3.16 심화·배경
일반 사각형
General Quadrilateral
정의 · 공식과 증명
일반 사각형(어떤 특수한 조건도 없는 사각형)의 성질 3개(246~248번)를 정리합니다. 이 절의
공식들은 3.5~3.15의 모든 특수한 사각형에서 반복적으로 인용된 가장 근본적인 도구입니다.
볼록의 약속. 3.5~3.17에서 "사각형"은 따로 말하지 않으면 볼록 사각형(네 내각이 모두 180°보다 작은 사각형)을 뜻합니다.
볼록 사각형에서는 두 대각선이 사각형 안의 한 점에서 만나고, 각 대각선은 양 끝 꼭짓점의 내각을 둘로 나눈다는 것을
(3.18 서두의 볼록다각형과 같은 방식으로) 받아들이는 사실로 씁니다. 사다리꼴·평행사변형, 원에 내접하거나 내접원을 갖는 사각형은 모두 볼록입니다.
오목 사각형도 성립하는 경우는 그 정리에서 따로 밝힙니다.
일반 사각형: 변 a,b,c,d · 대각선 d1,d2와 그 사이각 φ
246정리사각형의 내각의 합α + β + γ + δ = 360°
증명법 : 직접증명법
사각형 ABCD에 대각선 AC를 그으면 두 개의 삼각형 ABC, ACD로 나뉩니다. 볼록 사각형이므로 대각선 AC는 꼭짓점 A, C의 내각을 각각 둘로 나누고(서두의 약속), 따라서 두 삼각형의 여섯 각을 모두 더한 것이 사각형의 네 내각의 합입니다. 각 삼각형의 내각의 합은 180°(3.4의 181번)이므로
α + β + γ + δ = 180° + 180° = 360°
오목 사각형이어도 사각형 안에 놓이는 대각선(오목한 꼭짓점에서 나가는 대각선)을 고르면 같은 논리가 그대로 성립합니다.
사용 : 3.4의 181번(삼각형의 내각의 합) · 볼록의 약속(이 절 서두)
증명 끝
247정리둘레L = a+b+c+d
248정리대각선을 이용한 넓이S = 12d1d2 sin φ
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
두 대각선의 교점을 P라 하고(볼록 사각형이므로 P는 두 대각선 위의 점, 서두의 약속), P가 d1을 나누는 두 조각을 p1, p3, d2를 나누는 두 조각을 p2, p4라 하면(p1+p3=d1, p2+p4=d2), 사각형은 P를 공통 꼭짓점으로 하는 네 개의 작은 삼각형으로 나뉩니다. P에서 이웃한 두 각은 한 직선(대각선) 위에서 서로 보충하고(합이 180°), 마주보는 두 각(맞꼭지각)은 같은 각의 보각이라 서로 같습니다. 따라서 네 삼각형의 P에서의 각은 φ, 180°-φ, φ, 180°-φ 순서로 돌아가며, 각 삼각형은 두 대각선 조각과 그 사이각으로 이루어지므로, 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식)에 의해
| S1 = 12p1p2 sin φ | △ 1 (사이각 φ) |
| S2 = 12p2p3 sin(180°−φ) | △ 2 (사이각 180°−φ) |
| S3 = 12p3p4 sin φ | △ 3 (사이각 φ) |
| S4 = 12p4p1 sin(180°−φ) | △ 4 (사이각 180°−φ) |
4.6의 f433번(보각공식 sin(π−φ)=sinφ)이므로 네 삼각형의 넓이를 모두 더하면
| S = S1+S2+S3+S4 | 네 삼각형 넓이의 합 |
| = 12 sin φ · (p1p2+p2p3+p3p4+p4p1) | 공통인수 12sinφ로 묶기 |
| = 12 sin φ · [p2(p1+p3)+p4(p3+p1)] | p2, p4로 묶어 정리 |
| = 12 sin φ · (p1+p3)(p2+p4) | (p1+p3)로 다시 묶기 |
p1+p3=d1, p2+p4=d2이므로
S = 12d1d2 sin φ
사용 : 3.4의 184a번 · 4.6의 f433번(보각공식) · 볼록의 약속(이 절 서두)
증명 끝