉 직선 AC는 BD의 수직이등분선이고, BD와 만나는 점 M은 BD의 중점이며 BD⊥AC입니다. 연꼴을 대각선 AC로 나누면 두 삼각형 ABC, ADC는 밑변 AC=d1을 공유하고, 높이는 각각 BM, DM입니다. 넓이를 더하면(같은 곳 약속 ⑦)
S = 12d1·BM + 12d1·DM = 12d1(BM+DM) = 12d1d2
이 증명은 두 대각선이 안에서 만나는지를 쓰지 않으므로, 오목한 연꼴(C 또는 A가 안쪽으로 들어간 모양)에도 그대로 성립합니다 (오목해도 대각선 AC는 연꼴 안에 놓이고, M은 BD의 중점이라 BM+DM=BD). 3.16의 248번에서 φ=90°로 놓은 값과도 같습니다.
S = d1d22
사용 : 같은 거리·넓이(3.4의 단원 서두의 약속 ⑦⑧)
증명 끝