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3.15   심화·배경

원에 외접하는 사각형

Tangential Quadrilateral

정의 · 공식과 증명

외접사각형(내접원을 가진 사각형)의 성질 4개(242~245번)를 정리합니다. 이 절의 핵심은 242번 피토의 정리입니다. 244·245번의 p는 반둘레(半-, half-perimeter) p = a+b+c+d2를 나타냅니다(3.4의 187·188번, 3.14의 240·241번에 쓰인 p와 같은 개념이지만, 변의 개수가 다르므로 값 자체는 다릅니다).

외접사각형: 네 변이 모두 내접원에 접함, a+c=b+d(피토의 정리)

242정리피토의 정리 (Pitot Theorem)a + c = b + d

증명법 : 직접증명법

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 항상 같습니다(3.19의 266번). 내접원이 네 변에 접하는 네 접점을 이용해, 꼭짓점 A, B, C, D에서 각 접점까지의 접선 길이를 순서대로 w, x, y, z라 하면, 각 변은 이웃한 두 접선 길이의 합으로 나타납니다.

a = w + x	변 AB (A쪽 접선 w, B쪽 접선 x)
b = x + y	변 BC (B쪽 접선 x, C쪽 접선 y)
c = y + z	변 CD (C쪽 접선 y, D쪽 접선 z)
d = z + w	변 DA (D쪽 접선 z, A쪽 접선 w)

마주보는 두 변끼리 더하면

a + c = (w+x) + (y+z) = w+x+y+z	a, c의 정의를 대입
b + d = (x+y) + (z+w) = w+x+y+z	b, d의 정의를 대입

두 식의 우변이 같으므로

a + c = b + d

사용 : 3.19의 266번(원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다)

증명 끝

243정리둘레L = a+b+c+d = 2(a+c) = 2(b+d)

증명법 : 직접증명법

242번(a+c=b+d)에 의해

L = a+b+c+d = (a+c)+(b+d) = (a+c)+(a+c) = 2(a+c)

같은 방식으로 (b+d)+(b+d)=2(b+d)로도 쓸 수 있습니다.

사용 : 242번

증명 끝

244정리내접원의 반지름r = Sp (p=L2, S는 넓이)

증명법 : 직접증명법

3.4의 188번(삼각형의 내접원, r=Sp)과 같은 논리입니다. 내접원의 중심에서 네 변에 내린 수선은 모두 반지름 r이므로, 사각형 전체를 네 변을 밑변으로 하는 네 개의 삼각형(높이 r)으로 나누면

S = 12ar + 12br + 12cr + 12dr	네 삼각형 넓이의 합
= 12r(a+b+c+d) = rp	공통인수 r 묶고 p=(a+b+c+d)/2

r = Sp

사용 : 3.4의 188번과 같은 원리

증명 끝

245정리넓이S = pr = 12d₁d₂ sin φ

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

244번의 증명에서 S=pr을 이미 보였습니다. 3.16의 248번(대각선을 이용한 넓이 공식)은 사각형의 종류에 상관없이 항상 성립하므로

S = pr = 12d₁d₂ sin φ

로도 쓸 수 있습니다.

사용 : 244번 · 3.16의 248번

증명 끝