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3.16   심화·배경

일반 사각형

General Quadrilateral

정의 · 공식과 증명

일반 사각형(어떤 특수한 조건도 없는 사각형)의 성질 3개(246~248번)를 정리합니다. 이 절의 공식들은 3.5~3.15의 모든 특수한 사각형에서 반복적으로 인용된 가장 근본적인 도구입니다.

일반 사각형: 변 a,b,c,d · 대각선 d₁,d₂와 그 사이각 φ

246정리사각형의 내각의 합α + β + γ + δ = 360°

증명법 : 직접증명법

사각형에 대각선 하나를 그으면 두 개의 삼각형으로 나뉩니다. 각 삼각형의 내각의 합은 180°(3.4의 181번)이므로, 두 삼각형의 내각의 합을 더하면 사각형의 내각의 합을 얻습니다.

α + β + γ + δ = 180° + 180° = 360°

사용 : 3.4의 181번(삼각형의 내각의 합)

증명 끝

247정리둘레L = a+b+c+d

증명법 : 직접증명법

네 변의 길이의 합. 둘레의 정의 그대로입니다.

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

248정리대각선을 이용한 넓이S = 12d₁d₂ sin φ

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

두 대각선의 교점을 P라 하고, P가 d₁을 나누는 두 조각을 p₁, p₃, d₂를 나누는 두 조각을 p₂, p₄라 하면(p₁+p₃=d₁, p₂+p₄=d₂), 사각형은 P를 공통 꼭짓점으로 하는 네 개의 작은 삼각형으로 나뉩니다. 각 삼각형은 두 대각선 조각과 그 사이각(φ 또는 180°-φ, 마주보는 각끼리 교대로)으로 이루어지므로, 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식)에 의해

S₁ = 12p₁p₂ sin φ	△ 1 (사이각 φ)
S₂ = 12p₂p₃ sin(180°−φ)	△ 2 (사이각 180°−φ)
S₃ = 12p₃p₄ sin φ	△ 3 (사이각 φ)
S₄ = 12p₄p₁ sin(180°−φ)	△ 4 (사이각 180°−φ)

4.6의 f433번(보각공식 sin(π−φ)=sinφ)이므로 네 삼각형의 넓이를 모두 더하면

S = S₁+S₂+S₃+S₄	네 삼각형 넓이의 합
= 12 sin φ · (p₁p₂+p₂p₃+p₃p₄+p₄p₁)	공통인수 12sinφ로 묶기
= 12 sin φ · [p₂(p₁+p₃)+p₄(p₃+p₁)]	p₂, p₄로 묶어 정리
= 12 sin φ · (p₁+p₃)(p₂+p₄)	(p₁+p₃)로 다시 묶기

p₁+p₃=d₁, p₂+p₄=d₂이므로

S = 12d₁d₂ sin φ

사용 : 3.4의 184a번 · 4.6의 f433번(보각공식)

증명 끝