3.18 심화·배경
정다각형
Regular Polygon
정의 · 공식과 증명
정n각형(변의 개수 n인 정다각형)의 성질 6개(254~259번)를 정리합니다. 3.5(정사각형), 3.17(정육각형) 등은 전부 이 절의 특수한 경우(n=4, n=6)입니다. 정다각형은 볼록다각형이고 모든 꼭짓점이 한 원(외접원) 위에 있다는 것을 정의에 포함된 사실로 받아들입니다. 원주율 π와 라디안은 3.19·3.20에서 처음 정하므로, 이 절은 각을 도(°)로 씁니다. 라디안으로는 180°n=πn, 360°n=2πn이므로, 뒤 절에서 π/n 꼴로 인용해도 같은 식입니다.
정n각형(그림은 n=7): 한 변 a · 외접원 반지름 R · 내접원 반지름(아포템) r
254정리정n각형의 내각α = (n-2)·180°n
증명법 : 직접증명법
정n각형은 볼록다각형이므로(서두), 볼록 n각형은 한 꼭짓점에서 그은 대각선으로 (n-2)개의 삼각형으로 나뉩니다. 꼭짓점이 n개이고, 한 꼭짓점에서 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 (n-3)개의 대각선을 그으면 (n-2)개의 삼각형이 생기기 때문입니다. 각 삼각형의 내각의 합은 180°(3.4의 181번)이므로, 전체 내각의 합은 다음과 같습니다.
(내각의 합) = (n-2)·180°
정n각형은 이 합을 n등분한 것이 한 내각이므로 다음을 얻습니다.
α = (n-2)·180°n
사용 : 3.4의 181번(삼각형의 내각의 합)
증명 끝
255정리외각을 이용한 표현α = 180° - 360°/n
254번의 α = (n-2)·180°n을 전개하면 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
α = 180° - 360°n
같은 값을 "외각(360°n, 한 바퀴를 n등분)을 180°에서 뺀 것"으로 재서술한 것입니다. 254번의 식을 바꿔 쓴 것뿐이므로 따로 증명할 것이 없습니다. 외각의 관점(다각형을 따라 한 바퀴 돌면 외각의 합은 항상 360°)이 유용해서 별도로 표기합니다.
사용 : 254번
256정리외접원의 반지름R = a2 sin(180°/n)
257정리내접원의 반지름(아포템)r = a2 tan(180°/n) = R² - a²4
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
256번에서 만든 직각삼각형(빗변 R, 각 180°n, 대변 a2, 인접변 r)에서, tan(180°/n)=a2r이므로 다음을 얻습니다.
r = a2 tan(180°/n)
또한 3.1의 163번(피타고라스 정리)에 의해 r²+(a2)²=R²이므로, 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.
r = R² - a²4
사용 : 3.1의 157-162번, 163번 · 256번
증명 끝
258정리둘레L = na
259정리넓이S = (nR²2)·sin(360°n) = pr = pR² - a²4
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
정n각형은 256번에서 만든, 두 변 R,R과 사잇각 360°n인 이등변삼각형 n개로 이루어집니다. 3.4의 184a번(두 변과 끼인각의 넓이 공식)에 의해 삼각형 하나의 넓이와 전체 넓이는 다음과 같습니다(n=3이면 끼인각이 120°, n=4이면 90°이고, 이때의 sin 값은 3.1의 157-162번 ③의 약속으로 정해집니다).
| (삼각형 하나의 넓이) = 12R² sin(360°n) | 184a번(두 변과 끼인각) |
| S = nR²2 sin(360°n) | 삼각형 n개를 합산 |
한편 각 삼각형을 밑변 a, 높이 r로 볼 수도 있으므로, 삼각형 하나의 넓이와 전체 넓이는 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.
| (삼각형 하나의 넓이) = 12ar | 밑변 a, 높이 r |
| S = n·12ar = 12(na)r = pr | p=L2=na2(반둘레) |
257번의 r=R² - a²4을 대입하면 마지막 형태를 얻습니다.
S = pr = pR² - a²4
사용 : 3.4의 184a번 · 257번 · 258번(둘레)
증명 끝