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3.14   심화·배경

원에 내접하는 사각형

Cyclic Quadrilateral

정의 · 공식과 증명

원에 내접하는 사각형의 성질 5개(237~241번)를 정리합니다. 이 절의 핵심은 238번 프톨레마이오스의 정리입니다. 240·241번의 p는 반둘레(半-, half-perimeter) p = a+b+c+d2를 나타냅니다(3.4의 187·188번에서 삼각형에 쓰인 p와 같은 개념이지만, 변이 4개이므로 값 자체는 다릅니다).

원에 내접하는 사각형 ABCD: 변 a=AB,b=BC,c=CD,d=DA · 대각선 d₁=AC,d₂=BD

237정리마주보는 내각의 합α + γ = β + δ = 180°

증명법 : 직접증명법

원주각 정리(3.19의 267번)에 의해, 호 BCD에 대한 원주각 α(∠A)는 그 호가 만드는 중심각의 절반이고, 마찬가지로 호 DAB에 대한 원주각 γ(∠C)도 나머지 중심각의 절반입니다. 두 호(BCD와 DAB)를 합치면 원 전체 (중심각 360°)이므로, 두 원주각의 합은

α + γ = 360°2 = 180°

사용 : 3.19의 267번(원주각의 정리)

증명 끝

238정리프톨레마이오스의 정리 (Ptolemy's Theorem)ac + bd = d₁d₂

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법 (보조점 구성 + 닮음)

대각선 AC 위에 ∠ABE=∠DBC가 되도록 점 E를 잡음

대각선 AC 위에 점 E를 ∠ABE=∠DBC가 되도록 잡습니다. 원에 내접하는 사각형은 볼록이므로(3.16 서두) 대각선 BD는 ∠ABC 안에 있어 ∠DBC < ∠ABC이고, 따라서 B에서 ∠ABE=∠DBC가 되게 그은 반직선도 ∠ABC 안에 있어 선분 AC와 한 점 E에서 만납니다 (각의 안쪽으로 그은 반직선은 두 변 위의 점을 잇는 선분과 만난다는 사실을 받아들입니다). 또 볼록이므로 A와 D는 직선 BC의 같은 쪽에, D와 C는 직선 AB의 같은 쪽에 있습니다.

① △ABE ∽ △DBC: ∠ABE=∠DBC(구성에 의해)이고, ∠BAE=∠BAC=∠BDC(A와 D가 BC의 같은 쪽에 있으므로 같은 호 BC에 대한 원주각, 같은 호이므로 같음 — 3.19의 267번, 원주각의 정리)이므로 AA 닮음(3.4의 단원 서두의 약속 ⑤). 따라서 ABDB = AEDC, 즉 AE·DB = AB·DC = ac

② △ABD ∽ △EBC: ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = ∠ABC - ∠ABE = ∠EBC(BD와 BE는 모두 ∠ABC 안의 반직선). 또한 ∠ADB=∠ACB(D와 C가 AB의 같은 쪽, 호 AB에 대한 원주각)이므로 AA 닮음. 따라서 ADEC = BDBC, 즉 EC·BD = AD·BC = bd

③ 두 식을 더하면 :

AE·DB + EC·BD = ac+bd	①, ②의 결론을 변끼리 더함
DB(AE+EC) = ac+bd	좌변에서 DB로 묶음
DB·AC = ac+bd	AE+EC=AC (E가 선분 AC 위의 점)

d₁d₂ = ac+bd

사용 : 3.19의 267번(원주각의 정리, 같은 호에 대한 원주각은 같음) · AA 닮음 조건(3.4의 단원 서두의 약속 ⑤) · 볼록의 약속(3.16 서두)

증명 끝

239정리둘레L = a+b+c+d

증명법 : 직접증명법

네 변의 길이의 합. 일반적인 사각형의 둘레 정의 그대로입니다.

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

240정리외접원의 반지름R = 14(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

241번의 증명(1·2단계)에서 β=∠B에 대해 S = 12(ab+cd) sin β, cos β = a²+b²-c²-d²2(ab+cd)입니다.

1단계 — 대각선의 제곱.

d1² = a² + b² - 2ab cos β	△ABC에 3.4의 185번(코사인법칙)
= (a²+b²)(ab+cd) - ab(a²+b²-c²-d²)ab+cd	cos β 대입, 통분
= cd(a²+b²) + ab(c²+d²)ab+cd	분자 전개, ab(a²+b²) 소거
= (ac+bd)(ad+bc)ab+cd	분자를 인수분해(전개하면 같은 식)

2단계 — 반지름. 사각형의 외접원은 세 점 A, B, C를 지나므로 △ABC의 외접원입니다. △ABC에 3.4의 186번(사인법칙)을 쓰면 d₁ = 2R sin β이고, 241번의 1단계에서 sin β = 2Sab+cd이므로

R = d12 sin β = d1(ab+cd)4S	186번, sin β 대입
R² = d1²(ab+cd)²16S² = (ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)	1단계의 d1², 241번의 S²

R>0이므로 양의 제곱근을 취하면 위 식을 얻습니다. (1단계에서 a, b와 c, d의 역할을 바꾸면 d₂² = (ac+bd)(ab+cd)ad+bc도 얻고, 두 식을 곱하면 d₁²d₂² = (ac+bd)²으로 238번(프톨레마이오스)과도 맞습니다.)

사용 : 241번(브라마굽타 공식과 그 증명의 1·2단계) · 3.4의 185번(코사인법칙), 186번(사인법칙)

증명 끝

241정리넓이 (브라마굽타의 공식)S = 12d₁d₂ sin φ = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

S = 12d₁d₂ sin φ : 원에 내접하는 사각형은 볼록이므로(3.16 서두) 3.16의 248번(대각선 넓이 공식)이 그대로 적용됩니다.

브라마굽타의 공식 : 꼭짓점 B, D의 각을 β, δ라 하면 237번에 의해 δ=180°-β이므로 sin δ = sin β, cos δ = -cos β입니다(4.6의 433번, 보각공식). 대각선 AC로 나뉜 두 삼각형 ABC, ACD에 대해

1단계 — 넓이.

S = 12ab sin β + 12cd sin δ	두 삼각형 넓이의 합(3.4의 184a번, 약속 ⑦)
= 12(ab+cd) sin β	sin δ = sin β

2단계 — 대각선 AC를 두 번 계산.

d1² = a² + b² - 2ab cos β	△ABC에 3.4의 185번(코사인법칙)
d1² = c² + d² - 2cd cos δ = c² + d² + 2cd cos β	△ACD에 185번, cos δ = -cos β
→ a² + b² - c² - d² = 2(ab+cd) cos β	두 식을 빼서 정리

3단계 — 인수분해.

16S² = 4(ab+cd)² sin² β	1단계를 제곱해 16을 곱함
= 4(ab+cd)² - 4(ab+cd)² cos² β	sin² β = 1 - cos² β(4.5의 425번)
= 4(ab+cd)² - (a² + b² - c² - d²)²	2단계 대입
= [2(ab+cd) - (a²+b²-c²-d²)]·[2(ab+cd) + (a²+b²-c²-d²)]	제곱의 차(2.1의 65번)
= [(c+d)² - (a-b)²]·[(a+b)² - (c-d)²]	각 괄호를 완전제곱으로 묶음
= (c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)	다시 제곱의 차
= 2(p-a)·2(p-b)·2(p-c)·2(p-d)	a+b+c+d=2p

양변을 16으로 나누고, S>0이므로 양의 제곱근을 취하면

S = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

(d=0으로 두면 3.4의 헤론의 공식이 됩니다.) 이 증명의 1·2단계 결과는 240번에서 다시 씁니다.

사용 : 3.16의 248번 · 237번(마주보는 각의 합) · 3.4의 184a번, 185번 · 4.6의 433번(보각공식) · 4.5의 425번 · 2.1의 65번

증명 끝