3.2 심화·배경
이등변삼각형
Isosceles Triangle
정의 · 공식과 증명
이등변삼각형의 밑각이 같다는 사실을 먼저 보조정리로 증명하고, 이를 근거로 높이·둘레·넓이에 관한 정리 4개(172~175번)를 정리합니다.
이등변삼각형: 밑변 a · 다리 b(두 개 같음) · 밑각 β(두 개 같음) · 꼭지각 α · 밑변 위의 높이 h(보조정리에 의해 중선·수직이등분선·꼭지각의 이등분선과 모두 일치)
·보조정리밑각의 동일성과 대칭축 (이 절 전체의 근거)∠A = ∠B
증명법 : 직접증명법 (SAS 합동)
이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의합니다. 이 절의 △ABC는 AC=BC(=b)인 경우이며, 꼭짓점 C의 각을 꼭지각, A와 B의 두 각을 밑각이라 부릅니다. "두 밑각이 같다"는 사실과 "꼭지각의 이등분선이 밑변의 수직이등분선과 일치한다"는 사실은 정의로부터 곧바로 나오는 것이 아니라 따로 증명이 필요한 정리입니다.
1단계 — 보조선. ∠ACB(꼭지각)를 이등분하는 선분을 긋고, 밑변 AB와 만나는 점을 D라 둡니다.
2단계 — SAS 합동. 삼각형 ACD와 BCD를 비교합니다.
| AC = BC | 이등변삼각형의 정의 |
| ∠ACD = ∠BCD | CD가 ∠C의 이등분선 |
| CD = CD | 공통변 |
△ACD ≡ △BCD (SAS)
3단계 — 합동으로부터 따라오는 성질. 대응각·대응변을 그대로 옮겨 적습니다.
| ∠A = ∠B | 대응각 — 밑각이 같음 |
| AD = DB | 대응변 — D가 AB의 중점(CD는 중선) |
| ∠ADC = ∠BDC = 90° | 대응각이 같고 합이 180°이므로 각각 90°(CD⊥AB — CD는 높이이자 수직이등분선) |
따라서 꼭지각의 이등분선 = 밑변으로의 중선 = 밑변의 수직이등분선 = 밑변으로의 높이가 모두 하나의 선분 CD로 일치합니다. 아래 172~175번은 이 사실(특히 ∠A=∠B와 D가 AB의 중점이라는 점)을 근거로 사용합니다.
사용 : 삼각형의 SAS 합동조건 · 이등변삼각형의 정의(두 변이 같음)
증명 끝
172정리밑각과 꼭지각의 관계β = 90° - α2
173정리높이와 변의 관계h² = b² - a²4
증명법 : 직접증명법
꼭짓점 C에서 밑변 AB에 내린 수선의 발을 D라 하면, 위 보조정리에 의해 CD⊥AB이고 D는 AB의 중점입니다(수선의 발과 중점이 정확히 일치). 즉 CD는 이 삼각형의 높이이자 중선이며, 직각삼각형 ACD가 만들어집니다.
이 직각삼각형은 빗변 AC=b, 한 다리 CD=h, 다른 다리 AD=a2(밑변의 절반)를 가지므로, 3.1의 163번(피타고라스 정리)에 의해 다음이 성립합니다.
h² + (a2)² = b²
따라서:
h² = b² - a²4
사용 : 3.1의 163번(피타고라스 정리) · 위 보조정리(수선의 발이 밑변의 중점과 일치)
증명 끝
174정리둘레L = a + 2b
175정리넓이S = ah2 = b² sin α2
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
S = ah2 : 밑변 a, 높이 h인 삼각형의 표준 넓이 공식입니다.
S = b² sin α2 : 3.4의 삼각형 넓이 공식 (두 변과 그 끼인각으로 넓이 구하기, S=12×(변1)×(변2)×sin(끼인각))을 두 다리 b, b와 그 끼인각 α에 적용합니다.
S = 12 · b · b · sin α = b² sin α2
사용 : 삼각형의 기본 넓이 공식 · 3.4의 두 변과 끼인각으로 넓이 구하는 공식
증명 끝