3.15 심화·배경
원에 외접하는 사각형
Tangential Quadrilateral
정의 · 공식과 증명
외접사각형(내접원을 가진 사각형)의 성질 4개(242~245번)를 정리합니다. 이 절의 핵심은 242번 피토의 정리입니다. 244·245번의 p는 반둘레(半-, half-perimeter) p = a+b+c+d2를 나타냅니다(3.4의 187·188번, 3.14의 240·241번에 쓰인 p와 같은 개념이지만, 변의 개수가 다르므로 값 자체는 다릅니다).
외접사각형: 네 변이 모두 내접원에 접함, a+c=b+d(피토의 정리)
242정리피토의 정리 (Pitot Theorem)a + c = b + d
증명법 : 직접증명법
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 항상 같습니다(3.19의 266번). 내접원이 네 변에 접하는 네 접점을 이용해, 꼭짓점 A, B, C, D에서 각 접점까지의 접선 길이를 순서대로 w, x, y, z라 하면, 각 변은 이웃한 두 접선 길이의 합으로 나타납니다.
| a = w + x | 변 AB (A쪽 접선 w, B쪽 접선 x) |
| b = x + y | 변 BC (B쪽 접선 x, C쪽 접선 y) |
| c = y + z | 변 CD (C쪽 접선 y, D쪽 접선 z) |
| d = z + w | 변 DA (D쪽 접선 z, A쪽 접선 w) |
마주보는 두 변끼리 더하면
| a + c = (w+x) + (y+z) = w+x+y+z | a, c의 정의를 대입 |
| b + d = (x+y) + (z+w) = w+x+y+z | b, d의 정의를 대입 |
두 식의 우변이 같으므로
a + c = b + d
사용 : 3.19의 266번(원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다)
증명 끝
243정리둘레L = a+b+c+d = 2(a+c) = 2(b+d)
244정리내접원의 반지름r = Sp (p=L2, S는 넓이)
증명법 : 직접증명법
3.4의 188번(삼각형의 내접원, r=Sp)과 같은 논리입니다. 내접원의 중심 I에서 네 변에 내린 수선은 모두 반지름 r이므로, 사각형 전체를 I와 네 변을 잇는 네 개의 삼각형(밑변이 각 변, 높이 r)으로 나누고 넓이를 더하면(3.4의 단원 서두의 약속 ⑦)
| S = 12ar + 12br + 12cr + 12dr | 네 삼각형 넓이의 합 |
| = 12r(a+b+c+d) = rp | 공통인수 r 묶고 p=(a+b+c+d)/2 |
r = Sp
사용 : 3.4의 188번과 같은 원리 · 넓이(3.4의 단원 서두의 약속 ⑦)
증명 끝
245정리넓이S = pr = 12d1d2 sin φ
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
244번의 증명에서 S=pr을 이미 보였습니다. 3.16의 248번(대각선을 이용한 넓이 공식)은 볼록 사각형이면 성립하고, 내접원을 가진 사각형은 볼록이므로(3.16 서두)
S = pr = 12d1d2 sin φ
로도 쓸 수 있습니다.
증명 끝