부채꼴

Sector of a Circle

정의 · 공식과 증명

부채꼴의 정의와 호도법, 호의 길이·넓이·둘레 공식 6개(272~277번)를 정리합니다. 이 절부터는 각을 라디안(호도법)으로 재는 것이 자연스러워, 이후 4장(삼각함수)에서 라디안을 기본 단위로 사용합니다.

부채꼴 : 두 반지름 OA, OB와 호 AB로 둘러싸인 도형 (중심각 θ)

272정의부채꼴부채꼴 = 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 도형

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 원의 중심 O에서 그은 두 반지름 OA, OB와 그 사이의 호 AB로 둘러싸인 영역을 부채꼴이라 하고, 두 반지름이 이루는 각 θ=∠AOB를 부채꼴의 중심각이라 합니다.

273정의호도법(라디안)1 라디안 = 호의 길이가 반지름과 같아지는 중심각 (θ[rad] = sr)

정의이므로 증명 대상이 아닙니다. 반지름 r인 원에서, 호의 길이 s가 정확히 반지름 r과 같아지는 중심각의 크기를 1 라디안(radian)으로 약속합니다. 일반적으로 중심각(라디안) = 호의 길이반지름이며, 이는 반지름 r의 크기와 무관한 순수한 비율(각의 "고유한" 크기)입니다. 원 전체의 둘레는 262번(C=2πr)에 의해 반지름의 2π배이므로, 원 한 바퀴(360°)는 2π 라디안에 대응합니다.

호의 길이가 반지름과 같아지는 중심각 = 1 라디안 (약 57.3°)

274정리호의 길이s = rθ (θ : 중심각의 라디안값)

증명법 : 직접증명법(비례식)

273번(호도법의 정의)에 의해 θ = sr이므로, 양변에 r을 곱하면 다음을 얻습니다.

s = rθ

사용 : 273번(호도법의 정의)

증명 끝

275정리부채꼴의 넓이(중심각 이용)S = 12r²θ

증명법 : 직접증명법(비례식)

부채꼴의 넓이는 원 전체 넓이(263번, S_원=πr²)에서 중심각이 차지하는 비율만큼입니다. 중심각 θ(라디안)는 원 한 바퀴 2π 중 θ2π의 비율을 차지하므로,

S = πr² · θ2π = 12r²θ

부채꼴의 넓이는 원 전체 넓이 중 중심각이 차지하는 비율 θ2π 만큼

사용 : 263번(원의 넓이) · 273번(호도법의 정의)

증명 끝

276정리부채꼴의 넓이(호의 길이 이용)S = 12rs (s : 호의 길이)

증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법

275번(S=12r²θ)에 274번(s=rθ, 즉 θ=sr)을 대입하면

S = 12r²·sr = 12rs

사용 : 275번(부채꼴의 넓이) · 274번(호의 길이)

증명 끝

277정리부채꼴의 둘레P = 2r + s

증명법 : 직접증명법

부채꼴의 경계는 반지름 OA, OB(각각 길이 r)와 호 AB(길이 s)로 이루어져 있으므로, 둘레는 이 세 부분의 길이를 모두 더한 것입니다.

P = OA + OB + s	부채꼴 둘레의 정의(세 변의 길이의 합)
= r + r + s	OA = OB = r (반지름)
= 2r + s

부채꼴의 둘레 = 반지름 OA + 반지름 OB + 호 AB = 2r + s

사용 : 274번(호의 길이)

증명 끝

chapter:03-geometry section:3.20