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4.18   대학 과정

역삼각함수의 주값

Principal Values of Inverse Trigonometric Functions

정의 · 공식과 증명

4.17에서 확립한 sin⁻¹·cos⁻¹·tan⁻¹(796–802번)은 이미 그 자체로 단일한 값을 돌려주는 함수(796번의 역함수 존재성에 의해 자동으로 일가—유일한 값—입니다)이므로, 이 값들을 주값(principal value)이라 부릅니다. 이 절은 그 정의를 "sinx=y를 만족하는 x는 무수히 많지만 (주기성 때문), 그중 정해진 구간 안에 있는 유일한 하나가 주값이다"라는 특징화(characterization) 형태로 다시 정리(803번)한 뒤, 이를 도구 삼아 4.4에서 확립한 특수각의 삼각비로부터 세 역삼각함수의 특수각 주값표를 실제로 계산합니다(804–806번). 807번에서는 4.17이 그래프의 모양만으로 서술했던 아크탄젠트의 수평점근선을 극한의 정의(8.2 f637번)로 엄밀하게 증명합니다.

표기 관례에 대한 비고. 일부 문헌은 대문자로 시작하는 Arcsin·Arccos·Arctan(또는 Sin⁻¹ 등)을 주값(단일값) 함수로, 소문자 arcsin·arccos·arctan을 "sinx=y를 만족하는 모든 x의 모임"을 나타내는 다가(多價) 관계로 구분해 씁니다(예 : arcsin y = {…, Arcsin y, π−Arcsin y, …}+2kπ 형태). 이 사이트는 다가 관계를 별도로 다루지 않고 오직 주값(단일값 함수)만을 필요로 하므로, 4.17에서 이미 도입한 소문자 표기 sin⁻¹x·cos⁻¹x·tan⁻¹x를 그대로 유일한 표기로 계속 사용합니다(이하 모든 절에서 동일). 코탄젠트·시컨트·코시컨트의 역함수(cot⁻¹·sec⁻¹· csc⁻¹)의 주값은 아크탄젠트·아크사인·아크코사인으로 환산하는 관계식과 함께 4.19에서 다룹니다.

이 절이 해소해야 할 선행 인용은 없습니다(pending-forward-refs.json 확인 — pf-arcsin-arctan-def 항목은 4.17에서 이미 처리 방침이 정해져 있으며 4.19까지 마무리된 뒤 일괄 재점검 예정이므로 이 절에서 추가로 손대지 않습니다).

803정리주값의 특징화(Characterization of Principal Values)x=sin⁻¹y ⇔ (x∈[−π/2,π/2] ∧ sinx=y) 등

증명법 : 직접증명법(796–802번의 정의를 그대로 풀어씀)

주장. 다음 세 쌍조건문이 성립합니다 :

(a)	y∈[−1,1]일 때, x=sin−1y ⇔ ( x∈[−π2,π2] ∧ sinx=y )
(b)	y∈[−1,1]일 때, x=cos−1y ⇔ ( x∈[0,π] ∧ cosx=y )
(c)	y∈ℝ일 때, x=tan−1y ⇔ ( x∈(−π2,π2) ∧ tanx=y )

(a)의 증명. (⇒) x=sin⁻¹y=Sin⁻¹y(798번의 정의)라 하면, Sin⁻¹의 공역이 I₁=[−π2,π2]이므로 x∈I₁이고, 8.1 f628번(역함수의 기본 항등식 f(f⁻¹(y))=y)에 의해 Sin(x)=Sin(Sin⁻¹y)=y, 즉 sinx=y입니다.
(⇐) 역으로 x∈I₁이고 sinx=y라 하면 Sin(x)=sinx=y이므로, Sin이 I₁에서 일대일(797번이 796번의 가설을 만족시켜 796번에 의해 강한 단조⇒일대일)이라는 사실과 역함수의 정의(8.1 f627번, 일대일대응의 역은 유일)에 의해 이 x는 유일하게 결정되며, 그 유일한 x가 바로 Sin⁻¹(y)=sin⁻¹y입니다.

(b)·(c)의 증명. (a)와 완전히 같은 논증을 799–800번(Cos, I₂=[0,π])과 801–802번(Tan, I₃=(−π2,π2))에 그대로 적용하면 얻어집니다.

왜 "주값"인가. sinx=y(y∈[−1,1] 고정)를 만족하는 실수 x는 4.7 f437번(sin의 주기성)에 의해 무수히 많습니다(예 : sinx=12의 해는 π6+2kπ와 5π6+2kπ(k∈ℤ) 전부). (a)는 그 무수히 많은 해 중에서 구간 [−π2,π2] 안에 있는 것이 정확히 하나뿐이고, 그 하나가 바로 sin⁻¹y로 정의된다는 뜻입니다—이 유일한 대표값을 "주값"이라 부르는 이유가 바로 여기 있습니다. 기하적으로는 이 구간이 단위원의 오른쪽 반원에 대응하는 호(弧, arc)이므로, "arcsine"(호를 재는 사인의 역)이라는 이름도 여기서 비롯됩니다.

단위원 위에서 아크사인의 주된 범위(파랑, 오른쪽 반원 θ∈[−π/2,π/2])와 아크코사인의 주된 범위(빨강, 윗쪽 반원 θ∈[0,π], 겹침을 피하려 반지름을 살짝 안쪽으로 그림)—두 호는 각도 π/4에서 만납니다(sin(π/4)=cos(π/4)이므로 이 점이 양쪽 범위에 모두 속함). 좌표는 실제 반지름 130px(아크코사인은 114px)에 삼각함수값을 대입해 계산했습니다.

사용 : 796번·797번· 798번· 799번· 800번· 801번· 802번 · 8.1의 f627번· f628번 · 4.7의 f437번

증명 끝

804정리아크사인의 특수각 주값표sin⁻¹0=0, sin⁻¹(1/2)=π/6, sin⁻¹(√2/2)=π/4, sin⁻¹(√3/2)=π/3, sin⁻¹1=π/2 (및 기함수로 음수값)

증명법 : 직접증명법(803번(a)의 ⇐ 방향 반복 적용)

4.4에서 확립한 특수각의 사인값에 803번(a)의 (⇐) 방향—"x∈[−π2,π2]이고 sinx=y이면 x=sin⁻¹y"—을 그대로 적용합니다. 아래 다섯 각은 전부 π2 이하이므로 구간 조건은 자동으로 만족됩니다 :

sin−10 = 0	sin0=0 (4.4 f423번), 0∈[−π/2,π/2]
sin−112 = π6	sinπ6=12 (4.4 f422번)
sin−122 = π4	sinπ4=22 (4.4 f421번)
sin−132 = π3	sinπ3=32 (4.4 f422번)
sin−11 = π2	sinπ2=1 (4.4 f423번), π2는 구간의 오른쪽 끝점(닫힌구간이므로 포함)

음수 인수. 798번(아크사인은 기함수)에 의해 sin⁻¹(−y)=−sin⁻¹y이므로, 위 표를 그대로 부호만 뒤집으면 나머지 절반이 얻어집니다—예를 들어 sin⁻¹(−12)=−π6, sin⁻¹(−1)=−π2 등. 이렇게 총 아홉 개의 특수값(0을 중심으로 대칭인 ±네 쌍과 0)이 확정됩니다.

사용 : 803번(a) · 798번 · 4.4의 f421번· f422번· f423번

증명 끝

805정리아크코사인의 특수각 주값표cos⁻¹1=0부터 cos⁻¹(−1)=π까지 아홉 개의 값

증명법 : 직접증명법(803번(b)의 ⇐ 방향 적용, 음수 인수는 보각공식 추가 사용)

음이 아닌 인수(양의 코사인값). 804번과 완전히 같은 방식으로, 4.4의 특수각에 803번(b)를 적용합니다 :

cos−11 = 0	cos0=1 (4.4 f423번), 0∈[0,π]
cos−132 = π6	cosπ6=32 (4.4 f422번)
cos−122 = π4	cosπ4=22 (4.4 f421번)
cos−112 = π3	cosπ3=12 (4.4 f422번)
cos−10 = π2	cosπ2=0 (4.4 f423번)

음의 인수. 아크사인과 달리 아크코사인의 정의역 [0,π]는 원점에 대칭이 아니므로(800번에서 이미 지적한 대로 cos⁻¹은 기함수가 아닙니다), 오른쪽 절반을 뒤집어 얻을 수 없습니다. 대신 4.6 f433번(보각공식) cos(π−θ)=−cosθ를 각각의 θ에 직접 적용해 [π2,π] 쪽 값을 새로 계산합니다 :

cos−1(−12) = 2π3	cos2π3=cos(π−π3)=−cosπ3=−12 (4.6 f433번+4.4 f422번), 2π3∈[0,π]
cos−1(−22) = 3π4	cos3π4=cos(π−π4)=−cosπ4 (4.6 f433번+4.4 f421번)
cos−1(−32) = 5π6	cos5π6=cos(π−π6)=−cosπ6 (4.6 f433번+4.4 f422번)
cos−1(−1) = π	cosπ=cos(π−0)=−cos0=−1 (4.6 f433번, θ=0)

이렇게 총 아홉 개의 특수값이 확정됩니다—양의 절반은 803번(b)의 직접 적용, 음의 절반은 그 위에 보각공식을 한 번 더 얹은 것이라는 구조적 차이가 아크사인(804번)과 대비됩니다.

사용 : 803번(b) · 800번 · 4.4의 f421번· f422번· f423번 · 4.6의 f433번

증명 끝

806정리아크탄젠트의 특수각 주값표tan⁻¹0=0, tan⁻¹(√3/3)=π/6, tan⁻¹1=π/4, tan⁻¹√3=π/3 (및 기함수로 음수값)

증명법 : 직접증명법(803번(c)의 ⇐ 방향 적용)

4.4의 특수각에서 이미 계산해 둔 탄젠트값(f421·f422번 본문)에 803번(c)를 적용합니다. 아래 네 각은 전부 (−π2,π2) 안에 있으므로 구간 조건은 자동으로 만족됩니다 :

tan−10 = 0	tan0=sin0cos0=0 (4.4 f423번), 0∈(−π/2,π/2)
tan−133 = π6	tanπ6=33 (4.4 f422번 본문, 분모 유리화)
tan−11 = π4	tanπ4=1 (4.4 f421번)
tan−13 = π3	tanπ3=3 (4.4 f422번 본문)

음수 인수. 802번(아크탄젠트는 기함수)에 의해 tan⁻¹(−y)=−tan⁻¹y이므로, 아크사인(804번)과 같은 방식으로 나머지 절반(음수 인수)이 곧바로 얻어집니다—예를 들어 tan⁻¹(−1)=−π4. tan⁻¹의 정의역이 ℝ 전체이므로 "경계값"이라는 개념 자체가 없다는 점이 아크사인·아크코사인(정의역이 닫힌구간 [−1,1])과 다릅니다—tan⁻¹x가 π2에 도달하는 x는 존재하지 않고, 대신 807번에서 x→±∞일 때의 극한으로만 그 값에 접근합니다.

사용 : 803번(c) · 802번 · 4.4의 f421번· f422번· f423번

증명 끝

807정리아크탄젠트의 수평점근선(극한값)limx→+∞tan⁻¹x=π/2, limx→−∞tan⁻¹x=−π/2

증명법 : 직접증명법(ε–N 논법, 8.2 f637번의 정의를 직접 검증)

802번은 그래프의 모양으로부터 y=±π2가 수평점근선"처럼 보인다"고만 서술했습니다—여기서는 8.2 f637번(무한대에서의 극한의 정의)을 직접 검증해 이를 엄밀한 극한으로 확정합니다.

x→+∞인 경우. ε>0을 임의로 잡습니다. ε′:=min{ε,π4}라 두면 0<ε′≤π4이므로 y₀:=π2−ε′∈(0,π2)—즉 802번이 준 치역 (−π2,π2) 안의 점입니다. 802번(Tan⁻¹:ℝ→(−π2,π2)가 전단사)에 의해 tan⁻¹(N)=y₀인 N∈ℝ가 유일하게 존재합니다(N=Tan(y₀)=tan(y₀)로 계산 가능).

이제 임의의 x>N에 대해, tan⁻¹이 802번에 의해 강한 증가함수이므로

tan⁻¹x > tan⁻¹N = y₀ = π2−ε′

이고, 동시에 tan⁻¹x∈(−π2,π2)(802번의 치역)이므로 tan⁻¹x<π2입니다. 두 부등식을 합치면

−ε′ < tan⁻¹x−π2 < 0   ⇒   |tan⁻¹x−π2| < ε′ ≤ ε

즉 8.2 f637번의 정의가 그대로 검증되어 limx→+∞tan⁻¹x=π2입니다.

아크탄젠트의 그래프(x≥0)와 ε–N 논증의 시각화 — 옅은 파랑 띠가 (π2−ε, π2) 구간이고, N=tan(π2−ε)보다 오른쪽(짙은 빨강 구간)에서는 곡선이 항상 이 띠 안에 머뭅니다—정확히 위 증명이 구성한 N입니다. 좌표는 ε=0.3(라디안)을 예시로 대입해 math.atan/tan으로 계산했습니다.

x→−∞인 경우. 위에서 구한 N을 그대로 재사용합니다. M:=−N이라 두고, 임의의 x<M을 잡으면 −x>N이므로 방금 증명한 부등식을 −x에 그대로 적용할 수 있습니다 :

|tan⁻¹(−x)−π2| < ε

802번(아크탄젠트는 기함수)에 의해 tan⁻¹(−x)=−tan⁻¹x이므로, 위 부등식은 |−tan⁻¹x−π2|<ε, 즉 절댓값 안 부호를 정리하면

|tan⁻¹x−(−π2)| < ε

이 됩니다—8.2 f637번의 정의가 M(=−N)에 대해 검증되어 limx→−∞tan⁻¹x=−π2입니다. 음의 무한대 쪽을 처음부터 다시 ε–N으로 구성하지 않고, 양의 무한대 쪽 결과에 기함수 대칭을 적용해 바로 얻어낸 것—9장 곳곳에서 쓰인 "이미 확립한 결과를 대칭으로 재사용" 전략과 같은 방식입니다.

수치 확인(ε=0.3). N=tan(π2−0.3)≈3.2327이고, x=5(>N)일 때 tan⁻¹5≈1.3734, π2−0.3≈1.2708<1.3734<π2≈1.5708—실제로 띠 안에 들어와 있음을 확인했습니다.

사용 : 802번 · 8.2의 f637번

증명 끝