3.5   심화·배경

정사각형

Square

정의 · 공식과 증명

정사각형의 성질 5개(196~200번)를 정리합니다. 정사각형은 네 변의 길이와 네 내각(모두 90°)이 전부 같은 사각형입니다. 네 내각이 모두 90°이므로 직사각형(3.6 서두 — 따라서 평행사변형)이고, 네 변이 모두 같은 평행사변형이므로 마름모(3.8)이기도 합니다. 그래서 3.6·3.8의 정리를 그대로 쓸 수 있습니다.

정사각형: 한 변 a, 대각선 d

196정리대각선d = a2

증명법 : 직접증명법

대각선은 두 변(길이 a, a)을 다리로 하는 직각삼각형의 빗변이므로, 3.1의 163번(피타고라스 정리)을 적용합니다.

d² = a² + a²	163번(피타고라스 정리)
→ d² = 2a²	정리
→ d = a2	양변 제곱근(d>0)

사용 : 3.1의 163번(피타고라스 정리)

증명 끝

197정리외접원의 반지름R = d2 = a22

증명법 : 직접증명법

정사각형은 직사각형이므로(이 절 서두) 3.6의 202번에 의해 대각선의 중점이 네 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 외접원의 중심이고, R은 대각선의 절반입니다.

R = d2	3.6의 202번(직사각형의 외접원)
= a22	196번 대입

사용 : 196번 · 3.6의 202번(정사각형은 직사각형)

증명 끝

198정리내접원의 반지름r = a2

증명법 : 직접증명법

정사각형은 마름모이므로(이 절 서두) 3.8의 213번에 의해 내접원이 있고 r=h2입니다. 이웃한 두 변이 수직이므로 한 변을 밑변으로 할 때의 높이는 이웃한 변의 길이 h=a입니다(3.8의 212번에서 h=a sin 90°=a).

r = a2

사용 : 3.8의 213번, 212번(정사각형은 마름모)

증명 끝

199정리둘레L = 4a

증명법 : 직접증명법

네 변의 길이가 모두 a이므로,

L = a + a + a + a = 4a

사용 : 둘레의 정의

증명 끝

200정리넓이S = a²

증명법 : 직접증명법

3.6의 204번(직사각형의 넓이 S=ab)에서 a=b인 특수한 경우이므로,

S = a · a = a²

사용 : 3.6의 204번(직사각형은 정사각형을 포함하는 일반형)

증명 끝