3.8 심화·배경
마름모
Rhombus
정의 · 공식과 증명
마름모의 성질 6개(210~215번)를 정리합니다. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형입니다.
대각선은 서로 수직. 두 대각선의 교점을 O라 하면 BO=DO(3.7의 보조정리 ③)이고, 삼각형 ABO와 ADO는 AB=AD, BO=DO, AO 공통이므로
SSS 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④)입니다. 따라서 ∠AOB=∠AOD이고, 두 각의 합은 180°(B, O, D가 한 직선 위)이므로 각각 90°, 즉 AC⊥BD입니다.
아래 212·213·215번이 이 사실을 씁니다.
마름모: 한 변 a · 두 대각선 d1,d2(서로 수직이등분)
210정리이웃각의 합α + β = 180°
211정리대각선의 제곱의 합d1² + d2² = 4a²
212정리높이h = a sin α = d1d22a
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
h = a sin α는 3.7의 207번에서 b=a인 경우 바로 나옵니다.
h = d1d22a는 넓이를 두 가지로 표현해 얻습니다. 3.7의 209번에 의해 S=12d1d2sinφ인데, 마름모는 대각선이 서로 수직(φ=90°, sinφ=1, 이 절 서두)이므로
| S = ah | 밑변×높이 |
| S = 12d1d2 sin φ = 12d1d2 | 209번, 마름모의 대각선⊥(φ=90°) |
| → ah = 12d1d2 | 두 넓이 표현을 등호로 연결 |
h = a sin α = d1d22a
사용 : 3.7의 207번, 209번 · 마름모의 대각선은 서로 수직(이 절 서두)
증명 끝
213정리내접원의 반지름r = h2 = d1d24a
증명법 : 직접증명법
중심. 두 대각선의 교점을 O라 합니다. 삼각형 ABC와 ADC는 AB=AD, CB=CD, AC 공통이므로 SSS 합동(3.4의 단원 서두의 약속 ④)이고, ∠BAC=∠DAC — 대각선 AC는 ∠A와 ∠C를 이등분합니다. 같은 논리로 BD는 ∠B와 ∠D를 이등분합니다. O는 ∠A의 이등분선 위에 있으므로 AB와 AD에서, ∠B의 이등분선 위에 있으므로 BA와 BC에서, ∠C의 이등분선 위에 있으므로 CB와 CD에서 같은 거리에 있습니다(같은 곳 약속 ⑧). 즉 O에서 네 변까지의 거리가 모두 같고, 이 거리를 r이라 하면 O를 중심으로 하는 반지름 r의 원이 네 변에 접합니다(삼각형 OAB는 O에서 직각이라 A, B의 각이 예각이므로, O에서 내린 수선의 발은 변 AB 위에 있습니다 — 다른 변도 같음).
반지름. 마름모는 O를 꼭짓점으로 하는 네 삼각형 OAB, OBC, OCD, ODA로 나뉘고, 각각 밑변 a, 높이 r이므로 S = 4·12ar = 2ar(약속 ⑦). 한편 212번의 증명에서 S=ah이므로 2ar=ah, 즉
r = h2
212번(h=d1d22a)을 대입하면,
r = d1d24a
사용 : 212번 · SSS 합동·각의 이등분선·넓이(3.4의 단원 서두의 약속 ④⑦⑧) · 대각선은 서로 수직(이 절 서두)
증명 끝
214정리둘레L = 4a
215정리넓이S = ah = a² sin α = 12d1d2
증명법 : 동치인 식의 열을 나열하는 방법
212번의 증명 과정에서 이미 세 가지 표현을 모두 확인했습니다: S=ah(기본 공식), S=a²sinα(3.7의 209번에서 b=a인 경우), S=12d1d2(대각선이 수직인 마름모의 특수한 경우, 209번에서 φ=90°).
S = ah = a² sin α = 12d1d2
사용 : 212번의 증명 과정
증명 끝