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4.19   대학 과정

역삼각함수 사이의 관계

Relations between Inverse Trigonometric Functions

정의 · 공식과 증명

4.17–4.18은 sin⁻¹·cos⁻¹·tan⁻¹(796–807번)만을 각각 Sin·Cos·Tan(사인·코사인·탄젠트를 단조구간에 제한한 것)의 역함수로 직접 정의했고, 코탄젠트·시컨트·코시컨트의 역함수는 "4.19에서 환산 관계식과 함께 다룬다"고 4.18의 표기 관례 비고에 남겨 두었습니다. 이 절은 그 약속을 지키는 두 단계로 구성됩니다 — 먼저 808–810번에서 cot⁻¹·sec⁻¹·csc⁻¹을 이미 확립된 tan⁻¹·cos⁻¹·sin⁻¹으로 환산하는 형태로 정의하고, 그다음 811–814번에서 이렇게 갖춰진 여섯 함수 전체가 만족하는 대수적 관계식(여각 관계식·음수 인수 관계식·역수 관계식)을 증명합니다.

808정의코탄젠트의 주값(Principal Value of Arccotangent)cot⁻¹x := π2−tan⁻¹x  (x∈ℝ, 치역 (0,π))

증명법 : 직접증명법(쌍조건문 양방향, 4.6 여각공식을 매개로 803번(c)에 귀착)

준비. Cot := cot를 구간 (0,π)에 제한한 함수라 합시다(cotθ=cosθsinθ, 4.2 f410번은 sinθ≠0인 θ에서 정의하는데, (0,π)의 모든 점이 이를 만족합니다). cot⁻¹x를 정의하려면 Cot가 (0,π)에서 ℝ로의 전단사(일대일대응)임을 보이고 그 역을 구체적인 식으로 써야 합니다.

주장. 임의의 θ∈(0,π)와 y∈ℝ에 대해, 다음이 성립합니다 :

Cot(θ)=y ⇔ θ=π2−tan⁻¹y

(⇒) 방향. θ∈(0,π)이고 cotθ=y라 합시다. φ:=π2−θ로 두면 φ∈(−π2,π2)입니다(θ∈(0,π)의 양끝을 π2에서 뺀 것이므로). 4.6 f434번(여각공식)에 의해 sinθ≠0인 모든 θ에서 tan(π2−θ)=cotθ이고, (0,π)에서는 항상 sinθ≠0이므로 tanφ=tan(π2−θ)=cotθ=y입니다. φ∈(−π2,π2)이고 tanφ=y이므로, 4.18 803번(c)에 의해 φ=tan⁻¹y, 즉 π2−θ=tan⁻¹y이고 θ=π2−tan⁻¹y입니다.

(⇐) 방향. 역으로 θ:=π2−tan⁻¹y라 둡시다. 4.17 802번(치역 (−π2,π2))에 의해 tan⁻¹y∈(−π2,π2)이므로 θ∈(0,π)입니다(부호를 뒤집고 π2를 더하면 열린구간 (−π2,π2)은 (0,π)로 옮겨집니다). φ:=tan⁻¹y∈(−π2,π2)라 두면 cosφ>0(그 구간에서 각이 ±π2에 도달하지 않으므로 cosφ≠0이고, 4.3 f418번(ASTC, 제1·제4사분면에서 cos>0)에 의해 실제로 cosφ>0)이므로, 4.6 f434번을 다시 φ에 적용하면 :

cotθ = cot(π2−φ) = cos(π2−φ)sin(π2−φ)	cot의 정의(4.2 f410번)
= sinφcosφ	4.6 f434번(cos(π2−φ)=sinφ, sin(π2−φ)=cosφ)
= tanφ	tan의 정의(4.2 f410번, cosφ≠0이므로 적용 가능)
= Tan(tan−1y) = y	φ=tan−1y와 8.1 f628번(역함수의 기본 항등식)

따라서 cotθ=y이고, 처음에 잡은 θ=π2−tan⁻¹y∈(0,π)이므로 두 조건이 모두 확인됩니다.

이 쌍조건문은 정확히 Cot:(0,π)→ℝ가 전단사이고 그 역함수가 θ↦π2−tan⁻¹θ임을 뜻합니다(∴ y마다 θ=π2−tan⁻¹y가 유일하게 대응). 이를 cot⁻¹로 정의합니다 :

cot⁻¹x = π2−tan⁻¹x  (x∈ℝ)

정의역이 ℝ 전체이고 치역이 (0,π)라는 사실은 정의식 자체와 tan⁻¹의 정의역·치역(802번, ℝ→(−π2,π2))에서 바로 읽힙니다.

사용 : 4.2의 f410번 · 4.3의 f418번 · 4.6의 f434번 · 4.17의 f802번 · 4.18의 f803번(c) · 8.1의 f628번

증명 끝

809정의시컨트의 주값(Principal Value of Arcsecant)sec⁻¹x := cos⁻¹1x  (|x|≥1, 치역 [0,π]∖{π2})

증명법 : 직접증명법(쌍조건문 양방향, 803번(b)에 귀착)

준비. Sec := sec를 구간 [0,π]∖{π2}에 제한한 함수라 합시다(secθ=1cosθ, 4.2 f410번은 cosθ≠0인 θ에서 정의하며, [0,π]에서 cosθ=0인 유일한 점이 θ=π2이므로 그 점만 제외했습니다).

주장. |x|≥1이고 θ∈[0,π]∖{π2}일 때, 다음이 성립합니다 :

Sec(θ)=x ⇔ θ=cos⁻¹1x

(⇒) 방향. θ∈[0,π], θ≠π2, secθ=x라 합시다. sec의 정의(4.2 f410번)에 의해 cosθ≠0이고 1cosθ=x, 즉 cosθ=1x입니다. θ∈[0,π]이고 cosθ=1x이므로, 4.18 803번(b)에 의해 θ=cos⁻¹1x입니다. (또한 |x|≥1이므로 |1x|≤1이며, 이는 정확히 cos⁻¹이 정의되는 구간이므로 1x이 실제로 들어옵니다.)

(⇐) 방향. 역으로 |x|≥1이라 하고 θ:=cos⁻¹1x라 둡시다(1x∈[−1,1]이므로 정의됩니다). 803번(b)에 의해 θ∈[0,π]이고 cosθ=1x입니다. x가 유한하고 |x|≥1>0이므로 1x≠0, 즉 cosθ≠0—따라서 θ≠π2이고 θ∈[0,π]∖{π2}입니다. 그리고 secθ=1cosθ=11x=x(4.2 f410번, cosθ≠0이므로 적용 가능; 마지막 등호는 분모의 역수를 다시 뒤집은 것)입니다.

이 쌍조건문에 의해 Sec:[0,π]∖{π2}→(−∞,−1]∪[1,∞)는 전단사이고, 그 역함수를 sec⁻¹로 정의합니다 :

sec⁻¹x = cos⁻¹1x  (|x|≥1)

사용 : 4.2의 f410번 · 4.18의 f803번(b)

증명 끝

810정의코시컨트의 주값(Principal Value of Arccosecant)csc⁻¹x := sin⁻¹1x  (|x|≥1, 치역 [−π2,π2]∖{0})

증명법 : 직접증명법(809번과 완전히 같은 논증, 803번(a)에 귀착)

Csc := csc를 구간 [−π2,π2]∖{0}에 제한한 함수라 하면(cscθ=1sinθ, [−π2,π2]에서 sinθ=0인 유일한 점이 θ=0), 809번의 증명에서 cos↔sin, 803번(b)↔803번(a), [0,π]↔[−π2,π2], π2↔0을 그대로 맞바꾸면 조금도 다르지 않은 논증으로 다음이 증명됩니다 :

Csc(θ)=x ⇔ θ=sin⁻¹1x  (|x|≥1, θ∈[−π2,π2]∖{0})

이에 따라 Csc:[−π2,π2]∖{0}→(−∞,−1]∪[1,∞)는 전단사이고, 그 역함수를 csc⁻¹로 정의합니다 :

csc⁻¹x = sin⁻¹1x  (|x|≥1)

사용 : 4.2의 f410번 · 4.18의 f803번(a) · 809번(같은 형식의 논증)

증명 끝

811정리여각 관계식(Complementary-Angle Relations)sin⁻¹x+cos⁻¹x=π2,  tan⁻¹x+cot⁻¹x=π2,  sec⁻¹x+csc⁻¹x=π2

증명법 : 직접증명법(803번의 특징화와 4.6 f434번을 이용한 대입)

(a) sin⁻¹x+cos⁻¹x=π2  (x∈[−1,1]). θ:=cos⁻¹x라 두면 803번(b)에 의해 θ∈[0,π]이고 cosθ=x입니다. φ:=π2−θ라 두면 θ∈[0,π] ⇒ φ∈[−π2,π2]이고, 4.6 f434번에 의해 sinφ=sin(π2−θ)=cosθ=x입니다. φ∈[−π2,π2]이고 sinφ=x이므로 803번(a)에 의해 φ=sin⁻¹x, 즉 π2−cos⁻¹x=sin⁻¹x입니다. 정리하면 sin⁻¹x+cos⁻¹x=π2.

(b) tan⁻¹x+cot⁻¹x=π2  (x∈ℝ). 808번의 정의 cot⁻¹x:=π2−tan⁻¹x를 그대로 이항하면 얻어지는 정의의 즉각적 따름정리입니다—독립적인 증명이 필요하지 않습니다.

(c) sec⁻¹x+csc⁻¹x=π2  (|x|≥1). |x|≥1이면 |1x|≤1이므로 (a)를 y:=1x에 적용할 수 있습니다 :

sec−1x+csc−1x = cos−11x+sin−11x	809·810번의 정의
= sin−11x+cos−11x	덧셈의 교환법칙
= π2	(a)를 y=1x∈[−1,1]에 적용

사용 : 4.6의 f434번 · 4.18의 f803번(a)·(b) · 808번 · 809번 · 810번

증명 끝

812정리음수 인수에 대한 관계식(Negative-Argument Relations)sin⁻¹(−x)=−sin⁻¹x, cos⁻¹(−x)=π−cos⁻¹x, tan⁻¹(−x)=−tan⁻¹x, cot⁻¹(−x)=π−cot⁻¹x, sec⁻¹(−x)=π−sec⁻¹x, csc⁻¹(−x)=−csc⁻¹x

증명법 : 직접증명법(사인·탄젠트는 4.17에서 이미 확립, 나머지 넷은 803번(b)·808번 정의·811번을 연쇄 적용)

사인·탄젠트(이미 증명됨). sin⁻¹(−x)=−sin⁻¹x는 4.17 f798번(sin⁻¹은 기함수)에서, tan⁻¹(−x)=−tan⁻¹x는 4.17 f802번(tan⁻¹은 기함수)에서 이미 증명되었으므로 재론하지 않습니다.

코사인. θ:=cos⁻¹x(x∈[−1,1])라 두면 803번(b)에 의해 θ∈[0,π], cosθ=x입니다. π−θ∈[0,π]이고, 4.6 f433번(보각공식)에 의해 cos(π−θ)=−cosθ=−x이므로, 803번(b)에 의해 π−θ=cos⁻¹(−x)입니다. 즉 cos⁻¹(−x)=π−cos⁻¹x.

코탄젠트. 808번의 정의와 방금 증명한 tan⁻¹의 기함수성을 대입하면 :

cot−1(−x) = π2−tan−1(−x)	808번의 정의
= π2+tan−1x	4.17 f802번(tan−1(−x)=−tan−1x)
= π−(π2−tan−1x) = π−cot−1x	808번의 정의를 역으로 대입

시컨트·코시컨트. 809·810번의 정의와 방금 증명한 코사인·사인의 관계식을 대입합니다 :

sec−1(−x) = cos−1(−1x) = π−cos−11x = π−sec−1x	809번의 정의, 위 코사인 관계식(y=1x)
csc−1(−x) = sin−1(−1x) = −sin−11x = −csc−1x	810번의 정의, 4.17 f798번(y=1x)

사용 : 4.6의 f433번 · 4.17의 f798번·f802번 · 4.18의 f803번(b) · 808–810번

증명 끝

813정리탄젠트의 역수 관계식(Reciprocal-Argument Relation for Arctangent)x>0일 때 tan⁻¹x+tan⁻¹1x=π2;  x<0일 때 tan⁻¹x+tan⁻¹1x=−π2

증명법 : 직접증명법(x>0은 4.3 부호표·4.6 여각공식·803번(c)의 연쇄 적용, x<0은 4.17 f802번의 기함수성으로 x>0에 귀착)

x>0인 경우. θ:=tan⁻¹x라 둡시다. tanθ=x>0이고 4.17 802번에 의해 θ∈(−π2,π2)입니다. θ≠0(tan0=0≠x)이고, θ<0이라면 4.3 f418번(ASTC, 제4사분면—θ∈(−π2,0)—에서 tan<0)에 의해 tanθ<0이 되어 tanθ=x>0에 모순이므로, θ∈(0,π2)입니다. 이 구간에서는 cosθ>0(같은 f418번, 제1사분면)이므로 4.6 f434번을 안전하게 적용할 수 있습니다 :

tan(π2−θ) = cotθ = 1tanθ = 1x

4.6 f434번(sinθ≠0) · cot의 정의(4.2 f410번, tanθ≠0이므로 tanθ·cotθ=1)

θ∈(0,π2)⊂(−π2,π2)이므로 π2−θ∈(−π2,π2)이고, tan(π2−θ)=1x이므로 803번(c)에 의해 π2−θ=tan⁻¹1x, 즉

tan⁻¹x+tan⁻¹1x=π2  (x>0)

x<0인 경우. u:=−x>0이라 두면, 4.17 f802번(기함수)에 의해 tan⁻¹x=tan⁻¹(−u)=−tan⁻¹u이고 tan⁻¹1x=tan⁻¹(−1u)=−tan⁻¹1u입니다. 방금 증명한 x>0 경우를 u에 적용하면 tan⁻¹u+tan⁻¹1u=π2이므로 :

tan⁻¹x+tan⁻¹1x = −tan⁻¹u−tan⁻¹1u = −(tan⁻¹u+tan⁻¹1u) = −π2  (x<0)

따름(코탄젠트로의 환산). x>0이면 808번의 정의에 위 식을 대입해 cot⁻¹1x=π2−tan⁻¹1x=π2−(π2−tan⁻¹x)=tan⁻¹x를 얻습니다. x<0이면 같은 대입에서 cot⁻¹1x=π2−tan⁻¹1x=π2−(−π2−tan⁻¹x)=π+tan⁻¹x를 얻습니다(x=0은 1x이 정의되지 않아 논외).

사용 : 4.2의 f410번 · 4.3의 f418번 · 4.6의 f434번 · 4.17의 f802번 · 4.18의 f803번(c) · 808번

증명 끝

814정리여섯 주값 관계식의 종합 계산 예cot⁻¹3=π6, sec⁻¹2=π3, csc⁻¹2=π6, cot⁻¹(−3)=5π6, sec⁻¹(−2)=2π3

증명법 : 직접증명법(808–812번을 4.18의 특수각 주값표(804–806번)에 대입)

cot−13 = π2−tan−13 = π2−π3 = π6	808번의 정의, tan−13=π3(4.18 f806번)
sec−12 = cos−112 = π3	809번의 정의, cos−112=π3(4.18 f805번)
csc−12 = sin−112 = π6	810번의 정의, sin−112=π6(4.18 f804번)
cot−1(−3) = π−cot−13 = π−π6 = 5π6	812번(음수 인수), 첫 줄의 값 대입
sec−1(−2) = π−sec−12 = π−π3 = 2π3	812번(음수 인수), 둘째 줄의 값 대입
tan−12+tan−112 = π2	813번(x=2>0인 경우), 특수각이 아니어도 성립하는 항등식임을 보이는 예

다섯째 줄까지는 4.4의 특수각(4.18 804–806번)에서 출발했지만, 마지막 줄(tan2+tan(1/2)=π/2)은 2와 1/2 어느 쪽도 4.4의 특수각이 아님에도—즉 개별 값 tan⁻¹2, tan⁻¹12을 각각 닫힌 형태로 구하지 않고도—813번의 구조적 논증만으로 그 합이 정확히 π2임을 알 수 있다는 점에서, 808–813번이 단순한 계산 도구를 넘어 값을 모르는 경우에도 쓸 수 있는 관계식임을 보여줍니다.

사용 : 4.18의 f804·f805·f806번 · 808–810번 · 812번 · 813번

증명 끝

여섯 역삼각함수 주값의 치역을 θ축(라디안) 위에 나란히 놓은 것—채워진 점은 포함되는 끝점, 빈 점은 제외되는 점(열린 끝점 또는 정의역에서 빠진 구멍)입니다. sin⁻¹·tan⁻¹은 [−π2,π2] 안에, cos⁻¹·cot⁻¹·sec⁻¹은 [0,π] 안에 놓이고, sec⁻¹은 π2에서, csc⁻¹은 0에서 정의되지 않는 구멍이 뚫려 있습니다—811번(여각 관계식)에 의해 위아래로 짝지어진 sin⁻¹↔cos⁻¹, tan⁻¹↔cot⁻¹, sec⁻¹↔csc⁻¹ 각 쌍은 두 함숫값의 합이 항상 정확히 π2이 되어야 하는데, 이 그림에서 각 쌍의 구간이 정확히 π/2만큼 좌우로 어긋나 있는 것도 그 사실을 좌표로 확인해 주는 것입니다. 좌표는 실제 θ=±π2,0,π의 라디안값을 그대로 축척(140px/rad)에 대입해 계산했습니다.